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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公式ppt课件
－
Sn qSn a1 a1qn
(1 q)Sn a1(1 qn )
公比q能否为1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
乘公比错位相减法
新知讲解
当q 1时，Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1
q=1
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
q≠1
典型例题-例1
已知an 是等比数列，若
a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8
S8
a1(1 qn ) 1 q
1 2
(1
1 2
8
）
1（ -
1
）8
1-
1- 1
2
1 256
1 255
2
S8
1 255
典型例题-例2
已知an43
,q
0, 求S8
a1
27, a9
1 ,27 q8 243
1 243
q8 (1)8 3
q 0,q 1 3
新知探究
问题1：请问如何表示西萨到底要求的麦粒数？
1 2 22 23 263
问题2：仔细观察，1,2,22 ,23,24...... 263是什么数列
等比数列
问题3：1 2 22 23 263可以归结为什么数学问 题？
等比数列的前n项和求和问题
新知探究
S64 1 2 22 23 24...... 263
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1（- 1）
1640 81
3
典型例题-例3
例3已知等比数列 {an }的首项为
-1，前
n项和为
S
2.5 等比数列的前n项和(精品课件)
an amq
n m
an+am =ap+aq(n+m=p+q) am an a p aq m n p q
2 a , b , c 成等比数列 b ac a, b, c成等差数列 2b a c
前n项和 公式
S
n( a1 an ) n 2 na1 1 n(n 1)d 2 (倒序相加)
等比数列的力量
等 比 数 列 an q (是常数 ) an 1
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m) amqnm
an+am =ap+aq(n+m=p+q) a a a a m n p q m n p q
2 a, b, c成等差数列 2b a c a, b, c成等比数列 b ac
综合练习
任我采撷
等差(比)数列前n项和的 性质
若an 为等差(比)数列, 则 Sk ,S2 k Sk , S3k S2 k , S4 k S3k , S5k S4 k , 也成等差(比)数列.
等差（比）数列前n项 和的性质及应用
(1)已知等差数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和 为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天 的 2倍 ．
知识探究 等比数列的前n项和
在等比数列 {an }中,公比为 q ,它的前 n 项和:
a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列前n项和的求和公式 ppt课件
旧等问题都与最其 新课件有关。
13
作业：
1、等比数 an的 列前 n项和S为 n， 已知 S1，S3，S2成等差数 （1）求an公比 q；
（2）若a1a3 3,求Sn.
2、P6： 1 第 1和5题.
最新课件
14
最新课件
15
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（1）+（2）得
2Sn( a1 an ) (a 1 an) (a1 a n)
n个
n(a1an)
即得
Snn(a12 an)n1a n(n 2 1)d
最新课件
7
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
a n a 1 q n 1
前n项和公式
(a 1 ,q 0)
n1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
16
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
倒序相加法
n 1a
q 1 ;
S n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q q 1 .
错位相减法
会知三求二；
实际生活中：、 等等 差比 数数 列列是生 日活 常中 经的 济重
的数学模型。款 例、 如贷 ：款 存、购款 物、 分保 期险 付、资
最新课件
3
这猴子是不是
又在耍我 第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
了······
最新课件
4
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
等比数列前n项和公式和性质PPT课件
(2)a127 ,a9214,3 q0
解： (1 ) 因为
a1
1 2
,
q
1 2
所以n当 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
2 5 5 256
(
2
)
由a1
27,a9
12 ,可得: 1 243 24
3
27
q8
又由q 0,可得： q
1 3
2
71
1
8
于是n当 8时 Sn
2021/5/21
实数m＝____-_1_____.
2021/5/21
16
1 、若 {a n 等 } 的 n 项 比 前 S n 和 数 3 n 1 2 a 列 ， a 的 求
化简S到 n13： 3n2a
1 2a 0 a 1
3
6
2021/5/21
17例1、求下列等比数列前8项和(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
5
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1① q n a 1 S q a 1 q 2 a 1 q 3 a 1 q n 1 a 1 q n ②
2021/5/21
29
∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30，
30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ 10 ， 即 S30＝70.
2021/5/21
30
2 、等 { a n } 的 比 n 项 前 数 S n 和 ， 列 S m 为 若 1， 0 S 2 m 3， 0 求 S 3 m 的值。
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a 1(1 q 1 q
n
)
q
1
n a1 q 1
判断下列各式是否正确
× 51445442…444453 n
1(11n 11
)
0
( 2) n
124816…(2)n1 1(12n ) 1(2)
×
× 1222 23 …2n 1(12n ) n+1 12
1.841019 1000多年才能生产这么多小麦， 国王无论如何是不能实现发明
者的要求的。
运用：
练习1：
已知a n 是a1 3,q 2的等比数列，求Ｓ４及Ｓ６
解：由S n
a 1(1 q 1q
n
)
有：
S
4
3(124 12
)
45;
S
6
3(126 12
)
189
升华：
对于公式S n
a 1(1 q 1 q
n
)
变 形
S
n
a1 1 q
a1 1 q
q
n
可看成是以正整数n
为自变量的函数S
。
n
我们可以把a1,q称为等比数列a n 的关键量。
运用：
例2：求和 1 x x 2 x 3 x n1.
解:由已知条件得 a1 =1,q =x
Sn na1.
反思：
等比数列前n项和的推导利用了 错位相减法。如何理解这一方法？
用错位相减法求数列的前n项和的实 质是把等式两边同乘以一个数q，得一新 等式，错位相减求出 S n q S n ，这样可 以消去大量的“中间项”（或是让中间 项容易求和），从而求S n出 。
辨析：
SnFra bibliotek 等比数列 前n项和公式
S
n
a
1
(1 q 1 q
n
)
q
1
n a1 q 1
数
数
学
学
源
用
于
于
生
生
活
活
作业
(1)必做题：课本Ｐ61，Ａ1
(2)提高题：求和 1+2x +3x 2 +…+nx n-1
(3)趣味题:
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
2.4.2等比数列前n项和公式
日喀则市第三高级中学 龚兵 2015年12月2日
1 2 22 23 24
…
263
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1,2,22,23,L 262,263
它是以1为首项，2为公比的等比数列，
麦粒的总数为:
? 1+2+22 +23 +L +262 +263 =S64
谢谢
推导：
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
错 位
则它的前n项和
相
由通项公式 an =a1qn-1 有：
减
Sn a1 a1q a1q 2 … a1q n2 a1q n1
①
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q 2 a1q3 ……a1q n1 a1q n
S64 1 2 22 23 L 263.
它是求 a1 1,q 2 的等比数列的前64项和
S64
1(1264 12
)
264
如果1000粒麦粒重为40克，
1那么这些麦粒的总质量就是
7300多亿吨。根据统计资料显
＝1844674407示6亿3，7吨0全，9世5就界5是1小6说麦1全5的世年界产都量要约为
当q =x =1 时，Sn na1 n
S = = 当 q =x? 1 时，
1? (1 x n ) 1- x n
n
1- x
1- x
Sn
=ìïí ïî
n ，x =1
1- x n 1- x
，x ¹
1
在利用公式时，一定要注意q的取值，
把它作为第一要素来考虑！ ——切记切记！！！！
小结
错位相减法 乘公比
②
由－得 (1 q)Sn a1(1a1qqnn)
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
当q¹
1时，
Sn
a1
1 qn 1 q
当q =1时， {an}是一个常数列
Sn =a1 +a2 +a3 +L +an =a1 +a1 +a1 +L +a1 =na1