Wronsky行列式与具有最大亏量和的亚纯函数
行列式的计算技巧和方法总结
计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。
以便计算。
计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）.（2）1211021101211121---=--（第二、三列互换） （3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131＝--- 例12计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、 行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解 按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。
分担四个值的亚纯函数
分担四个值的亚纯函数
1 亚纯函数
亚纯函数是一种关于数学函数在一个给定闭区间上多维函数的一种变体。
它是一种不用计算，可以把闭区间上的函数值均匀分担到四个值的方法。
由于它可以把多维函数的值最大化，因此被广泛的应用于数学计算，机器学习，人工智能等领域。
2 工作原理
亚纯函数的工作原理是通过将多维函数的四个值均匀分担到给定的闭区间上，使得该函数的总体值最大化。
举个简单的例子，如果一个函数在[0,1]范围内为4个值，那么用亚纯函数可以将这4个值均匀分担在这个区间上。
这样，这个函数的最大值可以最大化。
3 应用
亚纯函数技术在数学计算，机器学习，人工智能等领域都有广泛的应用。
在数学计算中，亚纯函数技术主要用于求解控制问题，其中包括线性规划，非线性规划等，也包括最优控制问题的求解。
在机器学习中，亚纯函数技术用于构建机器学习模型，满足特定的预测函数。
亚纯函数技术可以加快求解过程，提高模型的准确性。
在人工智能领域，亚纯函数技术可以用于任务规划，搜索和对抗学习等，它可以加快模型的学习速度，提高结果的准确性。
4 优缺点
但是，亚纯函数技术还是存在一些优点和缺点。
其优点是不用计算，能够有效的将多维函数的值最大化，使之的总体值得到最大化。
缺点是由于把值最大化，可能出现偏差，即模型会偏离准确性，这可能引起一些预期外的结果。
因此，在使用亚纯函数技术时，我们要特别注意它的优缺点，以免出现意料之外的错误结果。
数学专业术语
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出
亚纯函数的唯一性定理
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线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1.上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2.以副对角线为标准的行列式000a1na a a00a11121n1n00a a2,n12na a00a021222,n10000a a an1,2n1,n1n1,na000a00 nn n1a a a an1n2n,n1nnn(n1)(1)2a a a1n2,n1n13.分块行列式（教材P14例10）一般化结果：A C A0n n m n n m 0B C B m n m m n m A B n m0A C An m n n m n mn(1)B C B0m m n m m n A Bn m4.范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1)利用行列式定义直接计算特殊行列式；2)利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3)利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；4)递推法或数学归纳法；5)升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】5.利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题）0001000200D019990002000000000002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法D(n1,n2,...,2,1,n)012 (19990)(1)2001!(1)2001!2001!解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,⋯,2,1行交换（这里n=2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
一类特殊行列式的计算公式
一类特殊行列式的计算公式特殊行列式是数学中常见的一种特殊类型的矩阵，其计算方式和普通行列式有很大区别。
特殊行列式一般用于解决某些特殊问题，如线性方程组、行列式积等。
在本文中，我们将介绍特殊行列式的计算公式，并进行简单的推导，同时介绍其应用以及注意事项。
特殊行列式的计算公式中，最常见的是Vandermonde行列式的计算公式，其表达式为：$V_{n}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\prod_{1\leq i<j\leqn}(x_{j}-x_{i})$其中$n$代表矩阵的阶数，$x_{1}$、$x_{2}$、$\dots$、$x_{n}$则代表矩阵的元素。
该公式的推导主要是利用行列式中的性质，如行列式的行列互换等，将矩阵化为上三角或下三角矩阵，然后进行逐次消元得到以上表达式。
Vandermonde行列式常被用于求解线性方程组以及多项式插值问题。
例如，当我们需要求解一组线性方程组$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{cases}$时，我们可以将系数矩阵$A$与常数矩阵$b$组成增广矩阵$\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}$，并求其行列式。
若该行列式值为$0$，则说明线性方程组无解或有无数解，否则通过Cramer法则可以求得唯一解$x$。
除了Vandermonde行列式，还有其他的特殊行列式如行列式积等。
行列式积是一类带参数的行列式，其表达式为：$\prod_{i<j}\frac{x_{j}-x_{i}}{y_{j}-y_{i}}$其中$x_{i}$、$y_{i}$分别为两组不同的数，$i$、$j$为矩阵元素的索引。
再论单位圆外亚纯函数的五值定理
再论单位圆外亚纯函数的五值定理本文将讨论单位圆外的亚纯函数的五值定理。
这个定理是复分析中非常重要的一个定理，它可以帮助我们理解亚纯函数在复平面上的分布情况。
首先，我们需要明确什么是亚纯函数。
亚纯函数是指在它的定义域内除了有限个孤立奇点外，其他地方都是解析的函数。
这个定义看起来有些抽象，但是我们可以通过一些例子来理解。
考虑函数$f(z)=frac{1}{z}$，它在$z=0$处有一个孤立奇点，但是在其他地方都是解析的。
因此，$f(z)$是一个亚纯函数。
再考虑函数$f(z)=frac{1}{z^2+1}$，它在$z=pm i$处有两个孤立奇点，但是在其他地方都是解析的。
因此，$f(z)$也是一个亚纯函数。
接下来，我们来介绍一下五值定理。
五值定理是指：如果$f(z)$是单位圆外的亚纯函数，那么$f(z)$在单位圆外的取值不能超过五个。
这个定理看起来很简单，但是证明起来却非常复杂。
这个定理的证明需要用到很多复分析中的工具，比如留数定理、Rouche定理等等。
为了方便证明，我们可以先假设$f(z)$在单位圆外的取值超过了五个，然后通过推导推出矛盾。
具体来说，我们可以假设$f(z)$在单位圆外的取值分别为$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，其中$a_1$是$f(z)$在单位圆外的最小值，$a_5$是$f(z)$在单位圆外的最大值。
接下来，我们可以构造一个新的函数$g(z)=frac{f(z)-a_1}{f(z)-a_5}$。
容易发现，$g(z)$是一个单位圆外的亚纯函数，并且$g(z)$的取值范围是$[0,1]$。
因此，$g(z)$在单位圆外的取值范围是有限的。
根据Rouche定理，我们可以证明$g(z)$和$f(z)$在单位圆上的取值是相同的。
因此，$f(z)$在单位圆上的取值也不能超过五个。
这个证明过程比较简单，但是它涉及到了很多复分析中的重要定理。
通过学习这个定理，我们可以更好地理解亚纯函数在复平面上的分布情况。
分担三个公共值的亚纯函数
分担三个公共值的亚纯函数此文的主要内容是分析亚纯函数的三个公共值。
首先，要知道什么是亚纯函数。
亚纯函数是一种函数，其中只有三个特定的公共值，这三个值可以用于描述函数的行为。
它们是最小值，最大值和中间值。
现在我们将详细讨论这三个值。
首先，最小值表示函数的最小取值，即可能输出的最小值。
通过比较函数的自变量，可以确定最小值。
例如，如果函数是基于两个变量的，则可以通过比较这两个变量的值来确定函数的最小值。
最大值是函数可能输出的最大值，也是通过比较函数的自变量而确定的。
最大值也可以理解为函数的上限。
最后，中间值是最小值和最大值之间的一个取值，它可以理解为函数的“平均”值。
中间值可以通过函数自变量的简单统计计算（比如，求平均值）来计算出来。
亚纯函数的三个公共值对描述函数行为有重要作用。
它们可以用来确定函数的最小值、最大值和中间值。
这三个值也可以用来确定函数的基本特征，这在函数分析领域是十分重要的。
此外，亚纯函数的三个公共值还可以用来估计函数在不同自变量条件下可能的取值，这可以为函数多维分析提供依据。
当函数多维分析时，为了确定函数的行为，亚纯函数的三个公共值非常重要。
这些值可以用于分析函数在概率和统计上的表现，这可以帮助我们更好地理解函数的特征和功能。
综上所述，亚纯函数的三个公共值对描述函数行为有着重要的作用。
它们可以用来确定函数的最小值、最大值和中间值，还可以用来确定函数的基本特征、估计函数在不同自变量条件下可能的取值，还可以用于多维分析函数的行为。
了解亚纯函数的三个公共值，对理解函数的性质及其特定条件下的行为有很大帮助。
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2 − δ ( ∞, f ) ∆ ( 0, L ( f ) ) = δ ( 0, L ( f ) ) = , 1 + k (1 − δ ( ∞ , f ) )
δ ( ∞, f ) δ ( ∞, L ( f ) ) = ∆ ( ∞, L ( f ) ) = , 1 + k (1 − δ ( ∞ , f ) )
( 2k ) ! z k +1 f ( k ) − ( 2k ) ! z k f ( k −1) ≠ Af ( k ) ，其中 A 为非零常数。令 a = 1 ，则 a 为 f k +1 k +1 z k! ( k + 1) !
k
的小函数，
显然 a1 , a2 , , ak +1 线性独立，且 W ( a1 , , ak , ak +1 ) = ( −1) ( k + 2 )( 2k ) ! ( k + 1) ! 为非零常数。 由此可知，定理 1 推广了定理 B。 注 显然，若 f 是满足 ∑ b∈C ˆ δ ( b, f ) = 2 的超级有穷的超越亚纯函数，则有
b∈C
∑ˆ δ ( b, f ( k ) ) ≤ 1 + k (1 − Θ ( ∞, f ) ) .
2
杨乐提出了该上界是否精确的问题。2013 年，仇惠玲等人[4]回答了这个问题，证明了如下定理。 定理 B [4] 设 f 是复平面上满足 ∑ b∈C 则对于任意正整数 k ， ˆ δ ( b, f ) = 2 的超级有穷的+ N ( r ,1 f ′ ) . T ( r, f ′)
其中
K ( f ′ ) = lim
r →∞
2000 年，Fang [6]改进了定理 C，证明了如下定理。 定理 D [6] 设 f 是复平面上满足 ∑ b∈C ˆ δ ( b, f ) = 2 的有穷级超越亚纯函数，则对于任意正整数 k ，有
若存在 f 的一个小函数 ak +1 使得 W ( a1 , , ak , ak +1 ) 为非零常数，则有
(1.2)
δ ( b, L ( f ) ) = ∆ ( b, L ( f ) ) = 0, b ≠ 0, ∞.
例 1 设 f 是超越亚纯函数， a1 1, a2 z= = = , a3
z2 , , a = k −1 2 z k −2 a z 2 k ，则 , = ( k − 2)! k
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谢佳 等
L( f ) =
a1 ′ a1 a1(
k)
a2 ′ a2
( a2
k)
ak ′ ak
k)
f f′ f(
k)
( ak
1990 年，杨乐[3]研究了 f ( ) 的亏量和亏值与 f 的亏量和亏值之间的关系，证明了下面的定理。
k
定理 A [3] 设 f 是复平面上的有穷级超越亚纯函数， k 是一个正整数，则有
Open Access
Abstract
Let f be a transcendental meromorphic function satisfying tive integer; let
a1 = 1, a2 , , ak + 1
∑ b∈Cˆ δ ( b, f ) = 2 , and
k is a posi-
1 1 m r, N r, − −b f b f = 1 − lim δ ( b, f ) = lim , r →∞ T ( r, f ) T ( r, f ) r →∞
1 1 m r, N r, − −b f b f = lim 1 − lim , ∆ ( b, f ) = r →∞ T ( r, f ) T ( r, f ) r →∞ 1 N r, f −b Θ ( b, f ) = 1 − lim . r →∞ T ( r, f )
∑ˆ δ ( b, L ( f ) ) = 1 + k (1 − Θ ( ∞, f ) ) .
2
1973 年，Singh-Kulkarni [5]证明了下面的定理。 定理 C [5] 设 f 是复平面上满足 ∑ b∈C ˆ δ ( b, f ) = 2 的有穷级超越亚纯函数，则有
2 (1 − δ ( ∞, f ) ) 1 − δ ( ∞, f ) ≤ K ( f ′) ≤ , 2 − δ ( ∞, f ) 2 − δ ( ∞, f )
δ ( b, L ( f ) ) = ∆ ( b, L ( f ) ) = 0 ， b ≠ 0, ∞ .
关键词
亚纯函数，最大亏量和，Wronsky行列式
1. 引言及主要结果
本文采用 Nevanlinna 理论中的记号[1] [2]，如 m ( r , f ) ， N ( r , f ) ， N ( r , f ) ， T ( r , f ) 及 S ( r , f ) 等。 定义 1 设 f 是复平面上的一个非常数亚纯函数， b 为一个有穷复数(或 ∞ )，
Wronsky行列式与具有最大亏量和的亚纯函数
谢 佳，邓炳茂，李 菁
华南农业大学应用数学研究所，广东 广州
文章引用: 谢佳, 邓炳茂, 李菁. Wronsky 行列式与具有最大亏量和的亚纯函数[J]. 理论数学, 2016, 6(5): 418-426. /10.12677/pm.2016.65057
(
) (
)
本文将 f ( ) 换成 L ( f ) ，推广了定理 B，证明了如下结果。
k
个线性独立的小函数， L ( f ) = W ( a1 , a2 , , ak , f ) ，则有
定理 1 设 f 是复平面上满足 ∑ b∈C ˆ δ ( b, f ) = 2 的超级有穷的超越亚纯函数， a1 = 1, a2 , , ak 是 f 的 k
K f(
其中
( ) ) = 1 + (k − kδ( ( ∞, f))) ,
k
2 k 1 − δ ∞, f
K f(
( )
k)
= lim
r →∞
N r, f (
(
) + N ( r,1 f ( ) ) . T ( r, f ( ) )
k) k k
2013 年，仇惠玲等[4]将定理 D 中的“有穷级”改成“超级有穷”，结论仍成立。 定理 E [4] 设 f 是复平面上满足 ∑ b∈C 则对于任意正整数 k ， ˆ δ ( b, f ) = 2 的超级有穷的超越亚纯函数， 有
谢佳 等
收稿日期：2016年8月31日；录用日期：2016年9月14日；发布日期：2016年9月20日
摘
要
设 f 是复平面上满足 ∑ b∈C ˆ δ ( b, f ) = 2 的超级有穷的超越亚纯函数， k 为正整数， a1 = 1, a2 , , ak + 1 是 f 的 k + 1 个线性独立的小函数，且满足 W ( a1 , , ak , ak + 1 ) 为常数， L ( f ) = W ( a1 , a2 , , ak , f ) ，则有
(1.3)
z2 z k −2 = = L( f ) W 1, z , , , , z 2k , ( a1 , , ak , f ) W − 2 k 2 ! ( )
f ，
显然， a1 , a2 , , ak 是 f 的小函数，且线性独立。通过行列式的计算可知，
L ( f )=
K f(
其中
( ) ) = 1 + (k − kδ( ( ∞, f))) ,
2 − δ ( ∞, f ) k δ 0, f ( k ) = ∆ 0, f ( ) = , 1 + k − k δ ( ∞, f )
(
) (
)
δ ( ∞, f ) k δ ∞, f ( k ) = ∆ ∞, f ( ) = , 1 + k − k δ ( ∞, f )
(
) (
)
k δ b, f ( k ) = ∆ b, f ( ) = 0, b ≠ 0, ∞.
ˆ b∈C
∑ δ ( b, f ) ≤ 2.
定义 2 设 a ( z ) 是复平面上的一个亚纯函数，如果 T ( r , a ) = S ( r , f ) ，则称 a ( z ) 为 f 的一个小函数。 定义 3 设亚纯函数 a1 , a2 , , ak 是 f 的 k 个线性独立的小函数， 记 a1 , a2 , , ak , f 所构成的 Wronsky 行 列式表示为 L ( f ) = W ( a1 , a2 , , ak , f ) ，即
若 δ ( b, f ) > 0 ，则称 b 是 f 的一个 Nevanlinna 亏值，简称亏值， δ ( b, f ) 称为 Nevanlinna 亏量，简称 亏量。若 ∆ ( b, f ) > 0 ，则称 b 是 f 的一个 Valiron 亏值， ∆ ( b, f ) 称为 Valiron 亏量。在值分布论中， f 的 所有亏值至多为一个可数集，且
δ ( ∞, f ) δ ( ∞, L ( f ) ) = ∆ ( ∞, L ( f ) ) = , 1 + k (1 − δ ( ∞ , f ) )
0 , b ≠ 0, ∞ . δ ( b, L ( f ) ) = ∆ ( b, L ( f ) ) =
Keywords
Meromorphic Function, Maximal Deficiency Sum, Wronsky Determinant