第二章 行列式补充题参考答案
行列式课后练习及答案
0
0 0 0 0 0 0
0 解：Dn (1)
n ( n 1) 2
0 0 0
0 0
0 0
...............................
0
(1)
n ( n 1) 2
[ n ( 1) n 1 n ]
[ n 1 (1) n 1 n 1 ] (1)
2.若
(5 ) x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 (6 ) x2 0, 有非零解, 则 = 2或5或8 . 2 x1 (4 ) x3 0
5
x1 x2 x3 x4 5, x 2 x2 x3 4 x4 2, 3. 1 2 x 3x x3 5 x4 2, 的解是否唯一? 3x1 x 2 1 2 2 x3 11x4 0
答案：1.行列式概念的引进课后作业
a11
1. a21
a12 a22 a32 4 3 6 1 0 0 3 5
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
a31 1 3 1 3
2. 5 2 1 80
(1 a) x1 x2 xn 0, 2 x (2 a)x 2x 0, 2 n 4.设齐次线性方程组为 1 (n 2) , 若其有非零解, nx1 nx2 (n a)xn 0.
则 a=
n(n 1) 或a 0 2
x1 2 x2 x3 1, 5.用克莱姆法则求解 2 x1 3x2 x3 0, 4 x 7 x 2 x 2. 2 3 1
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
线性代数习题答案 第二章
习题2.1 习题1习题2习题3习题2.2 习题1.1习题1.2习题2.1习题2.2习题2.3习题3习题4.1习题4.2习题4.3习题4.4习题4.5习题4.6习题5习题6习题7习题8习题9.1习题9.2习题10习题11.1习题11.2习题12.1习题12.2习题12.3习题12.4习题13习题14习题15习题16习题2.3 习题1.1习题1.2习题1.3习题2.1习题2.2习题2.3习题3习题4.1习题4.2习题5习题6习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题2.4 习题1.1习题1.2习题2习题3习题4.1习题4.2习题4.3习题5习题6.1习题6.2习题7习题2.5 习题1.1习题1.2习题1.3习题2习题3.1习题3.2习题3.3习题3.4习题3.5习题4.1习题4.2习题4.3习题4.4习题5.1习题5.2习题5.3习题5.4习题6习题7习题2.6 习题1习题2习题3习题4习题5习题6.1习题6.2习题6.3习题7习题8习题总解答习题1习题2习题3习题4习题5习题6习题7习题8习题10习题11习题12习题14习题15习题16习题17习题18.1习题18.2习题19.1习题19.2习题19.3习题19.4习题19.5习题20习题21.1习题21.2习题22.1习题22.2习题23习题24习题25习题26习题27习题28习题29习题30习题31习题32习题33习题34习题35习题36。
线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第二章、行列式习题答案
a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时 ，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行 列 式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2
x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi
Di D
x1 x2
1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0
1 0 1
n
c1
i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。
推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。
推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
(完整版)第二章行列式习题解答
第二章行列式习题解答1. 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：1) 134782695;解•吒13478269为=0 + 4 +0 + 0+ 4 +2 + 0 + 0 = 10 偶排列.2) 217986354;解：吃179 眈54)二1+0 + 4+5+4+3+0+1 = 18 ,偶排列；3) 987654321;解：璋876別艾1) =8 + 7+&+5 + 4+F+2 + 1 = 26 ,偶排歹【」.2. 选择'与上使1)1274巧陆9成偶排列；解：•与上一个为3,另一个为8,而咲1刀43两9) = 2+1+1+1 = 5 是奇排列，由对换的性质因此有H；2 )庇荻4斬成奇排列.解：与七一个为3,另一个为6,而^32564897) = 1 + 2 + 2 = 5是奇排列，因此有心工宀6.3. 写出把排列1羽孑5变成排列25341的那些对换.解：124站卩* )214笳(也)25431 仲)比鈔414. 决定排列巾-—心的逆序数，并讨论它的奇偶性.解：1与其他数构成卫个逆序，2与其他数构成汽_2个逆序，…山-2与其他数构成2个逆序，芒一1与兀构成1个逆序，故巩対住_1)…21)二3_1)十@_2) +…+2+1二^当"毗或"滋+ 1(上为正整数)时，排列为偶排列；当"处+2或n-Ak^3为正整数)时，排列为奇排列.5. 如果排列 w’j 二的逆序数为：，排列厂二的逆序数是多解: 中任意两个数码=：与丁必在而且仅在两个排列°：二'"■或**-1…中之一构成逆序，月个数码中任取两个的不同取法有”2个，因此两个排列的逆序总数为戈，所以排列…F 的陨"1)_总逆序数为Z6.在6级行列式中，心円三j 汽这两项应带有什么符号？严小吟心皿)-(_［严"，因此项计吻恥％带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子一心的项.解：因为：匚上-'，因此所求的项为解：1)该行列式含有的非零项只有m/JAi …叫七％1,带的符号为CU 2 ，值为57』，因此原行列式等于(T 」3创.1)0 0 *-0 1・-2III 11 1 1 1« 11 1 1 fe ■ 0 卫一 1 •… 0 0n 0 ■■* 0 0； 2)010... 0 0 0 2 ...0 ...丹-1n Q 0 ...73)0 …0 0 -200 ■ a «•■即i a « i » i i fe■M -1・■- 0 0 0 0・■- 0 0 «_^1+^23^31^42 -8.按定义计算行列式:少？,因此项 旳尹引龟护屏张务厶带正号;-£l 11LJ 23«32a 44?七护34 迎小2）该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池，带的符号为值为「2，因此原行列式等于df.3）该行列式含有的非零项只有%”宀"叫％，带的符号为（7丄，值为，因此原行列式等于卜1）2创.9. 由行列式定义证明：证明：行列式的一般项为I = = 二，列指标•「S 1只能在1,2,3,4,5中取不同值，故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一，而' 厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.10. 由行列式定义计算2A1 21 x 1 -13 2工11 1 1 工中/与/的系数，并说明理由.解：行列式元素中出现兀的次数都是1次的，因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀，其系数为2,符号为正，h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金％，其系数为1,符号为负，代的系数为-1 .11. 由1 ・-• 11 1 ■■■ 1.. .=Q■♦V1 1 ・• 1证明：奇偶排列各半证明：行列式每一项的绝对值为 1行列式的值为零，说明带正号项的个数 等于带负号项的个数•由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列1）由行列式定义，说明'「是一个卞―〔次多项式;2）由行列式性质，求'的根.解：1在行列式’〔中只有第一行含有T ，出现T 最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此'•是一个・】次多项式2）用■，，，r^--分别代*，均出现了两行相同，因此行列式为 0.即宀为—的全部根13.计算下面的行列式： 246 427 327 10W543 443 八-342 721 621小、1) ； 2)3 11112 3 413 112 3 4 1113 13 4 123） 1113；4） 4 12 39指标排列的奇偶性所确定, 奇排列时带负号，偶排列带正号•因此奇偶排列各半1…x"11N-1 …闻円＞）二1s-l…％■ ■ ■!1+ ■ ■« I »■ * II I ■■…a n-l其中•心m.i 为互不相同的数.12.设1+A 1 1 1 (a+2)2(a+3a11-工 1 1 4+1)2 0 +卯@+卯1 11+》 1 W+1尸（亡+卯（心9+1尸（八疔5） 1 11I ； 6）解：1该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，23136)246 427 3271000 427 327 6 71000 100 327 1014 543 4432000 543 44孑 -—2000 100 443 -342721 €211000 721 6211000 100 621327116 二-294x12 2945)显然当二=■'或」时均有两行元素相同，因此行列式为 0.当' 时1H - x 1 11 If1 c 4 - x~\ 'i0 01] -x11七 、厂5〕■-X0 ]c 4 +z 1< i 0 --X0 0 3y11 g 1 P = 123( ) 0 y1 5 -严 :3 00 y11 1i-卅肿y 1-7y Ay -y【口十 3十2尸 ⑺十浙十 1 牝十4 6口十夕(*+D a 辿+2尸 叶卯*22) + 1 4b+4 6b + 9(T尸 (小尸L 32^+14亡+ 4 &+9d 2 3+1尸3 +計 &+卯茲十1 4d +4 阳+9= 10" y工十丁1 yx + y=2(孟+刃 1 Z -F JJ盂xy1 x y1 尹二 2(盂+尹)0 xo —y-y = 2(X +/)[-X :+X X -7)]= ~2(^3 1116 11111111111 13 116 3 11卜13 11 厂宀J 0 2 0 0 113 1J= 2,3,4 6 13 1113 1 i = 2,3,4' 0 0 2 011136 11311130 0 0 22 3 412 3 43 4 113 4 1=104 1 2 14 121 2 3112^ 12 3 41 23<411-30 11-3=10p 2 ・2 -20 0-44|o -1 -1 -10 0 0-41 1 3272 1 4431 1 6211 0 0 1-1 0 y丸+屏处十龙2(x+y)310 1+(710 0 0 = 160i+cc^aa +b2（a 十B 十u ）c+a戊+BA.+勺= 2（d| +坷+5）码+歼证明： 為+勺如+S2(角+务+勺)勺+码+ i + cc+a=2口］+妬 + 匕1 百［+(3］巧十毎十勺勺+包15.算出下列行列式的全部代数余子式:12 140-1211 -1 20 0 2 13 21poos； 2)1 4b+亡 c + txa +ba b e右L +百1 号+% 如4玄 =2 旬玄巧-14.证明： 鸟+勺耳+勺巴十坊也®巾加+1 266 _6 -6-1 2 10 2 10 -1 14i = 0 2 1=-6;血=- 0 2 1 =0 ；J 4O = 0 0 1 =00 0 30 0 30 031 42 1=6;0 -1 24+ =- 00 2 =0 ；4J ! =-0 0解: 1）2 0 0 1 4 2 1 0 31 =-12;爲立=0 n-4B == °； ■41 = 1》4盘=-^3 = —5-^34 = Q 斗］.=乙 &2 = Q' A B = L ；&4 = 741 =2）= 3^ = --1 21 4a +b的+Nb ca 6 c妬C L =2 a Y 如 5%巾宓5%加十1 2 2^+1 22^+1 2 a 十打+疋=2^} +妬+巧 k +如+巾111 11 卩 02 1 1 -*厂©* 0 1 2 2 5 1 0 43 2 1 | |斗 11112 2-5=1.42) 31213 4 1 3171丄1 5 4 6 4 1 2J2110 n 1 — 2 — — 2 — — —2 -3221 -1 | 4-1 0-111|31 17 11 -132 16 10 13 121° 1 2 -1 41 2 -1 41 2 一］4 2 a 1 2 :2 0 1 2 12-6 1 2 1 一 3 5]2 二一 1 3 51 2 二 -16 5 1 2 33 1 2: 1 3 00 00 0 0 0 2 1 n 3521 0 3 52-5 035-1 1 02 0 -5 1 2 0 -90 3-5237 -11 2-9 -3 =一 0 0 -3 =-483.3 555 -12 5= -36 -3 -5511 2n -1 11 12 -123 2 1 0 二 1-1 0 1 21兀21 3 02 0 -1 0 12 3-1 1 32131 10 14 16 18-7-10 3-16 = 114-1918 0 -7-W17.计算下列乜级行列式:J. 221 2 -2-12 2 13 71 10-1 1 2 16-16 = -12 -19 8 180 -1-10 0 12176 133)&心1 22 22 2223» ■ i• II222112 3 -■垃一1溶ClCI-12o …-24)■ ■ ■I■■ 42 2a■»a■ IIw « ■+ I *Ji75)+ 1■I I *4- i I C I +0 …bl*-11- ra解1)按第一列展开得x F 0t)0X... 00 y00 (00)0 龙y000X... 00 X y0 (00)■ I -K■ * I ■ 4 I»■I- 4 I »■I I 4-冥■ 41» II-■11+I ■ 4■ -K I十(-1严》■ * II- fiE ■ I-■ I «I »■ 4■ 40 0 0* ■ ■■X y00… x y仃00 …y0y0 0¥«l>0X10… o工L-i y00y 也可以按定义计算，非零项只有两项及'—…「八值分别为"和厂，符号分别为+和「，因此原行列式1?，T2)解：当阅i时，行列式等于问■対；当"2时当吃二三时，从第二列起，每一列减去第一列得:1)X y I〕 (00)Q y… o00 0c… K yy ri c 0■ ■■原行列式a】—J】-打口1 —血g —^2cjj tij 0勺一外旳-每a2~\幻一还=S1 - 也)01—爲)1也■■■ 耳]乃… G1心一烧 ■■■ X”'j-m …（S 為一=（壬再-i-L■ 4 B * ■■ 4 I« ■ I-■ * II I- 4# I II 3- I]八• 耳-附0 …-W3=（备-觀）（-计工 1_的冷 …G抵 … 召 1 ■ V亏_朋 …兀■ » 1 1 « ■« ■ »—S x iH■ _枕 1 七—枕 …丹H ■ n ■ ■ ■■ ■ ■… 召一翩鬥一懣勺 …码一规d-1从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得3）解: 1 2 2 …2122 (2)10 0 ... 0 2 2 2 (2)1 00 0122 (2)223 -2 二 10 1 0二—1 0■ ■ ■• ■ V ■■ ■■ 4 ■ » ■ V ■ ■■ » ■ ■ ■'■ ■■ '■■ * ■« ■ » » ■ ■ 2 22 … •吃]…丹一210 0 (2)两行后化为三角形得: 然后交换解: 4）1,2 从第二行起每一行减去第一行, 123•… 用- 1V-423 …73-11 -1 0 ■- 0.5—1 -10 …0 0 0 2 -2・・・0 =2-2…0 …用—11—料« ■ |>0 ■> 1 10 ■ 1 V■> 1 10 … 1 « ■ N-1■ i V1一冷2列起每一列都加到第 然后按第一列展开得到:列, 1 也可以除第 12 -122行外,3 0 -2「行都减去第2行，然后化为三角形计算.崔一 10 05）解：从第» 1二&連2…吐（附一龙―）；j-1康------ （］二 2,3"■，聊 +1）证明：从第2列起，每一列的-倍加到第一列即可得:二 1 用_壬_% 11 (1)11 -1j>l 葩1的 0 ■ 0 01 ■1 巾0 B ■1・・・ 0 二 0 0 禺 ■ ■■ 0 1 0 0・・■|> 0■ 0• ■0 1■-叫 证明：当“°时结论显然成立，当疋八时，第一行的工加到第二行，然后第\_行的工加到第三行，依次类推可得:18. -1 2 0-2耳一 1证明:-1 0■0 X -1甲0…0・・・X ・■-0 0 0a2 ■r0 0 (X)2. 00 ■■--1=F 4-df H _J x a_1+-- +(j 1A + a 0;小+"学…笋+禺）"+%严i w+飾证法二：按最后一列展开即可得.证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明•证法四：从最后一行起，每一行乘以X 加到上一行，然后按第一行展开可得:X0… 0 %A0 0-1 X 0 …hX0 …盘］a -1 X …-1 X 0■ ■ ■ ■ ■二・■ ■* ■1- ■■* * ■« H■ ■ ■ ■■ 1 1 ■ ■■a 0 0 *■'0 0 0 '•*a0 0 …「1Q0 0 …-1兀+J1IJ0 0 … 0 孟"+|2”］乳"1+■■・+(3］工+口0 -1 00 … 0 茂 +务+…的 0 -1 0 … 0 9 —□»—3X ++ …眄H ■ ■ 11 « ■ - *B■ ■ ■■0 D 0 0■■ 9 V ］X0 0 …-10… ■ || -1 ■ b■ ■a 0 0 …0 0 0…叫■ ■ ■>3x 00…0丸 00 -1乳…4H■0 0 0 0 00…T x 十氐」A 0=(—l)w+l(X™ +込_]才】+…+ fif[北+引) -1) 二(-1严*0 + )(-1) "_1 = 十…+硯丸+% 就+ $ afi 0 … 0 0 1 ar+ ap … 0 00 1 口十0… 0 0 ar —Q"■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ Hl H ■ ■ ■ in H ■ ■ a- Q ' 0 0 0 … C£-\- jS3) C1 0 0 … 1 少+ fl0 解:原行列式按第一行展开得：'.「+广―-一―’丁，一•因此有 即J是以 ■ 宀-为首项，以二为公比的等比数列.因此有 & _类似有必％二才.当“0时，解得H a-^ . 证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明 1 2cos C& 1 cos a 10 4) 证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明 _ cos a 1 1 2cosa *2 =2 cos 4 一 1 = 2d ，因此结论成立. 假设当级数小于T 时结论成立，对咛级行列式匚按最后一行展开得: D K = 2cos^r - D S _2 = 2 cos a - cos(^-l)a-匕加山 一2)口=2 cosc<>s[(?;- l)dU-iT]=-l)a- sin asinfw- l)dr = cos na由数学归纳法，结论成立• 注意：因为主对角线上第一个元素为 曲口，其它主对角线上元素为 2l:<:;-，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无 法得到与 *兀 之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系 1 1 -I-心1a 1二甸孔…碍门+卫—)■ i-ia. 证明：从第二行起,再三角化 1 +盘]1 1 …11 + 位1 11 (1)1 1亠①1 …1_口］ 叫 0 … 0 1H 1- 1 1 ]+也… 1 ■#1 ■ ■ = _筍 0 ■ ■ ■ … 0 II '■ i11• # I■ 15一口1 00 ■… 仇行减去第一行先化为爪形行列式, 11+&1+ E 竺 z a 2 0=0+^1 + S —)^3-^ "曲他…耳(1十艾丄)2-1 [7^19.用克拉默法则解下列线性方程组:z! J L j —x、十3兀m 2工4 二b” 3ij 一3叼+ 3x?+ 2工斗二5 , 3x{-x2—x5+ 2X4-3t 予冋_花+3也一筍=4;巧 + 2 貫2 + 3xj —2 珥—6,2& -J?3 - 2也一窃=&3%! + J L5-A S+二4,2町-3工2 +2兀§ +筍=_&扎+ 2心-2屁十4兀-x. = -1,2xj- +3X3一4旺 + 2^ = 8 彳弓站+阳-电+ 2^4一心=3,4x:十3x立+4延十2耳十2心=-2f 兀一两一阿+2A4-弓召=-3,解：1）系数行列式= -29 一1 0 =-70,3 1 -1出二弓24同二3纽£ =64&厶二■艾4£= ・6J&322-1 3 2 F3 2 3-33 2 3-1 20 2 ■40 ~ 03 -1 3 -1 3 -1P-1-32-11-311 2-3 21 -1故方程组的解为:5开i + 6勺=1Xj + 5% 4 陆=0© + 5衍-F6A4=也+ 5X4十&屯=0& +%5 - 1 2.优质文档颅=虫 =L 呵=佥 =2,旳=佥 =-1曲=—--2故方程组的解为：d d d &3）d=2A, 口二込 禺=■弓苑 £ =-迥 £ = 1私 ^ = 312?故方程组的解为：& = 4再= -14內=7耳=7f x_5 = 13.2 -二艰-2D 3）二 9（厶-二 27（2 - 2耳）=243r爲=-1145f ^3 =703^4= -395, & = 212?定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域 卩上的多项式/W =护Z 十应丘月+…+q_i使炖)二虬2 1,2严皿j6 0 06 0 0 01 5 6 05 6 0 0] 1 5 61 5 6 00 1 50 1 5 62二3畑,2><艾二血0 0C i = 1507,5 65证明:设畑二占+占+・十“，由/(%)=鸟得4）51ij 00 65 1 00 0 0 6 5口 - 2D* = 243?D - 3D 二 32,W57 . 1145 229 70379 6劭宀—^65 一 133P*1320.设丄宀…： 是数域』 '中互不相同的数，665中任一组给洛鶯…也是数域两二212& =10 100 =20 4001000 18000 =6x1出1系数行列式- 0 03100-0.05400-0.0890030 9Q01 12A =12xl0\391000 -3 1 1sooo= ltf-5 2 4= -5000,27000-8 3 9^ = 1800, £=70 +勺』丹+…+町龙-+叼皿：=b n.把它看成关于''m ■"' --r：：的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式, 由互不相同可得系数行列式不为0,由克拉默法则，方程组解唯一，即满足…］的多项式唯一.21.设水银密度；与温度厂的关系式为h二口©十厘］t +僅/2 +殍*由实验测定得以下数据:t0n C icru 20" C30" Ch13.6013.5713.5513.52求'_ ' 1 ' 1时水银密度（准确到小数2位）.解：将实验数据代入关系式■■+」得:「％=13.60,術+10^ +100^2 +1000^3 = 13.57,砌 + 20d| + 400码+ 8000^ —13 55a a+ 30<a1+900a2 +27000 碍=13.52整理后得一'以z满足的方程组为:10^+100^+1000^ = -0 03, ；20^jj+400tZj + 8000lOj =—0.05,30^ + 900d2+ 27000^ = -0 08.故陽=1.5x10^,^ 二一3.3x10』2700013.6-4.2x10-^+ 1.5xW"l i;l-3.3xl0V.当心1兀，"1艮阪当“轲c时，"门乖健康文档放心下载放心阅读。
线性代数第二章习题及解答
··· ··· .. . ···
∗ ∗ . . .
2 a2 n1 + · · · + ann
(1)
(2)
2 2 由 A2 = 0 得到 a2 0 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n 于是 aij = ( ) 1 2 2 cos θ sin θ 8. 设 A = ,B = , C = 2 1 −2 − sin θ cos θ 2 −2 1
证明：|A−1 | =
|A| = ±1
1 |A|
注意到 A−1 的元素为正数所以其行列式必为整数， 即
1 |A|
为正数， 于是只有
若 |A| = ±1, 由于 A−1 = 整数.
A∗ |A|
注意到 Aij 为整数，于是 A∗ 的元素必为整数，则 A−1 的元素为
1 3 0 0 0
0 2
20 −1 −1 0 , P AP = 0 1 0 求 A 0 0 2 1 2 520 0 0 解：P AP −1 P AP −1 · · · P AP −1 = P A20 P −1 = 0 1 0 20 0 0 220 520 0 0 2 · 520 − 1 1 − 220 2 · 520 − 221 20 20 那么 A20 = P −1 2 · 520 − 221 0 1 0 P = 2 · 5 − 2 2 − 2 0 0 20 −520 + 1 −1 + 220 −520 + 221 19. 设 A, B, A + B 可逆， 证明 (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B
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因子是零，故 D 0 。 4．证明 由行列式定义知
D2
i1i2 , in
(1)
( i1i2 in )
(a1i1 b1i1 )(a 2i2 b 2i2 ) (a nin b n in )
i1i2 , in
(1) (1)
( i1i2 in )
3 6 3 0
n 2n 2n n! 。 n
解 12． （1）设所求行列式为 Dn ，将 Dn 按第一列展开，则
0 Dn a (1)
n n 1
0
0
1
a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 n 1
a n (1) n1 (1) n a n2 a n a n2
ai (b) n i x i 1 。
i 1 n
（3）设所求行列式为 Dn ，将 Dn 按第一ห้องสมุดไป่ตู้展开得：
Dn (1 x) Dn 1 yzDn 2 (1 x) Dn 1 xDn 2 ，
于是
Dn xDn 1 Dn 1 xDn 2 D2 xD1
因为
D 2 (1 x ) 2 x , D1 1 x ，
所以
Dn xDn 1 (1 x) 2 x x(1 x) 1 ，
故
Dn 1 xDn 1 1 x x 2 Dn 2 1 x x 2 x n 1 D1
D2 (1) ( n 1 n 21) D (1)
n ( n 1) 2
d。
解 6． （1） 左边行列式的展开式显然是关于 x 的 n 1 次多项式， 而且当 x 1,2, , n 1 时，行列式总有两行相同，从而行列式为零，故所求方程的根为 1,2, , n 1 。 （2）当 a1 0 时，左边的行列式为零多项式，从而任何数都是所求方程的根。 当 a1 0 时，左边行列式的展开式显然是关于 x 的 n 1 次多项式，而且当
1 x x 2 x n 1 x n 。
（4）设所求行列式为 Dn ，先将 Dn 从第 2 行起每一行都加到第 1 行，然后按第 1 行展 开，得递推公式
Dn a1 Dn 1 1 ，
于是
Dn a1 Dn 1 1 a1 (a 2 Dn 2 1) 1 1 a1 a1 a 2 Dn 2
D1 (1) n 1 D (1) n 1 d 。
将 D2 中最后一行自下而上与上一行逐行交换，共交换 n 1 次，设所得行列式为 A1 ， 再将 A1 中最后一行（即 D2 中倒数第二行）自下而上与上一行逐行交换，共交换 n 2 次， 设所得行列式为 A2 ，如此一直下去，变到 D 为止，于是
a1 x b1 a 2 x b2 a 3 x b3 c1 a1 a3 c1
2
c1 c3 b1 b2 b3 b1 b3 c1 c3 a1 a2 a3
c2 a2
a3 b3 x a1 a2 a3 a1 x
a2 x c2 a2 a 3 x c3 a1 b1 b2 b3 a1
c 2 b2 x a 2 x c 2 b2 x b2 a3 x c3 b3 x b3
x a1 , a 2 , , a n 1 时，行列式总有两行相同，从而行列式为零，因为 a1 , a 2 ,, a n 1 是互不
相同的数，所求方程是 n 1 次多项式方程，故所求方程的根为 a1 , a 2 , , a n 1 。 证明 7． （1） 当 n 2 时，
x1 1 x1 2 x1 x 2 ； x2 1 x2 2
5,7,,2n 1,, ， 2n 2 前面有 1 个较大的数 2n 1 ， 2n 前面没有较大的数，所以该排
列的逆序数
(1,3,5,,2n 1,2,4,6,,2n)
n 1 n 2 1
于是 当 n 4k ,4k 1 ，因为
n(n 1) ， 2
4
ci
解 11． （1）原式
i 1, 2 ,, n 1
k i 1
ck
n
n(n 1) 2 0 0 0
* 1
* 2
n
0
0
(n 1)
n(n 1)! 。 2 1 2 0 2 ri r1 （2）原式 0 0 i 2 , 3,, n 0 0 (1) n 1
0 x 0 0 x 0 0 c1 c2 , c3 c4 x 1 x 0 1 xA21 x 0 0 y 0 0 0 y 1 y 1 y 0 1 y 1 y
xyA32 xy
x 0 x2 y2 。 0 y
解 9． 将 D 中第三行元素换成 5,5,5,3,3 后所得行列式为 D1 ，显然 D1 0 。 又将 D 中第三行元素换成 2,2,2,1,1 后所得行列式为 D2 ，显然 D2 0 。 现将 D1 , D2 分别按第三行展开，得
当 n 2 时，将行列式的第一列乘以 (1) 后，加到其余各列，则
原式
x1 1 1 n 1 x2 1 1 n 1 xn 1 1 n 1
0。
（2）当 n 2 时，
1 2 2 ； 3 4
当 n 2 时，将行列式的第一行乘以 (1) 后，加到其余各行，则
第二章 行列式补充题参考答案
解 1． （1）因为 1 前面有 1 个较大的数 2k ， 2 前面有 2 个较大的数 2k ,2k 1 ， 3 前面 有 3 个较大的数 2k ,2k 1,2k 2, , k 前面有 k 个较大的数 2k ,2k 1, , k 1 ；k 1 前面 有 k 1 个较大的数 2k ,2k 1, , k 2, ，2k 1 前面有 1 个较大的数 2k ，2k 前面没有较 大的数，所以该排列的逆序数
, 最后将 n 1 与前面的 k n 1 数自右向左分别作对换 (k n 1 次 ) ，则 n 1 排在排列第 n 1
位，即对排列 i1 , i 2 , , i n 作 k1 k 2 , k n 1 k 次对换变成排列 1,2,3, , n 。 （2）不一定，例如排列 4,1,3,2 的逆序数是 4 ，但是只要用下列 2 次对换就可变成
1,2,3,4 ： 4,1,3,2 2,1,3,4 1,2,3,4 。
证明 3． 因为 n 阶行列式 D 有 n 个元素， 已知 D 中是零的元素多于 n n 个， 所以 D
2 2
中非零的元素少于 n ( n n) n 个，故 D 的展开式 n! 项代数和中，每一项至少有一个
5( A31 A32 A33 ) 3( A34 A35 ) 0 ， 2( A31 A32 A33 ) ( A34 A35 ) 0
解得 A31 A32 A33 0 和 A34 A35 0 。 10．答案： （1） 4313100 ； （2） 18 ； （3） 48 ； （4） x ； （5） 20 ； （6） 5 。
(2k ,1,2k 1,2,2k 2,3, , k 1, k )
(1 2 k ) (k 1 k 2 1)
(k 1)k k k 2 ，
显然所给排列的奇偶性与 k 的奇偶性相同。 （2）所给排列的前一部分奇数之间不构成逆序，我们只需讨论后一部分偶数之间的逆 序。 因为 2 前面有 n 1 个较大的数 3,5, ,2n 1 ， 4 前面有 n 2 个较大的数
1 2 3 n n n 原式 2n 2n 2n (n 1)n (n 1)n (n 1)n
a1 b1 x
证明 8． （1） a 2 b2 x
n n 2n 0 。 (n 1)n
a1 a3 a1 x b1 a 2 x b2 a3 x b3 b1 x b3 x c1 c2 0 c3 a1 x c1 c3 c1 b1 x b3 x b1 x a1 x b1 a3 x b3 b1 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c 2 b2 x a 2 x b2
k k1 k 2 , k n 1 。
现在在在排列 i1 , i 2 , , i n 中，将 1 与前面的 k1 个数自右向左分别作对换 ( k1 次 ) ，则 1 排 在排列第 1 位，再将 2 与前面的 k 2 个数自右向左分别作对换 ( k 2 次 ) ，则 2 排在排列第 2 位，
0 a2 a3
2
c 2 x b2 c3 b1 b2 b3 c1 c2 。 c3
(1 x ) a 2 a3
（2）
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
x x 0 0 r1 r2 , r3 r4 1 1 x 1 1 0 0 y y 1 1 1 1 y
n(n 1) 为偶数，所以排列是偶排列； 2 n(n 1) 当 n 4k 2,4k 3 ，因为 为奇数，所以排列是奇排列。 2
证明 2． （1）设在排列 i1 , i 2 , , i n 中，比 1 大且排在 1 前面的数有 k1 个，比 2 大且排在 2 前面的数有 k 2 个， , 比 n 1 大且排在 n 1 前面的数有 k n 1 个，则
(a1i1 a 2i2 a nin )b (1 2 n ) ( i1 i2 in ) a1i1 a 2i2 a nin
( i1i2 in )
i1i2 , in
D1 ，
（ 因为 i1 , i 2 , , i n 是 1,2,3, , n 的一个排列，所以 i1 i 2 i n 1 2 n ） 。 解 5． 将 D1 中最后一行自下而上与上一行逐行交换，共交换 n 1 次，则 D1 变为 D ， 于是