高等代数《行列式》部分习题及解答

高等代数《行列式》部分习题及解答
例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；
2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.
答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.
例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？
答：()1
12
n n k --
例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000
202).0001
000
n n -
00100
2003).100000
0n n
-
答：1）.原行列式()()
()
()1,1,,2,12
1!1!n n n n n n τ--=-=-
2）.原行列式()1
1!.n n -=-
3）.原行列式()
()()
122
1!n n n --=-.
例5：由行列式定义计算()2121
11
321111x x x f x x x
-=
中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()
()
213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.
例6：由
1111
11
=0111
，证明：奇偶排列各半.
证明：由于12n j j j 为奇排列时()
()
121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排
列，则上述行列式()
(
)
()
(
)
12121212110.n n n
n
j j j j j j j j j j j j l k ττ=
-+
-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.
例7：证明11
111111122
22
222
222b c
c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：11
11
1111111111111
112222
22222
222
22
222
2
2
2222.2b c
c a a b
a
c a
a b
a
a b a c
a
b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：
1214
0121
1).
0021
0003
-；112
2).321014
-的全部代数余子式. 答：
111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.
A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-
1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：
11112113
1).1225
4321
-；1
1
1121
1213
2).11113211
1
2
-
--；01214
201213).135
12331212
10
3
5
-- 答：111111111111011501150115
1).= 1.011400010012012300120001
---------==-=-------原式
13
2).12
-
3).483
-. 例10：计算下列n 级行列式： 000
000
1).;000000x y x y x y
y
x
1112121
2221
22).
n n
n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------
122222223).;2232222n
1231
110004)..0220
00
11n n n n
-----
答：()()1
1
000
00
000
0000000
1).11.000000000
00
000
0n n n n x
y x
y y
x y x x
y x y x y x y x y
y y
x
x
x
y
++=+-=+-
2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.
()1222
1000222222223).22!22320010
2220002n n n -==-⋅--
（利用第2行（列）的特点）
()
()11
2
3
1
11000
1!
4).1.0220
02
11n n n
n n n
---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组12341234
12341234232633325323334
x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.
答：2
132
3
332700
31123131
d --=
=-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132
5332
70;31124131d -
-=
=-----22632
3532
70;33123431d =
=---321623352
70;31323141
d --=
=----421363335
70;
31133
13
4
d --=
=----
所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====
例12：求
1
212121
2
111222,n n
n
n
j j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑
这里
12n
j j j ∑
是对所有n 级排列求和.
答：对每个排列12n j j j ，都有：
()
()
1
212121
2
1111112122221222121.n n n
n
j j j n j j j j j j n
n n nn
nj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在
全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!
2n 个.所以1
212121
2
1112220n n n
n
j j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑
.
例13：计算n 级行列式：
1
2
22212
2221212
1
11.n
n
n n n n
n
n n n
x x x x x x x x x x x x ---
答：作范德蒙德行列式：1
2
1
222212
1
11111121
12
1
1111.n n n n n n n n n n n
n
n n
n n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=
将这个行列式按最后一列展开，展开
式中1
1n n x -+的系数的(
)11n n
++-倍就是所求行列式D ，因为()111
,j
i i j n D x
x ≤<≤+=
-∏所以
()()()()11
1
11
11
1.n
n
n n
j
i k j
i k k k i j n i j n D x
x x x
x x ++==≤<≤+≤<≤+=---=
-∑∑∏∏。