高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答
例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；
2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.
答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.
例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？
答：()1
12
n n k --
例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000
202).0001
000
n n -
00100
2003).100000
0n n
-
答：1）.原行列式()()
()
()1,1,,2,12
1!1!n n n n n n τ--=-=-
2）.原行列式()1
1!.n n -=-
3）.原行列式()
()()
122
1!n n n --=-.
例5：由行列式定义计算()2121
11
321111x x x f x x x
-=
中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()
()
213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.
例6：由
1111
11
=0111
，证明：奇偶排列各半.
证明：由于12n j j j 为奇排列时()
()
121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排
列，则上述行列式()
(
)
()
(
)
12121212110.n n n
n
j j j j j j j j j j j j l k ττ=
-+
-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.
例7：证明11
111111122
22
222
222b c
c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：11
11
1111111111111
112222
22222
222
22
222
2
2
2222.2b c
c a a b
a
c a
a b
a
a b a c
a
b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：
1214
0121
1).
0021
0003
-；112
2).321014
-的全部代数余子式. 答：
111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.
A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-
1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：
11112113
1).1225
4321
-；1
1
1121
1213
2).11113211
1
2
-
--；01214
201213).135
12331212
10
3
5
-- 答：111111111111011501150115
1).= 1.011400010012012300120001
---------==-=-------原式
13
2).12
-
3).483
-. 例10：计算下列n 级行列式： 000
000
1).;000000x y x y x y
y
x
1112121
2221
22).
n n
n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------
122222223).;2232222n
1231
110004)..0220
00
11n n n n
-----
答：()()1
1
000
00
000
0000000
1).11.000000000
00
000
0n n n n x
y x
y y
x y x x
y x y x y x y x y
y y
x
x
x
y
++=+-=+-
2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.
()1222
1000222222223).22!22320010
2220002n n n -==-⋅--
（利用第2行（列）的特点）
()
()11
2
3
1
11000
1!
4).1.0220
02
11n n n
n n n
---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组12341234
12341234232633325323334
x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.
答：2
132
3
332700
31123131
d --=
=-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132
5332
70;31124131d -
-=
=-----22632
3532
70;33123431d =
=---321623352
70;31323141
d --=
=----421363335
70;
31133
13
4
d --=
=----
所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====
例12：求
1
212121
2
111222,n n
n
n
j j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑
这里
12n
j j j ∑
是对所有n 级排列求和.
答：对每个排列12n j j j ，都有：
()
()
1
212121
2
1111112122221222121.n n n
n
j j j n j j j j j j n
n n nn
nj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在
全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!
2n 个.所以1
212121
2
1112220n n n
n
j j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑
.
例13：计算n 级行列式：
1
2
22212
2221212
1
11.n
n
n n n n
n
n n n
x x x x x x x x x x x x ---
答：作范德蒙德行列式：1
2
1
222212
1
11111121
12
1
1111.n n n n n n n n n n n
n
n n
n n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=
将这个行列式按最后一列展开，展开
式中1
1n n x -+的系数的(
)11n n
++-倍就是所求行列式D ，因为()111
,j
i i j n D x
x ≤<≤+=
-∏所以
()()()()11
1
11
11
1.n
n
n n
j
i k j
i k k k i j n i j n D x
x x x
x x ++==≤<≤+≤<≤+=---=
-∑∑∏∏
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021
高等代数一考试试卷 一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中 是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a . 2．行列式1 3 4 02324a --中元素a 的代数余子式是 . A 、 0324-. B 、0324--. C 、14 03 -. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中,线性无关的是 . A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 . A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关. C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组. D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出. 6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分. 1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 00 000010 0200 1 00 -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23 232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 3231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 22 913 251323 2213 2 1 1 x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8171160451530169144 3 1 2 ----- 2．d c b a 1001100 110 1 --- 3．a b b b a b b b a D n = 4.
行列式习题(带答案)
一、填空题： 1. 0 04 00300 200 1000= D ＝ 24 。 2. 111 35 692536= 6 3.行列式 =f e d c b a 0 00 0000000abdf -。 4. 若行列式中各行元素之和均为0，则该行列式的值为 0 . 5. 设矩阵??????????=33 3 22 2111c b a c b a c b a A ，???? ??? ???=33 3 22 2 111 d b a d b a d b a B ，且4=A ，1=B ，则=+B A 20 6.设行列式x x x x x x D 22132121321 5= ，则D 的展开式中4 x 的系数是 10 ； 7. 3 2 881 441221 1111)(x x x x f --= 的根为 1，2，－2 。 8. ???? ??=2121b b a a A ，??? ? ??=21 21 22b b a a B ，2||=A ，则=+B A 2 24 。 二、选择题 1. 设行列式 2221 1211a a a a =m ， 2123 1113 a a a a =n ，则行列式23 2221 131211 a a a a a a ++等于（ D ） （A ） n m + （B ）-(n m +) （C ） m n - （D ）n m -
2. 已知行列式K x x x x x x x x x =33 32 31 232221 13 1211 ，则行列式111213112122232131 323331 1222312 22312223x x x x x x x x x x x x -- ----= （ D ） (A) 23K (B) –2 3 K (C) K (D) –K 3. 设行列式3 3 3 222 1 11 c b a c b a c b a =3，则3 3 3 222 1 11222222222c b a c b a c b a 的值为（ D ） （A ） 6 （B ） 3/2 （C ） 18 （D ） 24 三、解答题： 1. 计算行列式1 11011011011 0111= D 解：1 1 101 0101 1 000 111--= D 111101110--=3-= 2. 计算行列式12311211 01123024----的值 解：123112311211011250011200519302400010------==- 3.计算行列式a a a a D 1 001100 1 100 1---= 的值
高代行列式测试题
高等代数 《行列式》测 验 一 填空题（2'612'?=） 1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240 2. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +2 3. 00010020 03004 00 =( ). (A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12 4. 已知 11 121311111212132122232121222223313233 313132323341 42 4341 4142 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 11121311122122232122313233313241 42 43 4142 a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（ ）. (A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+ 5. 已知231421,1 1 1 D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立
6. 0001000 02 000 1 n n =-( ). (A) 1 (1)!n n +- (B) (1)2 (1)!n n n -- (C) (1)2 (1) !n n n +- (D)!n 二 填空题（2'816'?=） 1. 2011阶反对称行列式的值为 . 2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ， l = . 3. 排列(1)321n n -的逆序数为 , 13(21)24(2)n n -的逆序数为 . 4. 线性方程组 12120 40 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ满足 . 5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = . 6. 211203 101311 11 2 x x ----的展开式中2x 的系数为 . 7. 11111234 14916182764 = . 8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值 为1,2,5,4, 则行列式D = .
行列式习题讲解
1.计算下列三阶行列式． （1） 2 011411 8 3 --- （2） 3 212321 2 3 （3） 111a b c a b c a b c +++ （4） a b a b b a b a a b a b +++ 解 （1）2 011 411 8 3 --- 2(4)3181(1)(1)01(4)(1)(1)82310=?-?+??+-?-?-?-?---??-?? 248041604=-++-+-=-． （2）3212 3227443121281 2 3=++---=. （3）111a b c a b c a b c +++12311111a b c b c c c c a b c b c a b c b c +++++++++++++ 1 (1)1 11 1b c a b c b c b c =+++++1 00(1)1 1011 1 a b c a b c =+++=+++. （4）a b a b b a b a a b a b +++3 3 3 3 3 3()()2()ab a b a b a b a b =+-+--=-+. 2.求解下列线性方程组． （1）121223,23 4. x x x x +=?? +=? （2）co s sin ,sin co s . x y a x y b θθθθ-=?? +=? （3）12312312322,231,0.x x x x x x x x x -+=-??+-=??-+-=? （4）1 312312321,241,83 2. x x x x x x x x -=?? +-=??-++=? 解 （1）因为系数行列式12102 3 D = =-≠,从而计算 13214 3 D = =,21322 4 D = =-， 所以，方程组的唯一解为111D x D = =-,222D x D = =. （2）因为系数行列式2 2 co s sin co s sin 10sin co s D θθθθθ θ -= =+=≠,
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章） 第一章 多项式 习题解答 1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262 ()99 r x =-- （2）2 ()1q x x x =+-，()57r x x =-+ 2、（1）2100p m q m ?++=?-=? ， （2）由22 (2)010m p m q p m ?--=? ?+--=??得01m p q =??=+?或212 q p m =??+=?。 3、（1）4 3 2 ()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =-- 4、（1）有综合除法：2 3 4 5 ()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2 3 4 ()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）2 3 4 ()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++ 5、（1）x+1 （2）1 （3）2 1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222 ()133 v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3 2 ()32v x x x x =+-- 7、02u t =?? =?或2 3 u t =-??=? 8、思路：根具定义证明 证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。另设()x ?是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ?。 由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。从而()()x f x ?，()()x g x ?，可得()()x d x ?。即证。 9、证：因为存在多项式u （x ），v （x ）使（f （x ），g （x ））=u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ），所以 （f （x ），g （x ））h （x ）= u （x ）f （x ）h （x ）+v （x ）g （x ）h （x ），上式说明（f （x ），g （x ））h （x ）是f （x ）h （x ）与g （x ）h （x ）的一个组合。 另一方面，由((),())()f x g x f x 知((),())()()()f x g x h x f x h x 。同理可得 ((),())()()()f x g x h x g x h x 从而((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又 因为((),())()f x g x h x 的首相系数为1，所以(()(),())()((),())()f x h x g x h x f x g x h x =。
高等代数(北大版)第2章习题参考答案
第二章 行 列 式 1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1; 解:1) 所求排列的逆序数为: ()1011033110134782695 =+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。 2) 所求排列的逆序数为: ()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。 3) 所求排列的逆序数为: ()()362 19912345678987654321=-=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。 2.选择i 与k 使 1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。 解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为: ()() 10 011314001274856399561274=+++++++==ττk i ， 故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。 2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为: ()() 5 110110101325648974897251=+++++++==ττk i ， 故当6,3==k i 时的排列为奇排列。 3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。 解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→ −。 4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。 解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序, ……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为
高等代数与解析几何1~4章习题答案
高代与解几第二章自测题（一）——行列式 一、 判断题 1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. 2≥n 时，n 级的奇排列共 2 ! n 个. （ √ ） 二、填空题 1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) . 2. 设行列式ij n n D a ?=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 . 3. 行列式D ＝x x x x x x 22133212 323 21--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 . 5. 设8 271849142 3123 267 ----= D ，则14131211M M M M -+-= 240 . 二、证明题 3. n n D n 2 00 12 000302202002210002----= （提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. n D n 22223222 2222221=（提示：爪型行列式）
高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组 一、 判断题 1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×） 2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ） 3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √） 4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ） 5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题 1. 54?矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___???? ?? ? ? ?00 0000000000010 00001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n . 三、计算与证明题 1. 求齐次线性方程组?????? ?=+++=++++=-++=++++0 4523,05734, 03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得 A ＝??????? ? ?-452 30573411110312111 →??????? ??----45230452304523012111→?? ?? ??? ? ??-→??????? ??000 00000343532103131310100 00 00 00004523 0121 1 1 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：…… 2. 解线性方程组123412341234 21,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=?? +-+=??+--=? 解 方程组的增广矩阵为： B = ?????112224112--- 111- 1 21???? ? ，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答 例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列； 2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换. 答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→. 例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？ 答：()1 12 n n k -- 例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000 202).0001 000 n n - 00100 2003).100000 0n n - 答：1）.原行列式()() () ()1,1,,2,12 1!1!n n n n n n τ--=-=- 2）.原行列式()1 1!.n n -=- 3）.原行列式() ()() 122 1!n n n --=-. 例5：由行列式定义计算()2121 11 321111x x x f x x x -= 中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项() () 213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1. 例6：由 1111 11 =0111 ，证明：奇偶排列各半. 证明：由于12n j j j 为奇排列时() () 121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排
[高等代数(上) 第二章 行列式课外习题]
高等代数(上)第二章 行列式课外习题 一、判断题 1、在矩阵的初等变换之下其行列式的值不变. ( ) 2、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ） 3、设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （ ） 4、奇数阶的反对称行列式一定为零（ ）； 5、若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ） 6、如果行列式0=D ，则D 中必有一行为零。 （ ） 7、ij ij A a D ,3 3⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a （ ） 8、若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过2 n n -个，则这个行列式的值等于零。（ ） 9、如果行列式D 各行元素之和等于0，则必有0=D 。 （ ） 10、若行列式有两行对应元素成比例, 则行列式的值为0. ( ) 二、选择题 1、以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .3145122453a a a a a ； B .4554421233a a a a a ； C ．2351324514a a a a a ； D .1332244554a a a a a 2、 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立； B . 甲不成立, 乙成立； C .甲, 乙均成立； D ．甲, 乙均不成立 3、设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则 112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。 A . D B . D - C ./ D D ． (1)n D - 4、行列式4 10 3 26 5 7 a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ． 4067- B ．4165 C ．40 67-- D ．41 65 - 5、 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .11233344a a a a ； B .14233142a a a a ； C ．12233144a a a a ； D .23413211a a a a
高等代数一试题及参考答案
高等代数一考试试卷 一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中;错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中 是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a . 2．行列式1 3 4 02324a --中元素a 的代数余子式是 . A 、 0324-. B 、0324--. C 、14 03 -. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中,线性无关的是 . A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=. D 、{}12,, ,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 . A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关. C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组. D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出. 6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分. 1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1 计算下列行列式： ① 53 12--+a a ② 2 1 2 313121 +----a a a 解 ① 5 3 12--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2 -3a-7 ② 2 1 2 31312 1 +----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2) = a 3 +2a 习题3.2 求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0= 2 ) 1(-n n 习题3.3 1.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？ 解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号． 又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算： 000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以 000400010002000 30005 0000=5×3×2×1×4=120 习题3.4 计算：
高等代数考研真题 第二章 行列式
第二章 １．（北师大2003－25） １．计算行列式87162534的逆序数，并依次将上述排列变成12345678的所有对换 2．设n 个数码的排列121n n i ,i ,...i ,i -的逆序数是k ，那么排列321n n n i ,i ,...i ,i i -的逆序数是多少？请说明理由。 ２．计算下列行列式（每小题6分，共12分） D= 2 132301211432 2 1 1 ---的值。 3.（成电科大，2003）计算下列行列式（每小题6分，共12分） 1.32222 3222 2322 2 2 2 3 n ......D ..................=D ．＝ 2.2 3 232 3 122 2 111114441 5 5 5 D = 4.（中科武汉2004－15）计算行列式 1 111111222221223331 2 3 4 111111n n n ...b a a a ...a a b b a a ...a a D b b b a ...a a .....................b b b b ... b a =
5（成电科大2004－10分）求证：1 2 123411123211 123211 1431121 1 n n n ...n n ...n n x ...n n D ()x x x ...n n .....................x x x (x) x x ... x +------==--- 6.(北工大，2002－10分)计算行列式0121 110001000100010 n n n a ...a x ...a x ...D ..................a ...x a ... x +-----的值。 7(东北大学，2001－10分)计算下列行列式1 1 1 1 2n n n n n a c a c D (n )d b d b = 8.（东北大学，2002－10分）11 111n a a a D a a +--+= --+ 9．（北航，2001 10分）已知a>>0，证明n 阶行列式10001 1000100000010 1 a ...a ...a ...D (n ).....................a ... a --= ≥--
高等代数_李海龙_习题第3章行列式
第三章 行列式 3.2 排列 1．计算下列排列的反序数: (i)523146879; (ii),1,,2,1;n n - (iii)2,1,21,2,,1,.k k k k -+ 解：（ⅰ） ()523146879010013117π=+++++++=； （ⅱ）()(1) ,1,,2,1(1)(2)22 n n n n n n π--=-+-++= ； （ⅲ） ()()2 2,1,21,2,,1,2(121)k k k k k k k π-+=+++-+= ． 2．假设n 个数码的排列12,,,n i i i 的反序数是k ，那么排列121,,,n n i i i i - 的反序数是多少？ 解：不妨设排列123,,,,n i i i i 是由n 个数码1,2,3,,n 组成的一任意排列，所有比1大的有1n -个，比2大的有2n -个，…， 比1n -大的有1个．并设在123,,,,n i i i i 的排列中，由1构成的反序数为1m ，由2构成的反序数为2m ，…，由n 构成的反序数为n m ，则此排列的反序数为121n m m m k -+++= 且在排列1,,n i i 中由1构成的反序数为1(1)n m --，由2构成的反序数为2(2)n m --，…，由1n -构成的反序数为1[(1)]n n n m ----，故此排列的反序数为：[ ][]12(1)(2)n m n m --+--++ ()1(1) (1)2 n n n n n m k -----= -⎡⎤⎣⎦ 3．写出4个数码的一切排列. 解：略. 3.3 n 阶行列式 1． 确定六阶行列式 111216 212226616266 a a a a a a D a a a =
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式 4 4⨯=ij a D 中,含 24 a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设.21 22221 11211d a a a a a a a a a nn n n n n = 则._____1 221 22 211 12 1=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 11111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=112112122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）×
线性代数行列式习题+答案
第一章习题 1-1．计算下列行列式 （1）713501 1 63.（2）4 3216 5100 5311 021.（3）2 2 2 111a b c a b c . （4） 20 1041106 3 14321111 1.（5） 49 36251636 2516925 169 416 941. 1-2．计算行列式a b c d b a d c c d a b d c b a . 1-3．计算n 阶行列式 （1）n 32133212 2211 111.（2） 1 432 1432 1132 1312 1321n n n n n n n n ---.（3）2 1111121111211 112 ------． 1-4． 证明： （1）2 2 2111 2 22 22 211111 12c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++. （2）3 2 1 321 3213 3 23 213323 213323 21c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++.
（3） 22224 4 4 4 1 111a b c d a b c d a b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++. 1-5．计算行列式x y y x y x y x 0 0000 000 00 . 1-6．计算4阶行列式 1 122334 4 0000000 a b a b b a b a . 1-7． 如果行列式 ∆=nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211，试用∆表示行列式n nn n n n n a a a a a a a a a a a a 112 11 21 33231 22221 的值． 1-8．利用克莱姆法则解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=+-+-=+-=--=+-+0 674522963852432143242 14321x x x x x x x x x x x x x x . 1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？ 12120 x x x x λλ+=⎧⎨ +=⎩ 1-10.已知()4 1357 1200=10301004 ij D a = ，求11121314A A A A +++.
线性代数(本)习题册行列式 - 习题详解(修改)(加批注)
||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ） (A ） b a d c d c b a - = ； （B ） a c b d d c b a = ； (C ） d c b a d c d b c a = ++33; (D ） d c b a d c b a ----- =. 答案:D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． （A)保持不变； （B)可以变成任何值； (C ）保持不为零； (D ）保持相同的正负号． 答案:C 二、填空题 1。 a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2。 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = 。 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3。函数x x x x x f 12 13 1 2)(-=中，3x 的系数为 ; x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 。 答案：-2；—2。
||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 4。n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案:5。 6。若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2。 7。在n 阶行列式ij a D =中，当i 《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。 (1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2 8、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+2,1-210、(f(x)h(x),g(x))=1 11、 p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 14、f(x)|h(x) 15、 f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可约多项式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x)《高等代数》(上)题库