空间向量与立体几何

空间向量与立体几何一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(---C ．)4,1,3(D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78 D ．1419 6．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．07．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中不正确命题的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① x 、y 、z 均为直线； ② x 、y 是直线，z 是平面；③ z 是直线，x 、y 是平面；④ x 、y 、z 均为平面。

其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是A ③ ④B ① ③C ② ③D ① ②9．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是 A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。

2．若向量,194,112），，（b ），，（a =-=，则这两个向量的位置关系是___________。

3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥b ，则=x ______；若//a b 则=x ______。

4．已知向量),,1,3(,1,5,r b ）（m a =-= 若//a b 则实数=m ______，=r _______。

5．若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a-，则a 与b 的夹角为____________。

6．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =，则=z y x ::________________。

7．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O===,,，用a ，b ，c表示N M ，则N M =_______________。

8．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 。

三、解答题1． 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

（1）求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 的夹角；（3）求截面ADMN 的面积。

2．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12P A A D D C ===，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 夹角的余弦值。

3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面A B C D ，3AB =，1BC =，2PA =，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 夹角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离.4．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离.5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE EC ⊥. 已知,21,2,2===AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E PC D --的大小.空间向量与立体几何训练题（理科）参考答案一、选择题 DACAC DBCCA 二、填空题1．212- 2．垂直 3．10,63- 4．115,5- 5．0 6．2:3:(4)- 7．1()2b c a +- 8．33三、解答题1．解：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示（图略）由22====BC AB AD PA ，得(0A ，1(0,0,2),(2,0,0),(1,,1),(0,2,0)2P B M D因为3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=-- 0= ，所以DM PB ⊥。

（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=,所以PB AD ⊥，又DM PB ⊥ ， 故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量。

设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-。

则|||4|1sin |cos ,|2||||4444BD PB BD PB BD PB θ⋅-=<>===+⨯+，又[0,]2πθ∈，故6πθ=，即BD 与平面ADMN 所成的角是6π。

因此BD 与平面ADMN 所成的角为6π， （3）由,M N 分别为PB PC ,的中点，得//MN BC ，且1122MN BC ==， 又//AD BC ，故//MN AD ，由（1）得⊥AD 平面PAB ，又AN ⊂平面PAB ，故AD AN ⊥，∴四边形ADMN 是直角梯形，在Rt PAB ∆中，2222PB PA AB =+=，122AN PB ==， ∴ 截面ADMN 的面积11152()(2)22224S MN AD AN =+⨯=+⨯=。

2．以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD .（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.303042||,||,.cos(,).5553||||2arccos().3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-⋅-故所求的二面角为3．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅⋅=PB AC PBAC θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为31,6. 4．解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .∵1AEC F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由，⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则.333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅⋅=n CC n CC α ∴C 到平面1AEC F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 5．解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==ca b a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1ACD 的距离为.313212||||1=-+=⋅=n n E D h （3）设平面1D E C的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n C D n 令1,2,2b c a x=∴==-，∴).2,1,2(x n -=依题意.225)2(222||||||4cos211=+-⇒=⋅⋅=x DD n DD n π∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴23AE =-时，二面角1D EC D --的大小为4π. 6．解：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)D P C ，设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(，又PD DE ⊥，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线 PD ,CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG PC ⊥，可设(0,,)G y z .由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF PC ⊥于F ，设(0,,)F m n ，则).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得，又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故因,,PC DG PC EF ⊥⊥故E PC D --的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ==⋅=EF DG EF DG 即二面角E PC D --的大小为.4π。