高中数学人更改版教A版必修5《3.2.5一元二次不等式的恒成立问题》课件
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【高中课件】高中数学人教A版必修五3.2.1一元二次不等式及其解法课件ppt.ppt
12
④当 Δ=0 时,解方程 ax2+bx+c=0 得两个相等的实根 x1,x2,则 ax2+bx+c>0 的解集为{x|x≠x1}; ax2+bx+c≥0 的解集为 R; ax2+bx+c<0 的解集为⌀ ; ax2+bx+c≤0 的解集为{x|x=x1}.
12
⑤当 Δ<0 时,方程 ax2+bx+c=0 没有实根,则 ax2+bx+c>0 的解集为 R; ax2+bx+c≥0 的解集为 R; ax2+bx+c<0 的解集为⌀ ; ax2+bx+c≤0 的解集为⌀ .
A.1
B.2
答案:B
C.3
D.4
12
2.一元二次Leabharlann 等式的解集(1)一元二次不等式的解集如下表:
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两个相异实根 x1,x2(x1<x2)
有两个相等实根 x1=x2=-2������������
ax2+bx+c≥0
的解集是⌀ ,则有
Δ
=
a < 0, b2 -4ac
<
0.
如果一元二次不等式
ax2+bx+c<0
的解集是⌀ ,则有
Δ
=
a > 0, b2 -4ac
高中数学人教A版必修五：3.2一元二次不等式及解法(一)(共14张PPT)
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x <x2 }
△=0 y
O x1
x
{x|x≠
b 2a
}
Φ
△<0 y
x O
R Φ
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
x1
1 2
,
x2
2
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1 2
, 或x
2.
变式:解不等式 - 2x2+3x+2 < 0
先求方程的根 然后想像图象形状
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
求一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)解集的一般步骤 :
①判断△的符号 ； ②若△<0,则不等式的解集为R;
③若 0，求出方程ax2 bx c 0的两根；
x -3 x 4，求不等式bx2 2ax c 3b 0的解集.
例6：解关于x的不等式ax2 (1 a)x 1 0.
④结合y=ax2+bx+c的图象，写出不等式解集
若a<0时,先变形!
例2：求不等式4x2 4x 1 0的解集
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
x1
x2
1 2，
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
例3：解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
x2 2x 3 0
△ =-8<0
所以,原不等式的解集是Φ
一元二次不等式及其解法课件ppt(人教A版必修5)
例4.不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 {x | x }, 求 a, b. 2 3 1 1 2 , 是方程 ax bx 2 0 解:由题意可得,
2 3
的两个根,且a<0.
1 1 b 2 3 a 1 1 2 2 3 a
解得:
a 12, b 2.
的解集
x | x1 x x2
例题选讲
题型二.不含参数的一元二次不等式的解
例2.解下列不等式
(1)2x 5x 3 0
2
(2) 3x 15x 12 2 (3) 3x 6 x 2
2
(4)4x 4x 1 0
2
练习:P80 1
2
(5) x 2x 3 0
2
取值范围. 2.已知 A {x | x2 x 6 0}, B {x | x2 2x 8 0},
C {x | x2 4ax 3a2 0}, 若 A
B
题型八. 应用问题
一元二次方程
2
与x轴交点的横坐标。 下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
一元二次不等式的解集如下表
b 2 4ac
二次函数
0
y
0
y
y
x1 = x2
0
0
没有实根
y ax2 bx c(a 0)
的图像 一元二次方程
x1
0
x2 x
0
x
x
ax2 bx c 0(a 0)
变式：已知关于x的不等式(a b) x (2a 3b) 0 1 的解集为(, )，求关于x的不等式 3 (a 3b) x (b 2a) 0的解.
高中数学人教A版必修5《3.2.5一元二次不等式的恒成立问题》课件
例4 在R上定义新运算：x*y=x(1-y)，
若不等式 (x-a)*(x+a)<1对任意 实数x恒成立，求a的取值范围。
x2 x a2 a 1 0
解法1：常规方法不等式ax2 ax 2 0恒成立 求a的取值范围。 2.关于x的不等式ax2 2ax 1 0恒成立 求实数a的取值范围
求a的取值范围。
例例23.关于x的函数y mx2 6mx m 8
恒有意义，求实数m的取值范围
定义域为R
例3已知 f(x) x2 2(a 2)x 4
(1)如果对于一切 x R , f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围 (2)如果对于一切 x [-3,1] , f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围
一元二次不等式的恒成立问题
一、问题引入 — 解下列不等式
1.x2 x 3 0
不2等.3式x 2的解2 x集为1R
0
解集为R, 称之为 “恒成立”
对3任.2意x2（所2x有、3 一 0切）实数都成立
不这些等不式等x式2-所x对+3应≤的0二的次解函数集的为开空口方集向
以及判别式有什么共同特征？
以上开几口种向说上法，是否 完0 全相同？
3.若关于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 2 0 恒成立，求实数a的取值范围
他想，继续这样混下去，只能静静地躺在海中，无声地被海水埋没，永远没有出头之日。发现了它原来是个死东西以后，它走近它，由于好奇，把它从两边敲了敲，它高兴地想道：“哎呀，我好歹找到 吃的东西了!这个东西一定是填满了肉和脂肪的。饥饿的巨蛇赶紧接受了邀请。
关于x的不等式ax2 bx c 0恒成立的条件是什么？
a 0 0
或a b 0且c 0
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
高中数学人教A版必修5《5一元二次不等式的恒成立问题》课件 公开课一等奖课件
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
x ax 2 例 ax 0 0恒成立 例 11.关于x的不等式x
2 2
求a的取值范围。
例 3.关于x的函数y 例 2
定义域为R
已知 f(x) x 2 2(a 2)x 4 (1)如果对于一切 x R , f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围 (2)如果对于一切 x [-3,1] , f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
版高中数学人教版a版必修五课件§ 一元二次不等式及其解法
解析答案
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
解析答案
(2)1＋x－x3－x4＞0；
解 原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0， 而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0， ∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0， ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}.
解析答案
(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0. 解 原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0， 进一步化为x－32x－43x－12(x－2)＞0， 如图所示，得原不等式的解集为x|x＜12或43＜x＜32或x＞2.
将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
{a|0<a<4}
B.
当堂检测 题型探究
重点突破
能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
解 原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，
自查自纠
这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.
思考 (x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为_{_x_|1_＜__x_＜__2_或__x_＞__4_}_. 解析 利用数轴穿根法
答案
知识点三 一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成 a＞0 ，
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
解析答案
(2)1＋x－x3－x4＞0；
解 原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0， 而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0， ∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0， ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}.
解析答案
(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0. 解 原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0， 进一步化为x－32x－43x－12(x－2)＞0， 如图所示，得原不等式的解集为x|x＜12或43＜x＜32或x＞2.
将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
{a|0<a<4}
B.
当堂检测 题型探究
重点突破
能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
解 原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，
自查自纠
这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.
思考 (x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为_{_x_|1_＜__x_＜__2_或__x_＞__4_}_. 解析 利用数轴穿根法
答案
知识点三 一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成 a＞0 ，
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发自行业组织的许多积极有益的对话交流，让许多厨房龙头水槽厂家及时地发现到发展中出现的问题，通过沟通交流共同解决问题成为了中国水龙头行业的一种常态。厨房龙头水 槽:https:///kitchen_faucets
互联网只是一种发展的模式，尤其对于传统制造的水龙头行业来说，借力互联网不仅可以帮助提升品牌影响力，也能帮助企业收获更大的发展空间。但需要对员工事前做好培训工作，每个人都要形成 服务意识，并成为行为习惯。，在水龙头产品中嵌入服务，产品本身就能体现企业对消费者的关怀
课堂练习
1.关于x的不等式ax2 + ax + 2 0恒成立 求a的取值范围。 2.关于x的不等式ax2 − 2ax − 1 0恒成立 求实数a的取值范围
3.若关于x的不等式(a2 − 1)x2 + (a + 1)x + 2 0 恒成立，求实数a的取值范围
一元二次不等式的恒成立问题
一、问题引入 — 解下列不等式
1.x2 − x + 3 0
不2等.3式x 2的−解2 x集+为1R
0
解集为R, 称之为 “恒成立”
对3任.2意x2（−所2x有+、3 一 0切）实数都成立
不这些等不式等x式2-所x对+3应≤的0二的次解函数集的为开空口方集向
以及判别式有什么共同特征？
例例11.关于x的不等式x−2x+2 +aaxxƧ.关于x的函数y = mx2 − 6mx + m + 8
恒有意义，求实数m的取值范围
定义域为R
例3已知 f(x) = x2 + 2(a − 2)x + 4
(1)如果对于一切 x R , f(x) 0 恒成立，求 a 的取值范围 (2)如果对于一切 x [-3,1] , f(x) 0 恒成立，求 a 的取值范围
例4 在R上定义新运算：x*y=x(1-y)，
若不等式 (x-a)*(x+a)<1对任意 实数x恒成立，求a的取值范围。
x2 − x − a2 + a + 1 0
解法1：常规方法 解法2：配方法
解法3：分离参数法
当品牌深入人心，消费者才能上升成具有一定忠诚度的粉丝。不要仅仅站在自己角度盲目销售出产品就完成任务，多站在客人的实际情况考虑，从而给出针对性高品质建议。只有在企业产品品质达到一 定的水平之后，再谈宣传、推广，才能在品牌实力的基础上借力互联网为水龙头企业的发展提供更大的动力，在牢固的品牌实力的支撑之下再去宣传产品、品牌，最后也不至于在消费者那里落得一个 “华而不实”的说法。
以上开几口种向说上法，是否 完0 全相同？
关于x的不等式ax2 + bx + c 0恒成立的条件是什么？
a 0 0
或a = b = 0且c 0
要善于运用图像解决问题， 这种方法叫做数形结合
关于x的不等式ax2 + bx + c 0恒成立的条件是什么？
a 0
0
或a = b = 0且c 0
互联网只是一种发展的模式，尤其对于传统制造的水龙头行业来说，借力互联网不仅可以帮助提升品牌影响力，也能帮助企业收获更大的发展空间。但需要对员工事前做好培训工作，每个人都要形成 服务意识，并成为行为习惯。，在水龙头产品中嵌入服务，产品本身就能体现企业对消费者的关怀
课堂练习
1.关于x的不等式ax2 + ax + 2 0恒成立 求a的取值范围。 2.关于x的不等式ax2 − 2ax − 1 0恒成立 求实数a的取值范围
3.若关于x的不等式(a2 − 1)x2 + (a + 1)x + 2 0 恒成立，求实数a的取值范围
一元二次不等式的恒成立问题
一、问题引入 — 解下列不等式
1.x2 − x + 3 0
不2等.3式x 2的−解2 x集+为1R
0
解集为R, 称之为 “恒成立”
对3任.2意x2（−所2x有+、3 一 0切）实数都成立
不这些等不式等x式2-所x对+3应≤的0二的次解函数集的为开空口方集向
以及判别式有什么共同特征？
例例11.关于x的不等式x−2x+2 +aaxxƧ.关于x的函数y = mx2 − 6mx + m + 8
恒有意义，求实数m的取值范围
定义域为R
例3已知 f(x) = x2 + 2(a − 2)x + 4
(1)如果对于一切 x R , f(x) 0 恒成立，求 a 的取值范围 (2)如果对于一切 x [-3,1] , f(x) 0 恒成立，求 a 的取值范围
例4 在R上定义新运算：x*y=x(1-y)，
若不等式 (x-a)*(x+a)<1对任意 实数x恒成立，求a的取值范围。
x2 − x − a2 + a + 1 0
解法1：常规方法 解法2：配方法
解法3：分离参数法
当品牌深入人心，消费者才能上升成具有一定忠诚度的粉丝。不要仅仅站在自己角度盲目销售出产品就完成任务，多站在客人的实际情况考虑，从而给出针对性高品质建议。只有在企业产品品质达到一 定的水平之后，再谈宣传、推广，才能在品牌实力的基础上借力互联网为水龙头企业的发展提供更大的动力，在牢固的品牌实力的支撑之下再去宣传产品、品牌，最后也不至于在消费者那里落得一个 “华而不实”的说法。
以上开几口种向说上法，是否 完0 全相同？
关于x的不等式ax2 + bx + c 0恒成立的条件是什么？
a 0 0
或a = b = 0且c 0
要善于运用图像解决问题， 这种方法叫做数形结合
关于x的不等式ax2 + bx + c 0恒成立的条件是什么？
a 0
0
或a = b = 0且c 0