数学思想方法在数列解题中的应用
数学思想方法在数列解题中的应用
关键词：数学思想方法；数列；应用
数列问题是高中数学的重要内容，学生普遍认为是高中阶段数学内容较难学的章节之一，其涉及的基础知识、基本技能较广泛，也包含了几乎所有的数学思想.
数列是一种特殊的函数，解数列题时要注意运用函数与方程的思想方法，同时也要注意运用整体的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想等数学思想与方法去解题.以下是本人多年教学的一点体会，介绍一下常用的几种数学思想方法在数列解题中的应用.
一、方程思想
等差数列或等比数列的通项公式、前n项和公式中共含有五个量，如果已知其中的任意三个量，通过解方程（组）可求出其余的两个量.
例1.a1=20，an=54，sn=999，求n与d.
解：∵sn=■，即■=999，易得n=27
又an=a1+（n-1）d，即20+26d=54，d=■
∴n=27，d=■
此题虽然是一道基础题，但是却蕴涵着《数列》这一章基本知识点考查的基本解题方法——代基本公式，解方程求未知量.
二、函数思想
等差数列的求和公式是关于n的二次函数，所以解题时可借助二
次函数的性质求解.
例2.等差数列{an}的通项公式an=2n-7，求前n项和sn的最小值.
解：易知{an}为等差数列，∵an=2n-7 ∴a1=-5
sn=■=■=n2-6n=（n-3）2-9
当n=3时，（sn）min=-9
运用函数的观点，用求解二次函数最值时常用的方法，往往能让此类题目解起来较为容易.
三、分类讨论思想
等比数列的求和公式中分母出现了1-q，解题时要注意分q=1，或q≠1两种情况进行讨论.
例3.已知等比数列{an}中，a1=2，s3=6，求a3和q.
解：当q=1时，s3=3a1=6符合题意，此时a3=a1=2
当q≠1时，s3=■=■=6，解得q=-2
故a3=a1q2=2×（-2）2=8
综上所述，a3=2，q=1或a3=8，q=-2
此题很容易漏掉讨论q=1的情况，容易忽略了公式sn=■是以分母不为零（q≠1）为前提的，如果没注意需要分情况讨论，极有可能出现漏解情况.
四、整体思想
解决数列问题有时候要有点整体意识、总揽全局，避开分别求解所带来的麻烦及思维的混乱，从而简化运算过程、减少运算量.
例4.等差数列{an}中，a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，sn=390，求这个数列的项数.
解：依题意得a1+a2+a3=34an-2+an-1+an=146
两式相加得：（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）=180
由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2得3（a1+an）=180 ∴（a1+an）=60，又sn=■？圯n=13
此题如果代基本公式求a1，d，n运算上会比较繁琐，把已知条件整体来考虑，运算过程更为简捷.
五、数形结合思想
数列是一种特殊的函数，解决函数问题我们经常运用数形结合思想，一些数列问题如果用数形结合的角度去考虑，也会使问题变得简捷.
例5.等差数列的前n项和sn，sm=sn（m≠n），求sm+n.
解：由数列的性质知，等差数列的前n项和sn=an2+bn，它可以看成是关于n的二次函数，令f（x）=ax2+bx，依题意有f（m）=f （n），结合图像，函数的对称轴为x=■，又f（0）=0，所以f（m+n）=0，即sm+n=0.
此题含有的字母较多，不少学生可能一看就找不着思路，但如果有上面的函数意识及数形结合的思想，显然解题也是较简捷的. 六、转化与化归思想
所谓转化与化归思想，就是利用所学的知识去揭示新与旧，繁与简，抽象与具体，整体与局部等问题间的关系，通过等价转化，变
未知为已知的探索过程.
例6.已知数列{an}中，an=2n-7，求a1+a2+…+a15
解：另an=2n-7>0，得n>■，即数列从第四项a4开始为正数
a1+a2+…+a15=-a1-a2-a3+a4+…+a15=-s3+（s15-s3）=s15-2s3 ∵an=2n-7，a1=-5 ∴sn=■=n2-6n
a1+a2+…+a15=（152-6×15）-2（32-6×3）=153
此题把绝对值求和这一未知知识转化为等差数列的求和运用，体现了变未知为已知的探索过程.
总之，学习数学不光是要会算，也不只是说要学会一些解题方法，更重要的是要学会数学思想，用数学思想来解决实际问题.作为教学者，在教学中随时引导学生、对学生进行这方面的培养，对提高学生的数学综合能力有及其重要的作用.
参考文献：
[1]周仁国.数学思想在数列问题中的体现.学生之友，2009（07）.
[2]任志鸿.高中同步测控：优化设计.人民教育出版社，2004. （作者单位福建省南安第一中学）
？誗编辑司楠。
求数列前n项和的思想分析和方法探讨
求数列前n项和的思想分析和方法探讨数列前n项和是数学中常见的问题，通常用于解决求和、平均数、累积等问题。
在实际应用中，前n项和也被广泛应用于金融、计算机科学、物理学等领域。
对于一个数列，其前n项和就是数列前n个数的总和，而求解前n项和的过程也就是数据加和的过程。
本文将从数学和计算机两个维度，对数列前n项和的思想分析和方法探讨进行阐述。
在数学上，对于一个数列{a1, a2, a3, ……, an}，它的前n项和Sn可以表示为： Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an。
用公式表示数列前n项和的具体方法包括：1.等差数列前n项和公式：Sn = n × [a1 + an] ÷ 2；对于一些复杂的数列，可能需要使用其他方法来求解前n项和，例如级数等等。
在计算机科学领域，数列前n项和的求解通常采用循环体的数据累加或递归（recursion）算法来计算。
其中循环体的算法最常用，通常满足以下模板：// 初始化累加器变量let sum = 0;// 循环实现累加器for (let i = 0; i < n; i++) {sum += an[i];}// 最后返回累加器的值其中，代码中的an数组包含数列的前n项数。
递归算法是一种基于函数不断调用自身来解决问题的方法，在数列前n项和的求解过程中，递归通常可以用于分治法（divide and conquer）的实现，例如：function sum(an, n) {if (n <= 0) // 基础情况return 0;else // 递归return sum(an, n - 1) + an[n - 1];在递归解决问题的过程中，找到适当的基础情况然后反向计算结果是非常重要的。
递归思想的主要优点是简单、通用，能够解决很多不同的问题。
综上所述，数列前n项和的思想分析和方法探讨可以分成两个方面：数学和计算机，尽管各自的技术和算法有所不同，但它们都在解决统一的问题：求解前n项和。
数列问题中的数学思想方法
数列问题中的数学思想方法(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列问题中的数学思想方法,手机号码；电话006；湖南祁东育贤中学 周友良 421600数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。
同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。
在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。
一、函数思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n 的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。
例1.已知数列的通项公式10102+-=n n a n ，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大从第几项起各项的数值均为正数列中是否存在数值与首项相同的项分析：根据条件，数列{}n a 的点都在函数10102+-=x x y 的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。
例2．已知数列{}n a 是等差数列，若10=n S ，502=n S ，求n S 3。
解：)1(2)1(2111-+=-+=n d a n d n n na n S n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，其通项为一次函数，设b ax x f +=)(，则点),(n S n n ，)2,2(2nSn n ，在其图象上，n b an 10=+∴，n b n a 2502=+⋅∴，nb n an 5,15-==∴， 故nn n S n n a n f n 5315353)3(3-⋅==-⋅=，解之得：1203=n S 。
如何应用数学归纳法证明数列通项公式
如何应用数学归纳法证明数列通项公式数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，尤其适用于证明数列的通项公式。
通过逐步建立递归关系和进行归纳假设，我们可以得到一个准确的数列通项公式。
以下将详细介绍如何应用数学归纳法证明数列通项公式的步骤和注意事项。
一、数学归纳法的思想数学归纳法是通过逐步推理，从小范围到大范围的思想来证明一个命题在所有自然数上成立。
通过证明基础情况成立，再假设某个自然数成立，推导出下一个自然数也成立，从而证明所有自然数上该命题成立。
二、证明数列通项公式的步骤1. 建立基础情况：首先需要证明基础情况成立。
即证明当 n 取某个特定值时，数列通项公式成立。
通常可以选择 n = 1 或 n = 0 这样的较小的值。
2. 假设数列通项公式成立：假设当n = k 时，数列的通项公式成立，即数列的第 k 项可以用某个关于 k 的表达式表示。
3. 推导出下一项成立：利用数学归纳法的思想，假设第 k 项成立，我们需要推导出第k+1 项也成立。
通常可以通过计算前面几项的差值、比值或其他规律来推导出 k+1 项的表达式。
4. 结论：通过归纳法的推理，可以得出当 n 为任意自然数时，数列的通项公式成立。
三、数学归纳法证明数列通项公式的实例以等差数列为例，假设数列的第一项为 a1，公差为 d。
我们需要证明数列的第 n 项通项公式为 an = a1 + (n - 1)d。
（1）建立基础情况：当 n = 1 时，an = a1，结论成立。
（2）假设数列通项公式成立：假设当 n = k 时，数列的第 k 项可以用 ak = a1 + (k - 1)d 表示。
（3）推导出下一项成立：当 n = k+1 时，an = a1 + (k + 1 - 1)d = a1+ kd。
根据假设的归纳假设，ak = a1 + (k - 1)d，那么 an = ak + d = a1 + (k - 1)d + d = a1 + kd，得出当 n = k+1 时，数列的第 k+1 项也成立。
数列的数学归纳法与递推关系数学中的序列推导
数列的数学归纳法与递推关系数学中的序列推导数列是数学中经常出现的一种数值排列形式。
对于数列的研究，数学家们提出了数学归纳法和递推关系的概念与方法，以便推导与描述数列的特点与性质。
本文将详细介绍数学归纳法和递推关系在数列中的应用。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法，常用于证明递增数列或递减数列的性质。
数学归纳法的基本思想是通过已知条件证明当n=k时命题成立，然后再证明当n=k+1时命题也成立。
即若命题在n=k时成立，且在n=k+1时也成立，则可以得出命题对于所有正整数n成立。
以斐波那契数列为例，其递推关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2 ，其中F1 = 1，F2 = 1。
我们可以利用数学归纳法来证明该递推关系成立。
首先，当n=1时，F1 = 1；当n=2时，F2 = 1。
由此可见，递推关系在n=1和n=2时成立。
假设当n=k时递推关系成立，即Fk = Fk-1 + Fk-2。
那么我们可以证明当n=k+1时递推关系也成立。
当n=k+1时，根据递推关系，有Fk+1 = Fk + Fk-1。
然而，根据归纳假设，我们知道Fk = Fk-1 + Fk-2，代入原式可得Fk+1 = Fk-1 + Fk-2 + Fk-1。
对上式进行简化，我们可以得到Fk+1 = 2Fk-1 + Fk-2。
由此可证明递推关系在n=k+1时也成立。
综上所述，通过数学归纳法的证明，我们可以得出斐波那契数列的递推关系成立。
二、递推关系递推关系是指数列中后一项与前面一项之间的关系式，通过这个关系式可以确定数列的每一项。
递推关系可以是线性的、非线性的，也可以是具有递归性质的。
在数学归纳法中已经涉及到斐波那契数列的递推关系。
除此之外，递推关系在数学中的应用非常广泛。
在等差数列中，递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d为公差。
在等比数列中，递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r为公比。
除此之外，递推关系还可以通过多项式、指数函数等方式进行描述。
数学归纳思想在小学数学中的应用
数学归纳思想在小学数学中的应用数学归纳思想是数学中一种重要的证明方法，它起源于欧几里得的几何学方法，后来被推广应用于数论、代数、解析、概率等各个数学分支中。
对于小学数学来说，数学归纳思想也有着重要的应用。
一、数学归纳思想的介绍数学归纳法是一种数学证明方法，它有三个基本步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
基础步骤是证明当n等于某个初始值时结论成立，归纳假设是假设当n=k时结论成立，然后证明当n=k+1时结论也成立，这就是归纳步骤。
通过这三个步骤，可以证明当n为任意正整数时结论都成立。
1. 数列的求和在小学数学中，数列的求和是一个非常常见的问题。
通过数学归纳思想，我们可以证明一些数列的求和公式。
对于等差数列1，2，3，4，...，n，我们可以通过归纳法证明求和公式Sn=n(n+1)/2成立。
当n=1时，等式成立；设当n=k时式子成立，即S(k)=k(k+1)/2，那么当n=k+1时，Sn=S(k)+k+1=(k(k+1))/2+k+1=(k+1)((k+1)+1)/2，即式子也成立。
通过数学归纳法，我们得到了等差数列求和公式。
2. 不等式的证明3. 几何图形的性质在小学几何中，我们需要证明一些几何图形的性质。
通过数学归纳思想，我们可以证明一些几何图形的性质的普遍成立。
对于正方形，我们可以证明正方形的对角线互相垂直相等。
当n=1时，正方形只有一条对角线，显然对角线是相等且互相垂直的。
假设当n=k时正方形的对角线互相垂直相等，那么当n=k+1时，正方形的对角线个数为2，根据归纳假设，对角线仍然是相等且互相垂直的。
通过数学归纳法，我们可以证明正方形的对角线互相垂直相等。
总结：数学归纳思想是一种重要的数学证明方法，在小学数学中也有着广泛的应用。
通过数学归纳思想，我们可以证明数列的求和公式、不等式的成立以及几何图形的性质等问题。
数学归纳思想在小学数学中具有重要的应用价值。
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。
例析数学思想在数列中的应用
把将要解决 的陌生 问题 通过化 归 ．变 为 个 比较熟悉 的问题来 解决 实 际中我们 常 常将一个复杂 问题化归 为一个或几个 简单 的 问题 来解决 ．或 将抽象 的１ ９ 题 化归 为具 体 的 问题来解决 等 例 ４设 等 差数 列 ｛ ａ Ｉ Ｉ ｝ 的 前项 和 为 Ｓ ， 若 １ ≤如 ≤４ ， ２ ≤％≤３ ， 求Ｓ ６ 的取值范 围。 分析 ： 因为 如 ｌ ＋ ４ ｄ ， ％ ｌ ＋ ５ ｄ ， Ｓ ６ ＝ ６ ａ ｌ ＋ １ ５ ｄ 。
个问题的解答
算原理及关系、 结构 ． 在新的条件环境下类比
新命 题
位置 ． 通常从数列 的基 本性质人 手 ． 进一步研 究数列 的通项公式 和求和公式 ．有 时会和方 程、 函数 、 不等式 等知识结合起来考查。学生对 于这类 问题往往束手无策 ． 但学 生如果 能理解 数列中蕴含的数 学思想 方法 ． 灵 活运用 它会起 到意想不到的效果 。 下面笔者对数列试题中常 涉及的数学思想方法进行举例分析
例８ ． 设 等差数列 ｛ ％｝ 的前 ｎ项和为 Ｓ ｎ ， 则
｜ ｓ ４ ， Ｓ ８ 一 Ｓ ， Ｊ ｓ ｌ ２ 一 Ｓ ８ ， Ｓ １ ６ 一 Ｓ ， ２ 成 等差 数列 ，类 比以上
结论有 ： 等比数 列 ｛ ｂ ｝ 的前项 ／ ７ ， 积为 Ｔ ， 则Ｔ ４ ， Ｔ 。 成等 比数列。 分析 ： 等差数列 中的减类 比到等 比数列 中
且还可 以加深对知识 的关系 的理解
例５ ． （ ２ ０ １ ０年福建理科 ）设等差数列 ｛ ｝ 的前 ｎ 项 和为 Ｓ ， 若 ＝ 一 １ １ ， ＋ Ⅱ ６ —６ ， 则当 Ｓ
数 学之友 ， ２ ０ １ １ （ ６ ） ． ｒ ２ ］ 孙翔 峰 ． 三 维设 计 ． 光 明 日报 出版社 ，
(完整版)数列中的数学思想和方法
2 2 ln 2.数列中的数学思想和方法数学思想方法是数学知识的精髓 ，是知识转化为能力桥梁•能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志•数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下 面我们一起来看一看吧！ 一、方程思想方程思想就是通过设元建立方程 ，研究方程解决问题的方法•在解数列问题时，利用等差、等比数 列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组) ，是解数列问题基本方法• 例1已知等差数列｛a n ｝的公差d 是正数，且a 3a 712,a 4 a 64 ,求其前n项和Sn 。
解：由等差数列 ｛a n ｝知 :a 3 a 7 a4 a 6，从而玄3玄7 12, a 3 a74 , 故a 3, a 7是方程 X 2 4x 12 0的两根,又d 0 ,解之，得：a 3 6, a 7 2。
再解方程组： a 2d6a 1 105a 6d2d 2所以S n10n(n 1)。
<法一 >法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二点评：本题利用了 a 3 a 7 a 4 a 6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a ? 6^7 2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想 与a n a m a p a q(或a . a m a p a q )找出解题的捷径。
关注未知数的个数，关注独立方程的个 数。
点评基本量法：性质法 技巧备用：设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和. 已知S 3= 7,且a i + 3,3a 2, a 3 + 4构成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的通项；(2) 令 b n = ln a 3n +1, n = 1,2,…,求数列｛ b n ｝的前 n 项和 T n .a 1+ a 2 + a 3= 7,解(1)由已知得a1+ 3 + a3+ 4解得a 2= 2.2= 3a 2,2 设数列｛a n ｝的公比为q ,由a 2= 2,可得a 1 =_, a 3= 2q ,q2 2又 S 3= 7,可知 一 + 2 + 2q = 7,即 2q 2— 5q + 2= 0.q1解得 q 1 = 2, q 2 = ?.由题意得 q > 1, /• q = 2, a 1 = 1. 故数列｛a n ｝的通项为a n = 2n —1. ⑵由于 b n = ln a 3n +1, n = 1,2,…， 由(1)得 a 3n +1 = 23n ,二 b n = ln 2 3n = 3nln 2.又 b n +1 — b n = 3ln 2, ••• ｛b n ｝是等差数列，3n n + 1故T n =...T n = b 1 + b 2 + …+ b n =n b 1+ b n3n n + 1ln 2.小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一， 注意到方程思想在数列间题中的应用 •常可 以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
例谈函数思想在数列问题中的应用
２ 运 用 函数 思 想 解 数 列的 求 和 问题
数列 求 和 是数 歹 知识 的一个 重 要 万 囱 ， 在求 Ｕ 向
与一般 的关 系 ， 是这 种关 系 ， 函数 思想方 法成 为 正 使
研究 和解决 数列 问题 的重 要 方 法． 们 可 以用 函数 我 的思想 、 方法 解 决 数 列 的 问题． 列 中 的通项 、 ／ 数 前 ７ ，
， 、 ＃一２
图 是 条 线那 三 点ｍ ）２ ） 的研 究 ， 出函数 的 最大值． 象 一 直 ，么 个 （ ，ｍ ， ， （， 求
、厶 ，
３ ｌｆ 的最大 一 ２÷ｌ 值问题， 通过对函数单调性
和 问题上 ， 我们 时 常会运用 到 函数 的单 调性 、 周期性
等性 质及 函数 的解析 式．
项 和、 递推关 系 、 最值 问题及 大小 比较 问题通 常都 可
以转化 为 函数 问题 来求 解．
ｕ ｝ 项 （２ ｓ ） ｛的 ｃ ＿ ， 通 ０ ｉ ｓ
其前 项和为 ， 则 为
斜率相等， 求出 ｓ 。的值． 解： 等差 数列 ｛ ｝ 的前 ｎ项 和 ＝ １ ＋
＋∞ ） 上是 减 函数 ， 最大值 是 ２ 其 ）＝一 ． ９
所 以有 ａ 一 ． ａ ＝ａ ４ ≥ ９ 又 ２ １－ ３＞ａ． １
综上 ， 所求 的 ａ的最小 值是 一 ． ９
识， 它们 的解析 式应是相 同的 ， 而得到 ｇ 口 的值． 从 ，。
有两种形式有时我们必须运用等差、 比数列的 等 知识去解决其它数列 问题 ， 将非等差 、 比的问题转化 等 为等差 、 等比问题加 以解决 ， 从而使 问题简单化
或其 子集上 的 函数． 列 与 函数 之 间的关 系是 特 殊 数