初中数学常见几何基本模型及结论
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型 ----旋转型全等D（1）等边三角形OOC ECA图 1BA图 2【条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形；【结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 均分∠ AEDD（2）等腰直角三角形OCEABA图 1D EBDOECB图 2【条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 均分∠ AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形DOOC【条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形；DE且∠ COD=∠AOBE【结论】：①△ OAC ≌△ OBD ； C②∠ AEB=∠AOB ；③OE 均分∠ AEDA 图 1BA图 2 BO O二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况D【条件】： CD ∥ AB ，CD将△ OCD 旋转至右图的地址A B 【结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOAO（2）特别情况C D【条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的地址A B【结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ；③ BDOD OB tan ∠ OCD ；④ BD ⊥AC ； ACOC OA⑤连接 AD 、 BC ，必有 AD 2BC222；⑥ S △BCDABCD三、模型三、对角互补模型（1）全等型 -90 °【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 均分∠ AOBECABDOCEA B1AC BD 2 ACDOE B图 1【结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCES△OCDS△OCE1 OC 2A2证明提示：CM①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEND②过点 C 作 CF ⊥ OC ，如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）：ON EB图 2以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ；A1OC 2AMC③S△OCES△OCD2CDONBEO图 3 EF BD图 4（2）全等型 -120 °【条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC均分∠ AOB【结论】：① CD=CE；② OD+OE=OC；③S△DCE S△OCD S△OCE 3 OC24证明提示：①可参照“全等型-90 °”证法一；②如右以下图：在OB上取一点F，使 OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。
初中几何48个模型及题型讲解
初中几何48个模型及题型讲解一、直线和角1. 平行线和垂直线的性质平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同旁内角相等，垂直线的性质包括互补角相等、邻补角相等等等。
2. 直线的夹角与邻角两条直线之间的夹角等于它的补角，夹角的补角叫相邻角。
3. 同位角与对顶角同位角相等、对顶角相等。
4. 角的大小关系锐角、直角、钝角的大小关系。
5. 角和角度角的性质包括平分角等。
6. 角的运算法则相等角相加还是相等角；补角与角补加为90°。
7. 顶角和底角的性质同位角相等、顶底角相等。
二、等腰三角形、等边三角形1. 等腰三角形的性质两底角相等，两底边相等等。
2. 等边三角形的性质三边相等、三角也相等等等三、全等三角形1. 全等三角形的基本判定条件AAA、SAS、SSS、ASA四种判定条件。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等等等。
四、相似三角形1. 相似三角形的基本判定条件AA、SAS、SSS、AAS四种判定条件。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等等等。
五、直角三角形1. 直角三角形的性质勾股定理、边角关系、三边关系等。
2. 解直角三角形的基本方法利用三角函数解决实际问题等。
六、三角形的面积1. 三角形的面积计算公式面积公式S=1/2×底×高等。
2. 多边形的面积计算公式正多边形、梯形、平行四边形、菱形等多边形的面积公式。
七、四边形1. 平行四边形的性质对角线互相平分等。
2. 矩形的性质对角相等、对边相等等。
3. 菱形的性质对角相等、对边相等、对角平分等。
4. 正方形的性质矩形和菱形的结合。
五、圆1. 圆的基本概念圆心、圆周、半径、直径等。
2. 圆的周长和面积周长C=2πr，面积S=πr^2等。
3. 圆中角和弧的关系圆心角、圆周角、同弧对应角等。
4. 切线与切点切线与圆相切于一个点等。
六、坐标系1. 直角坐标系和平面直角坐标系横坐标和纵坐标等。
初中数学必会的12个几何模型精解精编(222页Word)
中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例题1如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解析】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式1已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【解析】在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式2已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解析】AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE【解析】连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE变式3如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解析】CN=MN+BM（微信公众号：数学三剑客）证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM例题4在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解析】（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠F AC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解析】（1）如图1（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解析】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．【练习1】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解析】如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．【练习2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.【练习3】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解析】探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴R t△DCE≌R t△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中，∴△DMN≌△DEN（S A S），∴BM+CN=NM．【练习4】如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DF A=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠F AE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解析】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DF A=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DF A=∠F AB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DF A=2∠BAE（已知），∴∠F AB=2∠BAE（等量代换）．即∠F AE+∠BAE=2∠BAE．∴∠F AE=∠BAE；∴2∠F AE=40°，∴∠F AE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠F AE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．【练习5】如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在R t△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠F AB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠F AB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠F AB+∠BAM=∠F AM，∴∠F AM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．【练习6】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解析】（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在R t△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．【练习7】如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠F AB=∠2+∠F AB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在R t△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．中考数学几何模型2：共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
初中常见数学模型几何和证明方法
初中常见数学模型几何和证明方法初中数学中的几何和证明方法是学习数学的重要内容之一。
通过几何学习，学生可以掌握基本的几何概念、性质和定理，进而培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而证明方法则是通过推理和论证的方式验证和证明数学命题的正确性。
下面将对初中常见的几何模型和证明方法进行介绍。
一、几何模型1. 点、线、面：几何学的基本要素是点、线和面。
点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度；面是由无数个线组成的，它有宽度和厚度。
2. 直线和线段：直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点；线段是直线的一部分，有起点和终点。
3. 角：角是由两条射线共同起点组成的，可以用度数来表示。
4. 三角形：三角形是由三条线段组成的，它有三个顶点、三条边和三个角。
5. 直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形，其中的两条边相互垂直。
6. 平行四边形：平行四边形是四边形的一种，它的对边是平行的。
7. 圆：圆是由一个固定点到平面上所有到该点距离相等的点组成的图形。
以上是初中常见的几何模型，通过对这些模型的学习，可以帮助学生理解几何概念和性质，为后续的学习打下基础。
二、证明方法1. 直接证明法：直接证明法是通过一系列逻辑推理，从已知条件出发，推导出结论的过程。
这种证明方法通常可以通过图形、等式等形式来进行。
2. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
3. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明当命题对于某个特定的数成立时，对于下一个数也成立，进而可以推导出对于所有数都成立的结论。
这种证明方法常用于证明与自然数相关的命题。
4. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
5. 用反证法证明：用反证法证明是指通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
初中几何基础模型赏析——初中生必会的48个模型结论
初中几何基础模型赏析——初中生必会的48个模型结论几何学是一门需要大量练习的学科，而熟练掌握几何模型结论是初中生学好几何学的前提。
以下是初中生必会的48个几何模型结论，希望能够帮助同学们更好地掌握几何学知识。
1. 垂线段定理：垂直于一条直线的所有线段长度相等。
2. 同位角定理：同位角相等。
3. 对顶角定理：对顶角相等。
4. 外角定理：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
5. 内角和定理：一个n边形的内角和为（n-2）×180°。
6. 直角三角形勾股定理：直角三角形两直角边上的平方和等于其斜边上的平方。
7. 等腰三角形底角定理：等腰三角形底角相等。
8. 等腰三角形高角定理：等腰三角形高角相等。
9. 等边三角形角定理：等边三角形三个角都是60°。
10. 等角三角形定理：等角三角形三个角相等。
11. 同弧角定理：在同一圆周上的两个弧所对应的圆心角相等。
12. 弧度制与度数制的转换：1弧度=180°/π。
13. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
14. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有a=b+c-2bc cosA。
15. 正切定理：在任意三角形ABC中，有tanA=a/b。
16. 相似三角形定理：相似三角形对应角度相等，对应边比例相等。
17. 切线定理：切线与半径垂直。
18. 弦切角定理：弦切角等于弦所对的圆心角的一半。
19. 弧切角定理：弧切角等于弧所对的圆心角的一半。
20. 环形角定理：在同心圆中，对于同一条弦所对的两个角，小弧所对的角比大弧所对的角小一半。
21. 正多边形的内角定理：正n边形的每个内角大小为（n-2）×180°/n。
22. 正多边形的外角定理：正n边形的每个外角大小为360°/n。
23. 中线定理：三角形三条中线交于一点，且此点到三角形三个顶点距离的平均值等于三角形三个顶点到中点距离的平均值。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学四十八个几何模型
初中数学四十八个几何模型1. 直线与角直线是任意两点之间的最短路径。
角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
直线与角是几何学的基本概念。
线段是直线上两个点之间的部分。
线段具有长度，可以进行比较。
射线是由一个端点和延伸的直线组成的。
射线有起点，但没有终点，可以无限延伸。
4. 平面与平行线平面是一个没有边界的二维图形。
平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
三角形是由三条线段连接而成的图形。
三角形的内角和为180度。
6. 等腰三角形等腰三角形是具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的底角也相等。
7. 直角三角形直角三角形是具有一个内角为90度的三角形。
直角三角形的斜边是其他两条边的平方和的开方。
8. 锐角三角形锐角三角形是所有内角都小于90度的三角形。
9. 钝角三角形钝角三角形是具有一个内角大于90度的三角形。
10. 正方形正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形。
11. 长方形长方形是具有两对相等且每一对内角都是直角的四边形。
12. 平行四边形平行四边形是具有两对平行边的四边形。
梯形是具有一对平行边的四边形。
梯形的非平行边也可以不等长。
菱形是具有四个边相等且对角线相等的四边形。
圆是具有相同半径的所有点的集合。
圆上任意两点与圆心构成的线段称为弦。
16. 圆心角圆心角是以圆心为顶点的角。
弧是圆上两个点之间的部分。
弦是圆上任意两点之间的线段。
切线是与圆只有一个交点的直线。
弧长是圆上一部分的长度。
扇形是以圆心为顶点的角所对应的圆上的区域。
22. 对称与相似对称是指一个图形通过某条线、点或平面进行折叠后与自身完全重合。
相似是指两个图形的形状相同但大小不同。
23. 二维几何体二维几何体包括平面图形。
24. 立体几何体立体几何体是具有实体和体积的图形。
25. 正方体正方体是六个面都是正方形的立体几何体。
26. 长方体长方体是六个面都是矩形的立体几何体。
27. 正圆柱体正圆柱体是圆和矩形结合形成的立体几何体。
初中几何46种模型大全
初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。
在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。
本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。
正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。
正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。
2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。
长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。
长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。
3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。
平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。
平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。
4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。
菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。
菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。
5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。
等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。
6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。
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八上几何模型归纳
“手拉手”模型
O
【例1（1）如图1，若α = 90︒ ，则AC 和BD 的数量关系是 ，AC 和BD 的位置关系是
；
（2）如图2，若α = 60︒ ，AC 和BD 相交于点P ，求证：OP 平分∠BPC ．（3）如图3 所示，则AC 与BD 的数量关系为 ，试用α 表示直线 AC 和BD 所形成的夹 角，则夹角为
．（不写证明）
A
A
A
D
P
C
D
P
D
C
B
C
O B O B
图1
图2
图3
1 / 8
“帽子”模型常见辅助线做法： ⑴作平行线构造全等
⑵作垂直构造全等
y
【例2A
（2） 如图2，连接AB ，若D (0, -6) ，DE ⊥AB 于点E ，B 、C
关于 y 轴对称，M 是线段 DE 上的一点，且 DM =AB ， 接AM ，试判断线段 A C 与 A M 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；
x
（3）
如图 3，在（2）的条件下，若 N 是线段
D
M
上的一个动点，P 连接PN 交 y 轴于点 Q ，过点 N 作NH ⊥ y 轴于点 H ，当 N 点在线段DM 上运动时，△MQH 的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
y x
【例3（1） 如图
1，求△AOB 的面积（2） 如图
2，点 C 在线段 A B 上（不与 A 、B 重合）移动，AB ⊥BD ，且∠COD ＝45°，猜想线段 A C 、BD 、 CD 之间的数量关系并证明你的结论.
（3） 如图
3，若 P 为 x 轴上异于原点 O 和点 A
的一个动点，连接
P B ，将线段
P B 绕点 P 顺时针旋转 90° 至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中，请判断哪一条线段长为 定值，并求出该定值
3 / 8
【例4】如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒，AB =BC ，A(-4, 0) ，B(0, 2) ．
（1）如图1，求点C 的坐标．
（2）如图2，BC 交x 轴于点M，AC 交y 轴于点N，且BM =CM ，求证：∠AMB =∠CMN ．
（3）如图3，若点A 不动，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB 为直角边在第一、第二象限作等腰直角三角形△BOF 与等腰直角三角形△ABE ，连接E F 交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP 的长度是否变化？若变化说理由，若不变求其值．
2
【例5】在平面直角坐标系中，，B 为 x 轴正半轴上一动点，AE 、BF 平分∠OAB 、∠OBA ，AE 、BF 交于点
P ．
（1）求∠BPA 的度数；
（2）过P 作PQ ⊥ BF 交
x 轴于点M 交 y 轴于点Q ，求证：∠OFM = 1
；∠OAB
2
（
3）若B 运动到(4, 0) ，点T 为二象限内一点(
2 - 2, 2)
且TA ⊥ TB ，过O 作OS ⊥ BT 于
S ，求S 点坐标．
5 / 8
x
T x
脚拉脚模型
【例6】（2015 部分学校月考）如图，△ACB 为等腰三角形，∠ABC=90°，点P 在线段B C 上（不与B，C 重合）
，以AP 为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB 与E
（1）求证：△PAB≌△AQE
（2）连C Q 交AB 于M，若P C=2PB，求
PC
BM
A
的值.E C
M
Q P
B
（3）如图2，过Q 作QF⊥AQ 交AB 的延长线于点F，过P 点作DP⊥AP 交AC 于D，连DF，当点P在
线段BC 上运动时（不与B，C 重合，式子
QF -PD
的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，
FD
【例7】2（1）直接写出A、B、C 各点的坐标：A、B、C
（2）过B 作直线MN⊥AB，P 为线段OC 上的一动点，AP⊥PH 交直线M N 于点H，证明：PA＝PH
（3）在(1)的条件下，若在点A 处有一个等腰R t△APQ 绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G 为BQ 的中点，试猜想线段OG 与线段PG 的数量关系与位置关系，并证明你的结论
【例8（1）如图，若∠OAD = 30︒ ，∠OBC 的度数；
（2）点M 、N 分别是BC 、
AD 的中点，连OM 、ON ，判断OM 、ON 的关系；
（3）在（2）的条件下，连AM 、BN ，取BN 的中点P ，连OP ．当点C 、点D 分别以相同的速度沿着
y
∠MAO + ∠POA
轴、x 轴向原点O 运动过程中，求证：
∠MON
为定值．
7 / 8
婆罗摩笈多模型
x x
x
【例9AB
⊥y 轴于B ，AC
⊥x 轴于C .
（1）求△AOC 的面积；
，
（2）如图，E 为线段OB 上一点，连AE ，过
A 作AF ⊥AE 交x 轴于F ，连EF ，ED 平分∠OEF 交OA 于y
Ｄ，过D 作DG ⊥EF 于G ，求DG +
1
EF 的值；2
内心直角三角形
x
（3）如图，D 为x 轴上一点，CD＝CA，E 为线段OB 上一动点，连DA、CE，F 是线段CE 的中点，若BF⊥FK 交AD 于K，请问∠KBF 的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围.
y
x。