【全国百强校】贵州省思南中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
高二理科数学参考答案
遵义市 2016-2017 年学年度第二学期期末统考试卷 第 5 页 共 6 页
高二理科数学
（Ⅲ）因为 f (x) a 1 , a＞1时,由x 1, e，得f (x)＞0， f (x) ax ln x在1, e上单调递增，
x
f (x)min f (1) a, f (x)max f (e) ae 1,即f (x)的值域是a, ae 1 ……………（9 分） 由h(x) x2 1 ln x,得h(x) 2x 1 ,所以x 1, e时, h(x)＞0
即a的取值范围为：2,
e
1 e
……………（12 分）
遵义市 2016-2017 年学年度第二学期期末统考试卷 第 6 页 共 6 页
高二理科数学
13. 3 2 14. 7 . 24
15. 12
3
16.
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17.解：（Ⅰ）设她被这三个社团接受的事件分别是 A，B，C．则
．
………（4 分）
（Ⅱ）由题意可得，此新生参加的社团数 可能取值为 0，1，2，3. ……………………（5 分）
遵义市 2016∽2017 年学年度第二学期期末统考试卷
高二理科数学参考答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请将答案填写在答题卡的相应位置上）.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案
D
B
C
C
A
C
C
A
精品：【全国百强校】贵州省思南中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}1,2,,a A B a b ==，若12A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则AB 为（ ）A ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】A考点：集合的运算． 2.设i 是虚数单位，若复数()103a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，复数1010(3)33(3)(3)i a a a i i i i +-=-=----+是纯虚数，则303a a -=⇒=，故选D ．考点：复数的运算及复数的表示． 3.设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()26log 12f f -+=（ ） A ．10 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()()2log 121226log 121log (26)213610f f --+=+++=++=，故选A ．考点：函数值的求解． 4.给出下列三个结论：（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“p q ∨”为假命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”； （3）命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“,20x x R ∃∈≤”，则以上结论正确的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C考点：命题的真假判定．5.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知368,7S S ==，则789a a a ++=（ ） A ．18 B ．18- C ．578 D ．558【答案】A 【解析】试题分析：因为{}n a 是等比数列，所以36396,,S S S S S --成等比数列，则239663()()S S S S S -=-，即2968()(1)S S ⨯-=-，解得9618S S -=，即78918a a a ++=，故选A ．考点：等比数列的性质及其应用．6.将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A ．12 B ．36 C ．72 D ．108 【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ． 考点：计数原理的应用．7.函数()f x 在0x x =处导数存在，若()00:0,:p f x q x x '==是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判定．8.若()ln 1ln 1,1,ln ,,2xx x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，()1,1x e -∈，则ln ln 11ln (1,0),(1,2),(,1)2xx a x b c e e⎛⎫=∈-=∈=∈ ⎪⎝⎭，所以b c a >>，故选B ．考点：不等关系与不等式．9.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．12-B ．13C ．-3D ．2 【答案】A考点：程序框图．10.已知向量()(),3,2,a x z b y z =+=-，且a b ⊥，若实数,x y 满足不等式1x y +≤，则实数z 的取值范围为（ ）A ．[]3,3-B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．[]2,2-【答案】A 【解析】试题分析：因为向量()(),3,2,a x z b y z =+=-，且a b ⊥，所以22330a b x z y z ⋅=++-=，所以23z x y =+，因为满足不等式1x y +≤的平面区域如下图所示，由图可知当0,1x y ==时，z 取最大值3，当0,1x y ==-时，z 取最大值3-，所以z 的取值范围是[]3,3-，故选A ．考点：向量的数量积运算；简单的线性规划问题．【方法点晴】本题主要考查了绝对值不等式的应用、向量的数量积的运算、两个向量垂直关系的应用以及简单的线性规划问题，解答中利用平面向量的数量积的运算，求解目标函数23z x y =+和利用绝对值不等式1x y +≤画出约束条件所表示可行域是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力和数形结合思想的应用．11.若抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为（ ） A ．34 B ．32C ．1D ．2 【答案】D考点：抛物线的定义及其性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中利用抛物线的准线方程，表示出121112y y S +++=-，再根据抛物线的定义，可知12AF BF S +=-，根据利用两边之和大于第三边且当,,A B F 三点共线时取等号是解答的关键，着重考查了抛物线的定义的灵活应用和学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12.函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数 【答案】D考点：函数的奇偶性、周期的应用．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的奇偶性和函数的周期的推理与应用，此类问题的解答中通常是利用一些抽象函数中一些主条件的变形和紧扣函数的定义和性质是解答的关键，本题的解答中，根据()1f x +与()1f x -都是奇函数，得出()1(1)f x f x -+=-+，()1(1)f x f x --=--，即函数()f x 关于点(1,0)及点(1,0)-对称是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力和转化与化归思想的应用，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.61x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为____________．【答案】15 【解析】试题分析：由题意得61x ⎫-⎪⎭的展开式中的通项为63213(1)rr rr T C x -+=-，令6302r -=，解得2r =，所以展开式的常数项为15．考点：二项式定理．14.某几何体的三视图如图，则它的体积是____________．【答案】283π-考点：几何体的体积的计算；三视图的应用． 15.设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由()()2:2110q x a x a a -+++≤，解得1a a a ≤≤+，即:1q a a a ≤≤+，要使得p 是q 的充分不必要条件，则1112a a +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解．【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解,p q 的解集，再由p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+且0OE EF =，则双曲线的离心率为_____________．1考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质的应用、双曲线的离心率的求解，解答中根据已知条件()12OE OF OP =+且0OE EF =，列出关于,a c 的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想和转化与化归思想的应用，同时考查了学生的推理与运算能力，此类问题平时要注重积累和总结，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2243n n n a a S +=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）21n a n =+；（2）()323nn +．（2）由21n a n =+可知，()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()121111111235572123323n nT b b b n n n n =+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+ 考点：等差数列的通项公式；数列的求和．18.某地区2007至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预 测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x xx nxay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】（1）ˆ0.5 2.3y t =+；（2）2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，6.8千元．()()()()()()()()3 1.42110.700.110.520.93 1.614i it t y y --=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑， ()()()7172114ˆ0.528i ii ii t t y y b t t ==--===-∑∑，ˆˆ 4.30.54 2.3a y bt =-=-⨯=， 所求回归方程为ˆ0.5 2.3yt =+， （2）由（1）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加， 平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号9t =，代入（1）中的回归方程，得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．考点：回归直线方程的求解及应用．19.（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14,3,4,AC BC AA AC BC ===⊥，点D 在线段AB 上．（1）若D 是AB 中点，证明1//AC 平面1B CD ；（2）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】 试题分析：（1）以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法能证明1//AC 平面1B CD ；（2）求出平面BCD 的法向量和平面1B CD 的法向量向量法能求出二面角1B CD B --的余弦值．解法二：证明：连结1BC ，交1BC 于E ，连结DE ．因为111ABC A B C -是直三棱柱，D 是AB 中点，所以侧面11BB C C 为矩形， DE 为1ABC ∆的中位线，所以1//DE AC ．因为DE ⊂平面11,B CD AC ⊄平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD ．考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解．20.（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线():0l y kx a a =+>交于,M N 两点． （1）当0k =时，分别求C 在点M N 和处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【答案】（10y a --=0y a ++=；（2）()0,p a -，理由见解析．【解析】试题分析：（1）联立方程组，可得交点,M N 的坐标，由曲线2:4x C y =，利用导数的运算法则可得2x y '=，利用导数的几何意义、点斜即可求出切线的方程；（2）存在符合条件的点(0,)a -，设()0,P b 满足OPM OPN ∠=∠，()()1122,,,M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得()12k a bk ka++=，根据斜率互补，即可得到证明．考点：直线方程的求解；直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线方程的求解；直线与圆锥曲线的综合应用，同时考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究曲线的切线方程、直线与抛物线相交问题转化为直线方程与圆锥曲线联立，利用根据与系数的关系、斜率公式的应用，着重考查了学生的推理与计算能力和转化与化归思想的应用，属于中档试题．21.（12分）已知函数()()4232314f x ax a x x =-++． （1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-， 即()()1010g g -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，即10610a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤，考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 的延长 线于点E ，OE 交AD 于点F ．（1）求证：DE 是O 的切线； （2）若25AC AB =，求AF DF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）75AF DF =． 【解析】试题分析：（1）连结OD ，由圆的性质得//OD AE ，又AE DE ⊥，得OE OD ⊥，由此能证明DE 是O 的切线；（2）过D 作DH AB ⊥于H ，则有2cos cos 5AC DOH CAB AB ∠=∠==，设5OD x =，则10,2AB x OH x ==，7AH x =，有已知得AED AHD ∆≅∆，AEF DOF ∆∆，由此求出AF DF的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心4C π⎫⎪⎭，半径r = （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若0,4πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 交圆C 于A B 、两点，求弦 长AB 的取值范围．【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ---=；（2）⎡⎣．（2）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入C 的直角坐标方程()()22113x y -+-=得 ()22cos sin 10t t αα++-=，则0∆>，设,A B 对应参数分别为12,t t ，则()12122cos sin ,1t t t t αα+=-+=-，1AB t =-=， 因为0,4πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以[)sin 20,1α∈，所以[)84sin 28,12α+∈，所以AB 的取值范围为⎡⎣．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：参数方程化为普通方程；简单曲线的极坐标方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-．（1）若()f x m ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数,a m 的值；（2）当2a =且02t ≤<时，解关于x 的不等式()()2f x t f x +≥+．【答案】（1）23a m =⎧⎨=⎩；（2）2,2t +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．考点：绝对值不等式的求解．。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
贵州省思南中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题
线 的离心率为（ ）
A．
B．
的左、右焦点，点 为双曲线 右支上一点，
，
C．
D．
，则双曲
二、填空题
13.
______________
14. 多项式：(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是________.
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15. 已知实数 ， 满足约束条件
贵州省思南中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
5. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出 ∥ 的是
A． ∥ ， ⊥ ， ⊥
B． ⊥ ， ⊥ ， ∥
贵州省思南中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1. 设集合
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
2. 已知i是虚数单位,且z= A．第一象限
,则z的共轭复数 在复平面内对应的
B．第二象限
C．第三象限
3. 在等差数列 A．4
中，若
,公差 B．5
，那么 等于（ ） C．9
D．第四象限 D．18
（1）求证：CD＝C1D； （2）求二面角A—A1D—B的平面角的余弦值；
21. 已知椭圆
的右焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，已知
，且
的面积为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线
上是否存在点
，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点
贵州省思南中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题
思南中学2016——2017学年度第二学期期末考试高二年级数学科试题（理）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合，集合，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：=[−2,+∞)，，}=R，故A∩B=A.故选D.2. 已知，是虚数单位，是纯虚数，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，∴是纯虚数，∴，故选A．考点：复数的运算、纯虚数.3. 展开式中的常数项为( )．A. 80B. －80C. 40D. －4【答案】C【解析】的常数项为(x2)3()2=40。
故本题正确答案为C。
4. 若变量，满足约束条件则的最大值为（）A. 10B. 8C. 5D. 2【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．考点：线性规划．5. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，，不成立；，运行第二次，，不成立；，运行第三次，，不成立；，运行第四次，，不成立；，运行第五次，，成立；输出的值9，结束故选B.考点：1、对数的运算；2、循环结构.6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 8–B. 8–C. 8–πD. 8–2π【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23−2××π×12×2=8−π.故选：C.点睛：考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 在下列区间中，函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间（）A. (–，0 )B. (0，)C. (，)D. (，)【答案】C【解析】将x=-14，0，14，12，34，分别代入解析式，得f(–)=-4＜0；f(0)=1-3=-2＜0；f()=-2＜0；f()=-1＞0；f()=＞0；则有f()·f()＜0；所以函数f(x)=e x+4x+3的零点所在的区间为(，).故选C.点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.8. 等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质知，所以．故选C考点：等比数列的性质，对数的运算．9. 偶函数满足,且在时, ,，则函数与图象交点的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：根据条件，所以函数的周期,并且函数是偶函数，关于轴对称，根据时，画出函数的图像，并且函数也是偶函数，画出的图像，判断左右对称各有一个交点，所以共有2个交点，故选B.考点：1.函数的性质；2.函数的图像.10. 已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率为，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=bt.PF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|−|PF1|=2a，∴bt−at=2a，①在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②由①②消去t，得(a2+b2)⋅=4c2，又c2=a2+b2，∴a2=(b−a)2，即b=2a，∴双曲线的离心率是=，故选：D.11. 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，所以球的半径为：．故选：A．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12. 设函数是函数f(x)的导函数，x∈R时，有+，则时，结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】令y=e x f(x)，y′=e x(f′(x)+f(x))，∵x∈R时,f′(x)+f(x)>0,e x>0，∴y′>0，函数y=e x f(x)，是增函数。
精品：【全国百强校】贵州省思南中学2015-2016学年高二下学期第二次月考理数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ．1i - 【答案】B考点：复数的运算．2、对于a ，b ∈(0，＋∞)，a ，(大前提)x ＋1x ，(小前提) 所以x ＋1x≥2，(结论) 以上推理过程中的错误为（ ）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，当0x >时，1x x +≥，所以小前提是错误的，故选B ． 考点：三段论推理．3、在极坐标系中，点(,)P ρθ关于极点对称的点的一个坐标是（ ）A ．(,)ρπθ+B ．(,)ρθ-C ．(,)ρπθ-D ．(,)ρθ-- 【答案】A试题分析：把点(,)P ρθ绕极点逆时针旋转π弧度，即可得到点P 关于极点的对称点，所以点(,)P ρθ关于极点的对称点的一个坐标是(,)ρπθ+，故选A ． 考点：极坐标中点的坐标．4、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．4- B ．45-C ．4D ．45【答案】D考点：复数的运算与复数的概念．5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n 等于（ ） A.()221n + B.221n- C.()21n n + D.221n -【答案】C 【解析】试题分析：因为11a =，所以当2n =时，22124S a a a ==+，解得213a =；当3n =时，239S a = 123a a a =++，解得316a =；当4n =时，24123416S a a a a a ==+++，解得4110a =；所以12112a ==⨯， 234121212,,3236341045a a a ======⨯⨯⨯，所以可猜想数列的通项公式为2(1)n a n n =+，故选C ． 考点：归纳推理．6、直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 C D【解析】试题分析：因为直线12()2x tty t=+⎧⎨=+⎩为参数，所以直线的普通方程为230x y-+=，圆心到直线的距离为d=l==，故选A．考点：直线与圆的位置关系．7、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)(*)nn n n n n n N+++=⨯⨯⨯⨯-∈时，从k到k+1时，等式左边需要增乘的代数式是（）A．2k+1 B．2(2k+1) C．211kk++D．231kk++【答案】B考点：数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了利用数学归纳法证明恒等式中，从n k=到1n k=+时等式左边的变化的项，正确表示n k=时，左边(1)(2)()k k k k+++和1n k=+时，左边(2)(3)(22)k k k+++是解答问题的关键，着重考查了学分析问题和解答问题的能力，同时在数学的证明中，应注意在证明1n k=+成立时，须用上假设，这是数学归纳法的一个易错点，属于基础题．8、与参数方程为)xty⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（）A．214y+=2x B．21(01)4yx+=≤≤2xC．21(02)4yy+=≤≤2x D．21(01,02)4yx y+=≤≤≤≤2x【解析】试题分析：由曲线参数方程，可得010t t ≥⎧⎨-≥⎩，解得01t ≤≤，从而得到01,02x y ≤≤≤≤，将参数方程中参数消去得2214y x +=，所以曲线的普通方程为2214y x +=（01,02x y ≤≤≤≤），故选D ． 考点：参数方程与普通方程的互化．9、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下 列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f 【答案】D考点：函数的导数与函数的极值的关系．10、已知)(x f 是定义域，值域都为(0,)+∞的函数， 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式正确的是（ ）A ．2016(2016)2015(2015)f f >B ．2016(2016)2015(2015)f f < C. 222015(2015)2016(2016)f f < D. 222015(2015)2016(2016)f f > 【答案】C 【解析】试题分析：令()()2g x x f x =，则()()()()22[]2g x x f x xf x x f x '''==+，且(0,)x ∈+∞，又()()20f x xf x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为单调递增函数，所以(2015)(2016)g g <，即222015(2015)2016(2016)f f <，故选C ．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的应用．11、已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣2） D ．（﹣∞，﹣1） 【答案】C考点：函数的零点与方程的根的关系；函数导数在函数中的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的应用，其中解答中，求出函数的导数，对实数a 分成三种情况讨论，分别确定函数的零点的情况是解答问题的关键，着重考查了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．12、已知实数y x ,满足2246120x y x y +-++=，则22x y --的最小值是（ ）A ．5-．4 C 1- D ． 【答案】A 【解析】试题分析：因为实数,x y 满足2246120x y x y +-++=，所以cos 2sin 3x y αα=+⎧⎨=-⎩，所以222cos sin )5x y αααϕ--=-++，因为)5[5αϕ++∈，所以22[5x y --∈-+，所以22x y --的最小值为5A ． 考点：直线与圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的方程、圆的参数方程、三角函数的恒等变换、三角函数的性质等知识点的应用，解答中利用圆的参数方程，化简2)5x y αϕ-++是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归数学思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13、用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，假设命题的结论不成立的正确叙述 是“ ”. 【答案】假设1x ≠且1x ≠- 【解析】试题分析：由题意得，根据反证法的概念，可知反证法的假设是所证结论的否定，所以假设命题的结论不成立的正确叙述是“假设1x ≠且1x ≠-” 考点：反证法．14、在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲 线⎩⎨⎧+=+=θθsin 4cos 3:1y x C （θ为参数）和曲线1:2=ρC 上，则AB 的最小值为_______．【答案】3考点：参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；圆的最值．15、在极坐标系中，极点为O ，曲线1:6sin C ρθ=与曲线2:sin()4C ρθπ+=，则曲线1C 上的点到曲线2C 的最大距离为 ．【答案】3 【解析】试题分析：曲线1:6sin C ρθ=化为26sin ρρθ=，所以直角坐标方程为226x y y +=；曲线2:sin()4C ρθπ+=sin cos )ρθρθ+=化为直角坐标方程为20x y +-=，所以圆心(0,3)到直线的距离为d 1C 上的点到曲线2C 的最大距离为3+．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．【方法点晴】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程化与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式的应用和与圆有关的最值问题，解答中利用极坐标与直角坐标的互化公式，把曲线化为直角坐标，利用点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距离为d 是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力和转化与化归思想的应用，属于基础题．16、在平面直角坐标系中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值 是_____________. 【答案】)1(21ee +考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性与极值、最值．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，解答中利用导数求解出过点P 的切线方程和过点P 垂直l 的切线方程，得到线段MN 的中点的纵坐标是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，试题有顶的难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,求直线的倾斜角α的值． 【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π.考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用．18、在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=．现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 233212（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于B A ,两点，定点)3,2(--P ，求||||PB PA ⋅的值． 【答案】（1）03323=-+-y x ，8)2()2(22=-+-y x ；（2）33．考点：参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程中参数的几何意义．19、已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长．【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+；（2．考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆位置关系． 20、已知函数()()2ln f x x ax x a R =-+-∈．（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最大值是2，最小值为2ln 2-；（2）a >【解析】考点：利用导数求函数闭区间上的最值；利用导数研究函数的单调性及函数在某点取极值的条件．【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数极值和最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值,如果()f x 在点0x 的左右两侧符号不变，则0x 不是函数极值,最后再比较端点处的函数值与极大值极小值的大小，就可得到函数在闭区间上的最值.21、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且 1,,b b r ≠均为常数)的图象上.（1）求r 的值；（2）当b=2时,记22(log 1)()n n b a n N +=+∈用数学归纳法证明:对任意的n N +∈ ,不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立． 【答案】（1）1r =-；（2）证明见解析．下面用数学归纳法证不等式121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅> 成立. ①当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立. ②假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅> 成立. 则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立考点：数列的通项公式；数学归纳法．22、已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，求 实数b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(，单调递减区间是),3(,)1,0(∞+；（Ⅱ）,⎛-∞ ⎝. 试题解析：（Ⅰ）14341ln )(-+-=x x x x f )0(>x ，22243443411)(xx x x x x f --=--='考点：1.函数单调区间；2.函数恒成立问题；3.数学转化思想.【方法点晴】此题主要考查导数在函数单调区间中的应用，以及数学转化思想在函数数恒成立问题的体现等方面的知识与技能.利用导数与函数单调性的关系来求函数的单调区间充分体现了导数的工具性，令导数大于零求得函数的单调递增区间，令导数小于零求得函数的单调递减区间，需要注意的是函数的定义域；函数恒成立问题也是常考的问题，这其中经常需要将问题进行转化（体现了数学转化思想），把不等式问题等价转化为函数的最值问题，再进行求解.。
贵州省思南中学高二数学下学期第一次月考试题 理
思南中学2015—2016学年度第二学期第一次月考高二年级数学理科试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1、六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数是（ ） A.192 B.216 C.240 D.2882、若二项式错误!未找到引用源。
的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ） A.-2739C B.2739C C.-949C D.949C3、 已知()()()+++=+221010x -1a x -1a a x 1…+()=81010a x -1a ，则（ ）A.-180B.180C.45D.-45 4、某地四月份吹东风的概率为309，下雨的概率为3011，既吹东风又下雨的概率为308，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A.119 B.118 C.52 D.985、已知随机变量错误!未找到引用源。
,且错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,则n 与p 的值分别是( )A.20与0.2B.5与0.8C.10与0.4D.8与0.56、从5名男生和3名女生中任选4人参加朗诵比赛，设随机变量X 表示所选4人中女生的人数，则()X E 等于（ ）A.错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C.45 D.错误!未找到引用源。
537、设随机变量ξ服从正态分布错误!未找到引用源。
，函数错误!未找到引用源。
()ξ++=x x x f 82没有零点的概率是21，则错误!未找到引用源。
. A.2 B.4 C.16 D.8 8、下列说法:①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;②设一个线性回归方程x y53ˆ-=,变量x 增加1个单位时,y 平均减少5个单位; ③设具有相关关系的两个变量x,y 的相关系数为r,则|r|越接近于0,x 和y 之间的线性相关程度越强; ④在一个2×2列联表中,由计算得K 2的值,则K 2的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大. 其中错误的个数是( ) (A)3(B)2(C)1(D)09、下表是一位母亲给儿子作的成长记录：身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1根据以上样本数据，她建立了身高y (cm)与年龄x （周岁）的线性回归方程为93.7319.7ˆ+=x y，给出下列结论：①y 与x 具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点(42，117.1)； ③儿子10岁时的身高是83.145cm ；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加19.7cm. 其中，正确结论的个数是（ ）A.1B.2C. 3D. 410、设a Z ∈，且013a ≤≤，若错误!未找到引用源。
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绝密★启用前【全国百强校】贵州省思南中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设函数是函数f (x)的导函数，x ∈R 时，有+，则时，结论正确的是 A ．B ．C ．D ．2、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为（ ）A ．B ．2C ．D ．33、已知点P 是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．4、偶函数满足,且在时,,，则函数与图象交点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45、等比数列中，，则数列的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．36、在下列区间中，函数f(x)=e x +4x-3的零点所在的区间（ ）A ．(–，0 )B ．(0，)C ．(，)D ．(，)7、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8–B ．8–C ．8–πD ．8–2π8、若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．9、展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－410、已知，i 是虚数单位，是纯虚数，则a 等于（）A ．1B ．-1C ．D ．11、已知集合，集合，则有（ ） A ．B ．C ．D ．12、阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( )A ．7B ．9C ．10D ．11第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、数列满足，则的前项和为14、从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为 .15、函数的部分图象如图所示，则________.16、已知A，B，C是圆O上的三点(点O为圆的圆心），若，则与的夹角为______.三、解答题（题型注释）17、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．18、已知函数. （1）试判断函数的单调性； （2）设，求在上的最大值；（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．19、如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.20、经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率，求T 的数学期望．21、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD.（1）证明：PA ⊥BD ；（2）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
22、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝5，b ＝5，求sin Bsin C 的值．参考答案1、D2、A3、D4、B5、C6、C7、C8、C9、C10、A11、D12、B13、183014、15、16、17、（1）点P在直线l上；（2）.18、（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）在上的最大值为；(3) 证明过程详见试题解析.19、（1），；(2)20、（1）（2）0.7（3）5940021、（1）见解析（2）22、（1）（2）【解析】1、令y=e x f(x)，y′=e x(f′(x)+f(x))，∵x∈R时,f′(x)+f(x)>0,e x>0，∴y′>0，函数y=e x f(x)，是增函数。
,可得，故选：D.点睛：利用导法则构造新函数：关系式为“加”型（1）构造（2）构造（3）构造（注意对的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）构造（2）构造（3）构造2、因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，所以球的半径为：．故选：A．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．3、在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率为，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=bt.PF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|−|PF1|=2a，∴bt−at=2a，①在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②由①②消去t，得(a2+b2)⋅=4c2，又c2=a2+b2，∴a2=(b−a)2，即b=2a，∴双曲线的离心率是=，故选：D.4、试题分析：根据条件，所以函数的周期,并且函数是偶函数，关于轴对称，根据时，画出函数的图像，并且函数也是偶函数，画出的图像，判断左右对称各有一个交点，所以共有2个交点，故选B.考点：1.函数的性质；2.函数的图像.5、试题分析：的前8项和，C为正确答案.考点：等比数列的性质的运用，对数的计算公式。
6、将x=-14，0，14，12，34，分别代入解析式，得f(–)=-4＜0；f(0)=1-3=-2＜0；f()=-2＜0；f()=-1＞0；f()=＞0；则有f()·f()＜0；所以函数f(x)=e x+4x+3的零点所在的区间为(，).故选C.点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.7、由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23−2××π×12×2=8−π.故选：C.点睛：考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8、作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．考点：线性规划．9、的常数项为 (x2)3()2=40。
故本题正确答案为C。
10、试题分析：∵，∴是纯虚数，∴，故选A．考点：复数的运算、纯虚数.11、解答：=[−2,+∞)，，}=R，故A∩B=A.故选D.12、试题分析：运行第一次，，不成立；，运行第二次，，不成立；，运行第三次，，不成立；，运行第四次，，不成立；，运行第五次，，成立；输出的值9，结束故选B.考点：1、对数的运算；2、循环结构.13、试题分析：，令则，即数列是以16为公差的等差数列，的前60项和为即为数列{b n}的前15项和考点：数列递推式，数列求和【名师点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，属难题.解题时要注意等差数列的求和公式的应用，解题的关键是有已知条件的特征构造等差数列，利用等差数列求和.14、试题分析：由定积分的几何意义可知，点取自阴影部分的面积为，总的区域面积为矩形面积，那么比值为.考点：1.定积分的几何意义；2.几何概型.15、∵T=−(−)=π，∴T=π，∴ω=2把(,2)代入，得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ，∴φ=−+2kπ，k∈Z，∵，∴φ=，点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.16、在圆中若= (+)，即=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°17、试题分析：（1）消去曲线参数方程中的参数，得到曲线普通方程，根据公式，把点的坐标化为直角坐标方程，即可判断点与直线的关系；（2）设，由点到直线的距离公式可得距离的表达式，通过三角恒等变换化为正弦型函数在给定区间上的最值来求解.试题解析：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．考点：椭圆的参数方程与直线极坐标方程的应用.18、试题分析：（1）先对函数求导，令导函数为0，即可求得函数在上单调递增，在上单调递减．（2）结合函数的单调性，分时，时，三种情况进行讨论，即可求在上的最大值；(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.试题解析：（1）解：（1）函数的定义域是．由已知．令，得．因为当时，；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以．当时，在上单调递减，所以．当，即时，．综上所述，（3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．考点：导函数的应用、最值问题、恒成立问题.19、试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得：，由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，最后由,解得，经检验符合题意，故直线的方程为.试题解析：（1）在方程中，令，得在方程中，令，得所以设的半焦距为，由及，解得所以，（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为代入的方程中，整理得：（*）设点的坐标由韦达定理得又，得，从而求得所以点的坐标为同理，由得点的坐标为，,即，，解得经检验，符合题意，故直线的方程为考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.20、(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.所以T＝(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59400.21、试题解析：（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，故PA ⊥BD（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）设平面PAB的法向量，则，解得平面PBC的法向量，则，解得考点：本题考查线线垂直二面角点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性22、试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A×sin A＝sin2A＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.。