2020考研数学高数必背定理：定积分的应用
考研数学高数公式：定积分
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！考研数学高数公式：定积分第五章：定积分学习要求:1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理2.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。
3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
4.了解广义积分的概念，并会计算广义积分。
5.掌握反常积分运算。
定积分的基本公式和定理1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。
加油！。
定积分应用公式总结
定积分应用公式总结定积分在数学中是一种用来计算指定“区域”中不定积分的一种方法。
也可以看作是不定积分的一种特殊情况，在定积分中，dt、dx （或ds）等变量的范围已知，可以按照一定的规律来进行计算。
由于定积分的应用范围很广，所以它也被称为积分计算的“母亲”。
定积分的基本定义：定积分（bounded integral）是指当向量函数f（x）从一定的初始点a到某个终点b时，求其在这段路径上的积分，其计算公式为： $$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^{n}f(x_{i})*triangle x_{i}$$ 其中，$triangle x_{i}$表示离散点x的间隔。
定积分的特征：定积分的计算方式和不定积分的方式不同，它的极限不是某分段的函数的极限，而是某一固定的函数的极限。
鉴于此，定积分用来计算是属于离散点的变量，而不是一般定积分中的连续变量。
定积分的常用公式：1、等差数列积分公式：$$int_a^bnf(x)dx=frac{n}{2}[f(a)+f(b)] $$其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数。
2、等比数列积分公式：$$int_a^bnf(x)dx=frac{f(a)-f(b)}{ln r}$$其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数，r为公差的比值。
3、定积分的把握方法：（1）由题目给出函数和边界。
（2）确定不定积分的具体形式，如极限形式、公差形式或被积函数形式等，并推导出新的定积分积分公式。
（3）确定积分的终点，并填入公式中求解。
4、定积分的运用：定积分的应用涉及面很广，主要有在统计学、几何学、概率论、力学及物理学中的应用。
（1）在统计学中，定积分可以用来求解定量分析双变量函数在一定范围内的离散点数据，或求解单变量函数的极限。
（2）在几何学中，定积分可以用来求解曲线长度、曲线与某平面图形（如圆形或矩形）的重叠情况、曲线的面积等。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
高等数学- 定积分的应用
x
0 L(x)dx c0
L(x) x2 L(x)dx x1
例1 设固定成本为50万元,R(Q) 100 - 2Q, C(Q) 14Q 20,试确定厂商的最大利润
四、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
绕 x轴旋转一周
Vx
b (f 2 (x) g2 (x))dx
a
(3) x (y),y c,y d围成图形绕 y轴旋转而成的体积为
Vy
d 2 (y)dy
c
y
d
x ( y) c
o
x
例1 求 x2 y 2 1 (1)绕x轴,(2)绕y轴旋转产 a2 b2
生的旋转体体积
解 : (1)绕x轴
y b a2 x2 a
Vx
a y 2dx
a
2
a b2 0 a2
(a2
x2 )dx
2b 2 a2
(a2x
1 3
x
3
)
|a0
4 ab2 3
(2)绕y轴
Vy
2 2
a x | f (x) | dx
0
4
a b2 0 a2
x
a2 x2dx 4 a2b 3
例2 求y x2 ,x y2围成平面图形绕x轴旋转
而成的旋转体体积.
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
定积分的基本性质及应用
定积分的基本性质及应用定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。
本文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。
定义：定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。
在数学中，一个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫(a to b) f(x) dx其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数k，有以下等式成立：∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒为0，那么至少存在一个点c，使得：∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。
若a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。
5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值也是非负的。
应用：定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。
1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
高数中的积分应用
高数中的积分应用积分是微积分学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的累加结果进行求解的方法。
在高数学习中，积分应用是一个重要的话题，它涵盖了各种实际问题的求解方法。
本文将从几个不同应用场景出发，介绍高数中的积分应用。
1. 定积分的面积计算在高数中，定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
当曲线为非负区间上的连续函数时，通过求解定积分，我们可以得到该曲线与$x$轴之间的面积。
例如，考虑曲线$y=f(x)$和$x$轴所夹成的区域，我们可以通过求解定积分$\int_a^bf(x) dx$来计算这个区域的面积。
2. 定积分的长度计算除了面积计算，定积分还可以用于计算曲线的弧长。
给定曲线$y=f(x)$在区间$[a, b]$上的函数表达式，我们可以使用定积分公式$\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} dx$来计算曲线在该区间上的弧长。
这种应用可以有效地解决一些与曲线长度相关的问题。
3. 定积分的物理应用定积分在物理学中具有广泛的应用。
例如，通过计算一个物体的位移与时间的关系，我们可以使用定积分来求解物体在某段时间内的位移。
同样地，定积分还可以应用于计算速度、加速度以及质量与力之间的关系等。
4. 定积分的概率计算在概率论中，定积分可以用于计算连续随机变量的概率密度函数。
对于一个连续随机变量$X$，它的概率密度函数可以表示为$f(x)$，则该随机变量落在某个区间$[a, b]$上的概率可以通过求解定积分$\int_a^b f(x) dx$来计算。
这种应用使得我们可以在概率论中进行更加精确的计算。
5. 定积分的工程应用定积分在工程学中有着广泛的应用。
例如，在电子工程中，定积分可以用于计算电路的功率消耗。
通过求解电路中各个分量的电流与电压的乘积，并对其进行累加，可以得到电路在某个时间段内的总功率消耗。
以上只是高数中积分应用的几个例子，实际上在科学、工程和经济等领域中，积分应用的范围非常广泛。
定积分应用知识点总结
定积分应用知识点总结1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解曲线下面积或者曲线围成图形的面积。
在实际问题中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质心、弧长、体积、工作、功等物理量。
2. 定积分的计算定积分的计算可以通过积分的定义或者牛顿-莱布尼茨公式来进行。
积分的定义是将一个曲线f(x)在区间[a,b]上分成无穷多段，每一段的面积为f(x)与x轴之间的面积的无限和，然后通过极限的方法求得。
而牛顿-莱布尼茨公式则是通过原函数的求导与积分的关系，直接求出定积分的值。
3. 定积分的性质定积分有很多重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和应用中起到了非常重要的作用，可以简化定积分的计算过程。
4. 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，例如可以用来求解曲线围成的图形的面积、计算质心、弧长、体积、工作、功等物理量。
在工程、物理、经济学等领域都有着重要的应用价值。
5. 定积分的计算技巧对于一些特定的函数，可以通过一些积分的技巧来简化定积分的计算，例如换元积分法、分部积分法等。
这些技巧可以帮助我们更快速、准确地求解定积分。
在实际问题中，我们经常会遇到需要利用定积分来计算一些物理量或者解决一些实际问题，下面我们通过一些实际例子来解释定积分的应用知识点。
1. 计算物体的质心在物理学中，质心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡位置。
对于一个均匀密度的物体，我们可以通过定积分来计算它的质心位置。
假设物体在x轴上的密度分布函数为ρ(x)，则物体的质心位置可以通过如下公式计算得出：\[X=\frac{\int_{a}^{b}xρ(x)dx}{\int_{a}^{b}ρ(x)dx}\]其中，\(\int_{a}^{b}xρ(x)dx\)表示物体的动量矩，而\(\int_{a}^{b}ρ(x)dx\)表示物体的总质量。
通过这个公式，我们就可以求得物体的质心位置。
4_3_2 定积分在物理学上的应用 高等数学 微积分 考研数学
0
arccos
3 3
o
x dxx
y
l
y
x
由实际意义可知最大值存在 , 故此唯一驻点 0
即为所求.
Page 16
• 当平板不与水面平行时,
面积为 A 的平板
所受侧压力问题就需用积分解决 .
Page 6
例4. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的
方程为 y R2 x2 (0 x R)
利用对称性 , 侧压力元素
o
dP 2 g x R2 x2 dx
x
y
xdx
端面所受侧压力为
R
P R 2g x 0
R2
x2
dx
2g R3 x
小窄3 条上各点的压强
pgx
Page 7
说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g (R x) ,
侧压力元素 dP 2 g (R x) R2 x2 dx ,
故端面所受侧压力为
P
R
2g
(R x )
d Fay
d F k m dx
a2 x2 故垂直分力元素为
d Fy dF cos
dF
xdx
l 2
o x lx
2
k
m dx
a2 x2
a a2
x2
km a
(a2
dx
x2
3
)2
Page 10
棒对质点的引力的垂直分力为
y
Fy
2 k m a
l 2
dx
0
(a2
x2
3
)2
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2020考研数学高数必背定理：定积分的应用数学想要获取高分，必要的公式定理一定要熟记。
下面为大家整理了“2020考研数学高数必背定理：定积分的应用”，希望能够帮助到大家！
2020考研数学高数必背定理：定积分的应用
以下是2020考研数学高数必背定理：定积分的应用的具体内容：
►定积分的应用
求平面图形的面积（曲线围成的面积）
直角坐标系下（含参数与不含参数）
极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）
旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）
平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A （x）为截面面积）
功、水压力、引力
函数的平均值（平均值y=1/（b-a）*∫abf（x）dx）。