【配套K12】[学习]四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第5课时 直线与椭圆的位置关系同

第5课时直线与椭圆的位置关
系
基础达标(水平一 )
1.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为().
A.0
B.1
C.2
D.与a,b的值有关
【解析】因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线的距离
d=>2,所以a2+b2<4,所以点(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点.因为椭圆
的长半轴长为3,短半轴长为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点(a,b)是椭圆内的点,所以过点(a,b)的一条直线与椭圆的公共点个数为2.故选C.
【答案】C
2.直线y=kx+3与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是().
A.m≥3且m≠8
B.m≥9
C.m≠8
D.m≤8
【解析】因为直线恒过定点(0,3),且直线与椭圆恒有公共点,所以需使点(0,3)在椭圆内
或椭圆上,所以≤1,即m≥9.
【答案】B
3.椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为().
A. B. C. D.-
【解析】设直线与椭圆交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,
设直线为y=k(x+1)+2,
联立
得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.
所以x1+x2=,
所以=-2,解得k=.
故选B.
【答案】B
4.已知椭圆E:+=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与直线l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是().
A.kx+y+k=0
B.kx-y-1=0
C.kx+y-k=0
D.kx+y-2=0
【解析】A选项中,当k=-1时,两直线关于y轴对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等;B 选项中,当k=1时,两直线关于原点对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等;C选项中,当k=1时,两直线关于y轴对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等.
【答案】D
5.已知椭圆C:+y2=1,斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=,则直线l的方程为.
【解析】设直线l的方程为y=x+m,联立
化简得4x2+6mx+3m2-3=0,
∴x1+x2=-,x1x2=.
∵|AB|=|x1-x2|,
∴·=,
∴m=±1,∴直线l的方程为y=x±1.
【答案】y=x±1
6.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB
的中点,则椭圆C的离心率为.
【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得
+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,整理得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以=,即e=.
【答案】
7.已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且一个焦点为(0,-),点A(1,)在该椭圆上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
【解析】(1)椭圆的一个焦点为(0,-),设椭圆方程为+=1(a>).
将点A(1,)代入方程,得+=1,
整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),
故所求椭圆方程为+=1.
(2)设直线BC的方程为y=x+m,点B(x1,y1),C(x2,y2),
代入椭圆方程并化简,得4x2+2mx+m2-4=0,
由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,
可得0≤m2<8. (*)
又x1+x2=-m,x1x2=,
故|BC|=|x1-x2|=.
又点A到直线BC的距离为d=,
故S△ABC=|BC|·d=
≤·=,
当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号(满足*式),此时直线l的方程为y=x±2.
拓展提升(水平二)
8.设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2
与椭圆交于M,N两点.若|MN|=16,则椭圆的方程为().
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c.
整理得2e2+e-1=0,解得e=.所以a=2c,b=c,椭圆的方程为3x2+4y2=12c2.
直线PF2的方程为y=(x-c),将直线方程代入椭圆方程,
整理得5x2-8cx=0,解得x=0或x=c,
所以M(0,-c),N,
因此|MN|=c=16,所以c=5.
所以椭圆的方程为+=1,故选B.
【答案】B
9.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学“三巨匠”,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为
λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.
已知圆:x2+y2=1和点A,点B(1,1),M为圆O上的动点,则2|MA|+|MB|的最小值为().
A.B.C.D.
【解析】设点M的坐标为(x,y),令2|MA|=|MC|,则=.
由题意知,圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且λ=.
设点C的坐标为C(m,n),
则==,
整理得x2+y2+x+y=.
由题意得该圆的方程为x2+y2=1,
∴解得
∴点C的坐标为(-2,0),
∴2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|,
因此当点M位于图中点M1,点M2的位置时,2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小值为
,故选C.
【答案】C
10.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最大值为,最小值为.
【解析】表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.
不妨设=k,则过定点(2,0)的直线方程为y=k(x-2).
由得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.
令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,
解得k=±,
所以的最大值为,的最小值为-.
【答案】-
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.
【解析】(1)由题意,得解得a=2,b=2.
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
由消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,
∵Δ=96-8m2>0,∴-2<m<2.
又∵x1+x2=-,
∴x0==-,y0=x0+m=.
又∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
∴+=1,解得m=±,满足条件.。