关于丢番图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z的解
七年级数学上册-难点探究：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略(解析版)
专题13难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 (1)【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 (5)【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 (11)【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】 (18)【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 (25)【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】答：大和尚有25人，小和尚有75人．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．【变式训练】【类型二一元一次方程的应用--销售问题】【变式训练】【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题：（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A 方案：买一个篮球送一条跳绳；B 方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x 条（50x >）(1)若按A 方案购买，一共需付款_________元（用含x 的代数式表示）；若按B 方案购买，一共需付款_________元（用含x 的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当100x =时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【答案】(1)()300010x +，()31509x +(2)购买150根跳绳时，A 、B 两种方案所需要的钱数一样多(3)按A 方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B 方案购买，付款3950元【分析】（1）由题意按A 方案购买可列式：()50705010x ⨯+-⨯，在按B 方案购买可列式：()5070100.9x ⨯+⨯；（2）由（1）列等式求解即可；（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A 方案是买一个篮球送跳绳，B 方案是篮球和跳绳都按定价的90%付款，考虑可以按A 方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B 方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．【详解】（1）解：A 方案购买可列式：()50705010300010x x ⨯+-⨯=+元；按B 方案购买可列式：()()5070100.931509x x ⨯+⨯=+元；故答案为：()300010x +，()31509x +；（2）由（1）可知，当A 、B 两种方案所需要的钱数一样多时，即30001031509x x+=+解得150x =．答：购买150根跳绳时，A 、B 两种方案所需要的钱数一样多．（3）当100x =时，按A 方案购买需付款：3000103000101004000x +=+⨯=（元）；按B 方案购买需付款：31509315091004050x +=+⨯=（元）；按A 方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B 方案购买50个跳绳合计需付款：5070105090%35004503950⨯+⨯⨯=+=（元）；∵395040004050<<，∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．【变式训练】方案二：联合购买门票需()5040504500(+⨯=元)；方案三：联合购买101张门票需101404040(⨯=元)；综上所述：因为540045004040>>．故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用.解答时建立方程求出各单位人数是关键．2．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x 只（20x ＞），现从A 、B 两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A 超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；B 超市的优惠政策为所有商品八折．(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A 超市购买费用是______元（用含x 的式子表示），到B 超市购买费用是_____元（用含x 的式子表示）；(2)在（1）的条件下，当购买书架x 多少只时？到A 、B 两家超市购买费用相等．(3)学校要购买20张书柜和60只书架．①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A 超市购买费用是______元，到B 超市购买费用是____元；②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并求出购买费用是多少元？【答案】(1)(804400)(644800)x x ++，(2)25只(3)①9200，8640②8560元【分析】（1）根据两个超市的优惠政策列代数式即可；（2）根据购买费用相等以及（1）题中的代数式列方程求解即可；（3）①将书架数量为60分别代入（1）题中的代数式求解即可；②选择最便宜的方案后再代入计算即可．【详解】（1）解：A 超市：由题意得，在A 超市只需买20张书柜及()20x -只书架，∴A 购买费用为：()()2030080206000801600804400x x x ⨯+-=+-=+元B 超市费用为：()203000.8800.8480064x x ⨯⨯+⨯⨯=+元故答案为：(804400)x +，(644800)x +（2）解：由题意得：804400644800x x +=+某校七年级（(3)设主叫时间为t 分钟，直接写出t 满足什么条件时，B 套餐省钱．【答案】(1)40(2)400分或900分(3)400900t <<【分析】（1）根据“A 套餐”“B 套餐”的计费方式，分别求得通话时间200分钟时的计费，再进行比较即可得出结论；（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x 分，分别讨论若100500x <≤和500x >，根据“A 套餐”“B 套餐”的计费方式，列出关于x 的一元一次方程，解之即可，（3）根据（2）所求即可得出结论．【详解】（1）根据题意得：∵200100>∴A 套餐需交费：38(200100)0.258+-⨯=（元），∵200500<∴B 套餐需交费98元所以，选用A 套餐比选用B 套餐节省的费用为：985840-=（元）故答案为：40；（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x 分，若100500x <≤，根据题意得：()381000.298x +-⨯=，解得：400x =，若500x >，根据题意得：()381000.298+(500)0.25x x +-⨯=-⨯，解得：900x =，综上所述，小宇的爸爸7月份的主叫时间为400分或900分（3）当400900t <<，选择B 套餐省钱【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，正确掌握分类讨论思想是解题的关键．【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】180∴>，x∴-=，0.618126x∴=．x240答：该户12月用电量为240度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．【变式训练】(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x 元()1250x >的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？【答案】(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元(2)当0.81500x >时，顾客获得的优惠额是()0.2150x +元，当10000.81500x <<时，顾客获得的优惠额是()0.2100x +元(3)这名顾客第一次购买商品的标价是1990元【分析】（1）根据已知条件列出算式求出结果；（2）①分情况讨论当0.81500x >时，②10000.81500x <<时，列出算式；（3）在（2）的基础上列出方程解出符合条件的数．【详解】（1）∵商场内所有商品按标价的80%出售，∴180080%1440⨯=（元），∵100014001500<<，∴顾客获得的优惠额是100元，打折后优惠额：()1800120%360⨯-=（元），∴购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是360100460+=（元），答：购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元；（2）∵顾客在该商场购买一件标价x 元()1250x >的商品，①当0.81500x >时，顾客获得的优惠额是()0.2150x +元，②当10000.81500x <<时，顾客获得的优惠额是()0.2100x +元，综上所述：当0.81500x >时，顾客获得的优惠额是()0.2150x +元，当10000.81500x <<时，顾客获得的优惠额是()0.2100x +元；（3）①0.81500x >时，0.21508000.260768x ++⨯+=，解得1990x =，②10000.81500x <<时，0.21008000.260768x ++⨯+=，解得2240x =（舍去），综上所述这名顾客第一次购买商品的标价是1990元．【点睛】本题考查一元一次方程应用、列代数式，掌握列代数式的关键条件，分情况讨论是解题关键．【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）[应用意识]如图，数轴上,A B 两点所表示的数分别为5,10,O -为原点，C 为数轴上一动点且表示的数为x ．点P 以2个单位长度/秒的速度，点Q 以3个单位长度/秒的速度，分别自,A B 两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为t 秒．(1)若点,P Q 在点C 处相遇，求点C 所表示的数x ；(2)若OP OQ =，求t 的值；(3)当5PQ =时，求t 的值；(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点B 出发，与点P 相向而行，宠物鼠遇到点P 后立即返回，又遇到点Q 后立即返回，又遇到点P 后立即返回……直到点,P Q 相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程．【答案】(1)点C 所表示的数是1(2)t 的值是3或5(3)t 的值是2或4(4)12个单位长度【分析】（1）根据相遇时P ，Q 表示同一个数得：52103t t -+=-，解得t 的值，即可得到答案；（2）P 运动后表示的数为52t -+，Q 运动后表示的数为103t -，故52103t t -+=-，或521030t t -++-=，可解得答案；（3）由5PQ =，得()()231055t +=---或()()231055t +=--+，可解得答案；（4）用时间乘以速度即可．【详解】（1）解：依题意，得()32105t t +=--，解得3t =，即点,P Q 运动3秒后相遇．532561-+⨯=-+=．故点C 所表示的数是1．（2）依题意，得52103t t -+=-，解得3t =；或521030t t -++-=，解得5t =．故t 的值是3或5．（3）依题意，得()()231055t +=---，解得2t =；或()()231055t +=--+，解得4t =．故t 的值是2或4．（4）由（1）知，点,P Q 同时出发，相向而行，经过3秒后相遇，即宠物鼠运动的时间为3s ．4312⨯=．故宠物鼠在整个过程中所经过的路程是12个单位长度．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，表示出P 运动后表示的数为52t -+，Q 运动后表示的数为103t -.【变式训练】1．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，数轴上点A 表示的为8，B 是数轴上一点，点B 在点A 左边且点A 点B 的距离14AB =，动点P 、Q 分别从点A 、B 两点同时向左移动，点P 的度为每秒3个单位长度，点Q 的速度为每秒1个单位长度．(1)求出数轴上点B 表示的数；(2)求经过几秒点P 追上点Q ？(3)经过几秒，P 、Q 两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P 表示的是多少？【答案】(1)6-(2)7秒(3)经过4秒，P 、Q 两点的距离为6个单位长度，此时点P 表示的数是4-；经过10秒，P 、Q 两点的距离为6个单位长度，此时点P 表示的数是22-【分析】（1）根据数轴上表示数的方法和14AB =求解即可；（2）设经过t 秒以后，点P 追上点Q ，根据题意列出方程求解即可；问题探究：(1)动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q(2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与【点睛】本题考查了动点问题，相遇、相距问题及几何问题的数量关系．5．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，数轴上的点(1)填空；=a______，b=______，当t=______(2)当电子蚂蚁D与C相距20个单位长度时，求(3)在（1）的条件下，电子蚂蚁D与C相遇后，各自分别按原方向、原速度继续运动．若在。
计算思维导论4~7单元答案
【单元测验4】返回本次得分为：40.00/40。
00，本次测试的提交时间为:2017—04—22，如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。
1单选(4分)古希腊数学家丢番图（Diophantus)对代数学的发展有极其重要的贡献，并被后人称为“代数学之父”.他在《算术》（Arithmetica)一书中提出了有关两个或多个变量整数系数方程的有理数解问题.对于具有整数系数的不定方程，若只考虑其整数解，这类方程就叫丢番图方程。
“丢番图方程可解性问题”的实质为：能否写出一个可以判定任意丢番图方程是否可解的算法.下面给出判定方程3x+5y=2是否有整数解的过程：首先使用欧几里德算法求出系数3和5的最大公因子:(1) 3除5余数为2；(2）2除3余数为1；(3) 1除2余数为0，算法结束，输出结果1。
3和5的最大公因子是1，1能整除2,故该方程有整数解。
根据以上方法，判定下面没有整数解的是 ( ）得分/总分A。
2x+4y=54。
00/4。
00B.3x+4y=2C。
2x+3y=5D.2x+3y=2正确答案：A你选对了2单选（4分)十六进制数(88)16转换为二进制数为（）得分/总分A.100010004。
00/4.00B.01010101C。
11001100D。
01000100正确答案:A你选对了3单选(4分）根据顺序存储和链式存储各自的优势，判断以下案例应选择哪种存储方式：若想编写一个下跳棋的游戏程序，那么表示棋盘的数据结构将会是一个静态数据结构，这是因为棋盘的大小在游戏过程中不会改变，所以应该选择；而若要编写一个多米诺游戏的程序，则根据表构建的多米诺模式的数据结构将会是一个动态数据结构，这是因为这个模式的大小是可变的，而且不能预先确定,因此应该选择。
（）得分/总分A.顺序存储链式存储4.00/4.00B.链式存储顺序存储C.顺序存储顺序存储D.链式存储链式存储正确答案：A你选对了4单选（4分）已知一个采用一维数组形式实现的队列Q（每项占一个存储单元），当前队头地址为11,队尾地址为17。
著名的丢番图方程，最有趣的“世界难题”，从古研究至今
著名的丢番图⽅程，最有趣的“世界难题”，从古研究⾄今2019年9⽉6⽇，由布⾥斯托尔⼤学和⿇省理⼯学院的研究⼈员领导的⼀个团队宣布，他们发现了所谓的“三个⽴⽅数和”的问题的最终解，即求⽅程x³+ y³+ z³= k的整数解，k的值在1到100之间。
⾃1954年提出以来，直到2016年，除了k=33和k=42的两个解之外，所有的解都被找到了。
19年3⽉，数学家安德鲁·R·布克（Andrew R. Booker）发表的⼀篇论⽂中宣布，他在布⾥斯托尔的超级计算机上花费了数周的计算时间，找到了k=33的正确解。
不久后，k=42的解也被发现了（布克和⿇省理⼯学院的安德鲁·萨瑟兰），答案是：对于k在1到1000之间的值，114、165、390、579、627、633、732、906、921和975的解仍然没有被发现。
丢番图⽅程三个⽴⽅和的问题是求丢番图⽅程解的⼀个例⼦，它可以定义为：定义丢番图⽅程是⼀个有⼏个未知数、系数为整数的代数⽅程。
也就是说，丢盘⽅程是有⼏个未知变量（x，y，z， ……）的⽅程，它的解（=0）只有当⽅程的系数是整数时才会出现。
线性丢番图⽅程线性丢番图⽅程是⼀阶⽅程，其解被限制为整数。
线性丢番图⽅程为：其中a、b、c为整数系数，x，y为变量。
例如：有多少个整数解？因为这是⼀个有两个未知数的⽅程，我们不能⼀次解⼀个变量（就像⼀个典型的线性⽅程组⼀样）。
相反，对于线性情况，我们可以使⽤以下定理：线性丢番图⽅程有整数解当且仅当c是a和b的最⼤公约数的倍数。
如果整数（x， y）构成给定a，b，c的线性丢番图⽅程的解，那么其他的解有（x + kv, y - ku）的形式，其中k是任意整数，u和v是a和b的最⼤公约数的商。
两个或两个以上整数的最⼤公约数（它们都不为零）是能整除每个整数的最⼤正整数。
对于上⾯的例⼦，我们可以先提出公约数5，得到：a和b的最⼤公约数是1和5。
【doc】关于丢番图方程x^2＋y^2=2z^2
关于丢番图方程x^2＋y^2=2z^2关于丢番图方程x"+Y"一2z"骨州一七四煤田地质勘探队子弟学校邓渡在研究丢番图方程(Diophalatine《qt=~ltiQn)x'+y'=z'中,我们发现,研究丢番图方程x'+y'=2z的整数解是很有意义的.盖番图方程x'+=2z明显的整数解有x:k,Y=k,z=k.并且当n是奇数对,还有解x=k,y=一k,z=0,这里k表示任一整数,我们称这墅解为平见解.理在的问题是除了这些平凡解外,它是否还有其它解,或番为非平凡解呢?下面的定理1将表明n=2时,丢番嘲方而K=D—K.,代^上式,得CD+1=(D—K)?10,(10'一C.)D一1=K{n取C=10'一C,,程x+y=2z有非平凡解.定理l丢番图方程x.+,=2z的所有整数解均可由x=±(m一n+2ran)k,】r±《m0一n.一2ran)k,z=±(m+n.)盘x=±(irl一n一2ran)k,y=±(m0—11+2mn)k,z=±(m+n.)k表也,这里垮整数或零,m,n是整数,且m>n>0,(m,n)=1,m,n～奇一锅.先给出荸l理1Ⅲ方程x.+.崤冠(x,CD一1K?i0(6)显然,C=}0一C是整数,并且出(6)茹知C为.这就完争证明了gl理的结论.二,自然数的整除判别法刊别法t自然数N=10a+b被D(D与10Ni素)整除的充要条件是I=a+bK赦D接除.今后我们称这种判剐自然数N能否被【]墼豫的方法为D的(n.K)f另【J法.证瞬由引理知存-整数C,使CD+1=K1O故N一^f.10=(】Oa4-一(a+bK)10=一(K10一1)b=一CbD所以,K—MlO能被【整除,又D与10互素,故N能被D整除的兔要条件是M能被1O 整除.证毕.类似地,可以证明下f判别按1自然数N=1,0a4-b被D(D与10互索)整除的亮要条件是M:a—bK被D整除.一'今后,我们称这种判别自然数N船否被D整除的方法为D的(n.一K)判别法.例1尹f别48345882能否被l3整除?由表I知13有(1.4).(1.一9),(2,3).(2.一10),(3.12),(3,一1).……等判别法,其中<1.4),(23),(3,一1)等判别法使用时计算量较小..4834588247463(2.3)法+189 (63x0)663(1,4)法I2……(3×4)78因为78能被13整除,..屯原数能被l3整除. 利用这个判别法,极翳导出一系列除性的特辣判别法,如1.N=a】l0+az10'一+…+a一【10+a能被3或9整除的充要条件是M=c+a+…+a能被3或9整除.2.K=I10+a10'十…+a【10+a能被l1整除的充要条件是M=(a4-as+a5+…)一(a2+a'+咀6+…)能被11整除.y)=1,X>0,Y>0,z>0,21x的全部解可表为x=2ab,y=a一b,z=a十b.这里a>b>0,(a,b)=1,b一奇一偶定理1的汪明:'设(X,y):k,x=k¨ykY】,X十Y.=2z得k是正整数或零.争则x"Y1)=1,代入Yi=2(一})(1)左边是整数,从而2(一}必为整数,由此易推知÷也是整数.设÷=z,代入(1)得x{+y{=2zi由.(2)变形得(xl+YI)=2(zi+x1YI)(2)所以x1+y1E0(rood2),从而xl～y =(xjYI)一2yIE0(mod2).设X1+Y =2XI,盖1Y1=2Y1,解得xJ=Xl+Yj, .=X1一YI,代入(2)得(XJ+Y1)+(Xj—Y1)=2zi2X{+2Y}=2z{印X{+Yj=z{由于(xI-Y1)=1,由引理1可知tXI=±2mi1,Yl=zI=±(m+12.)或X1±(m～rl.),zI±(m+Ⅱ)(Xl,Y1)=1,±(in.一12.),YI=±2mn,这里m>n>0,(m,n)=1,m,n一奇一偶.所以xl=±((m.一12)+2mn),YI=±((m一12)～2mn),z1;±(m+12)或x1='±((m—12)一2ran),y1±【(m一n.)+2mn),zI=±(m十n)因此,工:士(m一n十2mn)k.Y=±(m一n一2mn)k.z±(122+12.)k,或x=(m.一12～2_丑)k,,=±(m一n+2ran)k,z=±(m+n)k这里m>n>O,(m,n)=1,m,n一奇一偶,k是正整数或零.定理l吐毕.下面我们用初等方法证明x+y=2z.只有平凡解.先仿照[2](可去掉(a,b)=1的限制)证明.方程z.=2a(a+3b.)只有解a=0,b=k,z=0}a=k,b=±k,z=2,k是整数.且易证得目『理2丢番图方程a(a十3h)=z只有解a:0,b=k,z:O}ak,b=O,z:k,k是整数.,定理2丢番图方程x草'.2z.只有凡平解,x=a,y=a,z=a;x=a,Y=～a,z=0,这里a表示整数.证明设(x,y)=b,则x-bx1,=by1,(xI,YI)=i.代入x.午y#=2z.后,得d(x十y)=2z0y{=2(÷).因此,2(寺).是整数,同样,可证手也是整数.令手_zI,得Xi+Y=2zx:+YI兰xi十Yi曼2zI=--o(埘od2),趴而Xi—Y1E0(inod2),2XI,l—y】=2Y】,Y1,YI=Xl～Yl,因而可设X1+YJ解得x2=XI+(Xl÷Y1)十(xl—YI).=2zi2X+6xY2z化简,得x(X+3Y{)=z(3)由引锺2知(3)只有解X.=O,Y=k,z】=0}a=k,b=0,z=k.相应地xl=Yj,10JIyIz1.即方程x.十Y=2z.只有平凡解x=k,一,目f言差分幂级数及其在求和中的应用岳Ir莒大学璃持中差分方法在求和中有许多应用.本文把幂级数与它的差分级数联系起来,缛到一个简单而优美的公式,能方便地解决一些求和问题.为方便,本文所使用的差分均为反向差分,亦印,设有数列口,aI,a2,…,a,…,(1)定义V aa=a口,n21时V a=a一a一I, (2)称V a为a的一阶差分(简称差分.)r>l时定义V a:甲(一a)(3)为a的r阶差分.如无特殊声暇,本文中的幂级数均指形式幂级数,关于这方面的知识,'可在许多专着或小册子中找到,比如[1]一C4].二,幂级毂的差分变换公式∞∞设有幂级数∑aX,我们称∑v:a?口一n一u 为它的r阶差分级数.一个幂级数与它的差分级数有如下关系tD.1㈣定理l.x『=i厂.Vnx'.(4)这就是幂级数的差分变换公式.证我们有.∞..∞《1一x).anx=军.nx一;.x¨a口十∑(a一a…)X一薹-o誊xcs,..再将(5)应用于暑甲.n'得.a-X=百军.V.如此反复进行即可得(4)由此定理,我们可得a与V a之间的关系.推论la证由+i)a.(6)=量e二)x,以之代入(4)并比较两边系数即谴.推论2V a=∑(一1)()a….●.Ol'(7)证(4)可化为∞∞∑V a?X=(1一X)∑ax.(8)B0Ⅱ.0将上式右边展开并比较两边X的系数即证.由定理1可知,若一个幂级数的某阶差分数列可求和,则此幂级数可求和.X××××××××××X××××××××××X××××××××××x××××××Y=一k,z=0}x=k,Y=k,z=k,这里只有平凡解.k是整数.从而定理2证毕.由定理2,我们猜测,当n23时,丢番图方程x+Y=2z只有平凡解.显然,要证明这个猜测,只需证明t对任意奇素数IP,x十Y'=2z只有平凡解,x+y2z参考文蘸(1]柯召孙琦《数论讲义》(下册)P.219高等教育出设社(2]嗣上,P.222—223.23。
【精品】数学丢番图问题
丢番图的年龄–初一学生如何学会用方程解决问题对于初一新生，从用数学的思维方式解决问题转到用方程的思维方式解决问题是很关键一步，成年人都知道方程的解题方法比数学简单，但对于孩子这种解题观念的转变却不容易。
下面用一个相对复杂的习题总结一下解题套路，习题选自北师大版《数学》七年级上册P196页8题：古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。
”1、他结婚时的年龄是多少？2、他去世时的年龄是多少？首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。
对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯：一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。
对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。
接下来：用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方程式。
这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是：把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关系。
这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。
比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：题中的自然语言翻译成数学语言他生命的1/6是幸福的童年童年时代＝1/6x再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须活到长胡须＝童年+1/12x＝1/6x+1/12x又度过了一生的1/7，他结婚了同样道理，数学家活到结婚＝1/6x+1/12x+1/7x再过5年，他有了儿子同理，活到他有儿子＝1/6x+1/12x+1/7x+5可是儿子只活了他全部年龄的一半活到他儿子死＝1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了活到他自己死＝1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量 x ，于是也就自然而然地找到了等量方程：1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x那么剩下的事情就简单了：用方程解决问题的第三步：解方程。
关于丢番图方程(143n)^x+(24n)^y=(145n)^z
ｌ 引 言
令ｎ 是一个正整数 ， ａ ， ｂ ， Ｃ 为两两互素的正整数 ， 满足 ａ ＋ ｂ ＝ｃ ， 其中２ ｌ ｂ ． 则丢番图
Ｊ ｅ ｓ ｍ ａ ｎ ｏ ｗ ｉ ｃ ｚ 猜想对任意的正整数 ｎ ， 方程 （ １ ） 仅有正整数解 （ ， Ｙ ， ）＝（ ２ ， ２ ， ２ ） ． 随后几年 ，
国家 自然科学基金 （ １ ０ ９ ０１ ０ ０ ２ ） ， 安徽 省 自然科学 Ｊ ｉ ａ ｎ ｘ ｉ ｎ Ｌ ｉ ｎ ｇ Ｄｅ ｎ ｇ ｒ ｏ ｎ ｇ （ ｃｈ Ｓ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｗｕ ｈ ｕ ２ ４ １ ０ ０ ３ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
收稿 １ ３ 期： ２ ０ １ ３年 ６ 月２ ３日
ｌ ６
数学理论与应用
该猜 想被 证 明在更 多的特 殊 的情形下 都成 立． 最近， 汤 敏和 本文 的第一 作者 ［ ４ ］ 证 明 了对 任意 的正整 数 ／ ７ ， 和 费马数 ， 方程 （ １ ） 仅有 正
整数解 （ ， Ｙ ， ｚ ）＝（ ２ ， ２ ， ２ ） ． 这方面的更多研究 ， 可参看 ［ ３ ］ ， ［ ５ ］ ＿［ ８ ］ ．
第３ ３卷
第 ２期
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰＰ ＵＣ Ａ ｎＯＮＳ
丢番图和不定方程
丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。
在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。
他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。
”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。
在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。
他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。
”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。
”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。
”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋ b＋ c＝N3这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。
丢番图方程x+(2n)2=y9（1≤n≤7)的整数解
第38卷第1期Vol.38 No.1重庆工商大学学报(自然科学版)J Chongqing Technol &Business Univ(Nat Sci Ed)2021年2月Feb.2021doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2021.0001.014丢番图方程x 2+(2n )2=y 9(1≤n ≤7)的整数解陈一维,柴向阳(华北水利水电大学数学与统计学院,郑州450045) 收稿日期:2020-02-23;修回日期:2020-05-20.作者简介:陈一维(1996—),男,河南信阳人,硕士,从事数论研究.摘 要:在高斯整环中,利用代数数论理论和同余理论的方法研究丢番图方程x 2+(2n )2=y 9(x ,y ,n ∈Z ,1≤n ≤7)的整数解问题;首先统计了1≤n ≤7时已有的证明结果,之后在n =3,5,6,7时对x 分奇数和偶数情况讨论,证明了n =3,5,6,7时丢番图方程x 2+(2n )2=y 9无整数解,即证明了丢番图方程x 2+(2n )2=y 9(x ,y ,n ∈Z ,1≤n ≤7)无整数解。
关键词:高斯整环;代数数论;同余理论;丢番图方程;整数解中图分类号:O156.4 文献标志码:A 文章编号:1672-058X (2020)01-0092-070 引 言设B ∈N ,研究指数型Lebesgue-Nagell 不定方程:x 2+B =y k(1)的整数解是数论中的一类重要课题,已经有了不少研究成果[1-10]。
在B =(2n )2,k =9时,式(1)的整数解问题研究中,李伟[11]证明了n =1时,不定方程x 2+4=y 9无整数解;杨全[12]证明了n =2时,不定方程x 2+16=y 9无整数解;许宏鑫等[13]在求解不定方程x 2+4k =y 9的整数解时,证明了n =4时,不定方程x 2+64=y 9无整数解,n =8时x 2+256=y 9仅有整数解(x ,y )=(±16,4)。
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作者简介 ：唐￣ ］ （ １ ９ ８ ｏ ． ） ，男，四川蓬安人， 讲 师，硕士，研究方向：数论、数学教 育； Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ３ ０ ２ ３ ６ ２ ４ ３ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
基 金项 目：阿坝师专科研基金项 目（ 编号 ＡＳ Ｂ１ １ — １ Ｏ ）
１ ０ ２
５ ３ ‘ － ｎ Ｉ 卜 （ ４ ５ ５ ３ ¨ 。 Ｉ ＋２ ８ ） ＝５ ３ ， 则Ｙ—ｚ＝０ ， 即Ｙ＝ｚ ， 于是（ ３ ） 可得
１ 引言
设以 ， ｂ ， Ｃ 为正整数， ｎ（ ａ ， ６ ） ＝（ ６ ， ｃ ） ＝（ 以 ， ｃ ） ：１ ，ａ ＋ｂ ＝Ｃ ， 则对任意的正整数 ， 丢番图方程 （ ａ ｎ ） ＋（ ） ＝（ ｃ ｎ ） ． 显然有正整数解 （ ， ， ｚ ） ＝（ ２ ， ２ ， ２ ） ． Ｓ ｉ ｅ ｒ ｐ ｉ ｎ ｓ ｋ ｉ …证 明 了 当 ｎ：１ ， ， ｂ ， Ｃ ） ＝（ ３ ， ４ ， ５ ），方 程 （ １ ）仅 有 唯 一 的 一 组 解 （ ， ， ｚ ） ＝（ ２ ， ２ ， ２ ）； Ｊ ｅ ｓ ＇ ｍ ａ ｎ ｏ ｗ ｉ ｃ ｚ【 ２ 证明了当 ＝ ｌ且（ 以 ， ｂ ， ｃ ） ＝（ ５ ， １ ２ ， １ ３ ） ， （ ７ ， ２ ４ ， ２ ５ ） ， （ ９ ， ４ ０ ， ４ １ ） ， （ １ １ ， ６ ０ ， ６ １ ） 时方程（ １ ） 仅有唯一的一 组解 （ ， Ｙ ， ｚ ） ＝（ ２ ， ２ ， ２ ） ， 文献［ ２ ］ 猜想对任意的正整数胛方程（ １ ） 仅有正整数解 （ ， Ｙ ， ｚ ） ：（ ２ ， ２ ， ２ ） ， 本文考虑 了当 （ ， ｂ ， ｃ ） ＝（ ４ ５ ， ２ ８ ， ５ ３ ） 时， 方程（ １ ） 的解， 结论如下： 定理： 对于任意的正整数 刀 ， 丢番图方程 （ ４ ５ ＋ （ ２ ８ ： （ ５ ３ ） ｚ ． 有唯一正整数解 （ ｘ ， Ｙ ， ｚ ） ：（ ２ ， ２ ， ２ ） ．
由引理 ２ 可知， 只需讨论 ｍａ ｘ （ ｘ ， ） ＞ｚ， 且 Ｚ＞２ 的情况
３ ． １ 当ｎ － １时
由引理 １ 可知， 丢翻图方程成立 ４ ５ ＋２ ８ ：５ ３ 有唯一正整数解 （ ， Ｙ ， ｚ ） ＝（ ２ ， ２ ， ２ ） ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ 。 １ ０ ． ２ ４
（ ２ ）
２ 引理
引理 １ 设 Ｓ 三３ （ ｏｏ ｒ ｄ ４ ） ， ｔ 三２ （ ｍｏ ｄ ４ ） ， Ｒｓ ＋ ， 含有某个 ４ 一 ｌ 型的素因子， 当／ ＇ ／ ＝１ 时， 则（ １ ） 仅有一组解 （ ， Ｙ ， ｚ ） ＝（ ２ ， ２ ， ２ ） 引理 ２ 如果 （ ， Ｙ ， ｚ ） 是方程（ １ ） 的除 （ ２ ， ２ ， ２ ） 以外 的解， 则必有： ① ｚ＞２； ② ｍａ ｘ （ ｘ ， Ｙ ） ＞ｚ ；
所以９ Ｉ （ ５ ３ 一２ ８ ｊ ） 或９ Ｉ （ ５ ３ ＋２ ８ ） ．
９ ＞９ ＝９ ＝８ ｌ ‘ ＝（ ５ ３ 十２ ８ ） 。 ≥５ ３ 。 ＋２ ８ ‘ ＞５ ３ ’ 一２ ８ ‘ 矛盾
２ ）当 （ ， ｚ ， ５ ３ ） ＝５ ３ 时， 令 ＝５ ３ ． ，（ ５ ３ ， ｎ １ ） ＝１ ，由（ ３ ） 得
３ ． ２ 当ｎ ≥１时
西南民族 大学学报 ・ 自 然科 学版
第４ ０卷
３ ． ２ ． １ 当： Ｙ＜ ２ ８ ）． １ ） 当（ ， ５ ３ ） ＝ｌ ， 则 Ｙ—ｚ ：０ ， 即Ｙ＝ｚ ， 于是（ ３ ） 变为
Ｊ ａ ｎ
．
③
２ ０１ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ Ｏ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ３ － ４ ２ ７ １ ２ ０ １ ４ ． ０ １ － ２ １
《 腿 一 一
关 于 丢番 图 方程 （ ４ ５ ｎ ） ％（ ２ ８ ｎ ） ｙ ＝ （ ５ ３ ｎ ） ｚ 的解
唐 刚
（ 阿坝师范 高等专科学校基础教育 系，四川 汶川 ６ ２ ３ ０ ０ ０ ） 摘 要 ：利用初等方法证明 了， 对 于任 意的正整数 ｎ ‘ ，丢翻 图方程（ ４ ５ （ ２ ８ ＝ （ ５ ３ ） ＝ 仅有 ＝ ｚ ＝ ２正整数解．
一
关键词 ：丢翻 图方程；正整数解：简单同余法；分解 因子法 中图分类号： Ｏｌ ５ ６ ． ７ 文献标识码 ： Ａ 文章编号： １ ０ ０ ３ － ４ ２ ７ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ｌ － ０ １ ０ １ ・ ０ ４
４５ ｎ ～ ’ ＝５ ３ 一 ２ ８ ．
（ ３ ）
（ ４ ）
对（ ４ ） 两边 同时模 ３ ，得 ２ 三ｌ （ ｍｏ ｄ ３ ），由 ｏ ｒ ｄ ３ （ ２ ） ＝２， 董Ｏ （ ｍｏ ｄ ２ ） ，则 Ｙ＝２ ｙ ， ， 由 （ ４ ） 可 得 ４ ５ ／ － ／ ＝（ ５ ３ “一２ ８ ‘ ） （ ５ ３ ’ ＋２ ８ ¨ ） ， 因为 （ （ ５ ３ 一２ ８ ） ， （ ５ ３ ＋２ ８ ） ） ＝１ ，
第４ ０卷 第 １期
西 南民族大学学报 自然科 学版
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ ｗｅ ｓ ｔ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ ・ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ