2018版高中数学人教B版必修一学案：2.1.1 第2课时 映射与函数

第2课时 映射与函数
[学习目标] 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系
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[知识链接]
函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A .
[预习导引]
1.映射和一一映射的有关概念
映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.
解决学生疑难点
要点一 映射的判断
例1 下列对应是不是从A 到B 的映射，能否构成函数？
(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1
；
(2)A ＝{a |a ＝n ，n ∈N ＋}；
B ＝{b |b ＝1n ，n ∈N ＋}，f ：a →b ＝1a
； (3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；
(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，
B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆.
解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在，
∴不是映射，更不是函数.
(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素.
(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.
(4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是非空数集.
规律方法 按照映射定义可知，映射应满足存在性——集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；唯一性——集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素.
跟踪演练1 在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，试判断由A 到B 是不是映射？是不是函数关系？
解 在图(1)中，集合A 中任一个数，通过“开平方”在B 中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.
图(2)中，元素6在B 中没有象，则由A 到B 的对应关系不是映射，也不是函数关系.
图(3)中，集合A 中任一个数，通过“2倍”的运算，在B 中有且只有一个数与之对应，所以A 到B 的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.
图(4)中，对A 中的每一个数，通过平方运算在B 中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A 到B 之间的对应关系是函数关系.
要点二 映射个数问题
例2 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数.
解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有1个映射；
(2)当A 中三个元素对应B 中两个时，满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件的映射共有7个.
规律方法 对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.
跟踪演练2 集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案 B
解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.
要点三 映射的象与原象
例3 已知映射f ：A →B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y ).
(1)求A 中元素(5,5)的象；
(2)求B 中元素(5,5)的原象.
解 (1)当x ＝5，y ＝5时，x ＋2y ＋2＝17,4x ＋y ＝25.
故A 中元素(5,5)的象是(17,25).
(2)令B 中元素(5,5)的原象为(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2＝5，4x ＋y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1. 故B 中元素(5,5)的原象是(1,1).
规律方法 1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.
2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.
跟踪演练3 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1).
(1)求A 中元素(1,2)的象；
(2)求B 中元素(1,2)的原象；
解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9.
故A 中元素(1,2)的象为(0,9).
(2)令⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎨⎧ x ＝617，y ＝917，
故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.
1.在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( )
A.集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个
B.集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个
C.集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同
D.集合B 中的两个不同元素的原象可能相同
答案 A
解析 根据映射的概念可知：A 中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A 正确.
2.下列对应法则f 为A 到B 的函数的是( )
A.A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |
B.A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2
C.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x
D.A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0
答案 D
解析 在选项A 、B 、C 中，集合A 中的有些元素在对应法则作用下，在集合B 中找不到象.选项D 表示无论x 取何值y 都等于0.所以选D.
3.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
答案 D
解析 按映射的定义判断知，D 项符合.
4.设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )
A.(3,1)
B.⎝⎛⎭⎫32，12
C.⎝⎛⎭⎫32
，－12 D.(1,3) 答案 B
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12，故选B.
5.已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个.
答案 4
解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个.
1.映射的特征
(1)任意性：A 中任意元素x 在B 中都有元素y 与之对应，即A 中元素不能有剩余.
(2)唯一性：从集合A 到集合B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射.
(3)方向性：f ：A →B 与f ：B →A ，一般是不同的映射.
2.映射与函数的关系
函数是特殊的映射，即当两个集合A ，B 均为非空数集时，则从A 到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广.。