函数与映射的概念主要知识梳理
函数与映射基础
函数与映射基础函数和映射是数学中两个重要的概念。
它们在数学和其他学科中的应用广泛，对于理解和解决问题起着关键的作用。
本文将介绍函数和映射的基础概念、特性以及它们的应用。
一、函数的定义和特性函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以表示为f：X→Y，它将集合X中的元素映射到集合Y中的元素上。
函数有以下几个基本特性：1. 定义域和值域：函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。
2. 单射性：如果一个函数的每个不同的元素都有不同的映射元素，那么这个函数是单射的。
3. 满射性：如果一个函数的每个元素都有至少一个映射元素，那么这个函数是满射的。
4. 双射性：如果一个函数既是单射的又是满射的，那么这个函数是双射的。
5. 逆函数：对于双射的函数，可以定义一个逆函数，用于将输出映射回输入。
二、映射的定义和分类映射是一种关联关系，它将一个集合中的元素与另一个集合中的元素对应起来。
映射可以表示为M：X→Y，它将集合X中的元素与集合Y中的元素对应。
根据映射的性质和关系，映射可以分为以下几种类型：1. 单射：每个输入只对应一个输出。
2. 满射：对于输出集合中的每个元素，存在至少一个输入与之对应。
3. 耦合映射：输入的元素与输出的元素具有明确的对应关系。
4. 多对一映射：多个输入对应一个输出。
5. 一对多映射：一个输入对应多个输出。
6. 多对多映射：多个输入对应多个输出。
三、函数与映射的应用函数和映射在数学和其他学科中有许多应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 数学分析：函数是数学分析的重要概念，它用于描述和分析数学中的各种关系和变化规律。
2. 统计学：映射在统计学中被广泛应用，用于描述和分析数据和变量之间的关联关系。
3. 计算机科学：函数是编程语言中的基本构建块，它用于实现各种算法和程序逻辑。
4. 金融学：函数和映射在金融学中用于建立数学模型，对市场、投资和风险进行分析和预测。
函数映射知识点归纳总结
函数映射知识点归纳总结一、函数的定义与基本概念函数是数学中最基本的概念之一，在现代数学中函数被广泛应用到各个领域。
在实际应用中，函数是用来描述变量之间的关系的，它是一个很重要的工具。
1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学上，我们通常用字母 y=f(x) 来表示这一关系，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 表示函数关系。
当 x 取不同的值时，y 也会随之变化，这就是函数的基本概念。
1.2 函数的表示方法函数可以用不同的表达方式来表示，其中最常见的有函数图像、函数的解析式、函数的数值表以及函数的映射图等。
函数图像可以直观地表示函数的变化规律，函数的解析式可以用代数式来表示函数的关系，函数的数值表可以用一组数据来列举函数的取值，函数的映射图则可以用有向箭头来表示函数元素之间的映射关系。
1.3 函数的性质函数有很多重要的性质，比如定义域和值域、奇偶性、周期性、增减性、极值等。
这些性质对于研究函数的特性和行为非常重要，它们可以帮助我们更深入地了解函数的规律和特点。
二、常见函数的类型及特点在数学中有很多常见的函数类型，它们都具有各自特定的特点和规律。
了解这些函数类型的特点对于理解函数的本质和规律非常有帮助。
2.1 一次函数一次函数是最简单的函数类型之一，它的解析式可以写成 y=ax+b 的形式，其中 a 和 b 分别是函数的斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距则是直线与坐标轴的交点。
2.2 二次函数二次函数是一个抛物线函数，它的解析式可以写成 y=ax^2+bx+c 的形式，其中 a、b、c 是函数的系数。
二次函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线，a 的正负决定了抛物线的开口方向，b 和 c 则决定了抛物线的位置和形状。
2.3 指数函数指数函数是一个以底数为常数的幂函数，它的解析式可以写成 y=a^x 的形式，其中 a 是底数，x 是幂。
函数的映射知识点总结
函数的映射知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。
2. 函数的定义设A和B是非空的两个集合，如果对于每一个a∈A，都存在唯一的b∈B与之对应，这个对应关系就叫做从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。
x是自变量，y是因变量。
3. 函数的性质(1) 函数的值域函数f的值域是指函数值y的取值范围，也就是集合B中所有的可能的y的值。
(2) 函数的定义域函数f的定义域是指函数变量x的取值范围，也就是集合A中所有的可能的x的值。
(3) 一一对应函数若函数f中不同的x对应不同的y，且每一个y都能找到唯一的x与之对应，这样的函数称为一一对应函数。
(4) 反函数如果函数f是一个一一对应函数，那么就存在一个逆映射f⁻¹，它将y映射回x。
(5) 奇函数和偶函数奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
(6) 单调函数若对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)或者f(x1)＞f(x2)，则称函数f在定义域内是单调的。
二、函数的表示和运算1. 函数的图像表示函数的图像是自变量和因变量构成的平面点集在直角坐标系中的几何图形。
2. 函数的解析表示函数的解析表示是指用一个式子或者公式来表示函数，例如y=x²。
3. 函数的运算(1) 函数的和、差、积、商给定函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商分别记作(f+g)(x)、(f-g)(x)、(f*g)(x)、(f/g)(x)。
(2) 复合函数如果y=f(u)，u=g(x)，那么复合函数h(x)=f(g(x))。
(3) 反函数运算如果函数f是一个一一对应函数，那么它的逆映射f⁻¹的运算是求f⁻¹(y)。
三、常见的函数类型1. 一次函数一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b是常数，k≠0。
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
大一高数知识点映射与函数
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
【精】高中数学知识点总结-映射与函数概念
映射与函数的概念1.映射的概念设A ，B 为非空集合，在某种对应关系f 的作用下，使集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
2.函数的概念从非空数集A 到非空数集B 的映射叫做函数，其中A 是定义域，C 是值域（C ⊆B ）。
函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
定义域和对应关系确定，则值域确定，函数确定。
（1）求定义域①分式：分母不能为0。
②根式：偶次根式的被开方数大于等于0。
③指数：底数大于0且不等于1。
④对数：底数大于0且不等于1，真数大于0。
⑤x 0中x ≠0。
⑥tanx 中的x ≠k π＋π/2。
（2）求值域①观察法：求函数y =x+1+1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞].∵√x +1≥0，∴√x +1+1≥1，∴0＜√x+1+1≤1. 该原函数的值域为(0,1].②换元法：求函数y =x ＋√x −1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞). 令√x −1＝t （t ≥0），则x ＝t ²－1.∴y=t ²＋t ＋1.（t ≥0）求得y=t ²＋t ＋1值域为[1,﹢∞)，即原函数的值域.③分离常数法：求函数y =﹣x²x²+1的值域。
解：该函数的定义域为R.该函数＝﹣(x 2+1)−1x²+1＝﹣1＋1x²+1.∵x ²+1≥1，∴0＜1x²+1.≤1，∴﹣1＜﹣1＋1x²+1≤0.该函数的值域为(﹣1，0]. 归纳：形如y ＝Cx+D Ax+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）或y ＝Cx²+DAx²+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）的函数可以采用分离常数法，分离到y ＝c ax+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）或y ＝c ax²+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）,前者的值域为y ≠d ，求后者的值域是y =c ax²+b 的值域加上d 。
高一函数知识点总结(精品19篇)
高一函数知识点总结(精品19篇）高一函数知识点总结（1）（一）、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。
2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。
（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数、3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域、注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起、②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算、（二）、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。
求函数的定义域一般有三种类型：（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。
如：①分式的分母不得为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x ≠kπ，k∈Z）等。
应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。
（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。
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函数与映射的概念知识梳理第 1 页 共 1 页 函数与映射的概念主要知识梳理
●函数的基本概念：
1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。
①关键词：非空的数集、任意性、唯一性
②作用：判断一个对应是否是函数
2、函数的三要素： 定义域A 、值域(⊆B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法
●分段函数与复合函数 分段函数：⎩
⎨⎧∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念
1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，
在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。
①关键词：非空集合、任意性、唯一性
②作用：判断一个对应是否是映射
2、映射的三要素： 原象集A 、象集(⊆B)、对应法则f
作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可）
3、函数是特殊的映射；
●反函数
1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ϕ=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ϕ=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈）
2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射）
3、求反函数的一般步骤：
（1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ϕ=；
（3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）.
4、互为反函数的两个函数具有如下性质：
（1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域；
（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称；
（3）⇔=b a f )(a b f =-)(1
●常见的思想方法
1、主要思想: ①数形结合:-------树形图
②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类；
③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类.
2、易错易混点
①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值.
③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系.
3、主要题型:
①判断映射与函数；
②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个；
③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)。