社会统计学

35/57
20/57
60/124
32/124
合计
1
1
1
1
如果选择喜爱节目的比例，对于三代人都是一样的话，称 作变量之间是相互独立的，必然存在变量的条件分布等于 它的边缘分布。
列联表中变量的相互独立性
如果列联表中的变量相互独立的话， 则边缘分布与联合分布则满足下面的 公式： Pij ＝Pi* P*j
C相关系数
用于测度大于22列联表中数据的相关程度 计算公式为 2 C 2 n

1.
2.

C 的取值范围是 0C<1 C = 0表明列联表中的两个变量独立 C 的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随 行数和列数的增大而增大 不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较
合计
162
188
150
独立性检验例子
1.提出假设


H0：地区与原料等级之间独立 H1：地区与原料等级之间不独立
2.计算检验的统计量

2 i 1 j 1 r c
( f ij eij ) 2 eij
19.82
3.根据显著性水平＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4 查 出 相 应 的 临 界 值 2=9.488 。 由 于 2=19.82>2＝9.448，拒绝H0



X的条件概率：行的每一个观察频数除以相应 的行合计数（fij / ri） Y的条件概率：列的每一个观察频数除以相应 的列合计数（ fij / cj ） 总概率：每一个观察值除以观察值的总个数（ fij / n ）
联合概率分布（图示）
概率
老年 戏曲 歌舞 球赛 中年
y边缘分布
青年
合计 32/124 60/124 32/124 1
1.
2.
观察值（次数）的分布
（在赞成方案的279人中三分公司有57人）
条件频数
行边缘分布
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司 赞成该方案 反对该方案
合计 279ห้องสมุดไป่ตู้141 420
68 32
75 75
57 33
79 31
合计
100
120
90
110
列边缘分布
期望频数的分布（例子）
例如，第1行和第1列的实际频数为 f11 ,它落在第1行的 概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数 n ， 即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数 之和c1除以总频数的个数 n ，即：c1/n 。根据概率的乘 法公式，该频数落在第1行和第1列的概率应为
列联表的结构（2 列联表）
一个2 列联表
列(cj) 行(ri)
j =1（吸烟 j =2（不吸 ） 烟）
行边缘
i =1(男） i =2（女） 列边缘
f11
f21 f11+ f21
f12
f22 f12+ f22
f11+ f12
f21+ f22 n
列联表的结构（r c 列联表）
r 行 c 列的列联表
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患 肺癌的可能性大。
什么是列联表？
两个定类变量进行交叉分类的频次分布表。
1. 2.
3. 4.
5.
行变量的类别用 r 表示， ri 表示第 i 个类别 列变量的类别用 c 表示， cj 表示第 j 个类 别 每种组合的观察频次用 fij 表示 表中列出了行变量和列变量的所有可能的 组合，所以称为列联表 一个 r 行 c 列的列联表称为 r c 列联表
ad bc n (a b)(c d )( a c)(b d )
2

ad 等于 bc ， = 0，表明变量X 与 Y 之间独立 若 b=0 ，c=0，或a=0 ，d=0，意味着各观察频 数全部落在对角线上，此时|| =1,表明变量X 与 Y 之间完全相关
4.
老年 戏曲 歌舞 球赛 中年 青年
合计 32 60 32 124
20 5 2
10 20 10
2 35 20
合计
27
40
57
列联表的分布
列联表的分布（概念要点）
1.
联合分布

联合频次分布：当分布表中每一项表示的是频次Nij时 联合概率分布：当分布表中每一项表示的是概率Pij时 y边缘分布：行观察值的合计数的分布 x边缘分布：列观察值的合计数的分布 变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下变 量 X 的分布 条件分布中的每一项都是以边缘分布的N1* 、 N2* 或 Nc*为分母，而联合分布中各项，则都是以N为分母。
r1 c1 n n
由于观察频数的总数为n ，所以f11 的期望频数 e11 应为
r1 c1 r1c1 279 100 e11 n 66.43 66 420 n n n
期望频数的分布

(a e11 ) 2 (b e12 ) 2 (c e21 ) 2 (d e22 ) 2 2 e11 e12 e21 e22 n(ad bc) 2 (a b)(c d )( a c)(b d )
相关系数（原理分析）
3.
将入 相关系数的计算公式得
20/124 5/124 2/124
10/124 20/124 10/124
2/124 35/124 20/124
合计
27/124
40/124
57/124
x边缘分布
条件分布（图示）
关于y的条件分布
老年
戏曲 歌舞 球赛
y边缘分布
中年 青年
合计
32/124
20/27 5/27 2/27
10/40 20/40 10/40
合计：3.0319
独立性检验
（实例）
【例】一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个 不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如 下表。检验各地区与原料之间是否存在依赖关系（ 0.05)
地区
甲地区
一级
二级
三级
合计
52
64
24
140
乙地区
丙地区
60
50
59
65
52
74
171
189 500
相关系数（原理分析）
一个简化的 22 列联表
因素 X x1 x2 合计

因素 Y y1 y2 合计
a c a+c
b d b+d
a+b c+d n
相关系数（原理分析）
1.
2.
列联表中每个单元格的期望频数分别为 (a b)( a c) (a c)(c d ) e11 e21 n n (a b)(b d ) (b d )(c d ) e12 e22 n n 将各期望频数代入 的计算公式得
使用 统计量检验列联表时， 需要注意的问题？
1. 对于2×2列联表，需要用修正的公式：

2 i 1 j 1
2
2
( f ij eij 0.5) 2 eij
2.
列联表的检验从内容上看是双边检验，从形式上看是右侧 单边检验。
3.
4. 5.
列联表的 检验也适用于多项总体的检验。

2.
3.
系数
C 系数 V 系数

以值为基础的相关测量

系数
C系数 V 系数
相关系数
1.
2. 3.
测度 22列联表中数据相关程度的一个量 对于22 列联表， 系数的值在0～1之间 相关系数计算公式为
2
n
2 （fij eij） r c 2 式中： i 1 j 1 e ij n为实际频数的总个数，即样本容量
合计
27
40
57
第二节 列联表的检验
检验
假设检验的步骤 提出原假设和备择假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平，查表得出拒绝域和临界值 计算检验统计量的值 作出统计判断： 根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出 临界值2 若22，拒绝H0；若2<2，接受 H0
研究假设的确定
将研究的假设作为备择假设
将列联表中变量之间无关系（或相互独立） 作为检验的原假设

1.
2.
H0：Pij ＝Pi* P*j （行变量与列变量独立） H1： Pij Pi* P*j （行变量与列变量不独立）
统计量
1.
2.
用于检验列联表中变量之间是否存在显著性差 异，或者用于检验变量之间是否独立。 当n很大，每格eij 都不太小时，服从自由度K＝ (r-1)(c-1) 的分布 计算公式：
(eij)
66 80 60 73 34 40 30 37
fij - eij
2 -5 -3 6 -2 5 3 -6
(fij - eij)2 4 25 9 36 4 25 9 36
f
0.0606 0.3125 0.1500 0.4932 0.1176 0.6250 0.3000 0.9730
( f e) 2 2 e 3.0319
第八章 列联表
第一节 什么是列联表？
探究
列联表
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟
吸烟 总计
7775
2099 9874
42
49 91
7817
2148 9965