立足新课标,领悟教材蕴含数形结合思想方法论文
谈新课标下的初中数学“数形结合”思想
在解题时 ， 通过运用“ 数形结合” 思想 ， 能够形象 地为学 生展现清晰 、 有序的解题过程 ， 而且直接或间 接地训 练学生 的思维。把抽象 的问题转化成直观具 体的问题 ， 提高学生对 问题的理解 能力 ， ｝ 肖 除学生因 题 目复 杂难 懂 而 形 成 的 恐 瞑心 理 ，从 而激 发 学 生 对 数学学习的兴趣 。 随着科学技术的发展 ， 数学在各个 领域都将产生重要的作用 ， 越来越抽象化 的数学 ， 更 需 要 由“ 形” 来引 黧 赫 赫 蜡 蠢 糍 豢
■ 石 丽 娟
摘 要： 《 初 中数学新课标》要求学生了解数形 结合 的思想 、 分类 的思想 、 化归 的思想 、 类 比的思想 和 函数的思想 等。“ 数形结合” 思想是初中数学研究 的一个重要内容 ， 是一种常用的解题方法 ， 能够充分 地发挥代数和几何 的专业优势 ，使问题变得更加简 单、 具体 ， 培养学生创新能力 ， 提高学生的思维能力。 新课程要求学生能够 自主探究性学 习，在课堂教学 中渗透 “ 数形结合 ” 思想 ， 培养学生的“ 数形结 合” 的 思维方式。 本文主要对新课标下的初中数学 “ 数形结 合” 思想和应用进行解析 。 关键词 ： 初 中数学 ； 数形结合 ； 课堂教学 ； 应用 在教学中 ，初 中是学生在数学学 习中的一个非 常重 要 的阶 段 ， 在 小 学数 学 知 识 的 基 础上 ， 增 加 了难 度 和范 围 ，初 中数 学 学 习的 水平 也 在 一 定 程 度 上影 响高 中数学的基础 。好 的学习方法能够提升学生的 数学学 习能力 ， 数学的学习决定于数学思维 ， 数形结 合 就是一种很好的数学思维 。初中数学教师在课 堂 中渗透数学学习思想 ， 除了能够完成其教学 目标 ， 最 重 要 的是 能 够 提 升学 生 的数 学 思 维 ，让 学 生 得 到全 面 的发 展 。
论文浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用
论文浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用数形结合是一种思想方法，它建立在数形优势互补的基础上，抓住数与形之间本质上的联系，以“形”直观的表达数，以“数”精确的研究形的思想方法。
数形结合能够将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行考虑，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐的结合在一起。
数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
在教学中，以形助数是数形结合思想的一种重要应用。
通过借助直观的几何图形来帮助学生理解抽象的概念，使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在研究时，不再感到枯燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握概念本质。
例如，在研究“千以内数的认识”一课时，教师可以利用几何模型直观地将计数单位及其相互间的“十进制关系”呈现出来。
用一个立体方格表示1，10个一就是十（即十个立体方格），以此类推，将数字的认识以这种学生感兴趣的方式呈现出来，结合立方体的变化，直观地认识了计数单位“个”“十”“百”“千”“万”，知道10个十是一百，10个一百是一千。
理解了它们之间的十进制关系，这种变抽象为直观，数形结合的策略，更能让学生掌握概念本质，并在学生的头脑中留下了计数单位的直观现象，为数的大小比较、数的计算留下了初步的基础。
另外，以形助数还可以化解研究难点。
例如，在比较7.8和7.80的异同点时，用数轴来表示，形象直观的表示出为什么7.80比7.8更精确，使学生对保留小数位数的精确度有了本质的认识。
总之，数形结合思想在小学数学课堂中的应用是非常重要的，它能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学研究的效果。
数形结合是一种很好的研究方法，它将数量关系和空间形式结合起来去分析和解决问题。
这种思想的应用可以化难为易，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，并促进学生的可持续发展。
例如，当一年级的学生遇到一个排队问题时，他们可能会感到困惑。
浅析如何在小学数学教学中渗透数形结合的思想论文
浅析如何在小学数学教学中渗透数形结合的思想摘要：“数”与“形”是贯穿整个小学数学教学始终的基本内容，也是小学阶段的一种重要的数学思想。
根据多年的经验浅谈一下在教学中有效渗透数形结合的思想。
关键词：小学数学；数形结合；实施策略数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。
数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。
以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。
那么如何在教学中有效渗透数形结合的思想。
以下是一些具体的实施策略。
一、以形助数，让问题变得直观化1.助于概念本质的把握数的产生源于对具体物体的计数。
我们不难发现从数的概念的建立到数的运算处处蕴涵着数形结合的思想。
如学习整数、分数、小数及其加、减、乘、除法的运算时，教材都是借助几何图形的直观来帮助学生理解抽象的概念。
生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在学习时，不再感到枯燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握概念本质。
例如：在学习“千以内数的认识”一课时，教师可以利用几何模型直观地将计数单位及其相互间的“十进制关系”呈现出来。
用一个立体方格表示1，10个1就是十（即十个立体方格），以此类推，将数字的认识以这种学生感兴趣的方式呈现出来，结合立方体的变化，直观地认识了计数单位“个”“十”“百”“千”，理解了他们之间的十进制关系，这种直观的感受，比抽象的理解，更能让学生掌握概念，并在学生的头脑中留下了计数单位的直观现象，为数的大小比较、数的计算留下了初步的基础。
2.助于学习难点的化解数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。
在教学中那些让学生觉得难以理解的或是易出现错误和混淆的内容，教师可以充分利用“形”，把抽象的概念、复杂的运算变得直观、形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。
数形结合参考论文
浅谈数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。
关键词：数形结合思想以形助数以数解形“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。
数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。
即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。
一、解决实数问题数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。
因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。
例1：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。
解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。
让数与形和谐交融论文
让数与形和谐交融论文笔者xx年10－12月在杭州听了两节“数与代数”领域的课，唐彩斌老师的《正归一应用题》和任敏龙老师的《乘法分配律》，这两节课最大的特色就是利用“数形结合”的思想来设计，新颖又创新，引起笔者对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域应用的思考。
数形结合是数学中重要思想方法之一。
它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。
数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。
“数形结合思想方法”的重要性是不言而喻。
在现阶段，小学数学教师对“数形结合思想方法”在小学数学“数与代数”领域教学中运用的情况如何？现状产生的原因的是什么？教师应该如何进行有效的渗透数形结合思想方法？本文将对教师在“数与代数”领域中运用“数形结合思想方法”的现状展开调查，并由此引发一些思考。
1、调查对象本次调查随机抽样了瓯海区三所学校（实验小学、镇中心学校、村小）三、四、五年级学生总共180名，这三所小学数学教师共32名。
2、调查内容本调查内容分为三大块：运用数形结合思想方法的意识，运用数形结合思想方法的范围，运用数形结合思想方法的方式。
3、调查方法：问卷调查和个别访谈相结合4、调查过程xx年3月5－6日，在学生不知情的情况下，随机抽取三所学校三、四、五年级共180名学生进行调查。
共发放问卷180份，回收有效问卷180份（占100％）。
对三所学校教师的调查和学生的调查同步进行，共发放问卷32份，回收32份（占100％），并对32位老师进行个别访谈。
三、调查结果与分析对回收问卷的逐项统计，发现当前小学数学教师对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域教学中的运用存在着以下几个较为普遍的现象：（一）主动运用意识淡薄无论是教师访谈，还是调查都表明：教师已经意识到数形思想方法的作用，但主动运用意识比较淡薄。
调查中我们发现：1、意识到数形结合思想方法运用的重要性。
调查显示100％的老师认为在小学数学“数与代数”领域教学中有必要渗透数形结合思想，100%的老师认为在教学中有结合数形结合思想来进行教学（见表一），而且对教师的访谈中了解到，大部分老师都反映数形结合有助于学生把数这个抽象的概念与较为直观的形紧密地联系起来，产生思维的火花，从而达到简化问题，解决问题的目的。
小学课程中的数形结合思想（小学数学论文参考）
小学课程中的数形结合思想（小学数学论文参考）小学课程中的数形结合思想摘要：从小学数学教材中对数学教学内容的安排来看，数形结合思想在很多地方都有着应用。
教师应当利用好这一思想帮助学生学习数学，让学生掌握更加高效、科学的数学思维方式以及数学思考的方法，从而达到提高教学效果、增强学生学习积极性的教学目的。
关键词：数形结合小学数学教学应用教学探究“数”与“形”是数学中两个最古老且基本的研究对象，也是数学的两大重要组成部分，二者之间互相关联、互相渗透，有着十分紧密的联系。
著名数学家华罗庚有句诗写得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休”，所以将“数”与“形”结合起来进行研究与学习几乎成为数学的主要思维方式。
所以教师可以将数学结合思想应用于数学概念教学、数学计算教学等方面，并且利用这一思想帮助学生突破学习中的重点和难点，从而获得数学教学上的成功。
1.利用数形结合帮助学生理解数学概念数学概念是学生学习数学的重要前提，也是学生学习数学的主要目的，所以在数学教学中，对于有关数学概念的教学是重中之重。
学生在数学计算过程中的马虎、经常搞不清楚数学规律、不明白图形之间的关系等，学生学习数学时经常会犯的常见问题都是由于学生对数学概念模糊不清而导致的。
但是在传统的小学数学概念教学过程中，教师只将教学重心放在对概念的记忆上，忽视了学生对概念的理解，所以最后导致的结果就是学生自己也只是对概念稍有理解。
这种“机械化”的数学概念学习模式极大地阻碍了学生对数学概念的理解和吸收，并且提高学生的学习难度，让学生很难体会到学习的乐趣。
而利用“数形结合思想”帮助学生学习数学概念，能够将模糊且难以理解的数学概念转化为直观且易于接受的直接结果，从而帮助学生从深层次理解数学中的种种概念，达到更好的教学效果。
2.利用数形结合思想提高学生的计算能力数学计算是数学教学的核心内容，也是学生数学综合素质的直接体现，而且学生的计算能力直接决定了学生日后数学发展的情况，很多十分伟大而杰出的数学家都具有极强的基础计算能力甚至是口算、心算能力，可见计算对于数学的重要性。
基于新课程标准下中学数学“数形结合”的教与学
基于新课程标准下中学数学“数形结合”的教与学一、本文概述随着新课程标准的深入实施，中学数学教育正面临着前所未有的变革。
在这一背景下，数形结合作为一种重要的数学思想方法，其在教学中的应用日益受到关注。
本文旨在探讨基于新课程标准下中学数学“数形结合”的教与学，分析数形结合在中学数学教学中的地位和作用，以及如何在教学中有效运用数形结合思想，提高教学效果，培养学生的数学素养和创新能力。
本文将简要介绍新课程标准的理念及其对中学数学教育的影响，阐述数形结合的基本概念和思想方法。
结合具体的教学案例，探讨数形结合在中学数学教学中的应用，包括数形结合在概念理解、问题解决等方面的作用。
接着，本文将分析当前中学数学教与学中数形结合的现状及存在的问题，并提出相应的改进策略和建议。
本文将对数形结合在中学数学教与学中的前景进行展望，探讨未来数形结合在中学数学教育中的发展方向和趋势。
通过本文的研究，希望能够为中学数学教育工作者提供一些有益的参考和启示，推动数形结合在中学数学教学中的深入应用，提高中学数学教学质量和水平，为学生的全面发展奠定坚实的基础。
二、数形结合的理论基础数形结合是数学教育中一种重要的教学方法和学习策略，它建立在深厚的理论基础之上。
数形结合理念源于数学的本质属性。
数学是一种抽象的科学，它通过符号、公式和理论来揭示现实世界中的数量关系和空间形式。
数形结合的理念强调将这些抽象的数学概念和理论与具体的图形和图像相结合，从而使学生能够更加直观地理解和掌握数学知识。
数形结合的教学策略符合认知心理学的原理。
认知心理学认为，人类的认知过程是通过感知、记忆、思维等心理活动来实现的。
数形结合教学策略通过图形和图像的直观性，帮助学生形成对数学概念和理论的直观感知，从而提高记忆效果和理解深度。
同时，数形结合还能够激发学生的创造性思维，促进他们主动探索和发现数学规律。
数形结合的教学方法也符合教育心理学的原则。
教育心理学强调学生在学习过程中的主体地位和作用，数形结合教学策略通过图形和图像的直观性，激发学生的学习兴趣和动力，使他们更加主动地参与到数学学习过程中来。
小学数学教学论文-数形结合法在小学数学课堂中的应用人教版新课标
小学数学教学论文-数形结合法在小学数学课堂中的应用人教版新课标“数”与“形”是贯穿小学数学的两条主线，“数”不能与“形”相分离“，形”不能与“数”相脱节，“以数解形”和“以形助数”两者相互渗透，相互融合，并相互转换。
数形结合的思想在小学数学课堂中的应用，有助于培养学生的数学逻辑思维，开拓学生的创新思维，使小学课堂教学的教学效率得到提高。
一、数形结合法在小学数学课堂教学中的作用数形结合法是当代广泛应用的教学方法之一，教师通过数形的统一，直观性、形象性的特点很容易吸引学生的注意力，调动学生数学学习的积极性，活跃课堂氛围，挖掘学生的空间集合思维潜能，将抽象的数学知识具体化、简单化，使全面掌握数学教材中的理论知识，加深对数学知识的深入探讨，拓展性地向更宽领域的知识迈进，促进课堂教学的效率得到提高。
二、数形结合法在小学数学课堂中的运用策略探析在小学数学课堂教学过程中，数形教学法的运用也要讲究科学性和有序性，运用策略要与学生的个性思维和特点，科学预设课堂教学部署，使数形结合法的教学收到应有的效果。
1、巧妙导入数形结合法，使课堂教学行如流水般的顺畅小学学生在学习数学的过程中，对数形结合的理念并不一定十分清楚，对方法的运用自然也不会有清晰的思维，所以，教师要在讲授时，巧妙地将数形结合法引入到课堂教学中。
2、不断展开数形结合思维，使学生的解题思维更加的清晰在小学教材中，方程知识是学生感到头疼的数学概念。
教师在教学课堂上，有意识地将数形结合法加入到解题思路中，建立直观的数轴与数轴之间交点特点，而用方程组的形式求出问题的答案。
“数”与“形”从两个不同的方面来体现数学问题，数量关系可以通过认识图形关系来直观反映，图形关系也从另一方面涵盖了数量关系的内在规律。
因此，通过观察数与形的联系，深刻了解和探寻数量关系的内在含义，对学生的观察能力和分析能力的提高都大有裨益的。
3、拓展升华数形结合思维，使学生的创新能力增强在日常数学教学过程中，教师不仅要从数的方面去分析几何问题，还要从行的方面研究数的问题，将抽象思维与形象思维紧密结合，这样才能找到解题的捷径，化繁为简，化难为易，抽象化的问题直观化，引发学生的思考与热情，拓宽他们的创造性思维，使学习思维得到有效的锻炼，综合能力得到加强。
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立足新课标，领悟教材蕴含的数形结合思想方法[摘要]：《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中明确提出学生能获得数学的“四基”，初步形成“四能”，并提供有效而丰富的素材。
数形结合思想方法是探索数学新知识的重要方法之一，因此教学中应注意引导学生领悟教材中蕴含的数形结合思想，在精选习题落实双基的同时，有针对性地进行一些与数形结合法有关的训练，提高学生的解题能力。
[关键词]：四基四能领悟数形结合思想让知识连起来教学设计解题能力数形结合思想是中学重要的数学思想之一。
恩格斯说：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
”华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。
”数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大夏深处的两块基石。
《义务教育数学新课程（2011年版）》明确指出：数形结合是探索数学新知识的重要方法之一。
从“两基”增加到“四基”后，我们能感受到数学的“基本思想”在很大程度上会改变一个人的思维方法，并且也这样想，如果能使基本数学思想落实到学生学习和运用数学的思维活动上，那么就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。
因此我们应该关注教材中呈现的重要思想，在教学中加强对数学思想方法的渗透与揭示。
下面就数形结合法谈谈对教材的认识与理解。
一、围绕直角坐标系的建立，借助适当的问题情境，循序渐进渗透数形结合的思想方法。
《课程标准（2011年版）》在具体内容的编写上，不仅关注每章引言的内容概述和方法引导，而且也关注小结对全章知识点的梳理，及对重要思想方法的归纳总结。
因此在教学过程中要善于把已学的知识连起来，注意与前面学段的衔接，梳理知识，归纳其中的数学思想，力争持续的发展提高。
例如，“位置”这一部分内容分三学段进行学习，螺旋上升介绍有关的知识点，渗透数形结合思想。
在小学一年级，教材就通过我们身边熟悉的上、下、前、后、左、右等位置关系，引导学生积累数学学习经验，加强对思想方法的启示。
初步体会到确定物体的位置时，要先看横行是第几行（排），再看竖行是第几列（号），行（排）与列（号）相交接的地方就是要确定的物体的位置，进而学会按一定的顺序进行观察，通过准确描述物体位置，建立起数与形之间的联系，再通过解题等实践活动，使学生初步理解数形结合的思想。
例如：有10位小朋友站成一排，从左边数，小红是第10位；从右边数，小亮是第8位。
小红和小亮中间有几位小朋友？此题可以画图分析。
（如图1），●●●●●●●●●●（图1）用点代替小朋友，从图上可以看出从左往右数，小红是第10个，从右往左数，小亮是第8个。
因此，要算两人中间有几人时，应减2，不是减8，另外，题中提到的两人不算。
因此，可列出算式求出小红和小亮中间有6位小朋友。
又比如，早上起来，太阳在东方，以“我”为参照物，来辨认我家周围同学家的位置与方向，若知道建筑物的距离就可以知道该位同学家的位置与方向。
生动活泼的教学材料与情境，增强学生学好数学和会用数学的信心，也是学生获得数学的“四基”，初步形成“四能”的一种体现。
例如：下面是1路公共汽车的行车路线图（如图2），根据路线图回答问题。
图2（1）1路公共汽车从商品市场出发向（）行驶（）站到四环路，接着向（）行驶（）站到中医院，然后向（）行驶（）站到三中巷，再向（）行驶（）站到公园，继续向（）行驶（）站到清源路，再向（）行驶（）站到天客隆，最后向（）行驶（）站到达终点站动物园。
（2）李强坐了3站到了公园，他可能从（）站上的车。
通过前两学段的学习，逐步树立了点与数之间的对应关系。
数的范围扩充到“有理数”以后，引入一个重要的概念：数轴。
用数轴上的点表示数，对数学的发展起了重要的作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题，如用数轴上的点表示有理数，借助数轴理解相反数、绝对值的概念等。
由此我们就体会了数形结合在学习新知识上带来的方便，许多抽象的数学概念、法则、规律变得直观，容易理解。
扩充到平面直角坐标系后，利用坐标平面内的点和有序实数对的一一对应关系，以及坐标平面内点的坐标表示法，可以确定坐标平面内一个点的坐标。
然后联系实际，利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题（如确定同学家的位置等）。
这样围绕“位置”的相关问题，分学段学习了一些重要的数学知识，教材内容安排合理，注意到不同内容的交错安排，符合学生学习数学的认知规律，让数学知识与数形结合的思想方法得以融会贯通。
二、精心设计教学过程，让学生体会教材蕴含的数形结合思想方法，并逐步学会运用数学知识与方法解题。
根据《课程标准（2011年版）》的要求，教师应在教学过程中落实“四基”，也就是说在基础知识的教学过程中应注意基本数学思想渗透。
因此教师要钻研教材，精心设计教学过程，让学生在掌握知识的同时，形成一定的数学能力。
下面通过一些具体的例题来谈谈运用数形结合思想方法进行解题，掌握一些解题技能，提高解题能力。
一、借助数轴求解特殊的代数式、方程组、不等式等题目。
数轴是初中数学最早出现的数形结合思想的体现，数与点的位置关系密切，每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，反之，数轴上每一个点都可以用一个实数来表示，充分体现了数形结合。
借助数轴，使数与形有机地结合起来，这对于分析问题、解决问题都有很大的帮助。
通过一些常见的练习有助于对数形结合思想的理解。
例1（2009年江苏中考题）.如图3，数轴上a、b两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（）。
图3a. a+b>0b. ab>0c. a-b>0d. - >0分析：观察数轴可知，0所以a+b0，所以抛物线开口向上，画出草图7，抛物线与x轴的交点在点（3，0）的两侧。
且有符合题意的两个根。
由图可知，当x=3时，y∴a的取值范围是a>说明：解题时把一元二次方程与二次函数及其图象联系起来，通过草图，结合数形结合法，既简洁，又直观明了。
例6 如图8，p是反比例函数上一点，若图中的阴影部分的矩形的面积是3，求这个反比例函数的解析式。
分析：与反比例函数有关的图形面积问题，可利用反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义解答即可。
解：设p点的坐标为（x，y）∵p点在第二象限∴ x0∴图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x，y又-xy=3，∴xy=-3，k=xy，∴k=-3∴这个反比例函数的解析式为说明：数形结合思想是研究函数问题时最常用的思想方法，它将抽象的数转化为具体的图形来解决，如本题借助图象求关系式。
四、借助几何图形的有关性质来解决特殊的代数问题。
例7（2010年荆门中考题）如图9-1，mn是半径为1的⊙o直径，点a在⊙o上，∠amn=30°，b为an弧的中点，p是直径mn上一动点，则pa+pb的最小值为（）。
（a）（b）（c）1（d）2分析：如果我们把直径mn所在直线看作对称轴，a、b看成mn 同侧的两个定点，那么很快就能确定使pa+pb取最小值的点p的位置，从而问题迎刃而解。
解：如图9-2所示，作ac⊥mn于c，延长ac交⊙o于a′，则有ca= c a′，连结a′b交mn于p，连结pa，的值则pa=p a′，此时pa+pb最小，它的最小值为线段a′b的长，连接ob、o a′，∵mn是直径，∠amn=30°∴弧an为60°∵弧an与弧a′n度数相等，均为60°，b为弧an的中点∴∠bon=30°，∠no a′=60°∴∠bo a′=90°∵在等腰rt△bo a′中，ob=o a′=1，∴b a′= =∴pa+pb= p a′+pb=b a′= . 故选（b）说明：在解决有关圆的问题时，每个题的分析和思考都必须联系图形，这样才能快速准确地解决问题。
例8（2010年广州中考题）如图10，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为（3，0），（0，1），点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线交折线oab于点e。
（1）记△ode的面积为s，求s与b的函数关系式；（2）当点e在线段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。
解：（1）由题意得b（3，1）若直线经过点a（3，0），则b= 若直线经过点b（3，1），则b= 若直线经过点c（0，1），则b=1①若直线与折线oab的交点在oa上时，即1<b≤，如图10，此时e（2b，0），∴s = oe·co= ×2b×1=b②若直线与折线oab的交点在ba上时，即 <b< 如图10-1，此时e（3，b- ），d（2b-2，1）∴s =s -（s + s + s ）=3-〔（2b-2）×1+ （5-2b）（ -b）+ ×3×（b- ）〕= b-∴（2）如图10-2，设与cb相交于点m，oa与相交于点n，则矩形与矩形oabc的重叠部分的面积即为四边形dnem的面积。
由题意知，dm∥ne，dn∥me∴四边形dnem为平行四边形根据轴对称知，∠med=∠ned又∠mde=∠ned，∴∠med=∠mde∴md=me∴平行四边形dnem为菱形过点d作dh ⊥ oa，垂足为h，由题意知，tan∠den= ，dh=1 ∴he=2设菱形dnem的边长为a则在rt△dhn 中，由勾股定理知∴a= ∴ =ne·dh =∴矩形与矩形oabc的重叠部分面积不发生变化，面积始终为。
说明：本题综合运用轴对称、菱形、直角三角形及一次函数图象的知识和数形结合的思想，经过推理与计算，得出正确答案，体现较高的解题能力。
《课程标准（2011年版）》修订组组长史宁中在访谈中曾经这样说过：数学从本质上讲只研究数量关系和图形关系；数学是关于数量关系和图形关系的一门科学。
熟练掌握教材中出现的数形结合思想，对于提升教师教学的“立意”有重要的作用，同时，通过对基本思想方法的归纳总结，有利于我们抓住知识点的本质，提升我们的解题技能，逐步形成创新能力。