利用数形结合思想方法解题

目录目录 (I)摘要 (Ⅱ)引言 (Ⅲ)1．数形结合思想方法概述 (1)1.1 数形结合的思想方法 (1)1.2 数形结合思想的价值 (1)2．数形结合在中学数学解题中的应用 (3)2.1 利用数形结合解决集合问题 (3)2.1.1利用韦恩图解决集合题目 (3)2.1.2 利用数轴来解决集合问题 (3)2.2利用数形结合解决方程问题 (3)2.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用 (3)2.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用 (5)2.3 数形结合在求不等式问题中的应用 (7)2.3.1构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式 (8)2.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式 (8)2.4数形结合在解决三角函数问题中的应用 (9)2.5 数形结合在求解极值问题中的应用 (11)2.5.1 数形结合在几何极值问题中的应用 (11)2.5.2 数形结合在函数极值问题中的应用 (12)2.6 数学结合在解决线性规划问题中的应用 (12)2.7 数形结合在复数中的应用 (14)结语 (16)参考文献 (18)利用数形结合思想方法解题摘要数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合。

形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。

本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力。

关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problemsolving applicationAbstract:The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation, inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extrem引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣。

数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程。

1．数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫。

1.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题。

1.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性。

数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力。

2．数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法。

2.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形。

2.1.1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析 我们可用圆A 、B 、C 分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。

图1例 2 例若集合{}10U x x =是小于的正整数， ,,A U B U ⊆⊆且(){}19U C A B ⋂=，， {}2A B ⋂=, ()(){}468U U C A C B ⋂=，，,试求A 与B 。

分析 利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合。

图2解 如图2，我们可得：{}2357A =，，，{}1,2,9B =2.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知{}3A x a x a =≤≤+，{}2450B x x x =-->。

（1）若A B =∅,求的取值范围；（2）若A B B =,求a 的取值范围。

分析 在数轴上标出集合A 、B 所含的元素的范围，利用A 、B 的位置关系确定参数a 的取值范围。

解 （1）{}1,5B x x x =<->或，利用数轴得到满足A B =∅的不等式组135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，如图三，所以实数a 的取值范围是{}12a a -≤≤。

图3 （2）由A B B =知A B ⊆，利用数轴得到满足A B B =的不等式，31a +<-，或5a >，所以实数a 的取值范围是{}4,5a a a <->或。

图4 从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想。

2.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合。

2.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用。

例4[5] 当01k <<时，关于x 的方程k kx x +=-|1|2的解的个数是多少？图5函数图像分析 这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点。

解 由于k kx x +=-|1|2则令|1|2x y -=和k kx y +=如图5示我们把函数|1|2x y -=和k kx y +=的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即 原方程解的个数是三个例 5 当m 取何值时，方程)22(0sin sin 2ππ≤≤-=+-x m x x 有唯一解？有两解？无解？分析 用换元法，令x t sin =，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题。

解 原方程即)22(sin sin 2ππ≤≤-=+-x m x x 令x t sin =。

则有)11(2≤≤-=+-t m t t ,再令)11(2≤≤-+-=t t t y 及m y =。

则方程解的个数等于直线m y =与抛物线)11(2≤≤-+-=t t t y 的交点的个数 由图6可知当41=m 或02<≤-m 时，原方程有唯一解；当410<≤m 时，原方程有两个不同的实数解；当41>m 或2-<m 时，原方程无解。

2.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解。