4.数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用
1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422。

3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

【例题分析】
例1. 若关于x 的方程x kx k 2
230++=的两根都在-13和之间，求k 的取值范围。

分析：令f
(=0的解，由y f x =()，
f b
a
f ()(-
=-2
例2. 常规解法：原不等式等价于（Ｉ）x x x x
≥+≥+>⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪02022
或（II ）x x <+≥⎧⎨⎪⎩⎪020
解（Ｉ）得02≤<x ；解（II ）得-≤<20x
综上可知，原不等式的解集为{}{}x x x x x ||-≤<≤<=-≤<200222或
数形结合解法：令y x y x 122=
+=，，则不等式
x x +>2的解就是使
y x 12=+的图象在y x 2=的上方的那段对应的横坐标。

如下图，不等式的解集为
{}x x x x A B |≤<，而
x B 可由
x x +=2解得
x x B A ==-22，，故不等式的解集为{}x x |-≤<22
例3. 已知01<<a ，则方程a x x a ||
|log |=的实根个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象y a y x x a ==|||log |与的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B 。

例4. 如果实数x y ，满足()x y -+=232
2
，则y
x
的最大值为（ ） A.
12
B.
33 C. 32
D. 3 分析：等式()x y -+=2322有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为
()20，，半径r =3，
（如图），而y x y x =--0
则表示圆上的点()x y ，与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A 在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值，由下图可见，当点A 在第一象限，且与圆相切时，OA 的斜率最大，经简单计算，得最大值为tg 603︒=
例5. 已知x y 、满足
x y y x 22
1625
13+=-，求的最大值与最小值。

分析：对于二元函数y x -3在限定条件
x y 22
1625
1+=下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。

令y x b y x b -==+33，则，原问题转化为：在椭圆
x y 22
1625
1+=上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y 轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线y x b =+3与椭圆x y 22
1625
1+=相切时，有最大截距与最小截距。

y x b x y
x
=++
=⎧⎨⎪⎩⎪⇒31625
11692
22 由∆=0，得b =±13-13。

例6. 若集合M x y x y ===⎧⎨
⎪⎩⎪<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪
⎭
⎪()|cos sin ()，330θθπ，集合{}N x y y x b ==+()|， ，且M N ≠φ，则b 的取值范围为___________。

分析：{}
M x y x y y =+=<≤()|，，22
901，显然，M 表示以（0，0）为圆心，以
3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k =1，纵截距为b ，由图形易知，欲使M N ≠φ，即是使直线y x b =+与半圆有公共点，显然b 的最小逼近值为-3，最大值为32，即-<≤332b
例7. 点M 是椭圆
x y 22
2516
1+=上一点，它到其中一个焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，O 表示原点，则||ON =（ ）
A. 3
2
B. 2
C. 4
D. 8
分析：（1）设椭圆另一焦点为F 2，（如下图），则||||MF MF a 122+=，而a MF ==521，||
∴
=||MF 28 又注意到N O 、各为MF F F 112、的中点 ∴ON 是∆MF F 12的中位线
∴==⨯=ON MF 121
2
842||
（2）若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求MF 1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出||ON ，但这样就增加了计算量，方法较之（1）显得有些复杂。

例8. 已知复数z 满足||z i --=
222，求z 的模与辐角主值的范围。

分析：由于|||()|z i z i --=-+2222有明显的几何意义，它表示复数z 对应的点到复数
22+i 对应的点之间的距离，因此满足|()|z i -+=222的复数z 对应的点Z 在以（2，2）为圆心，半径为2的圆上，（如下图），而||z 表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，显
然，当点Z ，圆心C ，点O 三点共线时，||z 取得最值，||||min max z z =
=232，
∴||z 的取值范围为[]232， 同理，当点Z 在圆上运动变化时，当且仅当直线y kx =与该圆相切时，在切点处的点Z 的辐角主值取得最值，利用直线与圆相切，计算，得k =±23，即tg α=±23 ∴-≤≤+a r c t g z a r c t g ()a r g ()2323 即arg [()()]z arctg arctg ∈-+2323，
例9. 求函数y x x =
+-sin cos 2
2
的值域。

解法一（代数法）：由y x x =
+-sin cos 2
2
得y x y x cos sin -=+22，
sin cos sin()x y x y y x y -=--++=--221222，ϕ
∴+=
--++≤s i n ()|s i n ()|x y y x ϕϕ221
12
，而
∴--+≤|
|221
12y y ，解不等式得
--≤≤
-+47347
3
y ∴函数的值域为[
]---+473473
， 解法二（几何法）：y x x =+-sin cos 22的形式类似于斜率公式y y y x x =--2121
，y x x =
+-sin cos 2
2表示过两点P P x x 022()(cos sin )，，，-的直线的斜率。

由于点P 在单位圆x y 2
2
1+=上（见下图） 显然，k y k P A P B 00≤≤
设过P 0的圆的切线方程为y k x +=-22()，则有
||221
12k k ++=，解得k =
-±47
3
即k k P A P B 0047347
3
=
--=-+， ∴--≤≤-+47347
3
y ∴函数值域为[]----+47347
3
，
例10. 求函数u t t =
++-246的最值。

分析：由于等号右端根号内t 同为t 的一次式，故作简单换元24t m +=，无法转化
出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设x t y t =
+=-246，，则u x y =+
且x y x y 2221604022+=≤≤≤≤()，
所给函数化为以u 为参数的直线族y x u =-+，它与椭圆x y 22216+=在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图），u min =22 相切于第一象限时，u 取最大值
y x u x y x
=-++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒222216
3 解∆=0得u =±26 ∴=u m a x 26。