2015高考第一轮复习正弦定理和余弦定理

cos A 2 5 ,AB AC 3，b c 6, 则边a=( 2 5
)
(A) 2 2
(B) 2 3
(C) 2 5
(D)4
【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求. (2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系，再利用余弦定理可 求. (3)利用已知可得cos A及b，c的值，从而利用余弦定理可求a.
(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意
两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
【变式训练】在△ABC中， a 3,b 2,B 45. 求角A，C和边c. 【解析】由正弦定理得,
3 2 , sin A sin 45 3 sin A . 2
∵a＞b,∴A=60°或A=120°. 当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,
(4)余弦定理对任何三角形均成立.(
(5)正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.(
【解析】(1)正确.∵A＞B,∴a＞b,∴ ＞1,
由正弦定理可得 又sin ∴sin B＞0, A＞sin B.
a sin A ＞1. b sin B
a b
(2)错误.正弦定理对任意三角形均成立. (3)错误.当已知三个角时不能求三边. (4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用 . (5)错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角 . 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
整理得：a2+c2-b2=-ac.
2 2 2 a c b ac 1 ∴ cos B . 2ac 2ac 2
∵B为三角形的内角, ∴B 2 . (2)将 b 13，a c 4, B 2 代入b2=a2+c2-2accos B,
3 3
得b2=(a+c)2-2ac-2accos B, ∴ 13 16 2ac(1 1 ),
及 sin A a ,sin B b ,sin C c 得
2R 2R 2R
a∶b∶c=3∶2∶4. 故设a=3k,则b=2k,c=4k,
2 2 2 2 2 2 a b c 9k 4k 16k 1 故 cos C . 2ab 2 3k 2k 4
(3)选C.因为 cos A 2 5 ， 所以 cos A 3 ,
)
(A) 2 2
(B) 2 3
(C) 2 5
(D)4
【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求. (2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系，再利用余弦定理可 求. (3)利用已知可得cos A及b，c的值，从而利用余弦定理可求a.
【规范解答】(1)选C.由(2a-c)cos B=bcos C得
)
【解析】选B.由余弦定理得
3 c a b 2abcos C 16 12 2 4 2 3 4, 2
2 2 2
∴c=2.
3.△ABC满足acos B=bcos A，则△ABC的形状为( (A)直角三角形 (C)等腰三角形 (B)等边三角形 (D)等腰直角三角形
(2)①因为 cosADC 3，
5
所以sin∠ADC
4 1 cos 2 ADC . 5 因为 sinBAD 5 ， 13
所以 cosBAD 1 sin 2BAD 12 .
13
因为∠ABD=∠ADC-∠BAD, 所以sin∠ABD=sin(∠ADC-∠BAD) =sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD = 4 12 3 5 33 .
)
【解析】选C.由acos B=bcos A及正弦定理得， sin Acos B=sin Bcos A， 即sin Acos B-cos Asin B=0, 故sin(A-B)=0. ∵A,B为△ABC的内角，∴A-B=0，∴A=B, 所以△ABC是等腰三角形.
4.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝______.
2.解三角形中的常用公式和结论
(1)A+B+C=π.
(2)0＜A，B，C＜π，
sin AB C sin cos 2 2 AB C cos cos sin 2 2 C ， 2 C ， 2
sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C， tan(A+B)=-tan C.
c bsin C 6 2 ； sin B 2 bsin C 6 2 . sin B 2
当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°,
c
考向 2
余弦定理的应用
【典例2】(1)(2013·台州模拟)在△ABC中，(2a-c)cos B=
bcos C,则角B等于(
(A)
6
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. ①求A的大小；
2 5
5
由 AB AC 3, 得bccos A=3，所以bc=5.
b 5， b 1, 或 c 1 ， c 5.
由bc=5，且b+c=6，解得
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=20,
故 a 2 5.
(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
a 2 c2 b2 a 2 b2 c2 b ， 2a c 2ac 2ab
得a2+c2-b2=ac,
2 2 2 a c b 1 ∴ cos B , 2ac 2
又∵0＜B＜π, ∴ B .
3
(2)选B.由sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,
)
(C)
3
(B)
4
(D)
5 12
(2)(2013·济南模拟)已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=
3∶2∶4，则cos C等于( )
(A) 1
4
(B) 1
4
(C) 1
3
(D)
1 3
(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
cos A 2 5 ,AB AC 3，b c 6, 则边a=( 2 5
又
0＜B＜
5 , B 或 3 . 6 4 4
(2)(2013·岳阳模拟)如图,在△ABC中，点D在BC边上，
AD 33,sinBAD 5 3 ,cosADC . 13 5
①求sin∠ABD的值; ②求BD的长.
【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可.
(2)①利用∠ABD=∠ADC-∠BAD及两角差的正弦公式求解； ②利用正弦定理求解.
1.在△ABC中，a=3,A=30°,B=60°，则b等于( (A)3 3 (B) 3 (C) 3
2
3 2 3 3.
.由正弦定理得
asin B 3 sin 60 b sin A sin 30 3 1 2
2.在△ABC中，a=4, b 2 3, C=30°，则边c等于( (A) 3 (B)2 (C) 2 3 (D)3
第七节 正弦定理和余弦定理
沿河民族中学：阚 辉
正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理
b a = ______ sin B sin A c = sin C _____
余弦定理 在△ABC中，有 b2+c2-2bccos A a2= _______________;
内容
2+a2-2cacos B =2R (R是△ABC外接 b2= c _____________ ；
圆的半径)
2+b2-2abcos C c2= a ______________
定理
变形 公式
正弦定理 余弦定理 2Rsin A 2Rsin B ①a=_________,b=_________, 2Rsin C c= ________； ②sin A∶sin B∶sin C 2 2 2 a∶b∶c b c a =________； b cos A= __________ ; a 2bc 2R ③sin A= 2R , sin B=____, 2 a c2 b2 cos B= ; c
【规律方法】正、余弦定理的相互转化 正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时 可相互转化.如a2=b2+c2-2bccos A可以转化为sin2A=sin2B+ sin2C-2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与 证明.
【加固训练】在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且
【互动探究】若将本例题(3)中的“ AB AC 3， b+c=6”改为
“ sin B cos B b
2 2
”，如何求a?
4 4 【解析】由 cos A 2 5 得 cos A 3， 故 sin A . 5 5 2 5 又由 sin B cos B b 得 2 2 4 B B b 4sin cos 2sin B, 2 2 故 b 2, sin B 4 8 ∴ a b , 即 a 2 . 5 5 sin A sin B
考向 1
正弦定理的应用
6
【典例1】(1)(2013·唐山模拟)在△ABC中, A , a=1,b= 2，
则B=(
(A)
)
(B) 3
4 (D) 或 5 6 6
4 (C) 或 3 4 4
【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,
sin B b sin A a 2 1 2 2. 1 2
①已知两角和任一边，求
解决的 问题 其他边和角 ②已知两边和其中一边的 对角，求其他边和角