十章节协方差分析
协方差分析
第十一节协方差分析(analysis of covariance)在各种试验设计中，对应变量（dependent variable）Y 研究时，常希望其他可能影响Y的变量在各组间保持基本一致，以达到均衡可比。
例如：比较几种药物的降压作用，各试验组在原始血压、性别、年龄等指标应无差异。
第十一节协方差分析有时这些变量不能控制，须在统计分析时，通过一定方法来消除这些变量的影响后，再对应变量y作出统计推断。
称这些影响变量为协变量（Covariate）。
如果所控制的变量是分类变量时，可用多因素的方差分析；当要控制的变量是连续型变量时，可用协方差分析，以消除协变量的影响，或将协变量化成相等后，对y的修正均数进行方差分析。
第十一节协方差分析例如：比较几种不同饲料对动物体重增加的作用，可把动物的进食量作为协变量。
比较大学生和运动员的肺活量时，可把身高作为协变量。
比较治疗后二组舒张压的大小，可把治疗前的舒张压作为协变量。
第十一节协方差分析协方差分析的基本原理：协方差分析是把直线回归和方差分析结合起来的一种统计分析方法。
当不同处理结果的y值受协变量x的影响时，先找出y与x的直线关系，求出把x值化为相等后y的修正均数，然后进行比较，这样就能消除x对y的影响，更恰当地评价各种处理的作用。
协方差分析的步骤±观察指标服从正态分布、方差齐性、各观察相互独立H检验分组因素与协变量x是否有交互作用。
对上例，即是否雌雄羔羊进食量相同，它们的体重增加量却不相同。
如检验结果分组因素与协变量x间没有交互作用，即说明雌雄羔羊进食量相同的情况下，它们的体重增加量是相同的。
进行第二项检验：H检验协变量与应变量之间是否存在线性关系。
如果不存在线性关系，则不能简单地运用协方差分析，因为协方差分析是利用协变量x与应变量y之间的线性回归关系扣除协变量x对y的影响。
必要时可考虑进行变量转换。
如果检验结果协变量与应变量之间存在线性关系，则进行第三项检验：H进一步扣除x对y影响的前提下，检验各组的修正均数差别是否有统计学意义。
23. 协方差分析
23. 协方差分析一、基本原理1. 基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。
如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。
这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。
例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。
检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。
协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。
协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。
前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。
协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。
当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。
2. 协方差分析需要满足的条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。
否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设；（3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。
方差分析和协方差分析协变量和控制变量
方差分析和协方差分析协变量和控制变量方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是用于比较两个或多个组之间差异的一种统计方法。
它常用于实验设计中，特别是当研究者希望判断不同组别对其中一变量的均值是否存在显著差异时。
方差分析的基本思想是通过分析组间变异和组内变异的差异性，来评估不同组别之间的差异是否超出了随机误差的范围。
在执行方差分析时，我们需要计算组间平方和（Sums of Squares Between Groups, SSBG）和组内平方和（Sums of Squares Within Groups, SSWG），并以此计算F值来进行假设检验。
协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）则是在方差分析基础上引入了协变量（covariate）的一种分析方法。
协变量是指与主要变量（研究变量）相关的、可能对变量之间关系产生影响的另一个变量。
协方差分析旨在通过控制协变量的影响，更准确地评估主要变量对因变量的影响。
具体而言，协方差分析会使用协变量与因变量的相关性来对因变量进行线性调整，将其影响减少到最低限度。
这样可以消除协变量对因变量的干扰，使比较组之间的差异更为准确。
在研究设计中，协变量和控制变量是常用的两种概念，用于控制和修正分析过程中的干扰因素。
在实验设计中，控制变量是指研究者通过依据主要变量的研究设计，将一些可能导致干扰的因素保持恒定。
例如，在比较两种不同药物对疾病治疗效果时，研究者可以将患者的性别、年龄、体重等因素作为控制变量，确保不同组别之间的差异主要来自于药物本身的影响。
而协变量则是在非实验研究中常用的，在测量研究变量之前，研究者会对协变量进行测量和记录，并在分析过程中加以控制。
例如，研究人员可能关注不同年龄组中学生的学业成就，但同时也要控制其他因素，如家庭背景、社会经济地位等，这些因素可能会干扰到学业成就与年龄之间的关系。
总之，方差分析和协方差分析是两种常用的统计分析方法，在不同的情境下用于数据的比较和解释。
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
十章节协方差分析
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
StPx1n.1 y1.x2n.2 y2..
.. xk.yk.x.y...
nk
k
ni
i1
dft k1
SPe
k i1
ni j1
xij
yij
x1n.1y1.x2n.2y2..
.. xkn.kyk.
=SPT-SPt
k
df e = n -i k =dfT-dft i1
(10-9)
有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS， 就可进行协方差分析。
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y)
n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
回归关系显著性检验表
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明 哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线 性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来 校正y，并对校正后的y进行方差分析。
2、对校正后的50日龄重作方差分析
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但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使
试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合
饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重
相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的
增重。经研
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发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与 其增重(记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪 增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用 统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计 控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经 过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应
1、总乘积和与自由度
k
SP T
i1
n
xijyij
j1
x..y.. kn
1.5 01.2 4 01.8 51.2 0 0...1.1 01.1 0 06.3 1 555 .500 412
73 .52 06.3 1 555 .500 8.25 412
dfT (x,y) =kn-1=4×12-1=47
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y) n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应
的均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度
按变异来源进行剖分并获得获得相应张 下一张 主 页 退 出
在随机模型的方差分析中，根据均方MS 和期望均方 EMS的关系， 可以得到不同变异 来源的方差组分的估计值。同样，在随机模型 的协方差分析中，根据均积 MP 和期望均积 EMP 的关系，可 得 到 不同变异来源的协方差 组分的估计值。有了这些估计值，就可进行相 应的总体相关分析。这些分析在遗传、育种和 生态、环保的研究上是很有用处的。
(xx)(yy)
r
(xx)2 (yy)2
若将公式右端的分子分母同除以自由度(n1)，得
(xx)(yy)/(n1)
r
(xx)2
(yy)2
（10-1）
(n1)
(n1)
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其中
(x x)2
n 1
是x的均方MSx，它是x的
(10-9)
有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS， 就可进行协方差分析。
【例10.1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪
食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺
乳仔猪做了以下试验： 试验设对照、配方1、
配方2、配方3共四个处理，重复12 次，选择
初始条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48
头 ，完全随机分为4组进行试验，结果见表
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StPx1n.1 y1.x2n.2 y2.... xkn.kyk.xk..yn.i. i1
dft k1
SPe
k i1
ni j1
xi
j
yi
j
x1n.1y1.x2n.2y2.... xkn.kyk.
=SPT-SPt
k
df e = n -i k =dfT-dft i1
由于篇幅限制 ， 本章只介绍对试验进行统 控制的协方差分析。
第二节 单因素试验资料的协方差分析
设有k个处理、n次重复的双变量试验资料， 每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资料为 具kn对x、y观测值的单向分组资料，其数据 一般模式如表10—1所示。
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表10—1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
dt(fy) k1413 3、处理内平方和与自由度
S e ( y )S S T ( y ) S S t( y )S 9 .7 6 1 6 .6 1 8 8 .0 5 8
de(yf) dT (y f) dt(y)f 4 7 3 44
(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由 度
第十章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义
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协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。
一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理
以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，
使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
（covariance），记为COV(x,y)或 xy 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
均积MPxy表示为：
r MPxy MSx MSy
（10-3）
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(五) 协方差分析
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1、误差项回归关系的分析
误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间 差异的影响的误差变异中找出50日龄重(y)与初 生重(x)之间是否存在线性回归关系。计算出误差 项的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验， 若显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用 线性回归关系来校正y值(50日龄重)以消去仔猪 初生重(x)不同对它的影响。然后根据校正后的y 值(校正50日龄重)来进行方差分析。如线性回归 关系不显著，则无需继续进行分析。
1.75
dfT（x）=kn-1=4×12-1=47
2、处理间平方和与自由度
SSt(x)
1 k n i1
xi2.xk..n2
1 (18.252 15.402 15.652 13.852)63.152
12
48
0.83
df t ( x )=k-1=4-1=3
3、处理内平方和与自由度 S e (x ) S S T (x ) S S t(x )S 1 .7 0 5 .8 0 3 .92
回归分析的步骤如下：
(1) 计算误差项回归系数，回归平方和， 离回归平方和与相应的自由度
de (x ) f d(f x )T d(x f) t4 7 3 44
(二)求y变量各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
S T ( y ) Sy i 2 jk y . 2 .( 1 n . 4 2 2 1 0 . 0 2 2 .0 1 .. 0 .2 ) 1 5 0 4 . 5 2 5 6 8 . 3 0 4 5 4 1 . 5 1 2 5 9 8 . 7 0
j1
x..y.. kn
(10-5)
df T =kn-1
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其中，
k
k
x.. x i ., y.. y i .,
i1
i1
x ..
x .. kn
,
y ..
y .. kn
处理间的乘积和SPt是 x i . 与x.. 和y i . 与y .. 的
离均差乘积之和乘以n，即：
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估计更为准确。若 y 的变异主要由x的不同造成 (处理没有显著效应)，则各矫正后的y 间将没有 显著差异(但原y间的差异可能是显著的)。若 y 的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处理的 显著效应，则可期望各y 间将有显著差异 (但原 y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的y 和
12
4 12
=1.64
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df t(x,y) =k-1=4-1=3 3、处理内乘积和与自由度
S e P S T P S t P 8 .2 1 5 .6 4 6 .61
d e (x ,y f) d T (x fv ) d t(x f v ) 4 3 7 44 平方和、乘积和与自由度的计算结果列于表10—3。
k=4，n=12，kn=4×12=48
协方差分析的计算步骤如下：
(一)求x变量的各项平方和与自由度
1、总平方和与自由度
SST (x)
xij 2
x 2 kn
(1.50 2 1.85 2 1.10 2 ) 63 .15 2 48
84.8325 63.15 2 48
(10-7)
df
=k(n-1)
e
以上是各处理重复数n相等时的计算公式，
若各处理重复数n不相等，分别为n1、n2、…、
nk，其和为
k
ni
，则各项乘积和与自由度的计
i1
算公式为：
k
SPT
ni
xij
yij
xi.yi.
k
i1 j1
ni
i1
k
dfT ni 1 i1
(10-8)
2、处理间乘积和与自由度
SPt 1nik1xi.yi.x.k.yn..
1 ( 1 . 2 1 8 . 5 8 4 1 . 4 0 1 1 5 0 . 1 3 1 . 6 0 0 1 5 . 5 8 4 1 . 8 0 4 1 3 . 5 8 ) 3 6 0 . 1 3 5 3 5 . 5 5
10—2，试作分析。
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表10—2 不同食欲增进剂仔猪生长情况表
（单位：kg）
此例，
x. .x1.x2.x3.x4.
=18.25+15.40+15.65+13.85=63.15