第九章 协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是数据统计学的一个名词。
它将每组实验数据标上号码，然后依照它们在总体中出现次数的大小，以及每一组数据与其他数据之间的平均差异，求得一组平均数据代表整个总体的概率。
简单来说，就是在均值的基础上，加减方差的和，或者说在众多的数据中取最好的一个数据作为代表整体的标准，这个量化了的标准就叫做“均值”。
这个“均值”是不是真正代表总体呢？不是的，因为它有偏差。
即“协方差”。
协方差分析的目的：协方差分析可以消除假设检验的各种局限性，消除非参数检验中可能存在的假定导致的检验误差，提高非参数检验的效度；而且通过对观测数据的处理，还可以获得一些新的信息，例如平均值变化的原因，检验数据的随机趋势是否符合某种规律，从而为非参数检验建立更好的假设检验方案。
协方差分析包括方差分析和分类变量回归分析两部分内容。
这里仅对方差分析进行介绍。
协方差分析法的基本思想是利用统计软件，根据研究所需的条件自动地选择适当的分析方法，并用数学方法对实验数据进行分析，得到一些重要的参数，例如最大似然估计、协方差、协方差矩阵、相关系数、协方差阵等。
把这些参数应用到假设检验和回归分析中去，就可以确定最优的回归方程。
通常是采用以下3种分析方法。
1.协方差分析法协方差分析是一种比较常见的非参数统计方法，它是根据样本和总体的协方差矩阵来分析总体特征的，即寻找样本与总体的差别以及差别的来源，而不涉及具体的数值解。
这一方法适用于那些对分类变量数值有兴趣的研究。
协方差分析法主要由协方差矩阵和协方差系数两部分组成，其中协方差系数反映了两个变量之间的线性相关程度，其计算公式如下：上述公式的含义是：协方差矩阵E=∑×∑×，式中P是每个变量的数值， Q是各变量的协方差，即协方差矩阵E 的特征值或特征向量为：式中：1．检验每个随机样本与某个特定均值间有无关系，即证明它们的均值之间是否存在协方差。
2．如果没有关系，可以在检验区间内取若干样本点进行多重比较，看看是否存在协方差。
第九章 协方差分析
协方差分析
一、协方差分析的意义和功用
二、单向分组资料的协方差分析 三、两向分组资料的协方差分析
一、协方差分析的意义和功用
(riance)是两个变数的互变异数。对于一 个具有N 对(X，Y )的有限总体，其定义为：
1 N cov ( X i X )(Yi Y ) N 1
上式中和的 i=1，2，3，…，k。 其中： SPT xy 1 (T x T y )
kn
1 nk k 1 1 SPt (T xi T yi ) (T x T y ) n 1 nk kn 1 k SPe xy (T xi T yi ) SP SP T t 1 n 1
(4) 如果所得F 为不显著，表明间无显著差异；如
果F 为显著，则必须算出各个，进行多重比较，作
出相应推断。
(四) 相关关系资料的协方差分析
相关关系资料的协方差分析主要讨论两个互有联系
的总体的相关问题。
[例9.16] 为研究小麦品种经济性状的数量遗传，
随机抽取90个品种，在田间每品种皆种成4个小区 (每小区1行)，共90×4=360个小区，完全随机排列。 得到小穗数(x )和百粒重(y )的方差和协方差分析
ˆ e2( y ) 0.0308
ˆ2( y ) (0.9868 - 0.0308)/4 0.2390
由表9.13中MP 和EMP 的关系得：
cove 0.0369
cov (-1.4322 - 0.0369)/4 -0.3673
︿
︿
因此，小穗数和百粒重的环境相关系数 r 为： e ︿
sas第九章 t检验和方差分析
第九章 t 检验和方差分析在科研中，我们往往是根据样本之间的差异，去推断其总体之间是否有差异。
样本差异可能是由抽样误差所致，也可能是由本质的不同所致。
应用统计学方法来处理这类问题，称为“差异的显著性检验”。
若已知总体为正态分布，进行差异的显著性检验，称为“参数性检验”，SAS 中MEANS 、TTEST 、ANOVA 、GLM 等均属此类检验；若未知总体分布，进行差异的显著性检验，称为“非参数性检验”，SAS 中采用NPAR1WAY 过程。
第一节 t 检验9.1.1 简介t 检验是用于两组数据均值间差异的显著性检验。
它常用于以下场合：1．样本均值与总体(理论)均值差别的显著性检验检验所测得的一组连续资料是否抽样于均值已知的总体根据大量调查的结果或以往的经验，可得到某事物的平均数(例如生理生化的正常值)，以此作总体均值看待。
SAS 中采用MEANS 过程，计算出观察与总体均值的差值，再对该差值的均值进行t 检验。
2.同一批对象实验前后差异的显著性检验(自身对照比较)或配对资料差异的显著性检验(配对比较检验)比如，在医学研究中，我们常常对同一批病人治疗前后的某些生理生化指标(如血压、体温等)进行测量，以观察疗效；或对同一批人群进行预防接种，以观察预防效果；或把实验对象配成对进行测定，比较其实验结果。
SAS 中采用MEANS 过程，计算出两样本观察的差值(如治疗前、后实验数据的差值)，再对该差值的均值进行t 检验。
3．两样本均值差异的显著性检验作两样本均值差异比较的两组原始资料各自独立，没有成对关系。
两组样本所包含的个数可以相等，也可以不相等。
每组观测值都是来自正态总体的样本。
设1X 与2X 为两样本的均值，1n 与2n 为两样本数，21s ，22s 为两样本方差，分两种情形，其数学模型为：(1)方差齐(相等)时：)/1/1(21221n n s x x t +-=)2/(])1()1[(212222112-+-+-=n n s n s n s(2)方差不齐时： 22212121//n s n s x x t +-=SAS 中采用TTEST 过程，先作方差齐性检验(F 检验)，然后根据方差齐(EQUAL)和方差不齐(UNEQUAL)输出t 值和P 值以及基本统计量。
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
生物统计课件第9章 协方差分析
P195 习题3
三种日投饵量，测定初始体长（x，cm）与试验结束 时体长（Y，cm），作协方差分析。
请同学们思考，如何输入数据：
（1）输入数据与选择数据： （2）菜单： （3）结果分析：
• 初始体重x与最终体重y之间的回归显著性分析 • 不同日投饵量的差异显著性分析 • 平均值校正 • 平均值多重比较
回归协方差分析
（1）三个回归系数b差异显著性检验：p=0.5870，没有显著差 异，可以用共同的回归系数0.0127 （2）三个回归截距差异显著性检验：p=0.0000，差异非常显 著，需要用三个不同的截距：
y1=0.3446+0.0127x y2=1.4413+0.0127x y3=1.1707+0.0127x
平均值校正后，消除初始体长x的影响，三种投 饵水平下，投饵量1的最终体长为6.9371，投饵量2 为7.9377，投饵量3为7.3451。投饵量2最好。
多重比较结果为：三种投饵水平导致最终体长的 差异都是非常显著的（p<0.01).
回归协方差分析
（1）三个投饵水平下，建立三条直线回归方程，对三个回归 系数b差异显著性进行检验：p=0.1885>0.05，没有显著差异， 可以用共同一个回归系数（b=0.9227） （2）三个回归截距a的也有非常显著的差异：p=0.000<0.01， 需要用三个不同的a。
协变量x：1个，草鱼初始重
DPS法 （1）输入数据与选择数据：
DPS法 （2）菜单：
DPS法 （3）对话框：
配方有3个：因此处理A个数为3； 协变量x为初始重，1个。
DPS法
（4）结果：
• 初始重X与草鱼日增重Y的 存在回归关系，可以用方程 y=0.2222+0.0199x表示， R=0.55886，效果不好，这 是因为把所有数据当作一个 样本来处理，由于忽略了三 种饲料的差异。
第九章_协方差分析
协方差举例
3、纠正后的处理间方差分析
变异来源 处理 误差 总变异 自由度 平方和 均方 F值 2 707.218 353.609 31.07** 227.615 11.381 20 22 934.833
ˉ 4、用回归纠正每处理的平均增重 yi= μi+b(xi-x)
注意的问题
1、统计资料应服从正态分布，否则要做适当 的统计代换。 2、做一般方差分析时处理间差异显著，而做 协方差分析时，处理间差异反而不显著，说明 所谓的差异是由于初始的试验条件造成的，并 非处理间真正的差异。
x 17 16 18 18 21 22 19 18 y 97 90 100 95 103 106 99 94
A1
A2Leabharlann A3x 22 24 20 23 25 27 30 32 y 89 91 83 95 100 102 105 110
协方差举例
1、平方和
2、回归关系的显著性检验
变异来源 回归 误差 自由度 平方和 均方 F值 1 1010.76 1010.76 88.8** 227.615 11.38 20
定义
协方差分析(Analysis of Covariance) 是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种 分析方法。它先将定量的影响因素看作自变量 ，或称为协变量，建立因变量随自变量变化的 回归方程,这样就可以利用回归方程把因变量 的变化中受定量因素的影响扣除掉，从而,能 够较合理地比较因变量的总体均数之间是否有 显著性的差别，增加了分析的准确性。 协方差分析的功用就是用处理前的基数矫 正处理后的结果，提高其精确度。
第九章 协方差分析
一、协方差分析的概念
二、协方差分析模型
三、协方差分析举例
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(9· 50)
其相应自由度为 ni 1 、k 1 、 ni k 。
(三) 回归关系的协方差分析
协方差分析解决问题的步骤如下：
(1)列出处理间、处理内和总变异的DF、SSx、SSy和
SP。
(2)测验x 和y 是否存在直线回归关系。
(3)测验矫正平均数间的差异显著性。
Tx1 T y1 Tx2
x1 y1
x2 y2
2
k
xk1
y k1
xk 2
yk 2
xk 3
yk 3
… …
xk n yk n
Ty2
Txk T yk
xk
yk
Tx
Ty
x
y
单向分组资料协方差分析的样本线性组成为：
y ij y t i be( xij x ) eij
(9· 47A)
re cove ˆ
2 e( x )
ˆ
2 e( y )
0.0369 0.3312 0.4030 0.0308
品种(基因型)相关系数rg为：
rg cov ˆ2( x ) ˆ2( y )
︿
0.3673 -0.5979 1.5790 0.2390
归模型作协方差分析。
表9.15 南优3号的颖花数（x）和结实率（y）资料
区 组
处理
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tr 4.59 4.09 3.94 3.90 3.45 3.48 3.39 3.14 3.34 4.12 4.12 3.84 3.96 3.03 52.39
mk km
Tx T y
（9· 55）
（三）协方差分析
两向分组资料的协方差分析和单向分组资料并无原
则上的不同，只是多了一个方向的变异来源。
[例9.17] 表9.15是研究施肥期和施肥量对杂交水
稻南优3号结实率影响的部分结果，共14个处理，2
个区组，随机区组设计。由于在试验过程中发现单 位面积上的颖花数对结实率似有明显的回归关系， 因此将颖花数(x，万/m2)和结实率(y，%)一起测定。 该试验的处理效应为固定型，故按因果关系资料回
87 0.9 2 2 .8 4 ( y) 86 e( y ) 25 8 1 0.0 8. 30 31 8 61
2 e ( y)
cove 127. 1.432 +4 cov 426 2
0. 品种 27 108. 40 0 81 内 30 总变 35 706. 9 80 异
2 e( x)
结果于表9.13。
表9.13 90个小麦品种的小穗数(x)和百粒重(y)的方差分析与协方差分析 变异 D 来源 F x的方差分析 SS M S EMS y的方差分析 SS MS EMS (x，y)的协方差分析 SP MP EMP
2 2 6. e ( x ) 4 ( x ) 597. 品种 71 间 89 99 90
Ti y 119 127 128 135 138 143 145 141 138 115 119 129 124 146 1847
xi
4.455 4.100 4.025 3.735 3.620 3.430 3.210 3.190 3.190 4.440 4.435 3.720 4.230 3.020
cov代替 2 。这是处理(品种)效应 i 为随机型的资
料，目的不是研究特定的品种，而是研究抽出这些品 种的小麦总体，因而需估计有关总体参数。
由表9.13中的MS 和EMS 的关系可得：
ˆ e2( x ) 0.4030
ˆ2( x ) (6.7190 - 0.4030)/4 1.5790
样本线性组成为：
y ij y t i r j be( xij x ) eij
(9· 54A)
移项后可得：
yij ti rj y be( xij x ) eij
a be xij eij
(9· 54B)
和
yij be( xij x ) y ti rj eij
(9· 54C)
(二) 乘积和和自由度的分解
表9.14的总SP 可分解为类间、组间和误差三部分，
其值为：
SPT ( x x )( y y ) xy 1 1 mk m Tx T y 1 m SPR k ( x · (T xi·T yi· ) i x )( y · i y) 1 k 1 mk k Tx T y 1 k SPt m ( x·j x )( y·j y ) (T x·j T y·j ) 1 m 1 mk SPe SPT SPR SPt
ˆ e2( y ) 0.0308
ˆ2( y ) (0.9868 - 0.0308)/4 0.2390
由表9.13中MP 和EMP 的关系得：
cove 0.0369
cov (-1.4322 - 0.0369)/4 -0.3673
︿
︿
因此，小穗数和百粒重的环境相关系数 r 为： e ︿
首先用两向分组资料的通常方法算得表9.15资料的
各项平方和于表9.16，乘积和则由以下各式算出： SPT=(4.59×58)+(4.09×65)+…+(3.01×71)
= - 73.60 1 (105.6 1847) 28
(52.39 937) (53.21 910) 1 (105.6 1847) -0.79 SPR= 14 28
协方差分析(analysis of covariance)是将回归分 析和方差分析综合起来的一种统计方法。
(二) 协方差分析的功用
1. 当（x，y）为因果关系时，可利用 y 依 x 的 回归系数矫正y变数的处理平均数，提高精确度。
2. 当（x，y）为相关关系时，可通过估计不同变 异来源的总体方差和协方差，作出相应的相关分析。
9.96 0.036 1 9 117. 501
cove
96 .1 41 2
表9.13中，x和y两者的方差分析按第六章第三节的方 法作出；(x，y )的SP 则由(9· 49)求出。将各SP除以 相应的DF，即得平均的乘积和，即MP。期望协方 EMP 的分量和随机模型的 EMS 相同，仅是以协方差符号
I
y 58 65 64 66 71 71 71 72 69 61 63 67 64 75 937 x 4.32 4.11 4.11 3.57 3.79 3.38 3.03 3.24 3.04 4.76 4.75 3.60 4.50 3.01 53.21
II
y 61 62 64 69 67 72 74 69 69 54 56 62 60 71 910 x 8.91 8.20 8.05 7.47 7.24 6.86 6.42 6.38 6.38 8.88 8.87 7.44 8.46 6.04 105.60
（9· 49）
如果各组的n不等，分别为n1、n2、…、nk，其和为，
则
T xk T y k T x1 T y1 T x2 T y2 1 SPt ( ) (T x T y ) n1 n2 nk ni ni T xk T y k T x1 T y1 T x2 T y2 SPe xy ( ) 1 n1 n2 nk 1 SPT xy (T x T y ) 1 ni
二、单向分组资料的协方差分析
(一) 资料模式与线性组成
设有k 组回归样本，每组各有n 对观察值，则该资料共有kn 对
数据，其模式如表9.8。
组别 观 察 值 总和 平均
1
x11 y11 x21
y21
x12 y12 x22
y22
x13 y13 x23
y23
… … …
…
x1n y1n x2n
y2n
将(9· 47A)移项得：
yij ti y be( xij ห้องสมุดไป่ตู้ ) eij
a be xij eij
(9· 47B)
和
yij be( xij x ) y ti eij
(9· 47C)
(二) 乘积和和自由度的分解
kn k k n
( x x )( y y ) n ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) i i i i 1 1 1 1 48） SPT SPt SPe （9· 相应自由度为： ( nk - 1)(k - 1) k(n - 1)
以上re所对应的自由度是k(n-1)-1=269，为极显 著；rg的假设测验比较复杂，其简单近似是具自由 度k-2=88，亦为极显著。 根据以上方差和协方差分量，还能估计出小穗数和
百粒重的表型相关rp可估计为：
rp
cov e cov
2 2 2 2 ˆe ˆ ˆ ˆ [ ][ ( x) ( x ) e( y ) ( y )]
区 组 间
处 理 间 误 差
0.0240
6.8732 0.8372
26.03
694.46 82.47
-0.79
-66.37 -6.44
有了上述结果，就可先对x 和y 变数各作一方差分 析，见表9.17。
yi
59.5 63.5 64.0 67.5 69.0 71.5 72.5 70.5 69.0 57.5 59.5 64.5 62.0 73.0