第七章 协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
第七章 协方差分析
有无差别的方法，其目的是把与结果变量（因变量）Y
呈直线关系的自变量X（协变量）化成相等后，检验两
个或多个修正均数间有无差别。
§7 协方差分析
协方差分析的意义
[例7-1 ]为研究镉作业工人暴露于烟尘的年数与肺活量 的关系，按暴露年数将工人分为两组，甲组暴露大于 或等于10年,乙组暴露小于10年，两组年龄未经控制， 问该两组暴露于镉作业的工人肺活量是否相同？
分析：试验用4种肥料分别施10株果树，各组的单株产量 y 既包含了不同肥料所引起的“自身变异”，也包含 了不同的起始干周x所引起的 “协同变异”，因此应 采用协方差分析法将“协同变异”从 y 的总变异中剔 除，获得y的“自身变异”，然后才能正确地检验4种 肥料平均单株产量是否有显著差异。
§7 协方差分析
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
对x和y作方差分析
这里对y进行的F检验是在没有考虑x的影响下进行的, 若x 与y之间没有显著的回归关系,即x对y没有显著影响，对y进
行的F检验结果可以接受； 若x与y之间有显著的回 归关系,即x对y有显著影响, 则需对y矫正后再进行的F检验, 才能获得正确结论。
yij e (xij x ) y i ij
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素） 建立因变量Y随协变量X变化的线性回归关系 利用回归关系把协变量X化为相等后再进行各组Y 的修正均数间比较的假设检验
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素） 计算变量x和y的自由度、平方和与乘积和
§7 协方差分析
协方差分析的意义
协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的 总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差 的绝对值越大，二个变量相互影响越大。
协方差分析
第十一节协方差分析(analysis of covariance)在各种试验设计中，对应变量（dependent variable）Y 研究时，常希望其他可能影响Y的变量在各组间保持基本一致，以达到均衡可比。
例如：比较几种药物的降压作用，各试验组在原始血压、性别、年龄等指标应无差异。
第十一节协方差分析有时这些变量不能控制，须在统计分析时，通过一定方法来消除这些变量的影响后，再对应变量y作出统计推断。
称这些影响变量为协变量（Covariate）。
如果所控制的变量是分类变量时，可用多因素的方差分析；当要控制的变量是连续型变量时，可用协方差分析，以消除协变量的影响，或将协变量化成相等后，对y的修正均数进行方差分析。
第十一节协方差分析例如：比较几种不同饲料对动物体重增加的作用，可把动物的进食量作为协变量。
比较大学生和运动员的肺活量时，可把身高作为协变量。
比较治疗后二组舒张压的大小，可把治疗前的舒张压作为协变量。
第十一节协方差分析协方差分析的基本原理：协方差分析是把直线回归和方差分析结合起来的一种统计分析方法。
当不同处理结果的y值受协变量x的影响时，先找出y与x的直线关系，求出把x值化为相等后y的修正均数，然后进行比较，这样就能消除x对y的影响，更恰当地评价各种处理的作用。
协方差分析的步骤±观察指标服从正态分布、方差齐性、各观察相互独立H检验分组因素与协变量x是否有交互作用。
对上例，即是否雌雄羔羊进食量相同，它们的体重增加量却不相同。
如检验结果分组因素与协变量x间没有交互作用，即说明雌雄羔羊进食量相同的情况下，它们的体重增加量是相同的。
进行第二项检验：H检验协变量与应变量之间是否存在线性关系。
如果不存在线性关系，则不能简单地运用协方差分析，因为协方差分析是利用协变量x与应变量y之间的线性回归关系扣除协变量x对y的影响。
必要时可考虑进行变量转换。
如果检验结果协变量与应变量之间存在线性关系，则进行第三项检验：H进一步扣除x对y影响的前提下，检验各组的修正均数差别是否有统计学意义。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析（CovarianceAnalysis）是一种常见的统计分析方法，是衡量两个变量之间线性关系强度的有效手段。
协方差分析与相关分析（correlation analysis）有很多相关点，都是用来识别变量之间的关系，但两者的方法不同。
协方差分析的核心是对变量之间关系的衡量，而这种衡量有多种形式。
一般情况下，协方差分析主要是通过计算变量之间的协方差来完成的。
协方差（covariance）是衡量两个变量的线性关系的函数，可以从变量的期望值（expected value）和方差（variance）来计算。
如果变量之间的协方差大于0，则表明两个变量之间存在正相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B也有可能会上升；如果变量之间的协方差小于0，则表明两个变量之间存在负相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B可能会下降。
此外，协方差分析还可以用于研究多个变量之间的关系，其中最常用的方法是多元协方差分析（multivariable covariance analysis）。
它可以用来研究多个变量之间的变化与偏差，以及它们之间关联程度的大小。
此外，协方差分析还可以用于研究两个或多个样本之间的关系，也就是说，它可以分析两个或多个样本集中的变量之间是否存在关联性。
例如，可以利用协方差分析，分析一组调查者的年龄、职业、教育水平和收入之间的关系，这有助于统计学家和社会研究者了解他们的研究结果。
最后，协方差分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助研究者和社会科学家分析不同变量之间的关系，同时它也可以帮助研究者分析不同样本集之间的关系，从而使他们更好地理解社会、经济和文化现象。
它的分析结果可以为社会科学研究提供更多的参考依据，从而改善当前的社会现状。
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
第七章协方差分析
在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
2、协方差分析（适用：计量资料）
3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
1.75
dfT（x）=kn-1=4×12-1=47
2、处理间平方和与自由度
SSt(x)
1 k n i1
xi2.xk..n2
1 (18.252 15.402 15.652 13.852)63.152
12
48
0.83
df t ( x )=k-1=4-1=3
3、处理内平方和与自由度 S e (x ) S S T (x ) S S t(x )S 1 .7 0 5 .8 0 3 .92
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y) n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
i1 j1
k i1
n
xij yij
j1
x..y.. kn
(10-5)
df T =kn-1
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问题的提出
第五章介绍的方差分析属纯方差分析。为了提高试验结 果的精确性和准确性，它对处理以外的条件都采取一定 的措施加以控制，使各处理处于尽可能一致的试验条件 下，这一做法在统计上叫做试验控制。 但在有些情况下，试验控制不一定能实施。如果那些不 能很好地进行试验控制的因素是可测的，且又和试验结 果之间存在直线回归关系，那么就可利用这种直线回归 关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的状 态，使得处理间的比较能在相同基础上进行。这一做法 在统计上称为统计控制。
(I) group 1
2
3
4
(J) group 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
Sig. .151 .000 .000 .151 .027 .000 .000 .027 .610 .000 .000 .610
a
Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the .05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni.
Dependent Variable: y F .265 df1 3 df2 36 Sig. .850
Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups. a. Design: Intercept+x+group
a. This parameter is set to zero because it is redundant.
y = 36.838 + 0.736 x
分析结果表明：线性回归关系显著。
§7 协方差分析
对Y修正均值进行方差分析
Univariate Tests Dependent Variable: y Sum of Squares 2507.777 1475.007 df 3 35 Mean Square 835.926 42.143 F 19.835 Sig. .000
§7 协方差分析
协方差分析的前提条件假定
正态性（Shaprio-Wilk检验） 独立性(Runs检验) 方差齐性（Levene’s F检验） 回归齐性（作图法）
§7 协方差分析
பைடு நூலகம்协方差分析的数学模型（单因素）
yij = µ y + α i + β ( xij − µ x ) + ε ij (i = 1, 2, , k ; j = 1, 2, , n)
§7 协方差分析
案例分析
[例7-1 ]为研究A1、A2、A3、A4 等4种不同肥料 （k=4）对某果树单株产量的影响， 选择40株该果树 作试验， 把40株果树完全随机分为4组,每组包含10株 (n=10)，每组施用1种肥料。各株果树的起始干周 （x,cm）和单株产量（y, kg）数据如表所示， 试检验 4种肥料的平均单株产量是否有显著差异。 分析：试验用4种肥料分别施10株果树，各组的单株产量 y 既包含了不同肥料所引起的“自身变异”，也包含了不 同的起始干周x所引起的 “协同变异”，因此应采用协方 差分析法将“协同变异”从 y 的总变异中剔除，获得y的 “自身变异”，然后才能正确地检验4种肥料平均单株产 量是否有显著差异。
§7 协方差分析
对Y修正均值进行方差分析（协方差分析表）
Tests of Betw een-Subj ects Effects Dependent Variable: y Type III Sum of Squares Source Corrected Model 3086.893 a Intercept 3280.474 x 475.993 group 2507.777 Error 1475.007 Total 168658.000 Corrected Total 4561.900 df 4 1 1 3 35 40 39 Mean Square 771.723 3280.474 475.993 835.926 42.143 F 18.312 77.841 11.295 19.835 Sig. .000 .000 .002 .000
a. R Squared = .677 (Adjusted R Squared = .640)
该表说明：在0.05水平上，协变量对因变量有影响， 在消除协变量的影响后，各组均值有显著性差异。
§7 协方差分析
前提条件检验－正态性检验
满足 正态性
前提条件检验－独立性检验
Runs Test y1
a Test Value Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed)
Contrast Error
The F tests the effect of group. This test is based on the linearly independen pairwise comparisons among the estimated marginal means.
分析结果表明：在0.05水平上，各水平间均值有显著 性差异，即施用不同的肥料，单株产量有显著性差异。
满足 方差齐性
前提条件检验－回归齐性检验 Tests of Betw een-Subj ects Effects
Dependent Variable: y Type III Sum Source of Squares Corrected Model 3215.625 a Intercept 3031.128 group 38.662 x 427.707 group * x 128.732 Error 1346.275 Total 168658.000 Corrected Total 4561.900 df 7 1 3 1 3 32 40 39 Mean Square 459.375 3031.128 12.887 427.707 42.911 42.071
§7 协方差分析
F 10.919 72.048 .306 10.166 1.020 Sig. .000 .000 .821 .003 .397
a. R Squared = .705 (Adjusted R Squared = .640)
§7 协方差分析
建立结果变量Y与协变量x的线性回归方程
回归关系分析的意义是找出结果变量(y)与协变量(x)之间 是否存在线性回归关系。计算出回归系数并对线性回归 关系进行显著性检验，若显著则说明两者间存在回归关 系。这时就可应用线性回归关系来校正y值(结果变量)以 消去协变量(x)不同对它的影响。然后根据校正后的y值 来进行方差分析。如线性回归关系不显著，则无需继续 进行分析。
y2 66 5 5 10 3 -1.677 .094
y3 58 4 6 10 5 -.211 .833
y4 54 4 6 10 3 -1.616 .106
77 5 5 10 6 .000 1.000
满足 独立性
a. Median
前提条件检验－方差齐性检验
a Lev ene's Test of Equality of Error Variances
协方差分析的意义
§7 协方差分析
协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的参 数，协方差的绝对值越大，两个变量相互影响越大。 1 COV ( x, y ) = ∑ ( x − x )( y − y ) n −1 协方差分析(Analysis of Covariance)是把线性回归分 析与方差分析结合起来，用于检验两个或多个修正均 数间有无显著性差异的方法。 目的是把与结果变量（结果变量）Y呈直线关系的自 变量X（协变量）化成相等后，检验两个或多个修正均 数间有无显著性差异。
线性回归分析
' y ij = yij − α i = µ y + β ( xij − µ x ) + ε ij
'' y ij = yij − β ( xij − µ x ) = µ y + α i + ε ij 方差分析
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量X（即未加以控制或难以控制的因素） 建立结果变量Y与协变量X之间的线性回归关系 利用回归关系把协变量X化为相等后再分析各组结果变 量Y修正均值是否有显著性差异 如果Y修正均值存在显著性差异，进行多重比较
§7 协方差分析
对Y修正均值进行多重比较
Pairwise Comparisons Dependent Variable: y Mean Difference (I-J) Std. Error 6.849 2.927 15.670* 2.919 20.558* 2.906 -6.849 2.927 8.821* 2.904 13.710* 2.913 -15.670* 2.919 -8.821* 2.904 4.889 2.908 -20.558* 2.906 -13.710* 2.913 -4.889 2.908 95% Confidence Interval for a Difference Lower Bound Upper Bound -1.337 15.035 7.505 23.834 12.431 28.686 -15.035 1.337 .700 16.942 5.562 21.857 -23.834 -7.505 -16.942 -.700 -3.245 13.023 -28.686 -12.431 -21.857 -5.562 -13.023 3.245
§7 协方差分析
建立结果变量Y与协变量x的线性回归方程