第十章协方差分析
合集下载
协方差分析
协方差分析的作用、意义 单向分组资料的协方差分析 两项分组资料的协方差分析 协方差分析的数学模型和基本假定
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
方差分析及协方差分析
方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称"变异数分析〞或"F检验〞，是R.A.Fisher创造的，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
方差分析的作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。
方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最正确水平等。
方差分析是在可比拟的数组中，把数据间的总的"变差〞按各指定的变差来源进展分解的一种技术。
对变差的度量，采用离差平方和。
方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的局部离差平方和，这是一个很重要的思想。
经过方差分析假设拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。
假设要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的根底上进展多个样本均数的两两比拟。
方差分析的分类及举例一、单因素方差分析〔一〕单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。
这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两局部，用数学形式表述为：SST=SS A+SSE。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
FEyy(ad)jS1 k1 S1 N2k
Eyy(ad)jEyybw2Exx
k
S1 Eyy
b E 2 wi xxi
i1
k
[(Eyybw2Exx)(Eyy bwi2Exxi )]/(k1)
对于芬兰白酒专卖的问题，交通事故显然不是仅仅与销售方式有关，而把其 他变量都归为随机误差又太过粗糙．这样。我们就想到了引入其他变量．在
协方差分析的模型中，我们称之为协变量．
下面我们再看协方差分析数据结构：
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
从离差分解的角度我们来解释协方差分析
对于方差分析:
总离差=分组变量离差+随机误差(组内离差)
对于协方差分析:
总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差
Mslab @ TianjinUniv
在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
ALBERT R.WLDT OLLI AHT
报告人:白寅
Mslab @ TianjinUniv
我们先来看一个问题：
芬兰由几十个小的自治区组成。在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄 断的。几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
k
n
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
协方差分析
ˆ ˆ 求得修正的平均胆固醇值，即, Y1和Y2。
__ __
ˆ Y1 Y1 bc ( X X 1 ) ˆ Y2 Y 2 bc ( X X 2 ) 两修正均数之差是： ˆ ˆ （ (Y1 Y2) Y1 Y2 ) bc ( X 1 X 2 )
__ __ __ __ _ __ __
合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异
的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指
标的影响。
协方差分析概念
例如在研究饲料营养价值时，采用动物实验，若不考 虑动物进食量和初始体重的差别，直接用方差分析来比较 不同饲料组动物所增体重，以评价不同饲料的营养价值， 这样做是不恰当的。因为动物所增加的体重除与饲料的营 养价值有关外，还与动物的初始体重、进食量有关，而进 食量多少往往难以控制。若利用直线回归分析的方法找出 进食量与所增体重的数量关系，求得当进食量相等时（即 扣除进食量的影响），各饲料组动物所增体重的修正均数， 然后再用方差分析（或t检验方法）检验各修正均数间有 无差别，这样做才合理。
A N O VA 年龄 组间 组内 总数 平方和 1696.154 4500.000 6196.154 df 1 24 25 均方 1696.154 187.500 F 9.046 显著性 .006
协方差分析
估计 因变量: 胆固醇含量 对象 均值 标准误 a 壮族妇女 221.997 9.991 汉族妇女 237.003a 9.991 a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 年龄 = 46. 3846. 95% 置信区间 下限 上限 201.330 242.664 216.336 257.670
1306 154 .4 351.9692 26
V总＝n-1=26-1=25
__ __
ˆ Y1 Y1 bc ( X X 1 ) ˆ Y2 Y 2 bc ( X X 2 ) 两修正均数之差是： ˆ ˆ （ (Y1 Y2) Y1 Y2 ) bc ( X 1 X 2 )
__ __ __ __ _ __ __
合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异
的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指
标的影响。
协方差分析概念
例如在研究饲料营养价值时，采用动物实验，若不考 虑动物进食量和初始体重的差别，直接用方差分析来比较 不同饲料组动物所增体重，以评价不同饲料的营养价值， 这样做是不恰当的。因为动物所增加的体重除与饲料的营 养价值有关外，还与动物的初始体重、进食量有关，而进 食量多少往往难以控制。若利用直线回归分析的方法找出 进食量与所增体重的数量关系，求得当进食量相等时（即 扣除进食量的影响），各饲料组动物所增体重的修正均数， 然后再用方差分析（或t检验方法）检验各修正均数间有 无差别，这样做才合理。
A N O VA 年龄 组间 组内 总数 平方和 1696.154 4500.000 6196.154 df 1 24 25 均方 1696.154 187.500 F 9.046 显著性 .006
协方差分析
估计 因变量: 胆固醇含量 对象 均值 标准误 a 壮族妇女 221.997 9.991 汉族妇女 237.003a 9.991 a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 年龄 = 46. 3846. 95% 置信区间 下限 上限 201.330 242.664 216.336 257.670
1306 154 .4 351.9692 26
V总＝n-1=26-1=25
协方差分析讲课课件
导入所需的库，如 NumPy和SciPy。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
第10章 协方差分析
处理k x xk 1 xk 2 … xk j … xkn xk .
xk .
y yk1 yk2 … ykj … ykn yk.
yk .
y1.
y1 .
y2.
y2.
x和y变量的自由度和平方和的剖分同单因素试验 和 变量的自由度和平方和的剖分同单因素试验 资料的方差分析。 资料的方差分析。
乘积和的剖分则为： 乘积和的剖分则为： 则为 总变异的乘积和SP 总变异的乘积和 T是xji与x.. 和yji与 y..的离 均差乘积之和， 均差乘积之和，即：
2 x
的均方MS 它是y的 是y的均方 y，它是 的 的均方
的无偏估计量； 方差 σ 的无偏估计量；
∑(x − x)( y − y) 称为 与y的平均的离均差的乘积和， 称为x与 的平均的离均差的乘积和 的平均的离均差的乘积和，
n −1
简称均积，记为MPxy，即 简称均积，记为
M xy P n −1 (∑x)(∑y) ∑xy − n = n −1
不同食欲增进剂仔猪生长情况表
配方1 初生重 50日 龄重y 10.20 9.40 12.20 10.30 11.30 11.40 12.80 10.90 11.60 8.50 12.20 9.30 130.80 10.84 x 1.15 1.10 1.10 1.05 1.40 1.45 1.30 1.70 1.40 1.45 1.25 1.30 15.65 1.30 初生重
2 ij
dfT ( y) = kn −1 = 4 ×12 −1 = 47
2、处理间平方和与自由度 、
y..2 1 1 550.502 SSt( y) = ∑yi2 . − = (141.802 +130.102 +144.802 +133.802 ) − = 11.68 n kn 12 48
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 ij 2 2
df T ( y ) = kn − 1 = 4 × 12 − 1 = 47
2、处理间和处理内平方和与自由度
2 1 1 550 . 50 SSt ( y) = ∑ yi2. − Cy = (141 .802 +130 .102 +144 .802 +133 .802 ) − = 11.68 n 12 48
上一张 下一张 主 页
退 出
例如： 例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果， 研究几种配合饲料对猪的增重效果， 希望试验仔猪的初始重相同， 希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重 不同， 不同，将影响到猪的增重。 将影响到猪的增重。经研发现： 经研发现：增重与初 始重之间存在线性回归关系。 始重之间存在线性回归关系。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重 (记为y)的回归关系， 的回归关系， 将仔猪增重都矫正为初始 重相同时的增重， 重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的 影响就消除了。 影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方 法将初始重控制一致而得到的， 法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。 统计控制是试验控制的一种辅助手段。 统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过 这种矫正， 这种矫正，误差将减小， 误差将减小，处理效应估计更为准 上一张 下一张 主 页 退 出 确。
协方差（covariance），记为COV(x,y) 或 σ xy 。 样本相关系数r可用均方MSx、MSy，均积 MPxy表示为： 表示为：
r=
MPxy
MS x MS y
COV ( x, y )
总体相关系数ρ
ρ=
σ xσ y
=
σ xy σ xσ y
退 出
上一张 下一张 主 页
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的 性质。 性质。在方差分析中， 在方差分析中，一个变量的总平方和与自 由度可按变异来源进行剖分， 由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应的均 方。统计学已证明： 统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。 这种把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源 进行剖分并获得获得相应均积的方法亦称为协方 差分析。 差分析。
表 观测值x、y的单向分组资料的一般形式
处 理 观测指标 观测值 xij、yij
(i=1,…k j=1,…n) x x11 x12 … x1j … x1n x1.
处理1
y y11 y12 … y1j … y1n y1.
处理2
x x21 x22 … x2j … x2n x2. y y21 y22 … y2j … y2n y2.
上一张 下一张 主 页 退 出
第二节 单因素试验资料的协方差分析
设有k个处理、 个处理、n次重复的双变量试验资 料，每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资 料为具kn对x、y观测值的单向分组资料， 观测值的单向分组资料，其 数据一般模式如表所示。 数据一般模式如表所示。
上一张 下一张 主 页
退 出
1.35 1.20 1.45 1.20 1.40 1.30 1.15 1.30 1.35 1.15 1.35 1.20 15.40 1.28
10.20 9.40 12.20 10.30 11.30 11.40 12.80 10.90 11.60 8.50 12.20 9.30 130.80 10.84
= 1.75
dfT（x）=kn-1=4×12-1=47
2、处理间平方和与自由度
SS t ( x ) 1 k 2 = ∑ Ti . − C x n i =1
2 1 63 . 15 = (18.25 2 + 15.40 2 + 15.65 2 + 13.85 2 ) − 12 48 = 0.83
df t ( x ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
1.15 1.10 1.10 1.05 1.40 1.45 1.30 1.70 1.40 1.45 1.25 1.30 15.65 1.30
10.00 10.60 10.40 9.20 13.00 13.50 13.00 14.80 12.30 13.20 12.00 12.80 144.80 12.07
44 0.92 0.021
总变异 47 1.75
上一张 下一张 主 页
退 出
分析结果表明， 分析结果表明，4种处理的供试仔猪平均初 生重间存在着极显著的差异， 生重间存在着极显著的差异，其50 日龄平均重 差异不显著。 差异不显著。须进行协方差分析， 须进行协方差分析，以消除初生重 不同对试验结果的影响， 不同对试验结果的影响，减小试验误差， 减小试验误差，揭示出 可能被掩盖的处理间差异的显著性。 可能被掩盖的处理间差异的显著性。
处理内(误差)(e) 44 总变异(T) 47
(四) 对x和y各作方差分析 表 初生重与50日龄重的方差分析表
x变量 变异 处理间 误差 df 3 SS 0.83 MS F SS y变量 MS F F值
0.28 13.33** 11.68 85.08 96.76
3.89 2.02 1.93 F0.05=2.82 F0.01=4.26
退 出
(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度 k n TxTy SPT = ∑∑ xij yij − = 1.50 × 12.40 + 1.85 ×12.00 kn i =1 j =1
63.15 × 550.50 + ... + 1.10 × 11.00 − 4 ×12 63.15 × 550.50 = 8.25 df T ( x , y ) = kn − 1 = 47 = 732.50 − 4 × 12
df t ( y ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
SS e ( y ) = SS T ( y ) − SS t ( y ) = 96 .76 − 11 .68 = 85 .05
df e ( y ) = df T ( y ) − df t ( y ) = 47 − 3 = 44
上一张 下一张 主 页
′ y 将回归分析与方差分析结合在一起， 将回归分析与方差分析结合在一起，对试验 数据进行分析的方法， 数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)。
二、估计协方差组分 两个相关变量相关系数： 两个相关变量相关系数：
r=
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ∑ ( y − y)
SST ( y ) = SSt ( y ) + SS e ( y )
平方和、自由度的剖分 SST（x）= SSt（x）+ SSe （x） SST（y）= SSt （y）+ SSe （y） SPT(xy)=SPt(xy)+SPe(xy)
【例1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食 欲增进剂， 欲增进剂，以增进食欲， 以增进食欲，提高断奶重， 提高断奶重，对哺乳仔 猪做了以下试验： 试验设对照、 、配方1、配方 猪做了以下试验： 试验设对照 2、配方3共四个处理， 共四个处理，重复12 次，选择初始 条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头 ， 完全随机分为4组进行试验， 组进行试验，结果见表， 结果见表，试作分 析。
1.20 1.00 1.15 1.10 1.00 1.45 1.35 1.15 1.10 1.20 1.05 1.10 13.85 1.15
12.40 9.80 11.60 10.60 9.20 13.90 12.80 9.30 9.60 12.40 11.20 11.00 133.8 1.15
1.45 1.50 1.55 1.40 1.50 1.60 1.70
第十章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义
上一张 下一张 主 页
退 出
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制， 统计控制，二是对协方差组分进行估计， 二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。 如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下， 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以 使试验控制达到预期目的。 使试验控制达到预期目的。
上一张 下一张 主 页
退 出
3、处理内乘积和与自由度
SPe = SPT − SPt = 8.25 − 1.64 = 6.61
df e ( x , y ) = df T ( x − v ) − df t ( x −v ) = 47 − 3 = 44
表 x与y的平方和与乘积和表
变异来源 处理间(t) df 3 SSx 0.83 0.92 1.75 SSy 11.68 85.08 96.76 SPxy 1.64 6.61 8.25
2、处理间乘积和与自由度
TxTy 1 1 k = (18.25×141.80 +15.40×130.10 + SP xi . yi . − ∑ t = n i=1 kn 12 63.15× 550.50 15.65×144.80 +13.85×133.80) − = 1.64 4 ×12 df t ( x , y ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
计量； 计量；
2 ( y − y ) ∑
n −1
2 均方（ 的无偏估 均方（MSy），它是方差 ），它是方差 σ y
计量； 计量；
∑ ( x − x )( y − y ) 为x与y的平均的离均差的乘积和， 的平均的离均差的乘积和，
n −1
简称均积，记为MPxy，MPxy是总体协方差 COV(x,y)的无偏估计量， 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
df T ( y ) = kn − 1 = 4 × 12 − 1 = 47
2、处理间和处理内平方和与自由度
2 1 1 550 . 50 SSt ( y) = ∑ yi2. − Cy = (141 .802 +130 .102 +144 .802 +133 .802 ) − = 11.68 n 12 48
上一张 下一张 主 页
退 出
例如： 例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果， 研究几种配合饲料对猪的增重效果， 希望试验仔猪的初始重相同， 希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重 不同， 不同，将影响到猪的增重。 将影响到猪的增重。经研发现： 经研发现：增重与初 始重之间存在线性回归关系。 始重之间存在线性回归关系。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重 (记为y)的回归关系， 的回归关系， 将仔猪增重都矫正为初始 重相同时的增重， 重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的 影响就消除了。 影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方 法将初始重控制一致而得到的， 法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。 统计控制是试验控制的一种辅助手段。 统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过 这种矫正， 这种矫正，误差将减小， 误差将减小，处理效应估计更为准 上一张 下一张 主 页 退 出 确。
协方差（covariance），记为COV(x,y) 或 σ xy 。 样本相关系数r可用均方MSx、MSy，均积 MPxy表示为： 表示为：
r=
MPxy
MS x MS y
COV ( x, y )
总体相关系数ρ
ρ=
σ xσ y
=
σ xy σ xσ y
退 出
上一张 下一张 主 页
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的 性质。 性质。在方差分析中， 在方差分析中，一个变量的总平方和与自 由度可按变异来源进行剖分， 由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应的均 方。统计学已证明： 统计学已证明：两个变量的总乘积和与自由 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。 这种把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源 进行剖分并获得获得相应均积的方法亦称为协方 差分析。 差分析。
表 观测值x、y的单向分组资料的一般形式
处 理 观测指标 观测值 xij、yij
(i=1,…k j=1,…n) x x11 x12 … x1j … x1n x1.
处理1
y y11 y12 … y1j … y1n y1.
处理2
x x21 x22 … x2j … x2n x2. y y21 y22 … y2j … y2n y2.
上一张 下一张 主 页 退 出
第二节 单因素试验资料的协方差分析
设有k个处理、 个处理、n次重复的双变量试验资 料，每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资 料为具kn对x、y观测值的单向分组资料， 观测值的单向分组资料，其 数据一般模式如表所示。 数据一般模式如表所示。
上一张 下一张 主 页
退 出
1.35 1.20 1.45 1.20 1.40 1.30 1.15 1.30 1.35 1.15 1.35 1.20 15.40 1.28
10.20 9.40 12.20 10.30 11.30 11.40 12.80 10.90 11.60 8.50 12.20 9.30 130.80 10.84
= 1.75
dfT（x）=kn-1=4×12-1=47
2、处理间平方和与自由度
SS t ( x ) 1 k 2 = ∑ Ti . − C x n i =1
2 1 63 . 15 = (18.25 2 + 15.40 2 + 15.65 2 + 13.85 2 ) − 12 48 = 0.83
df t ( x ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
1.15 1.10 1.10 1.05 1.40 1.45 1.30 1.70 1.40 1.45 1.25 1.30 15.65 1.30
10.00 10.60 10.40 9.20 13.00 13.50 13.00 14.80 12.30 13.20 12.00 12.80 144.80 12.07
44 0.92 0.021
总变异 47 1.75
上一张 下一张 主 页
退 出
分析结果表明， 分析结果表明，4种处理的供试仔猪平均初 生重间存在着极显著的差异， 生重间存在着极显著的差异，其50 日龄平均重 差异不显著。 差异不显著。须进行协方差分析， 须进行协方差分析，以消除初生重 不同对试验结果的影响， 不同对试验结果的影响，减小试验误差， 减小试验误差，揭示出 可能被掩盖的处理间差异的显著性。 可能被掩盖的处理间差异的显著性。
处理内(误差)(e) 44 总变异(T) 47
(四) 对x和y各作方差分析 表 初生重与50日龄重的方差分析表
x变量 变异 处理间 误差 df 3 SS 0.83 MS F SS y变量 MS F F值
0.28 13.33** 11.68 85.08 96.76
3.89 2.02 1.93 F0.05=2.82 F0.01=4.26
退 出
(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度 k n TxTy SPT = ∑∑ xij yij − = 1.50 × 12.40 + 1.85 ×12.00 kn i =1 j =1
63.15 × 550.50 + ... + 1.10 × 11.00 − 4 ×12 63.15 × 550.50 = 8.25 df T ( x , y ) = kn − 1 = 47 = 732.50 − 4 × 12
df t ( y ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
SS e ( y ) = SS T ( y ) − SS t ( y ) = 96 .76 − 11 .68 = 85 .05
df e ( y ) = df T ( y ) − df t ( y ) = 47 − 3 = 44
上一张 下一张 主 页
′ y 将回归分析与方差分析结合在一起， 将回归分析与方差分析结合在一起，对试验 数据进行分析的方法， 数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)。
二、估计协方差组分 两个相关变量相关系数： 两个相关变量相关系数：
r=
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ∑ ( y − y)
SST ( y ) = SSt ( y ) + SS e ( y )
平方和、自由度的剖分 SST（x）= SSt（x）+ SSe （x） SST（y）= SSt （y）+ SSe （y） SPT(xy)=SPt(xy)+SPe(xy)
【例1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食 欲增进剂， 欲增进剂，以增进食欲， 以增进食欲，提高断奶重， 提高断奶重，对哺乳仔 猪做了以下试验： 试验设对照、 、配方1、配方 猪做了以下试验： 试验设对照 2、配方3共四个处理， 共四个处理，重复12 次，选择初始 条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头 ， 完全随机分为4组进行试验， 组进行试验，结果见表， 结果见表，试作分 析。
1.20 1.00 1.15 1.10 1.00 1.45 1.35 1.15 1.10 1.20 1.05 1.10 13.85 1.15
12.40 9.80 11.60 10.60 9.20 13.90 12.80 9.30 9.60 12.40 11.20 11.00 133.8 1.15
1.45 1.50 1.55 1.40 1.50 1.60 1.70
第十章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义
上一张 下一张 主 页
退 出
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制， 统计控制，二是对协方差组分进行估计， 二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。 如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下， 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以 使试验控制达到预期目的。 使试验控制达到预期目的。
上一张 下一张 主 页
退 出
3、处理内乘积和与自由度
SPe = SPT − SPt = 8.25 − 1.64 = 6.61
df e ( x , y ) = df T ( x − v ) − df t ( x −v ) = 47 − 3 = 44
表 x与y的平方和与乘积和表
变异来源 处理间(t) df 3 SSx 0.83 0.92 1.75 SSy 11.68 85.08 96.76 SPxy 1.64 6.61 8.25
2、处理间乘积和与自由度
TxTy 1 1 k = (18.25×141.80 +15.40×130.10 + SP xi . yi . − ∑ t = n i=1 kn 12 63.15× 550.50 15.65×144.80 +13.85×133.80) − = 1.64 4 ×12 df t ( x , y ) = k − 1 = 4 − 1 = 3
计量； 计量；
2 ( y − y ) ∑
n −1
2 均方（ 的无偏估 均方（MSy），它是方差 ），它是方差 σ y
计量； 计量；
∑ ( x − x )( y − y ) 为x与y的平均的离均差的乘积和， 的平均的离均差的乘积和，
n −1
简称均积，记为MPxy，MPxy是总体协方差 COV(x,y)的无偏估计量， 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。