工程数学_积分变换(第四版)第3讲
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工程数学_积分变换
1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
2p 当n取一切整数时, n =n n 所对应的点便 T 均匀分布在整个数轴上,
如图
2p 2p 2p T T T 2p T
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t )cos nt d t T 2
T 2
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T 2 T 2
a0 fT (t )sin nt d t T sin nt d t 2 2
t
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost 的线性组合 Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
T 2
T 2
一. Fourier级数
1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即
积分变换 第03讲
1 = 2π
∫ [πδ (ω ) ] e
−∞ +∞
+∞
jω t
1 dω + 2π
∫
+∞ −∞
1 jω t jω e d ω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫−∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫−∞ ω d ω = 2 + π ∫0 ω d ω 2 2π
+∞
sin ω0t
↔
t
|F(ω)|
π
−ω0
O
π ω0 ω
0, t < 0 例4：证明单位阶跃函数 u (t ) = 的 1, t > 0 1 Fourier 变换为 + πδ (ω ) jω jω t 1 +∞ 1 −1 1 证： F + πδ (ω ) = ∫−∞ jω + πδ (ω ) e d ω jω 2π
−∞ +∞ +∞
及∫ δ (t − t0 ) f (t)dt = f (t0 )
−∞
b、 δ − 函数为偶函数，即 δ (t ) = δ ( − t )
d c、 ∫ δ (τ )dτ = u (t ), u (t ) = δ (t ) −∞ dt 0, t < 0 其中 u (t ) = 称为单位阶跃函数 1, t > 0
−∞
例1 证明：1和2πδ (ω)构成Fourier变换对. 证：若F(ω)=2πδ (ω), 由Fourier逆变换可得
1 +∞ jωt jωt f (t) = ∫−∞ 2πδ (ω)e dω = e ω=0 =1 2π
∫ [πδ (ω ) ] e
−∞ +∞
+∞
jω t
1 dω + 2π
∫
+∞ −∞
1 jω t jω e d ω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫−∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫−∞ ω d ω = 2 + π ∫0 ω d ω 2 2π
+∞
sin ω0t
↔
t
|F(ω)|
π
−ω0
O
π ω0 ω
0, t < 0 例4：证明单位阶跃函数 u (t ) = 的 1, t > 0 1 Fourier 变换为 + πδ (ω ) jω jω t 1 +∞ 1 −1 1 证： F + πδ (ω ) = ∫−∞ jω + πδ (ω ) e d ω jω 2π
−∞ +∞ +∞
及∫ δ (t − t0 ) f (t)dt = f (t0 )
−∞
b、 δ − 函数为偶函数，即 δ (t ) = δ ( − t )
d c、 ∫ δ (τ )dτ = u (t ), u (t ) = δ (t ) −∞ dt 0, t < 0 其中 u (t ) = 称为单位阶跃函数 1, t > 0
−∞
例1 证明：1和2πδ (ω)构成Fourier变换对. 证：若F(ω)=2πδ (ω), 由Fourier逆变换可得
1 +∞ jωt jωt f (t) = ∫−∞ 2πδ (ω)e dω = e ω=0 =1 2π
西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为 任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法 分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f
第三章 积分变换法解定解问题PPT课件
办法：
取 f x 上的一段 l x l 为 g x ，将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后
取 l ，即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果：
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ，当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量） 常采用傅氏变换，而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u
取 f x 上的一段 l x l 为 g x ，将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后
取 l ，即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果：
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ，当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量） 常采用傅氏变换，而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
积分变换 东南大学 第四版第二章3节
( 2)
为 Lnz 的一单值函数 , 称为 Lnz 的主值 (主值支 )
故
Lnz = ln z + i 2kπ
(k ∈ Z )
例如 当 z = a > 0 Lnz 的主值 ln z = ln a Lnz = ln a + 2π ik k ∈ Z 当 z = a ( a > 0) Lnz 的主值 ln z = ln a + πi Lnz = ln a + ( 2 k + 1)πi 特别 a = 1 ln( 1 ) = ln 1 + π i = π i
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1) shz , chz 都是以 2π i为周期的函数
2)chz 偶函数 , shz 奇函数
3 ) ( chz )' = shz
( shz )' = chz
shz 和chz 在整个复平面内处处解 析
4) 由定义 shiy = i sin y chiy = cos y ch( x + iy) = chx cos y + ishx sin y
Ln ( 1 ) = ( 2 k + 1 )π i
1) w = Lnz 不仅对正数有意义 ,对一切非零 复数都有意义 .(负数也有对数)
2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性 ,这与实函数不同 . (2) 对数函数的性质 2 1) Ln( z1 z 2 ) = Lnz 1 + Lnz 2 , 但 Lnz ≠ 2 Lnz
其它三角函数的定义(详见P51) 1 sinz cosz 1 secz = cscz = tanz = cotz = sinz cosz sinz cosz
定义
工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)
再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2．求下列函数的 Fourier 积分：
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1）函数 f ( t ) = ⎨ 解： 解：1 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩
工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版工程数学 积分变换（第四版 张元林 编）课后习题答案编辑者：余小龙第一章：Fourier 变换习题一解答1、证：利用Fourier 积分变换的复数形式，有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a ， )()(ωω--=b b ， 所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。
注：本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。
2、解：（1）此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数，利用Euler 公式和分部积分法，由Fourier 积分公式的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= （2）函数)(t f 为一连续函数，用类似于（1）的方法，有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数，且-1,0,1为其间断点。
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如果当t 时, g (t )
t -
f (t )d t 0, 则
t 1 F f (t )d t F [ f (t )]. - jw
证明:
因为g '(t ) f (t ),
由微分性质可得
F
所以
g '(t ) jwF
[ g (t )],
例如 e d t e d u e
e -e
t
-
e
t
d t d t 且有 f (t ) d t f (u ) d u f (t F(w), F [g(t)]=G(w)
线性 : a f (t ) b g (t ) a F (w ) b G (w ) 位移 : f (t t0 ) F (w )e f (t )e 导数 : f (t ) 积分 :
同样, Fourier逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) 它们的证明只需根据定义就可推出.
2
2. 位移性质
f (t )沿t轴向左或向右位移t0的Fourier变换 等于f (t )的Fourier变换乘以因子 e
jwt0
jwt0
w
2
E - j wt e dt - jw
j
w
2
(e
-e
-j
w
2
0
)
w
2
4
一个函数的导数的Fourier变换等于 3. 微分性质 这个函数的Fourier变换乘以因子jw. 如果 f (t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f (t)0, 则
F [ f '(t)]=jwF [ f (t)].
得证.
8
t F [ f (t )] jwF f (t )d t . -
t
-
f (t ) d t的意思其实是 f (u ) d u,
- t -
t
即我们看到 f (t ) d t时必须将它理解为
t -
f (u ) d u
t t t u u t - - -
证 由Fourier变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t )]
-
f (t )e
- j wt
f (t )e
- jwt -
d t - e
-
- j wt
d f (t )
- jwjtwt
(t )e -j f (tf)de w -
dt
F (w ) f (t )e
-
- j wt
d t 0 E e
-j
- j wt
E, - t ; 2 2 对比: 1.2节例6单个矩形脉冲 f (t ) 0, 其他 2 E w 的频谱函数为 F (w ) sin .
E E - jw e (1 - e ) jw jw w -j 2E w 2 e sin . w 2
或e
- jwt0
.
F [ f (t t0 )] e
F [ f (t t0 )]
F [ f (t )]
证 由Fourier变换的定义, 可知
-
f (t t0 )e - jwt d t
(令t t0 u, 则t u t0 )
-
f (u )e
- j w ( u t0 )
Fourier变换的性质
1.线性性质
2.位移性质
3.微分性质 4.积分性质
为了叙述方便起见, 假定在以下性质中, 凡是需要 求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的 条件. 1.线性性质
设F1 (w ) F [ f1 (t )], F2 (w ) F [ f 2 (t )],a , b 是常数,则 F [a f1 (t ) b f 2 (t )] a F [ f1 (t )] b F [ f 2 (t )].
t - jw0t j w t0
F (w w0 ) jw F (w ) 1 F (w ) jw
结束 10
f (t )d t
实际上, 只要记住下面四个Fourier变换, 则所 有的Fourier变换都无须从公式直接推导而从 傅里叶变换的性质就可导出.
(t )
u (t )
1 1 (w ) jw 1 b jw
u (t )e e
- bt 2
- bt
e b
w2 4b
11
-
dn n n 一般地, 有 F ( w ) ( j) F [ t f (t )] n dw n d n 即 jn F ( w ) F [ t f (t )] n dw
F [- jtf (t )] - jF [tf (t )].
6
t 0, 0, 例2 已知函数f (t ) - b t ( b 0),试求 e , t 0 F [tf (t )]及F [t 2 f (t )].
jwF [ f (t )]
推论 F [ f (n)(t)]=(jw)nF [ f (t)].
5
象函数的导数公式
设F [f(t)]=F(w), 则 d F (w ) F [- jtf (t )] - jF [tf (t )]. dw d d - j wt 证明 : F (w ) f ( t )e dt dw d w - d - j wt f (t )( e )d t - dw [- jt f (t )]e - jwt d t
解 根据1.2节例1知 1 F (w ) , b jw
利用象函数的导数公式,
1 d , F [tf (t )] j F (w ) 2 dw ( b jw ) 2 d 2 2 2 F [t f (t )] j F (w ) . 2 3 dw ( b jw )
7
4. 积分性质
du
e
j w t0
-
f (u )e
- j wu
du
e
同理有 F
-1
j w t0
F [ f (t )]
3
[ F (w w0 )] f (t )e jw0t
E, 0 t ; 例1 求矩形单脉冲f (t ) 的频谱函数. 0, 其他
解 : 根据Fourier变换的定义,有
t -
f (t )d t 0, 则
t 1 F f (t )d t F [ f (t )]. - jw
证明:
因为g '(t ) f (t ),
由微分性质可得
F
所以
g '(t ) jwF
[ g (t )],
例如 e d t e d u e
e -e
t
-
e
t
d t d t 且有 f (t ) d t f (u ) d u f (t F(w), F [g(t)]=G(w)
线性 : a f (t ) b g (t ) a F (w ) b G (w ) 位移 : f (t t0 ) F (w )e f (t )e 导数 : f (t ) 积分 :
同样, Fourier逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) 它们的证明只需根据定义就可推出.
2
2. 位移性质
f (t )沿t轴向左或向右位移t0的Fourier变换 等于f (t )的Fourier变换乘以因子 e
jwt0
jwt0
w
2
E - j wt e dt - jw
j
w
2
(e
-e
-j
w
2
0
)
w
2
4
一个函数的导数的Fourier变换等于 3. 微分性质 这个函数的Fourier变换乘以因子jw. 如果 f (t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f (t)0, 则
F [ f '(t)]=jwF [ f (t)].
得证.
8
t F [ f (t )] jwF f (t )d t . -
t
-
f (t ) d t的意思其实是 f (u ) d u,
- t -
t
即我们看到 f (t ) d t时必须将它理解为
t -
f (u ) d u
t t t u u t - - -
证 由Fourier变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t )]
-
f (t )e
- j wt
f (t )e
- jwt -
d t - e
-
- j wt
d f (t )
- jwjtwt
(t )e -j f (tf)de w -
dt
F (w ) f (t )e
-
- j wt
d t 0 E e
-j
- j wt
E, - t ; 2 2 对比: 1.2节例6单个矩形脉冲 f (t ) 0, 其他 2 E w 的频谱函数为 F (w ) sin .
E E - jw e (1 - e ) jw jw w -j 2E w 2 e sin . w 2
或e
- jwt0
.
F [ f (t t0 )] e
F [ f (t t0 )]
F [ f (t )]
证 由Fourier变换的定义, 可知
-
f (t t0 )e - jwt d t
(令t t0 u, 则t u t0 )
-
f (u )e
- j w ( u t0 )
Fourier变换的性质
1.线性性质
2.位移性质
3.微分性质 4.积分性质
为了叙述方便起见, 假定在以下性质中, 凡是需要 求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的 条件. 1.线性性质
设F1 (w ) F [ f1 (t )], F2 (w ) F [ f 2 (t )],a , b 是常数,则 F [a f1 (t ) b f 2 (t )] a F [ f1 (t )] b F [ f 2 (t )].
t - jw0t j w t0
F (w w0 ) jw F (w ) 1 F (w ) jw
结束 10
f (t )d t
实际上, 只要记住下面四个Fourier变换, 则所 有的Fourier变换都无须从公式直接推导而从 傅里叶变换的性质就可导出.
(t )
u (t )
1 1 (w ) jw 1 b jw
u (t )e e
- bt 2
- bt
e b
w2 4b
11
-
dn n n 一般地, 有 F ( w ) ( j) F [ t f (t )] n dw n d n 即 jn F ( w ) F [ t f (t )] n dw
F [- jtf (t )] - jF [tf (t )].
6
t 0, 0, 例2 已知函数f (t ) - b t ( b 0),试求 e , t 0 F [tf (t )]及F [t 2 f (t )].
jwF [ f (t )]
推论 F [ f (n)(t)]=(jw)nF [ f (t)].
5
象函数的导数公式
设F [f(t)]=F(w), 则 d F (w ) F [- jtf (t )] - jF [tf (t )]. dw d d - j wt 证明 : F (w ) f ( t )e dt dw d w - d - j wt f (t )( e )d t - dw [- jt f (t )]e - jwt d t
解 根据1.2节例1知 1 F (w ) , b jw
利用象函数的导数公式,
1 d , F [tf (t )] j F (w ) 2 dw ( b jw ) 2 d 2 2 2 F [t f (t )] j F (w ) . 2 3 dw ( b jw )
7
4. 积分性质
du
e
j w t0
-
f (u )e
- j wu
du
e
同理有 F
-1
j w t0
F [ f (t )]
3
[ F (w w0 )] f (t )e jw0t
E, 0 t ; 例1 求矩形单脉冲f (t ) 的频谱函数. 0, 其他
解 : 根据Fourier变换的定义,有