工程数学_积分变换
1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
2p 当n取一切整数时, n =n n 所对应的点便 T 均匀分布在整个数轴上,
如图
2p 2p 2p T T T 2p T
T 2
2
T 2
2
T 2
T 2 T 2 T 2
sin n t cos m t d t 0 ( n, m 1, 2, 3, ), sin n t sin m t d t 0 ( n, m 1, 2, 3, cos n t cos m t d t 0 ( n, m 1, 2, 3, , n m ), , n m ),
第一类间断点
不满足Dirichlet条件的例子:
f ( t ) tg t
存在第二类间断点；
1 f ( t ) sin( ) t
在靠近 0 处存在无限多个极值点； 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些 函数, 使得思维简单一些.
T 2
2
T 2
T 2
3. Fourier级数的复指数形式
为了应用上的方便, 我们常需要将Fourier级数 的三角形式转化为复指数形式.
e j j e jj 由cos j , 2 e jj e jj e jj e jj sin j j 得: 2j 2 j nt j nt j nt j nt a a0 e e e e 0 a n (an cos n b sin n t ) fT (t )f tjb T ( t ) n n 2 n2 2 2 n 1 1
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n1
2 2p 其中 , a0 T T
T 2
T 2
fT (t )d t
2 T2 an T fT (t )cos nt d t (n 1,2, ) T 2
2 T2 bn T fT (t )sin nt d t (n 1, cn T fT (t )e j nt dt 2 T 2
T 2
因此可以合写成一个式子 1 T2 cn T fT (t )e jnt dt (n 0, 1, 2, ) T 2
如令n=n (n=0,1,2,...) 则(1.1)式可以写为
当K (t , ) e jt时 当K (t , ) e st时
f (t )称为象原函数, F ( )称为f (t )的象函数, 在一定条件下,它们是一一对应且变换可逆.
象原函数 Fourier逆变换 (方程的解)
象函数
解代数方程
微分,积分 方程
Fourier变换
象函数的 代数方程
2. Fourier级数的三角形式.
说明: 1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处 可表示为三角级数的形式如下:
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监 控等；
研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时， 把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。
引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和 随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
第一节 Fourier积分
一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开
三.Fourier积分定理
一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介 法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方 法。傅立叶级数（三角级数）创始人。
T 2
am T cos mt sin nt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mt sin nt d t
m 1
2
T 2
T bn T sin nt d t bn 2 2 2 即 bn fT (t )sin nt d t T
T 2
1 T2 j n t jn T (n ) fT ( )e d e 是参数n的函数. T 2p 2
此时,
f (t ) lim
n 0
n
( ) ( n)
T n
n
很明显, 当n 0,即T , T (n ) (n ) 这里
j n t jn f ( ) e d e T T n n 2
{
1 f (t ) lim n 0 2p
当t固定时,
j n t jn fT ( )e d e n T 2 n
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
预备知识:
T 2 T 2
cos n t d t T sin n t d t 0 ( n 1, 2, 3, ),
2
T 2
T T2 sin n t d t T2 cos n t d t 2 ( n 1, 2, 3, ),
工程数学
积分变换
(第四版)
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
称为积分变换的核. 其中,K (t , )是一个确定的二元函数,
F ( ) f (t ) K (t , )dt.
a
b
A中的函数f (t )
B中的函数F ( )
Fourier变换 Laplace变换
T 2 T 2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
T 2 T 2
a0 fT (t )cos nt d t T cos nt d t 2 2
T 2
am T cos mt cos nt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mt cos nt d t
T 2
T 2
一. Fourier级数
1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即
T 2 T 2
a0 fT (t ) d t T d t 2 2
T 2
a0 (an T cos nt d t bn T sin nt d t ) T 2 2 2 n 1 2 T2 即 a0 T fT (t ) d t T 2
1 jn e j n t (n ) f ( ) e d 2p
j nt j nt 则 fT (t ) c0 cne c ne n 1
给定 fT(t), cn的计算如下: a0 1 T2 c0 T fT (t )d t 2 T 2 当n 1时
an jbn 1 T2 1 T2 cn T fT (t )cos nt d t j T fT (t )sin nt d t 2 T 2 T 2 1 T2 1 T2 T fT (t )[cos nt j sin nt ]d t T fT (t )e jnt d t T 2 T 2
a0 an jbn j nt an jbn j nt e e 2 n1 2 2
a0 an jbn j nt an jbn j nt fT (t ) e e 2 n1 2 2 a0 如果令c0 , 2 an jbn cn , n 1,2,3, 2 an jbn c n , n 1,2,3, 2
T
lim fT (t ) f (t )
结论: 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
由公式 1 T2 j n t jn fT (t ) T fT ( )e d e T n 2 可知
fT (t ) c0 cne
n 1
jnt
c ne
jnt
n
ce
n
jnt
Fourier级数的复指数形式
或者写为
非周期函数
f(t)
fT1(t)
O
t
fT2(t)
O
t
二.非周期函数的Fourier展开
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上. 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明 当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有
工程数学(复变函数积分变换场论)59456
I
上，有B (t )
A(t
),
则称
矢性函数
B (t)
为矢性函数 A(t)
在区间
I
上一个原函数。
场 论
区间 I 上 A(t) 的原函数的全体称为 A(t)的不定积分，记
为
A(t
)dt .
如果 B(t
)
是
A(t
)在区间I
上的一个原函数，则
A(t)dt B(t) C
(8.1.5)
由定义，如果 A(t) Ax (t)i Ay (t ) j Az (t )k
给定一个变量，如果它没有方向，则称其为数性变
量，如果它有方向，则称其为矢性变量。
第 八 章
定义1 设有数性变量
t,
变矢 A,
如果对于 t
在某个
范围 G 内的每一个数值，A 都以唯一的一个确定的矢
场 论
量和它对应，则称 A 为数性变量 t 的矢性函数，记作 A A(t)
在空间直角坐标系下，矢性函数
场 论
dt t0 t t0
t
设 A(t
dA dt
)
Ax
(t
lim A
t0 t
)i
Ay (t ) lim Ax t0 t
j Az (t )k ,
i
lim
Ay
t0 t
由于
j
lim
Az
t0 t
k
所以 A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t )k
(8.1.4)
吴新民
-8-
吴新民
- 11 -
第一节 矢性函数的微积分
则 A(t)dt Ax (t)dt i Ay (t)dt j Az (t)dt k (8.1.6)
工程数学之积分变换
目录
• 积分变换简介 • 傅里叶变换 • 拉普拉斯变换 • Z变换 • 积分变换的数学基础
01
积分变换简介Leabharlann 定义与性质定义积分变换是通过将一个函数的积分作 为参数，将该函数从时域转换到频域 的过程。常见的积分变换包括傅里叶 变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
性质
积分变换具有线性性、时移性、频移 性、共轭性和尺度变换等性质，这些 性质使得积分变换在解决复杂的数学 问题时具有很大的灵活性和便利性。
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等重要性质，这 些性质为简化计算提供了便利。
拉普拉斯变换的应用
系统分析
信号处理
在控制工程和电路分析中，通过拉普拉斯 变换可以求解线性常微分方程，从而分析 系统的动态响应特性。
在信号处理领域，拉普拉斯变换用于分析 信号的频谱特性和进行傅里叶变换，从而 实现信号的滤波、调制和解调等处理。
时域函数转换为复平面上的函数，可以更容易地分析电路的性能和稳定
性。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数转换为一系列不同频率的正弦和余弦函数 的加权和。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性 质和周期性质等。
傅里叶变换的逆变换
将一系列正弦和余弦函数的加权和还原为原始函数。
傅里叶变换的应用
信号处理
傅里叶变换用于信号的频谱分析和处理，如 滤波、去噪等。
图像处理
傅里叶变换用于图像的频域分析和处理，如 图像增强、压缩等。
控制系统
傅里叶变换用于控制系统的分析和设计，如 稳定性分析、系统优化等。
数值分析
一、《积分变换》课程简介
一、《积分变换》课程简介1.课程编号：201000852.课程名称：积分变换3.开课学院：数学课程组4.学时：285.类别：公共必修课6.先修课程：高等数学，复变函数7.课程简介：积分变换是高等院校工科有关专业的一门必修的基础理论课，是许多后继课程的必备基础。
本课程在大学第二个学年的第一学期内组织教学。
通过本课程的学习，要使学生获得：1．傅里叶变换2．拉普拉斯变换3．Z变换4．小波变换四方面的基本概念、基本性质及其基本应用，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在课程的教学过程中，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题和逻辑推理能力,基础的运算和自学能力,特别注意培养学生具有较强的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.8.Course Code: 20100085Name of Course:Integral TransformFaculty: Mathematics Course GroupCredit Hours: 28Classification: Compulsory coursePrerequisite: Advanced Mathematics, Complex FunctionsCourse Outline:Integral Transform is a compulsory basic theory course for undergraduate students who major in engineering. It is a necessary foundation for many subsequent courses.This course will be taught in the first semester of second year.Through the study of this course, the students will learn basic concepts, basic properties, and basic applications under four categories:1. Fourier Transform2. Laplace Transform3. Z Transform4. Wavelet TransformThese are key to understanding the subsequent courses and further study in mathematics.In the process of teaching the course, we will gradually train the students through the use of various teaching methods in abstraction andlogical reasoning ability, basic computing and self-learning ability, giving special attention to the development of a strong ability to analyze and solve problems through the comprehensive application of acquired knowledge.二、《积分变换》课程教学大纲9.1. 课程编号：20100085 5. 先修课程：高等数学,复变函数2. 课程类别：基础数学类,必修 6. 课内总学时：283. 开课学期：第二学年一学期7. 实验/上机学时：04. 适用专业：自动化专业8. 执笔人：安玉冉一．课程教学目的积分变换是高等院校工科有关专业的一门必修的基础理论课，是许多后继课程的必备基础。
工程数学_积分变换
1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
2p 当n取一切整数时, n =n n 所对应的点便 T 均匀分布在整个数轴上,
如图
2p 2p 2p T T T 2p T
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t )cos nt d t T 2
T 2
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T 2 T 2
a0 fT (t )sin nt d t T sin nt d t 2 2
t
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost 的线性组合 Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
T 2
T 2
一. Fourier级数
1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即
工程数学(复变函数 积分变换 场论).pdf
积 分
为正向的有向曲线称为 C 反向曲线，记为 C 。 除特
别声明外，有向曲线C 的正向总是指起点到终点的方 向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。
吴新民
-3-
第一节 复变函数积分的概念
定义 设函数 w f (z) 在区域 D 有定义，C 为
D内一条以 A 为起点 B 为终点的光滑的有向曲线，
复 变
k 1
由线积分存在定理得，当 0 上面的两个和式的极
函
数 限都是存在的，且有
的
积 分
f (z)dz udx vdy i vdx udy (3.1.2)
C
C
C
(3.1.2) 表明：
1）当 f (z) 是连续函数，C 是光滑曲线，则 f (z)dz
一定存在；
C (z z0 )n 0
三
章 复
r
i
n1
2 (cos(n 1) i sin(n 1) )d
0
0
变
即
函 数 的 积
C
(z
1 z0 )n
dz
2i
0
n1 n1
(3.1.5)
分
吴新民
- 15 -
第一节
三 积分的性质
复变函数积分的概念
1） f (z)dz f (z)dz
(3.1.6)
第
C
C
三 章
2） f (z)dz f (z)dz, ( 为常数) (3.1.7)
C
C
复 变
3） ( f (z) g(z))dz f (z)dz g(z)dz (3.1.8)
函
C
工程数学(复变函数积分变换场论)59473
六
cw a
章 也是一个分式线性映射。
共
形 映
两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射
射
吴新民
- 18 -
第二节 分式线性映射
二 分式线性映射的分解
分式线性映射可以表示为
第 六
w (b ad ) 1 a
章
c cz d c
共 因此分式线性映射可以分解下列三种特殊映射的复合
形 映 射
w z b,
点，且 f (z0 ) 0. 又设 C 是 z平面内任意一条通过 z0 的光滑有向曲线，
共 其参数方程为
形 映 射
z z(t), t
且 t 增大的方向为C 的正向，z0 z(t0 ), z(t0 ) 0. 这样
映射 w f (z)就将曲线C 映射成 w 平面通过w0 f (z0 )
共 形 映 射
w f (z0 ) 的伸缩率。 如果解析函数 w f (z) 在区 域 D 内每一点都有 f (z) 0, 那么映射w f (z) 为
D 上的共形映射。
吴新民
- 13 -
第一节 共形映射的概念
z
例 求映射w z2 e 2在点 z i 出的转动角和
伸缩率
第 六 章
解
w
zi
第六章 共形映射
第一节 共形映射的概念 第二节 分式线性映射 第三节 唯一决定分式线性映射的条件 第四节 几个初等函数所构成的映射
第一节 共形映射的概念
第一节 共形映射的概念
第
六 一 有向曲线的切线方向
章
共 形
二 解析函数的导数的几何意义
映
射
三 共形映射的概念
吴新民
-2-
第一节 共形映射的概念
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
1.2 求下列各式的值：（1）5(3)i -； （2）6(1)i +； （3）61- ； （4）13(1)i -。
解：（1）因为632ii eπ--=，所以5555566631(3)223232()16(3)22i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫-====--=-+ ⎪⎝⎭（2）因为412ii e π+=，所以63663442(1)2288i i i e e e i πππ⨯⎛⎫+====- ⎪⎝⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()166221cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++=-=+=+，其中0,1k =；即031cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=， 25531cossin 6622w i i ππ=+=-+，37731cos sin 6622w i i ππ=+=--，433cossin 22w i i ππ=+=-，5111131cos sin 6622w i i ππ=+=-。
（4）因为12cos()sin()44i i ππ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）对任何z ，22z z =是否成立如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解大学数学学院 （主编：王忠仁 静）高等教育 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
1.2 求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
工程数学(复变函数积分变换场论)59432
函 数
(4) [ f (z)g(z)] f (z)g(z) f (z)g(z)。
(5)
f (z) g(z)
f
(z)g(z) f g2(z)
(
z
)g(
z)
,
g(
z)
0
。
吴新民
-8-
第一节 解析函数的概念
(6) { f [g(z)]} f [g(z)]g(z)。
第
(7)
f
(z)
1 g(w)
吴新民
-6-
第一节 解析函数的概念
2）可导与连续的关系
由例2可知，一个函数在复平面上某点处是连续的，
第 但在此点未必可导， 即连续未必可导。但是如果函数
二 章
w f (z) 在z0 处可导，则
解 析
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
函
数
因此必有 lim [ z0
f
( z0
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第一节 解析函数的概念
第一节 解析函数的概念
第 二
一 复变函数的导数与微分
章
解 二 解析函数的概念
析 函 数
吴新民
-2-
第一节 解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分
1）导数的定义
第 二
定义 设函数 w f (z) 定义在区域 D 内，z0 为
,
其中 w f (z)、z g(w) 是两
二 章
个互为反函数的单值函数，且 g(w) 0。
解
例1 求 (zn ) , 其中 n 为正整数，z 0。