工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）对任何z ，22z z =是否成立如果是，就给出证明。

如果不是，对哪些z 值才成立解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。

所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。

求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。

解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。

（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

求方程380z +=的所有根。

解法一：用因式分解法求解。

因为 3332282(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ⎡⎤+=+=+-+=+-++⎣⎦22(2)(1)((2)(11z z z z z ⎡⎤=+-+=+-+--⎣⎦所以由380z +=，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =-，21z =-31z =+故方程380z +=的所有根为12z =-，21z =+31z =+解法二：用复数的方根的方法求解。

由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++⎤⎡⎤==+=+⎥⎢⎥⎦⎣⎦，其中0,1,2k =；即02cos sin 133z i ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭12(cos sin )2z i ππ=+=，2552cos sin133z i ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭故方程380z +=的所有根为01z =+12z =，21z =- 指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图，（1）56z -=； （2）21z i +≥； （3）Im()2z ≤； （4）0arg z π<<。

解：（1）56z -=表示以点(5,0)为中心，6为半径的圆周；（2）21z i +≥表示以点(0,2)-为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部； （3）Im()2z ≤表示直线2y =及其下面的部分； （4）0arg z π<<表示位于x 轴上方的部分。

指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单联通的还是多联通的。

（1）Im()0z >； （2）14z ->； （3）0Re()1z <<； （4）23z ≤≤。

解：（1）Im()0z >表示位于x 轴上方的区域，它是无界区域，是单联通的； （2）14z ->表示以点(1,0)为中心，4为半径的圆周的外部区域，它是无界区域，是多联通的；（3）0Re()1z <<表示介于两直线0x =与1x =之间的区域，它是无界区域，是单联通的；（4）23z ≤≤表示夹在以原点为圆心，2和3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域，它是有界的，但它是多联通的。

已知映射3w z =，求：（1）点1z i =，21z i =+，3z i =在w 平面上的像； （2）区域0arg 3z π<<在w 平面上的像。

解：（1）将1z i =，21z i =+，3z i =分别代入3w z =，得33211w z i i i i ====-，33222(1)(1)(1)2(1)22w z i i i i i i ==+=++=+=-+，3333366233)2288i i i w z i e e e i πππ⨯⎛⎫====== ⎪⎝⎭，即点1z i =，21z i =+，3z i =在w 平面上的像分别为i -，22i -+，8i 。

（2）设w u iv =+，则由3w z =，可得3arg 2Argw z k π=+（k Z ∈）； 又arg 2Argw w m π=+（m Z ∈），所以，当0arg 3z π<<时，0arg w π<<；从而区域0arg 3z π<<在w 平面上的像是位于u 轴上方的部分。

设1()2z z f z i z z⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0z ≠），试证当0z →时()f z 的极限不存在。

证：因为()222221()()2Re()2Im()2Re()Im()()2222z z z z z z z z z i z z z f z i z z izzi zi zz-⎛⎫+-=-====⎪⎝⎭，则令z x iy =+（,x y R ∈），()(,)(,)f z u x y iv x y =+，代入上式，得222(,)(,)xy u x y iv x y x y +=+，即222(,)(,)0xy u x y x y v x y ⎧=⎪+⎨⎪=⎩； 又当0z →时，有0x →且0y →；而22002lim (,)limx x o y y xyu x y x y→→→→=+不存在， 所以0lim ()z f z →不存在。

试证arg z 在原点与负实轴上不连续。

证：（1）因为0Arg 无意义，故rg 0a 也无意义，即arg z 在0z =处无定义，故arg z 在0z =处不连续。

（2）设00x <为负实轴上的任意一点，因为arg z ππ-<≤，如右图所示，当z 在第二象限中沿直线0x x =趋于0x 时，arg z 趋于π；而当z 在第四象限中沿直线0x x =趋于0x 时，arg z 趋于π-； 所以 0lim arg z x z →（00x <）不存在，故arg z 在负实轴上不连续。

由（1）（2）可知，arg z 在原点与负实轴上不连续。

第二章 解析函数 习题二（P25）利用导数定义指出： （1）1()nn z nz-'=（n 为正整数）； （2）211z z '⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

解：（1）由导数的定义，有0()()lim n nnz z z z z z∆→+∆-'=∆[]1232210()()()()...()limn n n n n z z z z z z z z z z z z z z z z z-----∆→⎡⎤+∆-+∆++∆++∆+++∆+⎣⎦∆分子分解因式 1232210lim ()()()...()n n n n n z z z z z z z z z z z z z -----∆→⎡⎤=+∆++∆++∆+++∆+⎣⎦ 1232211...n n n n n n z z z z z zz z nz ------=+++++=所以 1()n n z nz -'=。

（2）由导数的定义，有20000()11111()()lim lim lim lim ()z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z∆→∆→∆→∆→-+∆-∆-'+∆+∆⎛⎫+∆====-=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，故211z z '⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

下列函数何处可导何处解析（1）2()f z x iy =-； （2）33()23f z x y i =+； （3）22()f z xy ix y =+； （4）()sin cos f z xchy i xshy =+解：（1）因为2()f z x iy =-，所以2u x v y⎧=⎨=-⎩，则2u x x ∂=∂，0u y ∂=∂，0vx ∂=∂，1vy∂=-∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；若C R -方程成立，则2100x =-⎧⎨=-⎩，即12x =-；即只有当12x =-时，2()f z x iy =-才满足C R -方程。

所以，函数2()f z x iy =-只在直线12x =-上的点可导。

由函数解析的定义可知，函数2()f z x iy =-在整个复平面内处处不解析。

（2）因为33()23f z x y i =+，所以3323u x v y⎧=⎪⎨=⎪⎩；则26u x x ∂=∂，0u y ∂=∂，0v x ∂=∂，29vy y∂=∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；若C R -方程成立，则226900x y ⎧=⎨=-⎩0±=；0±=时，33()23f z x y i =+才满足C R -方程。

所以，函数33()23f z x y i =+0±=上的点可导。

由函数解析的定义可知，函数33()23f z x y i =+在整个复平面内处处不解析。

（3）因为22()f z xy ix y =+，所以22u xy v x y⎧=⎪⎨=⎪⎩；则2u y x ∂=∂，2u xy y ∂=∂，2vxy x∂=∂，2v x y ∂=∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；若C R -方程成立，则2222y xyxy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即0x y ==； 即只有当0x y ==时，22()f z xy ix y =+才满足C R -方程。

所以，函数22()f z xy ix y =+只在点0z =处可导。