高三年级数学高三第一次调研测试

南通市高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则U(M ∪N ) = ▲ ．2．复数21i(1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．3．设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a ab ，22+=a b ，则||=b ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ．5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ． 6．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有1nkk a=∑＝2n －1，则21nkk a=∑= ▲ ．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是 ▲ ． 8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ．9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：∈若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；∈若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥；∈若,//m m n αβ=，则//n α且//n β；∈若,m n m αβ⊥=，则n α⊥或n β⊥.其中假命题的序号是 ▲ ．（第8题字数/分频率组距0.0050.0070.0100.0120.01550 70 90 110 130 150 k ≥-3开始 k 1 SS S – 2k kk -1结束输出S YN （第9题图）11．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是())0,0，则PC ·PD 的最大值为 ▲ ．13．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k = ▲ ．【填空题答案】1．{4}； 2．12-; 3．2； 4．23-； 5．π；6．()1413n-； 7．12； 8．90； 9．10； 10．∈∈∈ ；11．(21)-，； 12．4； 13．413()ii ViH k==∑； 14．0．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在∈ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足32⋅=m n .（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：三角形ABC 为等边三角形． 【解】（1）由32⋅=m n 得，3cos()cos 2A CB -+=， ……………………2分 又B =π-(A +C )，得cos(A -C )-cos(A +C )=32， ……………………4分 即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32，所以sin A sin C =34． ……………6分 【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4B =. ……………8分 于是231cos 144B =-=，所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0， 所以 1cos 2B =，故π3B =． ………………… 11分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b a c ac =+-，又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-， 得a =c .因为π3B =，所以三角形ABC 为等边三角形. ………………… 14分 16．（本小题满分14分）如图，已知AB ∈平面ACD ，DE ∈平面ACD ，AC =AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．（1） 求证：AF ∈平面BCE ；（2） 求证：平面BCE ∈平面CDE ． 【证明】（1）因为AB ∈平面ACD ，DE ∈平面ACD ，所以AB ∈DE .取CE 的中点G ，连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∈ED ∈BA ， GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∈BG . ……………………4分 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以AF ∈平面BCE ． ……………………7分（2）因为AB ∈平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以AB ∈AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ∈GF . ……………………9分 又AC =AD ，所以AF ∈CD . ………………… 11分 而CD ∩GF ＝F ，所以AF ∈平面GCD ，即AF ∈平面CDE . 因为AF ∈BG ，所以BG ∈平面CDE . 因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ∈平面CDE ． ………………… 14分 17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………6分 （2）由（1）知2121n n b n t-=-+ .要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.AB CDEF(第16故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =32.所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为 322sin 22(3232tan )3232cos y PB PA ααα-=+=⨯+-=+⨯. ……………………6分 故所求函数关系式为()2sin π32320cos 4y ααα-=+⨯≤≤. ……………………7分（2）由（1）得22sin 132cos y αα-'=⨯，令0y '=即1sin 2α=，又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=时，2sin 432cos y αα-=+⨯取得最小值， ………………… 13分 此时π32tan66OP ==（km ），即点P 在OA 上距O 点6km 处. 【答】变电站建于距O 点6km 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为6，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．OBCAP（第18题图）【解】（1）由离心率6e =，得226a b -=，即223a b =. ∈ ………………2分 又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+.∈ ………………4分解 ∈∈得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为22的动圆. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G 与直线l 相切于点T ，则由222=，得4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 71m =--. ………………… 16分 （说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分） 20．（本小题满分16分）已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】 （1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f xg x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒=[]min ()2mf x f m ==-+这时， []min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩， ……………………8分 所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，. 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x --'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤， 则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m=--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分 所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分ABCD F O附加题部分21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是∈O 的直径，C 、F 为∈O 上的点，且CA 平分∈BAF ，过点C 作CD ∈AF 交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是∈O 的切线. 【证明】连结OC ，所以∈OAC =∈OCA . 又因为CA 平分∈BAF ，所以∈OAC =∈F AC ， 于是∈F AC =∈OCA ，所以OC //AD . 又因为CD ∈AF ，所以CD ∈OC ，故DC 是∈O 的切线． ………………… 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用下所得的曲线方程．【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=， 即22221x xy y ++=，所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标（本题满分10分）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2π22cos()24ρρθ--=． （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2π22cos24ρρθ--=，所以()2ππ22cos cos sin sin244ρρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=． 化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()2πsin 42ρθ+=． ………………… 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mb a mb mm++≤++.【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mb a mb mm ++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mb a mb mm++≤++．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y ），根据题意，得22(1)x y +-＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2（y ≤3）． …………………4分（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由∈＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）． 由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰………………… 10分23．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC =2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ∈平面B 1DF ？（2）设AF =1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.B CC 1B 1A 1 FD【解】 （1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1∈面ABC ，∈ABC ＝π2． 以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∈ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2， 从而B (0，0，0)，A()200，，，C ()020，，，B 1(0，0，3)，A 1()203，，，C 1()023，，，D22322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，E 23022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．所以()1223CA =-，，，设AF ＝x ，则F (2，0，x )，()()112222203022CF x B F x B D ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，，，，，，，，.1222(2)0022CF B D x ⋅=⋅+-⋅+⋅=，所以1.CF B D ⊥ 要使CF ∈平面B 1DF ，只需CF ∈B 1F .由1CF B F ⋅＝2＋x （x －3）＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ∈平面B 1DF ．……………… 5分 （2）由（1）知平面ABC 的法向量为n 1=（0，0，1）.设平面B 1CF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由100CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得220220x y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，，令z =1得()32212=，，n ，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值1301cos .1591212〈〉==⨯++，n n ………………… 10分AB C C 1B 1A 1FDxyz。