2019高考数学总复习优编增分练：86分项练12函数的图象与性质文
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练11 圆锥曲线 文
8＋6分项练11 圆锥曲线1．(2018·大连模拟)设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则||AF ＋||BF 的值是( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3 答案 C解析 设椭圆的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2， 因为|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF 2|， 所以四边形AFBF 2是平行四边形， 所以|BF |＝|AF 2|，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4.2．(2018·洛阳统考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. 5 B ．3 C ．5 D ．4 2 答案 A解析 因为抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为()3，0，依题意得4＋b 2＝9，所以b 2＝5， 所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，所以其渐近线方程为y ＝±52x ， 所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为||±5×3－05＋4＝ 5.3．(2018·重庆模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( ) A ．16 3 B ．12 3 C ．4 3 D ．3 答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ 为矩形， 可得|PQ |＝|MN |，从而得到圆心F 到准线的距离与到MN 的距离是相等的，所以M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M 为x 轴上方的交点，从而求得M (3,23)，N (3，－23)， 所以|MN |＝43，||NP ＝4，从而求得四边形MNPQ 的面积为S ＝4×43＝16 3.4．(2018·昆明模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，自上而下顺次与上述两曲线交于A 1，A 2，A 3，A 4四点，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4|等于( )A.1pB.2p C ．p D.p2 答案 B解析 圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2的圆心为抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，半径为p . 直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2过抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设A 2(x 1，y 1)，A 4(x 2，y 2)． 不妨设k <0，则x 1<p 2，x 2>p2.|A 1A 2|＝|A 1F |－|A 2F |＝p －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＝p2－x 1，|A 3A 4|＝|A 4F |－|A 3F |＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2－p ＝x 2－p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，所以x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1p 2－x 1－1x 2－p 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 2－p p 2(x 1＋x 2)－x 1x 2－p 24 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p (k 2＋2)k 2－p p 2×p (k 2＋2)k －p 24－p 24＝2p . 5．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过其焦点F的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，且抛物线C 上存在点M 与x 轴上一点N (7,0)关于直线l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．5 C.112 D ．6答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ′：x ＝－p2，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别过点A ，B 作AP ⊥l ′，BQ ⊥l ′，垂足为P ，Q ， 过点B 作BD ⊥AP 交AP 于点D ， 则|AP |＝|AF |，|BQ |＝|BF |， ∵|AF |＝3|BF |＝34|AB |，∴|AP |－|BQ |＝|AD | ＝|AF |－|BF |＝12|AB |，在Rt△ABD 中，由|AD |＝12|AB |，可得∠BAD ＝60°，∵AP ∥x 轴，∴∠BAD ＝∠AFx ＝60°， ∴k AB ＝tan 60°＝3， 直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，设M 点坐标为(x M ，y M )，由⎩⎪⎨⎪⎧y M x M －7＝－33，y M2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x M＋72－p 2，可得x M ＝34p －72，y M ＝32⎝⎛⎭⎪⎫7－p 2，代入抛物线的方程化简可得3p 2－4p －84＝0，解得p ＝6(负值舍去)， 该抛物线的焦点到准线的距离为6.6．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22C ．1 D. 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2， 半焦距为c ，P 为第一象限内的公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，所以4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π4，所以4c 2＝(2－2)a 21＋(2＋2)a 22， 所以4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21×2＋2e 22＝22e 1e 2， 所以e 1e 2≥22，故选B. 7．(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2,0)．过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使|AB |＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(1,2) C ．(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2＋b 2)，设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，F 1F 2，PF 2切于点G ，H ，I ， 则|PG |＝|PI |，|F 1G |＝|F 1H |，|F 2H |＝|F 2I |. 由双曲线的定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝|F 1G |－|F 2I |＝|F 1H |－|F 2H |， 又|F 1H |＋|F 2H |＝|F 1F 2|＝2c ， 故|F 1H |＝c ＋a ，|F 2H |＝c －a ， 所以H (a ,0)，即a ＝2. 注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点， 则当l ⊥x 轴时，|AB |有最小值2b 2a＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)， 则当l ⊥y 轴时，|AB |有最小值2a ，于是， 由题意得b 2>2a ＝4，b >2，c ＝a 2＋b 2>22， 所以双曲线的离心率e ＝c a> 2.故选C.9．(2018·唐山模拟)已知P 是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆()x －42＋y 2＝1上任意一点，则|PQ |的最小值为________． 答案 23－1解析 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2，m ， 由圆的方程()x －42＋y 2＝1，可得圆心坐标A ()4，0，∴|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2－42＋m 2＝116()m 2－82＋12≥12，∴|PA |≥23，∵Q 是圆()x －42＋y 2＝1上任意一点，∴|PQ |的最小值为23－1.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆交渐近线ay ＝bx 于点P (P 在第一象限)，PF 1交双曲线左支于Q ，若Q 是线段PF 1的中点，则该双曲线的离心率为________． 答案5＋1解析 联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝bax ，结合c 2＝a 2＋b 2，且点P 位于第一象限可得P (a ，b )， 双曲线的左焦点为F 1(－c,0)， 则PF 1的中点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，点Q 在双曲线上，则()a －c 24a2－b 24b2＝1，整理可得c 2－2ac －4a 2＝0，即e 2－2e －4＝0， 解得e ＝1±5，又双曲线的离心率e >1，故e ＝5＋1.11．(2018·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，255，且C 的一个焦点坐标为(2,0)，则C 的标准方程为________． 答案x 25＋y 2＝1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)， 则2a ＝(1＋2)2＋45＋(1－2)2＋45＝75＋355＝25， 所以a ＝5，因为c ＝2，所以b ＝5－4＝1， 从而得到椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆x 2＋y 2＝1的交点N 为点M 的“中心投影点”．(1)点M (1，3)的“中心投影点”为________；(2)曲线x 2－y 23＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 (2)4π3解析 (1)|OM |＝12＋(3)2＝2，|ON |＝1， 所以ON →＝12OM →，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(2)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为π3，因此弧长为2×23π×1＝4π3.13．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan∠PF 2F 1≥4，则双曲线C 的半焦距的取值范围为____________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173 解析 由|F 1F 2|＝2|OP |可得△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，tan∠PF 2F 1≥4， 即|PF 1|≥4|PF 2|，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 2|≤23a ，由(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2化为(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋a 2，可得c ≤173，又双曲线中c >a ＝1，所以双曲线C 的半焦距的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173. 14．(2018·威海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，若|MN |＝|PQ |，则∠PFQ 的最大值为________． 答案π3解析 如图所示，分别过P ，Q 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，B ，设|PF |＝2a ，|QF |＝2b ，由抛物线定义，得|PF |＝|PA |，|QF |＝|QB |， 在梯形ABQP 中，2|MN |＝|PA |＋|QB |＝2a ＋2b ， ∴|MN |＝a ＋b .若PQ 过焦点F ，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝2a ＋2b ， 又|MN |＝a ＋b ，且|MN |＝|PQ |， ∴2a ＋2b ＝a ＋b ， ∴a ＋b ＝0，显然不成立， ∴PQ 不过焦点F .∵|MN |＝|PQ |，∴|PQ |＝a ＋b ， 设∠PFQ ＝θ，由余弦定理得， (a ＋b )2＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴a 2＋b 2＋2ab ＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴cos θ＝3a 2＋3b 2－2ab 8ab ≥6ab －2ab 8ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号， 又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤π3， ∴∠PFQ 的最大值为π3.。
函数的图象与性质
解析：∵函数 f(x)＝2mxx＋＋1m，－x≥1，0 x<0 在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴函数 y＝mx＋m－1 在区间(－∞，0)上为增函数， ∴mm－>01≤20＋1＝2 ，解得 0<m≤3， ∴实数 m 的取值范围是(0,3]．
答案：(0,3]
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考点一 考点二 考点三 增分强化练(二十九) 增分强化练(三十)
第1讲 函数的图象与性质
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函数及其表示
考情调研
考向分析
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数 1.求函数的定义域．
以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题， 2.分段函数求值.
又有解答题，中等偏下难度.
所以－3＜m－1＜3，
所以－2＜m＜4，
因为|m－1|>0，所以 m≠1，故 m∈(－2,1)∪(1,4)．
故选 A. 答案：A
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4．(2019·东三省三校模拟)若函数 f(x)＝2mxx＋＋1m，－x≥1，0 x<0 在(－∞，＋∞)上单调递增， 则 m 的取值范围是________．
2．分段函数问题的 5 种常见类型及解题策略 (1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值， 要从最内层逐层往外计算． (2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． (3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要 注意取值范围的大前提． (4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)利用函数性质求值：依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解.
2019高考数学总复习优编增分练压轴大题突破练(四)函数与导数(2)文
(四)函数与导数()．(·成都模拟)已知()＝－＋(∈)．()讨论函数的单调性；()证明：当＝，且≥时，()≤－－恒成立．()解∵ ()＝－＋，∈，∴′()＝－＝，当≤时，()的增区间为(，＋∞)，无减区间，当>时，增区间为，减区间为.()证明当∈[，＋∞)时，由()可知当＝时，()在[，＋∞)上单调递减，()≤()＝－，再令()＝－－，在∈[，＋∞)上，′()＝－>，()单调递增，所以()≥()＝－，所以()≥()恒成立，当＝时取等号，所以原不等式恒成立．．(·合肥模拟)已知函数()＝，()＝λ(－)(λ为常数)．()若函数＝()与函数＝()在＝处有相同的切线，求实数λ的值；()当≥时，()≤()，求实数λ的取值范围．解()由题意得′()＝＋，′()＝λ，又()＝()＝，且函数＝()与＝()在＝处有相同的切线，∴′()＝′()，则λ＝，即λ＝.()设()＝－λ(－)，则()≤对∀∈[，＋∞)恒成立．∵′()＝＋－λ，且()＝，∴′()≤，即－λ≤，∴λ≥.另一方面，当λ≥时，记φ()＝′()，则φ′()＝－λ＝.当∈[，＋∞)时，φ′()≤，∴φ()在[，＋∞)内为减函数，∴当∈[，＋∞)时，φ()≤φ()＝－λ≤，即′()≤，∴()在[，＋∞)内为减函数，∴当∈[，＋∞)时，()≤()＝恒成立，符合题意．当λ<时，①若λ≤，则′()＝＋－λ≥对∀∈[，＋∞)恒成立，∴()在[，＋∞)内为增函数，∴当∈[，＋∞)时，()≥()＝恒成立，不符合题意．②若<λ<，令φ′()>，则<<，∴φ()在内为增函数，∴当∈时，φ()>φ()＝－λ>，即′()>，∴()在内为增函数，∴当∈时，()>()＝，不符合题意，综上所述，λ的取值范围是.．(·山东省名校联盟模拟)已知()＝＋(＋)＋. ()若函数()在＝处取得极值，求的值；。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练13 导数 文
8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得 2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0. 14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x ，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。
【配套K12】[学习](京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 函数的图象与
2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 函数的图象与](https://img.taocdn.com/s3/m/9d18ee3b14791711cc791732.png)
8＋6分项练13 函数的图象与性质1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.4．(2018·福建省厦门市高中毕业班质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D.[)2，＋∞答案 A解析 ∵ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立， 则f (1)是f (x )的最小值， 由二次函数性质可得对称轴a ≥1，由分段函数性质得()1－a 2－1≤ln 1，得0≤a ≤2，综上，可得1≤a ≤2，故选A.5．(2018·安徽省示范高中(皖江八校)联考)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[]－1，0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－4∪[)2，＋∞ B.[]－4，2C.(]－∞，－3∪[1，＋∞)D.[]－3，1 答案 D解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 由f (m ＋2)≥f (x －1)对任意x ∈[－1,0]恒成立， 得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|对任意x ∈[－1,0]恒成立， 所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选D.6．(2018·宿州模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[)0，1时，f (x )＝1－x 2.给出下列四个命题： p 1：f (1)＝0；p 2：2是函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的一个周期； p 3：函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递增；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z .其中真命题为( ) A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 4答案 C解析 f (x ＋2)＝－f (x )中，令x ＝－1可得f (1)＝－f (－1)＝－f (1)，据此可得f (1)＝0，命题p 1正确； 由题意可知f ()x ＋4＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则函数f (x )的周期为T ＝4，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的一个周期为8，命题p 2错误；由f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数f (x )关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示．将函数图象向右平移一个单位可得函数y ＝f (x －1)的图象， 则函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递减，命题p 3错误；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间满足：4k －2≤2x －1≤4k (k ∈Z )，求解不等式组可得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z ， 命题p 4正确．综上可得真命题为p 1，p 4.7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有零点，只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝813＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 19>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2， 即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.10．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－1，则a ＝________. 答案 6解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋1＝－1，解得a ＝6.11．(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝a x －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为____．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时，f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝ax －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．12．(2018·山西省大同市与阳泉市模拟)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是________．答案 －16解析 设t ＝x ＋2 015，t ∈R ，则f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，化为g (t )＝(t －3)(t －1)(t ＋1)(t ＋3)＝(t 2－1)(t 2－9)＝t 4－10t 2＋9＝(t 2－5)2－16，当t 2＝5时，g (t )有最小值－16， 即当x ＝－2 015±5时，函数f (x )的最小值是－16.13．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③. 14．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x >0，－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，54解析 作出函数f (x )和g (t )的图象如图．由g [f (x )]－a ＝0(a >0)，得g [f (x )]＝a (a >0)． 设t ＝f (x )，则g (t )＝a (a >0)．由y ＝g (t )的图象知，①当0<a <1时，方程g (t )＝a 有两个根，－4<t 1<－3，－3<t 2<－2，由t ＝f (x )的图象知，当－4<t 1<－3时，t ＝f (x )有1个根，当－3<t 2<－2时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有4个根，②当a ＝1时，方程g (t )＝a 有两个根，t 1＝－3，t 2＝12，由t ＝f (x )的图象知，当t 1＝－3时，t ＝f (x )有2个根，当t 2＝12时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有5个根；③当1<a <54时，方程g (t )＝a 有两个根，0<t 1<12，12<t 2<1，由t ＝f (x )的图象知，当0<t 1<12时，t ＝f (x )有3个根，当12<t 2<1时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个根；④当a ＝54时，方程g (t )＝a 有1个根，t ＝1，由t ＝f (x )的图象知，当t ＝1时，t ＝f (x )有2个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有2个根； ⑤当a >54时，方程g (t )＝a 有1个根t >1，由t ＝f (x )的图象知，当t >1时，t ＝f (x )有1个根， 此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有1个根．综上可得，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.。
2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 导数 文
8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得 2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0. 14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。
2019高考数学总复习优编增分练：86分项练5三角函数与解三角形文
8＋6分项练5 三角函数与解三角形1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于( )A ．－14 B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．(2018·漳州质检)为了得到函数y ＝cos 2x －sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝(sin x ＋cos x )2的图象( )A ．向右平移π2个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向左平移π4个单位长度答案 D解析 因为y ＝cos 2x －sin 2x ＋1 ＝cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1，且y ＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋1，所以为了得到函数y ＝cos 2x －sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝(sin x ＋cos x )2的图象向左平移π4个单位长度．3.如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14]D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π8＋20，x ∈[6,14]答案 A解析 由2πω＝2(14－6)＝16，得ω＝π8，A ＝12(30－10)＝10，b ＝20，由y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20过点(14,30)， 得30＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×14＋φ＋20，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋7π4＝1，φ＋7π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π－5π4，k ∈Z ，取k ＝1，得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20.4．(2018·上饶模拟)如图所示的是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x ＝5π12对称，则m 的最小值为( )A.7π6B.π6C.π8D.7π24解析 由函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的图象可得 T ＝2πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2. 再由五点法作图可得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，∴φ＝π3.故函数f (x )的解析式为 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故把f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m (m >0)个单位长度后，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －4m ＋π3的图象，∵所得图象关于直线x ＝5π12对称，∴4×5π12－4m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得m ＝3π8－14k π，k ∈Z ，∴由m >0，可得当k ＝1时，m 的最小值为π8.5．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c2＋a2－b222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin A ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．63B ．47C ．87D ．12 答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 又因为△ABC 的周长为10＋27， 所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝27， 所以△ABC 的面积为S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤c2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c2＋a2－b222＝错误!＝6错误!，6．(2018·湖南省长郡中学模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ) A ．－34B ．－43C.34D.43 答案 B解析 ∵2S ＝(a ＋b )2－c 2，∴ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ， ∴sin C ＝2cos C ＋2，∴sin 2C ＝(2cos C ＋2)2＝1－cos 2C ， ∴cos C ＝－35(cos C ＝－1舍去)，又∵C 为三角形的内角，∴sin C ＝45，tan C ＝sin C cos C ＝－43.7．(2018·漳州质检)在△ABC 中，C ＝60°，BC ＝2AC ＝23，点D 在边BC 上，且sin∠BAD ＝277，则CD等于( )A.433 B.34 C.33 D.233答案 D解析 ∵C ＝60°，BC ＝2AC ＝23， ∴AB ＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C ＝3＋12－2×3×23×12＝3，∴cos B ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC ＝9＋12－32×3×23＝32，又∵B 是三角形的内角， ∴B ＝30°，∴∠BAC ＝90°， ∵sin∠BAD ＝277，∴cos∠BAD ＝1－sin2∠BAD＝217， 可得sin∠DAC ＝cos∠BAD ＝217， ∵在△ABD 中，由正弦定理可得AD ＝BDsin Bsin∠BAD ，在△ADC 中，由正弦定理可得AD ＝DCsin Csin∠DAC，∴()23－DC ×12277＝DC×32217，解得DC ＝233.8．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256C.⎝⎛⎦⎥⎤256，112 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤112，376答案 B解析 f (x )＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，作出f (x )的函数图象如图所示：令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1得，ωx －π3＝－π6＋2k π，k ∈Z 或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝π6ω＋2k πω，k ∈Z 或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω，∵方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根， ∴x A <π≤x B ， 即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω， 解得72<ω≤256.9．已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c ＝3，cos A ＝14，则b ＝________.答案 2解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14，b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b＋12)＝0，解得b ＝2(舍负)． 10．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f (π)＝0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3上具有单调性，那么ω的取值共有________个． 答案 9解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f (π)＝0， 所以π4ω＋φ＝π2＋2k π，πω＋φ＝m π(k ，m ∈Z )，所以ω＝43错误!，m ，k ∈Z ，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上具有单调性， 所以T 2≥π3－π4，所以T ≥π6，所以2πω≥π6，所以0<ω≤12，因此m －2k ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9， 所以ω的取值共有9个．11．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝π3，a ＝7，b ＝5，点D 满足BD →＝2DC →，则c＝________；||AD →＝________. 答案 82613解析 如图，∠A ＝π3，a ＝7，b ＝5.∴根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即72＝52＋c 2－2×5×c ×12，∴c ＝8或c ＝－3(舍去)，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝49＋64－252×7×8＝1114.∵点D 满足BD →＝2DC →， ∴||BD→＝23a ＝143. 在△ABD 中，由余弦定理可得AD 2＝BD 2＋c 2－2BD ·c ·cos B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1432＋64－2×143×8×1114＝2449.∴AD ＝2613，即|AD →|＝2613.12．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，三角形的内切圆的半径r ＝________.答案3－32解析 因为b ＋2c cos A ＝0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 且sin B ＋2sin C cos A ＝0，即3sin C cos A ＋cos C sin A ＝0,3tan C ＋tan A ＝0. tan B ＝－tan A ＋tan C 1－tan Atan C ＝2tan C 1＋3tan2C ≤33，当且仅当C ＝π6时等号成立，故B max ＝π6，所以B ＝C ，即b ＝c ＝1，a ＝3， 此时12r ()2＋3＝12×1×1×32，解得r ＝3－32.13．(2018·湛江模拟)如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C .已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1 260米，若cos A ＝1213，sin B ＝6365.为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v (米/分钟)的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514解析 在△ABC 中已知b ＝1 260，cos A ＝1213，sin B ＝6365，则sin A ＝513，由正弦定理可得，a ＝bsin Asin B ＝1 260×5136365＝500，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得 5002＝1 2602＋c 2－2×1 260×c ×1213，解得c 1＝1 040，c 2＝16 72013，若c ＝16 72013，与题图中AC 最大矛盾，舍去，据此可得，c ＝1 040.乙从B 出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514范围内．14．(2018·泉州质检)在△ABC 中，D 为BC 的中点，AC ＝23，AD ＝7，CD ＝1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB ＝BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为________． 答案332解析 根据题意可以求得cos∠ACD ＝1＋12－72×1×23＝32，因为∠ACD 是三角形的内角， 所以∠ACD ＝30°，则点B 到边AC 的距离为2×1×sin 30°＝1， 因为点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB ＝BC ， 所以点P 在以B 为圆心，以2为半径的圆上，当点P 到直线AC 的距离最大时，四边形ADCP 的面积最大， 此时点B 到直线AC 的距离最小， 此时点P 到直线AC 的距离为2－1＝1，此时四边形的面积S ＝12×1×23×12＋12×23×1＝332.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 导数 文
8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得 2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0. 14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。
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精选中小学试题、试卷、教案资料 8＋6分项练12 函数的图象与性质 1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x，y满足12x<12y，则下列关系式中恒成立的是( ) A．tan x>tan yB．ln()x2＋2>ln()y2＋1 C.1x>1yD．x3>y3 答案 D 解析 12x<
1
2y⇔x>y，
对于A，当x＝3π4，y＝－3π4时，满足x>y，但tan x>tan y不成立． 对于B，若ln()x2＋2>ln()y2＋1，则等价于x2＋1>y2成立，当x＝1，y＝－2时，满足x>y，但x2＋1>y2不成立． 对于C，当x＝3，y＝2时，满足x>y，但1x>1y不成立． 对于D，当x>y时，x3>y3恒成立． 2．函数f(x)＝错误!(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( ) 精选中小学试题、试卷、教案资料 答案 A 解析 f(－x)＝错误! ＝错误!＝错误!＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 又当x→0时，f(x)→＋∞，故选A.
3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(3－x)＋f(x)＝0，且当x∈－32，0时，f(x)＝log2(2x＋7)，则f(2 017)等于( )
A．－2 B．log23 C．3 D．－log25 答案 D 解析 因为奇函数f(x)满足f(3－x)＋f(x)＝0， 所以f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即周期为3， 所以f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log25，故选D. 4．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)已知函数f(x)＝ln(ex＋e－x)＋x2，则使得f(2x)>f(x＋3)成立的x的取值范围是( ) A．(－1,3) B.()－∞，－3∪()3，＋∞ C.()－3，3D．(－∞，－1)∪()3，＋∞ 答案 D 解析 因为f(－x)＝ln(e－x＋ex)＋(－x)2 ＝ln(ex＋e－x)＋x2＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数， 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2x)>f(x＋3)⇔|2x|>|x＋3|， 解得x<－1或x>3.故选D. 5．(2018·贵州省凯里市第一中学模拟)定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a，b]上存在x1，x2(a]上的“双中值函数”．已
知函数g(x)＝13x3－m2x2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是( ) A.43，83B.43，83 精选中小学试题、试卷、教案资料 C.43，＋∞D．(－∞，＋∞) 答案 B 解析 由题意可知，g(x)＝13x3－m2x2， ∵g′(x)＝x2－mx在区间[0,2]上存在x1，x2(0满足g′(x1)＝g′(x2)＝错误!＝错误!－m， ∴方程x2－mx＋m－43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，
则 Δ＝m2－4m－43>0，00，4－2m＋m－43>0， 解得436．(2018·咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则( ) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x＋1)是奇函数 D．函数f(x＋2)是偶函数 答案 B 解析 根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数， 则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 又由f(1－x)＝f(1＋x)， 得f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)] ＝f(－x)＝－f(x)， 即f(x＋2)＝－f(x)， f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数的周期为4. 7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在区间0，13上无零点，则实数a的取值范围是( ) 精选中小学试题、试卷、教案资料 A．(1，＋∞) B.0，13∪(1，＋∞)
C.13，1∪(1，＋∞) D．(0,1)∪()4，＋∞ 答案 C 解析 令y＝8x－logax2＝0，则8x＝logax2， 设f(x)＝8x，g(x)＝logax2， 于是要使函数y＝8x－logax2(a>0且a≠1)在区间0，13上没有零点， 只需函数f(x)与g(x)的图象在区间0，13上没有交点， 当a>1时，显然成立；当0且f13＝813＝2，此时，要使函数f(x)与g(x)的图象在区间0，13上没有交点， 则需g13＝loga19>f13＝2， 即loga19>2＝logaa2， 于是a2>19，解得13故实数a的取值范围是a>1或13
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，且当x∈[2,4]时，f(x)＝ －x2＋4x，2≤x≤3，x2＋2x，3＝ax＋1，对∀x1∈[－2,0]，∃x2∈[－2,1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围为( ) A.－∞，－18∪18，＋∞ B.－14，0∪0，18 C．(0,8] D.－∞，－14∪18，＋∞ 答案 D 解析 由题意知问题等价于函数f(x)在[－2,0]上的值域是函数g(x)在[－2,1]上的值域的子集．当x∈[2,4]时，f(x)＝错误!由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f(x)∈错误!，由f(x＋2)＝2f(x)，
可得f(x)＝12f(x＋2)＝14f(x＋4)，当x∈[－2，0]时，x＋4∈[2,4]．则f(x)在[－2,0]上的值域为34，98. 精选中小学试题、试卷、教案资料 当a>0时，g(x)∈[－2a＋1，a＋1]，则有 －2a＋1≤34，a＋1≥98，解得a≥18；当a＝0时，g(x)＝1，不符
合题意；当a<0时，g(x)∈[a＋1，－2a＋1]，则有 a＋1≤34，－2a＋1≥98，解得a≤－14. 综上所述，可得a的取值范围为 －∞，－14∪18，＋∞.
9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f(x)＝错误!是奇函数，则g(f(－2))的值为________． 答案 －2 解析 ∵函数f(x)＝错误!是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)＝－(4－2)＝－2， g(f(－2))＝g(－2)＝f(－2)＝－2.
10．已知函数f(x)＝ 1－|x＋1|，x<1，x2－4x＋2，x≥1，则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________． 答案 2 解析 画出函数f(x)＝ 1－|x＋1|，x<1，x2－4x＋2，x≥1的图象如图，
由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝22|x|，则问题化为函数f(x)＝ 1－|x＋1|，x<1，x2－4x＋2，x≥1与函数y＝22|x|
＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个． 11．(2018·东北三省三校模拟)函数f(x)＝ax－2 015＋2 017(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________． 答案 (2 015,2 018) 解析 当x＝2 015时， f(2 015)＝a2 015－2 015＋2 017＝a0＋2 017＝2 018，
∴f(x)＝ax－2 015＋2 017(a>0且a≠1)过定点(2 015，2 018)． 12．(2018·南平质检)已知实数x，y满足x2－sin y＝1，则sin y－x的取值范围是________． 精选中小学试题、试卷、教案资料 答案 －54，1＋2 解析 由x2－sin y＝1，可得sin y＝x2－1. 又sin y∈[－1,1]，所以x2－1∈[－1,1]， 解得－2≤x≤2. sin y－x＝x2－x－1＝x－122－54. 结合－2≤x≤2， 可得x－122－54∈－54，1＋2. 13．若函数f(x)对定义域内的任意x1，x2，当f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称函数f(x)为单纯函数，例如函数f(x)＝x是单纯函数，但函数f(x)＝x2不是单纯函数，下列命题：
①函数f(x)＝ log2x，x≥2，x－1，x<2是单纯函数； ②当a>－2时，函数f(x)＝x2＋ax＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数； ③若函数f(x)为其定义域内的单纯函数，x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④若函数f(x)是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x0使其导数f′(x0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③ 解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x≥2时，f(x)＝log2x单调，当x<2时，f(x)＝x－1单调，结合f(x)的图象可知f(x)是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f(x)＝x＋1x＋a，由f(2)＝f12但2≠12可知f(x)不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f(x)＝x是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x0，使f′(x0)＝0，故④错误，答案为①③.
14．已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，关于x的方程f2(x)－af(x)－1＝0有以下结论： ①当a≥0时，方程f2(x)－af(x)－1＝0恒有根； ②当0≤a<649时，方程f2(x)－af(x)－1＝0在[]0，2π内有两个不等实根；
③当a≥0时，方程f2(x)－af(x)－1＝0在[]0，6π内最多有9个不等实根； ④若方程f2(x)－af(x)－1＝0在[]0，6π内根的个数为非零偶数，则所有根之和为15π.