安徽省2017年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(四)
安徽省2017年中考数学总温习第二轮中考题型专题温习二
专题温习(七) 统计与概率的实际应用类型1 统计知识的应用1．(2016·福州)福州市2020～2021年常住人口数统计如下图．依照图中提供的信息，回答以下问题：(1)福州市常住人口数，2021年比2021年增加了7万人；(2)与上一年相较，福州市常住人口数增加最多的年份是2021年；(3)预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．解：预测2016年福州市常住人口大约为757万人．理由如下：从统计图能够看出，福州市常住人口每一年增加的数量的众数为7万人，因此预测2016年福州市常住人口大约为757万人．(答案不唯一，言之有理即可)2．(2016·芜湖模拟)今年植树节，安庆某中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校1 200名学生的植树植数数 量(棵) 频数 (人) 频率 3 5 0.1 4 20 0.4 5 15 0.3 6 10 0.2 合计501(1)将统计表和条形统计图补充完整；(2)求抽样的50名学生植树数量的众数和中位数，并从描述数据集中趋势的量当选择一个适当的量来估量该校1 200名学生的植树数量．解：(1)条形统计图补充如下图．(2)依照题意知：种3棵的有5人，种4棵的有20人，种5棵的有15人，种6棵的有10人， ∴众数是4，中位数是4＋52＝4.5.∵抽样的50名学生植树的平均数是：x ＝3×5＋4×20＋5×15＋6×1050＝4.6(棵)，∴估量该校1 200名学生参加这次植树活动的整体平均数是4.6棵，∴4.6×1 200＝5 520(棵)，那么估量该校1 200名学生植树约为5 520棵．3．(2016·淮北模拟)“立定跳远”是我省初中毕业生体育测试项目之一．体育中考前，某校为了了解学生立定跳远成绩状况，从九年级1 000名男生中随机抽取部份男生参加立定跳远测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同窗对这次测试结果的数据作出整理，以下图是这四名同窗提供的部份信息： 甲：将全部测试数据分成6组绘成直方图(如图)； 乙：立定跳远成绩很多于5分的同窗占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 丁：第②、③、④组的频数之比为4∶17∶15. 依照这四名同窗提供的材料，请解答如下问题：每组数据含左端点值不含右端值(最后一组除外)(1)这次立定跳远测试共抽取多少名学生？各组各有多少人？(2)若是立定跳远很多于11分为优秀，依照这次抽查的结果，估量全年级达到立定跳远优秀的人数为多少？ (3)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这组立定跳远成绩的代表，估量这批学生立定跳远分数的平均值．解：(1)∵立定跳远成绩很多于5分的同窗占96%，即②③④⑤⑥组人数占96%， 第①组频率为：1－96%＝0.04. ∵第①、②两组频率之和为0.12， ∴第②组频率为：0.12－0.04＝0.08. 又∵第②组频数是12，∴这次立定跳远测试共抽取学生人数为：12÷0.08＝150(人)． ∵②、③、④组的频数之比为4∶17∶15， ∴12÷4＝3(人)，∴可算得第①～⑥组的人数别离为：①150×0.04＝6(人)，②4×3＝12(人)，③17×3＝51(人)，④15×3＝45(人)，⑥与②相同，为12人，⑤为150－6－12－51－45－12＝24(人)．答：这次立定跳远测试共抽取150名学生，各组的人数别离为6，12，51，45，24，12. (2)第⑤、⑥两组的频率之和为＝24＋12150＝0.24，1 000×0.24＝240(人)答：估量全年级达到立定跳远优秀的有240人．(3)x －＝4×6＋6×12＋8×51＋10×45＋12×24＋14×12150＝9.4(分)．答：这批学生立定跳远的分数的平均值约为9.4分．类型2 概率知识的应用4．(2016·宜昌)某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早饭一人一份，一份两样，一样一个．食堂师傅在窗口随机发放(发放的食物价钱一样)．食堂在某天早饭提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食物． (1)按约定，“小李同窗在该天早饭取得两个油饼”是不可能(可能，必然，不可能)事件． (2)请用列表或画树状图的方式，求出小张同窗该天早饭恰好取得猪肉包和油饼的概率． 解：解法一：树状图法∴小张同窗取得猪肉包和油饼的概率为212＝16.解法二：列表法猪肉包面包 鸡蛋 油饼 猪肉包 猪肉包、面包猪肉包、鸡蛋 猪肉包、油饼 面包 面包、猪肉包 面包、鸡蛋面包、油饼 鸡蛋 鸡蛋、猪肉包 鸡蛋、面包 鸡蛋、油饼油饼油饼、猪肉包油饼、面包油饼、鸡蛋∴小张同窗取得猪肉包和油饼的概率为212＝16.5．(2016·阜阳模拟)近几年“密室逃脱俱乐部”盛行全世界，以下图是俱乐部的通路俯视图，小明进行入口后，可任选一条通道过关．(1)他进A 密室或B 密室的可能性哪个大？请说明理由；(利用画树状图或列表法来求解) (2)求小明从中间通道进入A 密室的概率．解：(1)依照题意，画树状图如下：由树状图可知，共有6种可能，小明进入A 密室有2种可能，进入B 密室有4种可能， ∴小明进入A 密室的概率P ＝26＝13，小明进入B 密室的概率P ＝46＝23.∵13<23，∴他进B 密室的可能性大． (2)由(1)中的树状图可知，小明从中间通道进入A 密室只有一种可能，∴概率为16.6．(2016·菏泽)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单项选择题就顺利通关，第一道单项选择题有3个选项，第二道单项选择题有4个选项，这两道题锐锐都可不能，只是锐锐还有两个“求助”能够用(利用“求助”一次能够让主持人去掉其中一题的一个错误选项)． (1)若是锐锐两次“求助”都在第一道题中利用，那么锐锐通关的概率是14；(2)若是锐锐两次“求助”都在第二道题中利用，那么锐锐通关的概率是16．(3)若是锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或列表来分析他顺序通关的概率．解：锐锐将每道题各用一次“求助”，别离用A ，B 表示剩下的第一道单项选择题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单项选择题的3个选项，树状图如下图：共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情形， ∴锐锐顺利通关的概率为16.7．(2021·淮北五校联考)某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长别离带自己的小孩参加游戏，主持人预备把家长和小孩从头组合完成游戏，A ，B ，C 别离表示三位家长，他们的小孩别离对应的是a ，b ，c. (1)假设主持人别离从三位家长和三位小孩中各选一人参加游戏，恰好是A ，a 的概率是多少？(直接写出答案) (2)假设主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从小孩中任选两人为一组，四人一起参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．(画出树状图或列表) 解：(1)P(恰好是A ，a)≤19.(2)依题意列表如下：家长 孩子 ab ac bc AB AB ，ab AB ，ac AB ，bc AC A C ，ab AC ，ac AC ，bc BCBC ，abBC ，acBC ，bc共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有(AB ，ab)，(AC ，ac)，(BC ，bc)3种，故恰好是两对家庭成员的概率P ＝39＝13.。
中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(十一)几何探究题 类型2
安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习（十一）几何探究题类型2 与相似三角形有关的几何探究题试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习（十一）几何探究题类型2 与相似三角形有关的几何探究题试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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类型2 与相似三角形有关的几何探究题：5．（2012·安徽)如图1,在△ABC中,D，E，F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC＝a，AC＝b,AB＝c.(1）求线段BG的长；(2)求证:DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.解:(1)∵D，E，F分别是△ABC三边中点，∴DE∥错误!AB，DE=错误!AB，DF∥错误!AC，DF=错误! AC.又∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，即BD＋DG＋BG＝AC＋C D＋DG＋AG，∴BG＝AC＋AG。
∵BG＝AB－AG，∴BG＝错误!＝错误!.（2）证明：BG＝错误!，FG＝BG－BF＝错误!－错误!＝错误!，∴FG＝DF。
∴∠FDG＝∠FGD.又∵DE∥AB，∴∠EDG＝∠FGD.∴∠FDG＝∠EDG.∴DG平分∠EDF。
(3）证明：在△DFG中,∠FDG＝∠FGD，∴△DFG是等腰三角形．∵△BD G与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形．∴BD＝DG。
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
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类型2 几何问题的多结论判断题10．(2016·临沂)如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD ，BD ，则下列结论： ①AC ＝AD ；②BD⊥AC；③四边形ACED 是菱形．其中正确的个数是(D )A ．0B ．1C ．2D ．311．(2016·南充)如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD ，BE ，CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M ，N ，给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN 2＝AM·AD；③MN＝3－5；④S △EBC ＝25－1.其中正确结论的个数是(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4提示：根据正五边形的性质得到∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN ＝108°－36°＝72°，∠ANE ＝36°＋36°＝72°得到∠AEN＝∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE ＝AN ，同理DE ＝DM ，根据相似三角形的性质得到AE AD ＝AM AE ，等量代换得到AN 2＝AM·AD；根据AE 2＝AM·AD，列方程得到MN ＝3－5；过E 作EH⊥BC 于点H ，在正五边形ABCDE 中，由于BE ＝CE ＝AD ＝1＋5，得到BH ＝12BC ＝1，根据勾股定理得到EH ＝（1＋5）2－12＝5＋25，根据三角形的面积得到结论．12．(2016·德州)在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC(或它们的延长线)于点M ，N ，设∠AEM＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN ；②∠AME＝∠BNE；③BN －AM ＝2；④S △EMN ＝2cos 2α.上述结论中正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4提示：①作辅助线EF⊥BC 于点F ，然后证明Rt △AME ≌Rt △FNE ，从而求出AM ＝FN ，所以BM 与CN 的长度相等； ②由①Rt △AME ≌Rt △FNE ，即可得到结论正确；③经过简单的计算得到BN －AM ＝BC －CN －AM ＝BC －BM －AM ＝BC －(BM ＋AM)＝BC －AB ＝4－2＝2；④根据S △EMN ＝S 四边形ABNE －S △AME －S △MBN ，再利用线段间的转换即可得证．13．(2016·合肥蜀山区二模)如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.给出以下几个结论：①如果AD 是BC 边中线，那么CE 是AB 边中线；②AE 的长度为c ＋a －b 2；③BD 的长度为b ＋a －c 2； ④若∠BAC＝90°，△ABC 的面积为S ，则S ＝AE·BD ，其中正确的结论是②③④．(将正确结论的序号都填上)提示：由中线的定义，可得到AB ＝AC ，但AB ＝AC 时未必有AC ＝BC ，可判断①；△ABD 与△ACD 的周长相等，我们2 可得出：AB ＋BD ＝AC ＋CD ，等式的左右边正好是三角形ABC 周长的一半，有AB ，AC 的值，那么就能求出BD 的长了，同理可求出AE 的长，可判断②③；把AE 和BD 代入计算，结合勾股定理可求得S ，可判断④；则可得出答案．14．(2016·安徽十校联考四模)如图，在正方形ABCD 中，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：①DQ 与半圆O 相切；②PQ BQ ＝43； ③∠ADQ ＝2∠CBP；④cos ∠CDQ ＝35. 其中正确的是__①③__(请将正确结论的序号填在横线上)．提示：①连接OD ，OQ ，证明△AOD 与△QOD 全等即可；②连接AQ ，借助三角函数和勾股定理求出PQ ，BQ 的长度即可求解；③借助①②的相关结论，结合三角形外角的性质和同角的余角(补角)相等即可求解；④过点Q 作QH⊥CD，垂足为H ，求出三角形DQH 的三边长度即可确定相关的三角函数．15．(2016·濉溪一模)如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G.连接GF ，下列结论：①∠AGD ＝112.5°；②tan ∠AED ＝2＋1；③S △AGD ＝2S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE＝2OG. 其中正确结论的序号是①②③④⑤(在横线上填上你认为所有正确结论的序号)．提示：①根据折叠的性质得出∠ADG＝∠ODG，再在△AGD 中用三角形的内角和即可求出∠AGD 的度数；②设AE ＝x ，则BE ＝2x ，∴AD ＝AB ＝x ＋2x ＝(1＋2)x ，∴tan ∠AED ＝AD AE ＝2＋1； ③设GF ＝AE ＝1，由②可知AD ＝2＋1，根据等腰直角三角形的性质求得OD 和OF ，由△OGD 与△FGD 同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得S △FGD ＝2S △OGD ，根据△FGD≌△AGD，得出S △AGD ＝2S △OGD ； ④根据同位角相等得到EF∥AC，GF ∥AB ，由折叠的性质得出AE ＝EF ，即可判定四边形AEFG 是菱形；⑤通过△DEF∽△DOG 得出EF 和OG 的比例关系，再在Rt △BEF 中求出BE 和EF 的关系，进而求出BE 和OG 的关系．。
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安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习一选填题重难点题型突破重难点题型（二）多结论判断题类型1 代数问题的多结论判断题试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习一选填题重难点题型突破重难点题型（二）多结论判断题类型1 代数问题的多结论判断题试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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重难点题型(二）多结论判断题类型1 代数问题的多结论判断题1．（2016·河北)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b,对于以下结论：甲：b－a〈0；乙:a＋b>0;丙：｜a｜〈｜b|；丁：错误!>0。
其中正确的是（C)A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．（2016·北京）为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80％，15%和5％。
为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3)，绘制了统计图，如图所示下面有四个推断：①年用水量不超过180 m3的该市居民家庭按第一档水价交费;②年用水量超过240 m3的该市居民家庭按第三档水价交费;③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180之间；④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180.其中合理的是(B)A．①③B．①④C．②③D．②④3．定义运算，a⊗b＝错误!＋错误!，比如2⊗3＝错误!＋错误!＝错误!，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗（－3）＝错误!；②此运算中的字母均不能取零;③a⊗b＝b⊗a；④a⊗(b＋c ）＝a ⊗b ＋a ⊗c ，其中正确是(B )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④提示:采用特殊值法．如果字母取零,则所定义的运算中a ，b 没有意义，所以②是正确的，则C ，D 可以排除；观察A ，B 选项，∵③的式子比较简单，选择判断该等式是否正确,b ⊗a ＝错误!＋错误!＝原式,所以③正确，选B 。
2017年安徽省中考数学专题复习(二)方程、不等式的解法(含答案)
最大最全最精的教育资源网专题复习 (二)方程、不等式的解法种类 1方程(组)的解法1．(2015·州广)解方程：5x＝3(x－4)．解：去括号，得 5x＝ 3x－ 12.移项，得 5x－ 3x＝－ 12.归并同类项，得 2x＝－ 12.系数化为1，得 x＝－ 6.2x＋ y＝4，①2．(2015·阳邵)解方程组：x－ y＝－ 1.②解：①＋② ，得 2x＋ y＋ x － y＝ 4－ 1.解得 x＝ 1.把 x＝ 1 代入① ，得 2＋ y＝ 4.解得 y＝ 2.x＝ 1，∴原方程组的解为y＝ 2.3．解方程：x2－4x＝6.解：两边都加上4，得 x2－ 4x＋ 4＝ 6＋ 4，即 (x－ 2)2＝ 10.∴x－ 2＝± 10.∴原方程的解为x1＝ 2＋10， x2＝ 2－10.2x－ 14．解方程：x－ 3 ＝3.解：方程两边同乘(x－ 3)，得 2x－ 1＝3x－ 9.解得 x＝ 8.查验：当x＝ 8 时， x－ 3≠ 0，∴ x＝ 8 是原分式方程的解．6x＝ 3－ y，①5．解方程组：3x＋ y＝ 2.②解：由① ，得 6x＋ y＝ 3.③②× 2－③，得 y＝1.把 y＝ 1①，得 x＝13.x＝1，∴原方程组的解为3y＝ 1.6．(2015·州兰)解方程：x2－1＝2(x＋1)．解：原方程能够化为(x＋1)(x － 1)－ 2(x ＋ 1)＝ 0，左侧分解因式，得 (x＋ 1)(x － 3)＝ 0，全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载|最大最全最精的教育资源网∴ x ＋ 1＝ 0 或 x － 3＝0.∴原方程的解为 x 1＝－ 1， x 2＝ 3.2 － 1＝ 37． (2016 阜·阳二模 )解方程： 3x － 1 6x － 2. 解：方程两边同乘 2(3x － 1)，得 4－ 2(3x － 1)＝ 3.去括号 ，得 4－ 6x ＋2＝ 3.移项、归并同类项 ，得 6x ＝3.解得 x ＝12.查验：当 x ＝ 12时， 2(3x － 1)≠0，∴ x ＝ 1是原分式方程的解．2种类 2 不等式 (组)的解法9． (2016 ·山舟 )解不等式： 3x>2(x ＋ 1)－ 1.解：去括号 ，得 3x>2x ＋ 2－ 1.移项 ，得 3x － 2x> 2－ 1.归并同类项 ，得 x>1.∴不等式的解为 x>1.2x ＋ 1<x ＋ 5，① 10． (2016 ·安淮 )解不等式组： 4x>3x ＋ 2.②解：解不等式① ，得 x<4.解不等式② ，得 x>2. ∴不等式组的解集为11． (2016 ·京北 )解不等式组：2x ＋ 5>3（ x － 1）， ① x ＋ 7 4x> 2 .②解：解不等式① ，得 x<8.解不等式② ，得 x>1.∴不等式组的解集为 1<x<8.12． (2016 ·州苏 )解不等式 2x － 1>3x － 1，并把它的解集在数轴上表示出来． 2解： 4x － 2>3x － 1.x>1.这个不等式的解集在数轴上表示以下：2x<5 ，① 13． (2016 ·州广 )解不等式组： 并在数轴上表示解集．2＜ x ＜4.3（ x＋2）≥ x＋4，②全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载|最大最全最精的教育资源网解：解不等式①，得x<52.解不等式② ，得 x≥－ 1.解集在数轴上表示为3x＋ 1≤ 2（ x＋ 1），①14．(2016·京南)解不等式组：并写出它的整数解．－ x<5x ＋ 12，②解：解不等式①，得x≤ 1.解不等式② ，得 x> －2.因此不等式组的解集是－2<x ≤1 ，该不等式组的整数解是－1， 0，1.全国中小学教育资源门户网站|天量课件、教学设计、试卷、教案免费下载|。
中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习一 选填题重难点题型突破 重难点题型(一)函数图象题 类型
安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习一选填题重难点题型突破重难点题型（一）函数图象题类型3 根据几何问题判断函数图象试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习一选填题重难点题型突破重难点题型（一）函数图象题类型3 根据几何问题判断函数图象试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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类型3 根据几何问题判断函数图象7．(2016·西宁)如图，点A的坐标为（0,1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ΔABC,使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（A）8．（2016·马鞍山二模)如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x,则y与x的函数图象大致是(A）9．（2016·泰安）如图,正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合),且∠APD＝60°,PD交AB于点D。
设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是(C）10．(2016·濉溪一模)如图,正方形ABCD的边长为3 cm,动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动,到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1 cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x(s），△BPQ的面积为y(cm2）,则y关于x的函数图象是(C）。
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专题复习(四) 规律探索题
类型1 数式的变化规律
1．(2016·邵阳)如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y
与n之间的关系是(B)
A．y＝2n＋1 B
．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋n D
．y＝2n＋n＋1
2．(2016·娄底)“数学是将科学现象升华到本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的
化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子
来表示(A)
A．CnH2n＋2 B．CnH
2n
C．CnH2n－n D．CnH
n＋3
3．(2016·合肥十校联考一模)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把
第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，则an＋an＋1＝(D)
A．n2＋n B
．n2＋n＋1
C．n2＋2n D
．n2＋2n＋1
4．(2015·孝感)观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2 015
＝1_016_064或1_0082．
5．(2015·安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，
猜测x，y，z满足的关系式是xy＝z．
6．(2016·桐城模拟)计算下列各题：52＋24，62＋28，72＋32，82＋36，…，观察所得结果，总结存在的规
律，应用得到的规律可得2 0162＋m＝n，则m＝8_068，n＝2_018．
7．(2016·合肥高新区一模)观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，…，
解答下列问题：3＋32＋33＋…＋32 015的末位数字是9．
8．(2016·合肥六大名校押题卷)观察下列等式：
①11×2×3＝23－12，②12×3×4＝38－13，
③13×4×5＝415－14，….
按照此规律，解决下列问题：
(1)完成第④个等式；
(2)写出你猜想的第m个等式(用含m的式子表示)，并证明其正确性．
解：(1)14×5×6＝524－15.
(2)1m（m＋1）（m＋2）＝m＋1（m＋1）2－1－1m＋1.
证明：
右边＝（m＋1）2－[（m＋1）2－1]（m＋1）[（m＋1）2－1]
＝1（m＋1）（m2＋2m）
＝1m（m＋1）（m＋2）
＝左边．
∴1m（m＋1）（m＋2）＝m＋1（m＋1）2－1－1m＋1.
9．(2016·阜阳九中三模)观察下列关于自然数的等式：
32－4×1＝4＋1 ①
52－4×2＝16＋1 ②
72－4×3＝36＋1 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第④个等式：(9) 2－4×(4)＝(64)＋1；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
解：(2n＋1)2－4n＝(2n)2＋1.
验证：左边＝(2n＋1)2－4n
＝4n2＋4n＋1－4n
＝4n2＋1＝右边．
∴等式成立
类型2 图形的变化规律
10．(2016·宁国调研)将一些相同的图形“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“”的个数，若第n
个图形中有272个“”，则n的值是(C)
A．88 B．89 C．90 D
．91
11．(2016·阜阳颍泉区二模)如图，图①由4个正三角形和3个正六边形拼成，图②由8个正三角形和5个正六边
形拼成，图③由12个正三角形和7个正六边形拼成，…依此规律，则第n个图案中，正三角形和正六边形的个数
分别是(D)
A．n2＋n＋2，2n＋1 B
．2n＋2，2n＋1
C．4n，n2－n＋3 D
．4n，2n＋1
12．(2016·内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…
在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2 016B2 016C2 016D2 016的边长
是(D)
A.122 015 B
.122 016
C.332 016 D
.332 015
13．(2016·宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的，图案①需8根火柴棒，图案②需15根
火柴棒，…，按此规律，图案⑦需50根火柴棒．
14．(2016·合肥十校联考)观察下列图形规律：当n＝11时，图形“△”的个数是“●”的个数的2倍．
…
15．(2016·马鞍市当涂县五校联考)如图，一个3×2的矩形(即长为3，宽为2)可以用两种不同方式分割成3或6
个边长是正整数的小正方形，即小正方形的个数最多是6个，最少是3个．
(1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最少是4个，最多是10个；
(2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最少是5个，最多是14个；
(3)一个(2n＋1)×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是4n＋2个，最少是n＋2个．(n是正整数)
16．(2016·马鞍山二模)如图，将边长分别为1，2，3，5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次
记作矩形①，矩形②，矩形③，矩形④，…那么按此规律．
(1)组成第n个矩形的正方形的个数为n＋1个；
(2)求矩形⑥的周长．
解：①的周长为2×(1＋2)，②的周长为2×(2＋3)，③的周长为2×(3＋5)，④的周长为2×(5＋8)，由此可推出
第n个矩形的宽为第n－1个矩形的长，第n个矩形的长为第n－1个长方形的长和宽的和．
∴：第⑤个矩形的周长为2×(8＋13)，第⑥个矩形的周长为2×(13＋21)＝68.
17．(2016·芜湖南陵县一模)正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A，B，C，D把原正
方形分割成一些三角形(互相不重叠)．
(1)填写下表：
正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … n
分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2(n＋1)
(2)原正方形能否被分割成2 016个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明理由．
解：能.1 007个点．设点数为n，则
2(n＋1)＝2 016，解得n＝1 007.
答：原正方形能被分割成2 016个三角形，此时正方形ABCD内部有1 007个点．
类型3 点的坐标规律
18．(2016·河南)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则
第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)
A．(1，－1) B
．(－1，－1)
C．(2，0) D
．(0，－2)
19．(2016·岳阳)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…均在格点上，
其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，
根据这个规律，点P2 016的坐标为(504，－504)．
20．(2016·鄂州)如图，直线l：y＝－43x，点A1坐标为(－3，0)．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O
为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长
为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2 016的横坐标为－52 01532 014．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为(1，0)，将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将
其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得
M2M1⊥OM1，得到线段OM2；…如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…，根据以上规律，请直接写出OM2 016的长度为
21_008．
22．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换
成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是(16，3)．
(2)若按(1)中找到了规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找
出规律，推出Bn的坐标是(2n＋1，0)．