第十一章 级 数

第十一章 无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与Leibniz 定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛数的求法 初等函数的幂级数展开式考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及与收敛的必要条件2.掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法4.掌握交错级数的Leibniz 判别法5.了解任意项级数的绝对收敛域条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念（数三不要求）7.理解幂级数收敛半径的概念并掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及其收敛域的求法 8.了解幂级数在其收敛区间内的性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数9.了解函数展开为Taylor 级数的充分必要条件10.掌握α））和（（、、、x 1x 1In cosx sinx e x ++的Maclaurin 展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数重点内容与常见题型1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛2.求幂级数的收敛半径、收敛域3.求幂级数的和函数或求数项级数的和4.将函数展开为幂级数（包括写出收敛域）5.综合证明题11.1 数项级数的概念和敛散性的判别法一．基本内容1.数项级数的概念和基本性质 式子∑∞=⋯++⋯++1n nn 21uu u u 或简写为叫做无穷级数，n u 叫做级数的一般项级数的前n 项的和n 21n u u u S +⋯++=称为级数∑∞=1n nu的部分和若部分和数列⋯⋯，，，n 21S S S 的极限存在，则称级数∑∞=1n nu收敛，并称此极限值S=n n S lim +∞→为级数∑∞=1n nu的和，记作S=∑∞=1n nu若n n S lim +∞→不存在，则称此级数发散，发散的级数没有和基本性质： （1）设0k ≠，则∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；且当其收敛时，∑∞=1n nku=k∑∞=1n nu（2）收敛级数的和（差）仍收敛，且有∑∑∑∞=∞=∞=±=±1n 1n 1n nn n n vu v u ）（（3）在级数中加入或去掉有限项，不影响级数的敛散性 （4）收敛级数加括号后所成新级数仍收敛，且其和不变 （5）级数∑∞=1n nu收敛的必要条件是0u lim n n =∞→注：对于级数，以下是一些基本事实： ①若两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv，一个收敛，一个发散，则∑∞=±1n n n v u ）（发散；若∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均发散，则级数∑∞=±1n n n v u ）（的敛散性不定②若级数加括号后所得的新级数发散，则原级数必发散；级数加括号后所得的新级数收敛，原级数的收敛性不定③性质（5）只是级数收敛的必要条件，而0u lim n n ≠∞→或不存在时，级数∑∞=1n nu 必发散.这一点是经常使用的2.正项级数审敛法（充分条件）若0u n ≥，则称∑∞=1n nu为正项级数.正项级数的特点是部分和序列{}nS 是单调递增的，而单增序列收敛⇔序列有上届，由此可见：正项级数收敛⇔部分和序列有上届.这正是正项级数敛散性判别法的基础（1）比较审敛法：若），（0c cv u 0n n >≤≤，则{发散发散；收敛收敛∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⇒⇒1n n1n n1n 1n nnv u u v∙常用的比较级数为等比级数（又称为几何级数）和p 级数等：等比级数时发散时收敛；），当，（1|q |1|q |0a aq 0n n≥<≠∑∞=P 级数时发散时收敛；，1p 1p n 11n p≤>∑∞=级数时发散时收敛；，1p 1p n nIn 12n p≤>∑∞= ∙比较审敛法极限形式为：若 =∞→nnn v u lim，则当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同时收敛或同时发散当0=l 时，∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=1n nu收敛当+∞=l 时，∑∞=1n nv发散⇒∑∞=1n nu发散注：由比较判别法可推出如下的快速判别法：设0,0>>n n v u ，由比较判别法的极限形式可知：若当∞→n 时，n n v u 与是等价无穷小时，则正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同敛散；若当∞→n 时，n n v u 与是高阶无穷小，∑∞=1n nv收敛，则正项级数∑∞=1n nu收敛（2）比值审敛法（D ’Alembert 判别法）若ρ=+∞→nn u u 1n lim，当1<ρ时，∑∞=1n n u 收敛； 当1>ρ时，∑∞=1n nu发散；当1=ρ时，∑∞=1n nu敛散性不能确定（3）根值审敛法（Cauchy 判别法） 若ρ=∞→n n lim n u ，当1<ρ时，∑∞=1n nu收敛；当1>ρ时，∑∞=1n nu发散；当1=ρ时，∑∞=1n nu敛散性不能确定注意：比值判别法与根值判别法是充分但非必要的，即由∑∞=1n nu（0≥n u ）收敛不能推出ρ=+∞→nn u u 1n lim<1或ρ=∞→n n lim n u <13.交错级数的莱布尼茨审敛法 设交错级数()0,11>-∑∞=nn nnuu ，则当1+≥n n u u ，且0lim =∞→n n u 时级数收敛，且其和1u S ≤，其余项1r 的绝对值1+≤n n u r4.任意项级数的绝对收敛与条件收敛 若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu也收敛，称∑∞=1n nu是绝对收敛若∑∞=1n nu收敛而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛注： 任意项级数审敛法对交错级数适用数项级数敛散性判别的程序如下： 注：①对一般项级数∑∞=1n nu，如果用正项级数的比值判别法或根值判别法判定，若得∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛；若得∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu发散②在数项级数敛散性判别时，要注意灵活运用级数的有关性质 二．解题方法、技巧与例题分析例 11.1.1（1987，I ，II ）选择题：设常数k>0，则级数()∑∞=+-121n n nn k （A ）发散 （B ）绝对收敛（C ）条件收敛 （D ）收敛或发散与k 的取值有关 【 】解①：当∞→n 时，2n n k +与n 1是等价无穷小，所以∑∞=+12n n nk 发散 又nn k n n k 122+=+单减，由Leibniz 法则可知，原级数条件收敛，故应选（C ） 解②：因()()()n n k n n k n n n111122-+-=+-，又()∑∞=-121n n n k 绝对收敛，()∑∞=-111n n n 条件收敛，所以原级数条件收敛，故应选（C ）例 11.1.2（1992，I ，II ）选择题：级数()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--1cos 11n n n a （常数0>a ） （A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛 （D ）收敛性与a 有关 【 】解：因为当∞→n 时，n a cos 1-与222n a 是等价无穷小，而级数∑∞=1222n na 收敛，所以原级数绝对收敛，故应选（C ）例 11.1.3（1995，I ，II ）选择题：设()⎪⎭⎫⎝⎛+-=n In u nn 111，则级数 （A ）∑∞=1n n u与∑∞=12n nu都收敛 （B ）∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散（C ）∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散 （D ）∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛 【 】解：因为当∞→n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n In u n 11单减趋于０，而⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n In u n1122与n 1是等价无穷小，所以级数∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散，故应选（C ）例 11.1.4（1996，I ，II ）选择题：设()⋯=>3,2,10n a n ，且级数∑∞=1n na收敛，常数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πλ，则级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12tan 1n n n a n n λ（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）收敛性与λ有关 【 】 解：因为正项级数∑∞=1n n a收敛，所以∑∞=12n na也收敛，又当∞→n 时，n a n n 2tan⎪⎭⎫⎝⎛λ与n a 2λ是等价无穷小，所以级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12tan 1n n n a n n λ绝对收敛，故应选（A ） 例 11.1.5（1994，I ，II ，IV ）设常数0>λ，且级数∑∞=12n na收敛，则级数()∑∞=+-121n nn n a λ（A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛 （D ）收敛性与λ有关 【 】解：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+λλ222121n a n a n n，又∑∞=12n n a 和∑∞=+121n n λ收敛，所以原级数绝对收敛，故应选（C ）例 11.1.6（2012，III ）选择题：已知级数()∑∞=-11sin 1n nn n α绝对收敛，()∑∞=--121n nnα条件收敛，则常数α的范围是（A ）210≤<α （B ）121≤<α （C ）231≤<α （D ）223<<α 【 】解：因为()∑∞=-11sin1n n nn α绝对收敛，且2111sin -ααn n n ～，所以23>α，再由()∑∞=--121n n nα条件收敛可知2<α，故应选（D ）例 11.1.7（1996，IV ）选择题：下列各选项正确的是 （A ）若∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 都收敛，则()∑∞=+12n n n v u 收敛（B ）若∑∞=1n nn vu 收敛，则∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛（C ）若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥（D ）若级数∑∞=1n nu收敛，且()⋯=≥,2,1n v u n n ，则级数∑∞=1n nv也收敛 【 】解：因为()()2222n n n n v u v u +≤+，所以()∑∞=+12n n n v u 收敛，故应选（A ） 注：对（B ）（C ）（D ）可举反例如下：（B ）取()nu n 11-=，n v n 1=；（C ）取11+=n u n ；（D ）取21n u n =，1-=n v ，注意：本题容易错选（D ），要注意比较判别法只对正项级数成立例11.1.8（1991，IV ）选择题：设()⋯=<≤,2,110n na n ，则下列级数中肯定收敛的是 （A ）∑∞=1n na（B ）()∑∞=-11n nna（C ）∑∞=1n n a （D ）()∑∞=-121n n na 【 】解：因为()22211n a a n nn≤=-，而级数∑∞=121n n 收敛，所以()∑∞=-121n n n a 绝对收敛，故应选（D ）例11.1.9（2000，I ）选择题：设级数∑∞=1n nu收敛，则必收敛的级数为（A ）()∑∞=-11n n nn u （B ）∑∞=12n n u（C ）()∑∞=--1212n n n u u（D ）()∑∞=++11n n n u u 【 】解：因为∑∞=1n nu收敛，所以∑∞=+11n n u收敛，因而级数()∑∞=++11n n nu u收敛，故应选（D ）注：对（A ）（B ）（C ）可举反例如下：（A ）取()Inn u nn 11-=；（B ）取()nu n n 11-=；（C ）取()n u n n 111--=，则nn u u n n 21121212+-=+-注意：对正项级数，当∑∞=1n n u 收敛时，级数∑∞=12n n u 、∑∞=-112n n u 、∑∞=12n n u 和∑∞=1n nn u 均收敛，但对一般级数这个结论不成立例11.1.10（2002，I ）选择题：设()⋯=≠,3,2,10n u n ，且1lim=∞→nn u n，则级数()∑∞=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111111n n nn u u （A ）发散 （B ）绝对收敛（C ）条件收敛 （D ）收敛性根据所给条件不能确定 【 】 解：由于()()∑=++++-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk n n n nk u u u u 111111111111， 注意到1lim=∞→n n u n ，可推出01lim =∞→nn u ，所以()∑∞=++∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11111111limn n nk n u u u因此()∑∞=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111111n n nn u u 收敛，又由 2lim 11lim11=+=⋅++∞→+∞→n n n n n n u nu n n u u ，所以级数∑∞=++1111n n nu u 发散，因此应选（C ） 评注：若利用n u 1与n 1是等价无穷小及()∑∞=-111n n n 条件收敛，选出（C ），尽管结果正确，但是思路却是错误的，因为我们并不知道111++n n u u 是单减的，不能利用Leibniz 判别法.事实上，如果将题干设为：设()⋯=≠,3,2,10n u n ，且1lim =∞→nn u n ，则级数()∑∞=+-1111n n n u （ ） 选项不变，则应选（D ）.可用如下反例说明（C ）不正确，如当∞→n 时，()nnInn n n 1111～+-+， 但()∑∞=+-1111n n n 条件收敛，而()∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11111n n nInn n 发散 例11.1.11（1998，I ）设正项数列{}n a 单调减少，()∑∞=-11n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由解：由于正项数列{}n a 单调减少，n n a ∞→lim 存在，记这个极限为a ，则0≥a .若0=a ，则由Leibniz 法则可知级数()∑∞=-11n nna收敛，与题设矛盾，故0>a .于是由11111lim 11lim <+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→a a a n n n nn n可知，级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 收敛例11.1.12（1997，I ）设21=a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a 1211，()⋯=,2,1n .证明： （1）n n a ∞→lim 存在（2）级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111n n n a a 收敛 证明：（1）因为111211=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a ，则n a 有下界.又由于1112121≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a ， 则n a 单调减少，因此n n a ∞→lim 存在(2)由（1）知 111110++++-≤-=-≤n n n n n n n a a a a a a a 记 11)1(1++-=∑-=+n n n n a a a a s n n 因1lim +∞→n n a 存在，故级数∑∞=+-11)(n k k a a 收敛，故比较判别法可知级数∑∞=+-11)1(n n na a 收敛.例11.1.13(1994,Ⅰ,Ⅱ)设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续倒数，且0)(lim 0=→x x f x ，证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛. 证明：由于0)(lim0=→xx f x 可知0)0(=f ，又0)(lim )0()(lim)0(00==-='→→xx f x f x f f x x 则由Taylor 公式可知当∞→n 时，有)1(1)0(21)1(1)0(211)0()0()1(2222nn f n n f n f f n f οο+''=+''+'+=， 又由于∑∞=121n n 收敛，所以级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.例11.1.14（2004，Ⅰ）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数，证明此方程存在惟一的正实数根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛证明：令[)+∞∈-+=,0,1)(x nx x x f n n ，则0)(1>+='-n nx x f n n ，即)(x f n 在[)+∞,0上单调增加.又由于1)0(-=n f ， 0)1()1(>=nn nn f ,由于1>α,所以ααn x n 10<<，因此级数∑∞=1n n x α收敛.注：注意到 021)21()21(≤-=n n n n f 可知n x n n 121<≤，于是当1≤α时级数∑∞=1n nx α发散. 11.2 幂级数（B ）基本内容二．函数项级数的概念及其收敛域定义1：设)(1x u ，)(2x u ，)(3x u ，…，)(x u n ，…为定义在区间Ⅰ上的函数序列，，则称级数)(1x u n n ∑∞=为定义在区间Ⅰ上的函数项级数.定义2：设0x 是区间Ⅰ上一点，若常数项级数)(01x u n n∑∞=收敛，则0x 称为级数)(1x u n n∑∞=的收敛点，收敛点的全体称为函数项级数)(1x u n n∑∞=的收敛域；使)(1x u n n∑∞=发散的点x 的全体称为函数项级数)(1x u n n ∑∞=的发散域.函数项级数)(1x u n n∑∞=在它的收敛域内是有和的，它是x 的函数)(x S ，称为函数项级数的和函数)()()()(1x u x r x S x S n n n n ∑∞==+=其中)()()()(21x u x u x u x S n n +⋅⋅⋅++=——前n 项部分和；++=++)()()(21x u x u x r n n n …——余项；)()(lim x S x S n n =∞→；0)(lim =∞→x r n n .函数项级数)(1x u n n ∑∞=收敛域的求法3.用比值法（或根值法）求)(x ρ，即)()()(lim1x x u x u n n n ρ=+∞→ 或 )()(lim x x u n n n ρ=∞→；（2）解不等式1)(<x ρ，求出)(1x u n n ∑∞=的绝对收敛点；（3）考察满足1)(=x ρ的点x 处级数的收敛性； （4）写出函数项级数的收敛域.2.幂级数的收敛半径、收敛域及和函数 定义3：形如nn nx x a )(0-∑∞=的级数称为0x x -的幂级数，其中),2,1,0(⋅⋅⋅=n a n 为常数，称为幂级数的系数.当00=x 时，nn n xa ∑∞=0称为x 的幂级数.定理1：（Abel 定理） （4）若幂级数nn n xa ∑∞=0在1x x =处发散，则对于||||1x x >的x ，nn n xa ∑∞=0发散.（5）若幂级数nn n xa ∑∞=0在1x x =处发散，则对于||||1x x >的x ，nn n xa ∑∞=0发散.根据Abel 定理，若幂级数nn n xa ∑∞=0存在非零的收敛点，也存在发散点，则存在一个实数R （+∞<≤R 0）,使得当R x <||时，nn n xa ∑∞=0绝对收敛；当R x >||时，nn n xa ∑∞=0发散；R 称为幂级数nn n xa ∑∞=0的收敛半径.区间（R x R x +-00,）称为级数的收敛区间.当R x ±=||时，nn n xa ∑∞=0可能收敛也可能发散.由R x ±=处的收敛性决定的区间（-R,R ），[-R,R ），（-R,R]或[-R,R]为幂级数nn n xa ∑∞=0的收敛域.如果幂级数n n n x a ∑∞=0只在0=x 点收敛，规定其收敛半径为0=R .如果幂级数nn n xa ∑∞=0在整个数轴上收敛，规定其收敛半径为+∞=R .幂级数n n nxa ∑∞=0的收敛域求法：（1）求收敛半径.使用比值法或根值法，如果l a a nn n =+∞→1lim或l a n n n =∞→lim ，则lR 1=；由此可得收敛区间；（2）讨论端点的敛散性.如果+∞<<R 0，讨论nn n xa ∑∞=0在R x ±=的敛散性；（3）写出幂级数的收敛域.3.幂级数的运算性质 （1）四则运算： 设)(10x S xa nn n =∑∞=，收敛半径为1R ,)(20x S xb nn n =∑∞=，收敛半径为2R ，则)()()(210x S x S x b x a x b an n n nn n nn n n±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=其收敛半径为),min(21R R ；n n n n n nn nnn nx b a b a ba xb x a ∑∑∑∞=-∞=∞=+⋅⋅⋅++=⋅0120)( 收敛半径为),min(21R R . (2）分析运算和函数的连续性：幂级数nn n xa ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛区间),(R R -内是连续的；如果幂级数nn n xa ∑∞=0在R x =或)(R x -=处也收敛，则)(x S 在R x =处左连续（或在Rx -=处右连续）.②幂级数nn n xa ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛区间),(R R -内是可导的，且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a xa x S ，同时求导后得到的幂级数收敛半径不变. ③幂级数nn n xa ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛区间),(R R -内是可积的，且有逐项积分公式10000001)(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n n n x nn xn n n xx n a dt t a dt t a dt t S 同时逐项积分后得到的幂级数收敛半径不变.25.函数展开成幂级数 （E ）Taylor 级数 设)(x f 在点0x 的某一邻域内有任意阶导数，则幂级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞= 称为)(x f 在点0x 处的泰勒级数. 特别的，若00=x ，则级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=∑∞=nn n n n x n f x f x f f x n f !)0(!2)0(!1)0()0(!)0()(0)( 称为)(x f 的Maclaurin 级数.注：只要)(x f 在点0x 处的某一邻域内具有任意阶导数，就有上面的幂级数，这里的幂级数是否收敛，当收敛时，是否收敛于原来函数)(x f 都是不知道的.（F ）函数展开成幂级数的充要条件函数)(x f 能在),(00R x R x +-内展成幂级数的充分必要条件是0)(lim =∞→x R n n ，其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 和0x 之间是)(x f 的Taylor 公式的Lagrange 型余项.若函数)(x f 可展成幂级数，则其展开式是唯一的，它就是)(x f 的Taylor 级数.由于)(x f 展开成幂级数的唯一性，所以我们可以用不同的方法求)(x f 的幂级数展开式.（G ）幂级数展开的求法①直接法：计算!)(0)(n x f a n n =，由此写出)(x f 的Taylor 级数，并证明0)(lim =∞→x R n n .②间接法：由于直接法通常比较复杂，所以幂级数展开多用间接法，也就是利用已知的幂级数展开式，并通过变量替换、四则运算、逐项求导或逐项积分等方法，得到函数的展开式.（H ）常用的幂级数展开式：①∑∞==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-02111n n nx x x x x (11<<-x )②∑∞==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=02!!!21n nn xn x n x x x e （+∞<<∞-x ）③⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n)!12()1(120+-=+∞=∑n x n n n（+∞<<∞-x ）④⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n )!2()1(20n x nn n∑∞=-= (+∞<<∞-x )⑤⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+-)!()1(!3!2)1ln(132n x x x x x nn )!()1(11n x nn n ∑∞=--=(11≤<-x ) ⑥⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+nmx n n m m m x m m mx x !)1()1(!2)1(1)1(2 (11<<-x )该级数在端点1±=x 处的收敛性，视m 而定. （B ）解题方法、技巧与例题分析关于幂级数，常见的题型有：幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数求和，函数展开为幂级数.例11.2.1(1988，I ，Ⅱ)选择题：若nn n x a )1(1-∑∞=在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（1）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定【 】解：由于nn n x a )1(1-∑∞=在1-=x 处收敛，则当2|11|1=--<-｜｜x 时，幂级数绝对收敛，而2112<=-｜｜，则幂级数在2=x 处绝对收敛.故应选择（B ）. 例11.2.2(2011.I)设数列{n a }单调减少，),2,1(,0lim 1===∑=∞→n a s a nk k n n n 无界，则级数nn n x a )1(1-∑∞=的收敛域为（A ）(-1,1] (B)[-1,1) (C)[0,2) (D)(0,2]【 】解：有数列单间趋于0可知0≥n a .于是级数∑∞=1n na发散，nn n a )1(1-∑∞=收敛，从而幂级数nn n x a )1(0-∑∞=的收敛域为[0,2).应选C.例11.2.3(1995，I ，II)填空题：幂级数121)3(2-∞=∑-+n n nn x n的收敛半径R=______. 解①：31|))3(2())3(2)(1(|lim ||lim 11=-+-++=+∞→∞→+n n n n n n n n n n a a .由于该幂级数缺偶次项，则幂级数收敛半径为3=R . 解②：令12)3(2)(+-+=n n n n x n nx u ，则2131|)()(|lim x x u x u n n n =+∞→. 根据D ’Alembert 判别法可知，当12<x ３１时原级数收敛，即3<｜｜x 时，原级数收敛，故收敛半径为３.评注：本题很容易出现错误的是，收敛半径填为3.由于本题中幂级数只有奇数次项，所以按常规方法求出收敛半径后方才时本题幂级数的收敛半径.解法 可以避免这种错误.例11.2.4(1997，I)填空题：设幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为3，则幂级数111-x +∞=∑n n nna ）（的收敛区间为______.解：由于（nn n xa ∑∞=0）'=∑∞=-11n n nxna ，可知幂级数11-∞=∑n n nxna 的收敛半径为3，从而可得幂级数11)1(-∞=-∑n n nx na 的收敛半径也为 3.因此可知11)1(+∞=-∑n n nx na 的收敛区间为（-2,4）.评注：本题的条件不能确定该级数在端点2-=x 和4=x 处的收敛性.例11.2.5(2000,I)求幂级数n x nn nn ∑∞=-+1)2(３１的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.解：由于31|))2(3)(1())2(3(|lim ||lim 111=-++-+=++∞→+∞→n n n n n n n n n n a a ，所以幂级数收敛半径为3，收敛区间（-3,3）.当3=x 时，因为n n n n n 211)2(33>⋅-+，且∑∞=11n n 发散，所以原级数在3=x 处发散. 当3-=x 时，由于n n n nn n n n n1)2(321)1(1)2(33-⋅-+--=⋅-+）（，且级数∑∞=-1)1(n nn 与n n nn n 1)2(321⋅-+∑∞=都收敛，所以原级数在3-=x 处收敛. 例11.2.6(2002,III)选择题：设幂级数nn n x a ∑∞=1与n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为35与31，则幂级数n n nn x b a∑∞=122的收敛半径为(A)5 (B)35(C)31 (D)51 【 】评注：此题为一道错题.事实上，若取nn n n b a 3,)53(==，则幂级数n n n x a ∑∞=1与∑∞=1n n n x b 的收敛半径分别为35与31，幂级数∑∑∞=∞==1122)51(n nn n n n n x x b a 的收敛半径为5. 若取nn a )53(=，则幂级数n n n x a ∑∞=1收敛半径为35；取n n b )53(=，（若n 为奇数），nn b 3=，（若n 为偶数），则由级数12112-∞=-∑n n n x b 的收敛半径为35，级数nn n x b 212∑∞=的收敛半径为31，可知幂级数nn n x b ∑∞=1的收敛半径为31.但是幂级数121212212-∞=--∑n n n n x b a 的收敛半径为31，幂级数∑∞=12222n n n b a 的收敛半径为5，可知幂级数∑∞=122n nn b a 的收敛半径为31. 还可以适当选取n a 和n b 满足题中条件，使幂级数nn nn x b a ∑∞=122的收敛半径为35或51或其他值.本题的参考答案为（A ），原因就在于利用了“由nn n xa ∑∞=1的收敛半径为R 得出R a a nn n 1lim1=+∞→”这个错误的结论.例11.2.7(1990,I)求幂级数∑∞=+012n nx n ）（的收敛域，并求其和函数.解：由于1121)1(2lim=+++∞=n n n ，则幂级数的收敛半径为1=R ，而当1±=x 时，原级数显然发散，故原函数的收敛域为（-1,1 ）.2)1(111)'11(211)'(2212x xx x x x x x x nx x n n n n nn nn n-+=-+-=-+=+=+∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=）（，（11<<-x ）.例11.2.8(2005,I)求幂级数n n n x n n 211))12(11(1∑∞=--+-）（的收敛区间与和函数.解：由于1)12(11)12)(1(11lim =-++++∞→n n n n n所以幂级数的收敛区间为（—1,1），且).1ln(arctan 21)1ln(1121)1()(2)(11221)1()12(11)1(22220222012111212211211x x x xx x dx x x xx xn dx x x x x n n x n n x x n n n n n n n n n n n n n n +-++=+-+++=---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎰⎰∑∑∑∑∑∞--∞=-∞=∞=-∞=-例11.2.9（1987年，1月）求幂级数∑∞=-11221n n nx n 的收敛域，并求其和函数. 解：由于212)1(21lim=+=∞→n n n n n ,则幂级数的收敛半径为R=2，在（—2,2）内收敛。