二次函数典型习题

二次函数典型例题
例1、已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．
分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：
解：此题可用以下四种方法求出解析式．
方法一：因为抛物线的对称轴是ｘ＝４，抛物线与ｘ轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax2＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c 的三元一次方程组，可解出a、b、c来．
方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以
由上面的方程组解出a、b、c．
方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有
y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来. 即
得出 . 所求二次函数解析式为
方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7．可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式
得:所求二次函数解析式为
.
例2、如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是 [ ]
A．b+c-a=0；B．b+c-a＞0；
C．b+c-a＜0；D．不能确定．
解：从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a＜0．当x=0时，y的值为正，所以c＞0．又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0．
综上分析知b+c-a＞0，应选B．
注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为
抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为，要根据图象具体分析才能得出正确结论．
例3、已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值．
解：方法一依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1．
因为x1，x2又是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2．由此得方程组
当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去．
当a=1，b=2时，二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2．
方法二因为二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数
的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不
同的点M，N．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以，解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x2+2x-2b+1和y=-x2-2x+b2-1．
依题意，令y=0得
x2+2x-2b+1=0，(1)
-x2-2x+b2-1=0，(2)
(1)+(2)得b2-2b=0，解得b1=0，b2=2．
以下解法同方法一．
注意：本题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x2，0)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解．
方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b的过程中把方程(1)
和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解:都是方程(1)和(2)的解,不妨设 ,同时也应有 ,所以
.从而推出2b=b2得解．
最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意．
例4、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是 [ ]
解：图象大致是D．
分析：这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维
例5、如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．
(1)求m的取值范围；
(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．因为A、B两点在原点的两侧，所以x1·x2＜0，即-(m+1)＜0．
当m＞-1时，Δ＞0，所以m的取值范围是m＞-1．
(2)因为a∶b=3∶1，设a=3k，b=k(k＞0)，则x1=3k，x2=-k，所以
所以m=2．
所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3．
(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM的解析式为
y=px+q，
所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)．所以
设P点坐标是(x，y)，因为S△ABP=8S△BCM．所以
所以｜y｜=4，由此得y=±4．
当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；
所以满足条件的P点存在．
注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求△BCM的面积时要用分割法，因为△BCM是任意三角形，它的面积不好求，而△BCN和△CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1．S△BCM=S△BCN+S△CMN这样就化难为易了．方程-x2+2x+3=±4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的．
例6、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
解：(1)依题意设y=kx+b，则有
所以
y=-30x+960(16≤x≤32)．
(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
=30(-x2+48x-512)
=-30(x-24)2+1920．
所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．。