圆柱体应力微分方程

应力

状态
状态
应力是一个矢量，沿截面法向的分量称为正应力，沿切向的分量称为切应力。物体中一点在所有可能方向上的应力称为该点的应力状态。过一点可作无数个平面，但通过下面的分析可知，只需用过一点的任意一组相互垂直的三个平面上的应力就可代表点的应力状态，而其它截面上的应力都可用这组应力及其与需考察的截面的方位关系来表示。
以物体内某一点P(x,y,z)为顶点截取边长分别为dx,dy,dz的直角平行六面体微元，另一个顶点的坐标则为 (x+dx,y+dy,z+dz)。根据静力平衡方程，并处理掉高阶小量，得到应力平衡微分方程。
分类
极限
拉与压
极限
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时期内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。
热时效法
最传统、也是最普及的方法——热时效法，把工件放进热时效炉中进行热处理，慢慢消除应力。这种方法的缺点也非常显著，比如卫星制造厂对温度控制要求非常严格的铝合金工件以及长达十米或者更大的巨型工件都无法用这种方法处理。而且这种方法还带来了大量的污染和能源消耗，随着中国及世界范围内对环保的进一步要求，热时效炉的处理方式马上面临全面退出的境地。
其实，拉应力表示正值的正应力，压应力表示负值的正应力。应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N/m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=10^6Pa 1 GPa=10^9Pa

应力分析(Stress Analysis)

推导原理：静力平衡条件：静力矩平衡条件：
X 0, Y 0, Z 0
M
x
0, M y 0, M z 0
2 1 f ( x ) 1 f ( x) 泰勒级数展开： f ( x dx) f ( x) ...... 2 1! x 2! x
2 2 P 总应力 8 8 8 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。

八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2 , 3 8 , 8
I1, I 2
因为
2 2 8 ( I1 3I 2 ) 3
ij ij m
' ij
(i,j=x,y,z)
为柯氏符号。
1 其中 m ( x y z ) 即平均应力， 3
即
' x xy xz x xy xz 1 0 0 . . ' 0 1 0 y yz y yz m ' . . . . z z 0 0 1
' ' ' ' ' ' I1' x y z 1 2 3 0
' ' ' ' ' ' I2 1 2 2 3 3 1' （体现变形体形状改变的程度）
' ' ' ' I3 1 2 3 const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程* ij 0 i
讨论：1. 等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。

非径向对称带状载荷作用下有限长圆柱体的应力和位移解

性化对应力的影响。Ｇｕｌｅｒ等利用奇异积分方
程法，获得两弹性圆柱体接触的控制方程，通过高斯一切比雪夫积分法求得接触区的应力、蠕变和功
对称载荷的工况，有时还夹杂有端面扭转载荷的作用，对于这一类载荷作用下的有限长圆柱体内部应力和位移解，尚未有相关文献涉及，本文拟探
第３６卷第４期２０１３年８月
武
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科
技
大
学
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报
Ｖｏｉ．３６。Ｎｏ．４
Ａｕｇ．２０１３
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
或非轴对称载荷作用下有限长圆柱体的应力和表面弹性接触变形问题广受关注。Ｃｈａｕ等采用位移函数法，分析在圆弧面中心作用径向对称点载荷时有限长圆柱体的应力和位移ｌ１］，并引入两个
位移函数分析了受随机面载荷作用时有限长圆柱体的应力和位移［３］。Ｋａｅｗｊｕｅａ等引入关于轴
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２０１３年第４期
Ｐ的分布角，为Ｐ作用下摩擦引起的切向面载
荷；为径向面载荷Ｐｚ的分布角，ｑ为。作用下摩擦引起的切向面载荷；２Ｌ为载荷Ｐ的作用长度，２ｎ为载荷ｐ。的作用长度；Ｆ和Ｍ分别为圆柱体两侧的剪力和弯矩；Ｔ为圆柱体左端面上的扭

圆柱坐标的导热微分方程

圆柱坐标的导热微分方程引言导热微分方程是描述物质内部热量传导过程的一种数学模型。

在工程领域和科学研究中，对于不同形状和坐标系的物体，需要根据其几何特征来建立相应的导热微分方程。

本文将讨论圆柱坐标系下的导热微分方程，并通过推导得出其具体形式。

圆柱坐标系下的导热方程在圆柱坐标系下，考虑一个半径为 r，长度为 L 的圆柱体。

假设圆柱体内部的温度分布为T(r, θ, z)，其中 r 表示径向坐标，θ 表示极角坐标，z 表示轴向坐标。

根据导热传导的规律，在稳态情况下，圆柱体内部的温度分布满足导热微分方程：∇²T = 0其中∇²表示 Laplace 算子，表示温度分布的二阶偏导数之和。

在圆柱坐标系下，Laplace 算子的具体形式为：∇²T = (1/r) ∂/∂r (r ∂T/∂r) + (1/r²) ∂²T/∂θ² + ∂²T/∂z²根据以上表达式，可以看出圆柱坐标系下的导热微分方程的形式。

其中第一项代表径向传导，第二项代表切向传导，第三项代表轴向传导。

圆柱坐标系下的边界条件解决微分方程问题时，需要给出适当的边界条件。

在圆柱坐标系下的导热微分方程问题中，常见的边界条件有以下几种：1.圆柱体表面的温度分布：可以给定圆柱体表面的温度分布，通常通过测量或实验获得。

将温度分布代入导热微分方程，计算得到相应的热传导解。

2.圆柱体表面的热通量：可以给定圆柱体表面的热通量分布，表示单位面积上的热能流动。

根据热通量的定义，将其代入导热微分方程，求解得到相应的温度分布。

3.圆柱体边界的绝热条件：假设圆柱体的边界是绝热的，即圆柱体边界上的热量不会流失或吸收。

根据这一条件，可以求解出温度分布。

根据具体问题的边界条件，可以选择合适的导热微分方程解法。

例如，可以使用分离变量法、变系数法、有限差分法等数值方法求解圆柱坐标系下的导热微分方程。

结论圆柱坐标系下的导热微分方程由径向传导、切向传导和轴向传导三部分组成，其形式为：∇²T = (1/r) ∂/∂r (r ∂T/∂r) + (1/r²) ∂²T/∂θ² + ∂²T/∂z²解决圆柱坐标系下的导热微分方程问题需要考虑适当的边界条件，可以选择不同的解法进行求解。

圆柱坐标系平衡微分方程

圆柱坐标系平衡微分方程引言在物理学和工程学中，圆柱坐标系（cylindrical coordinate system）常用于研究平面内的旋转对称问题。

与笛卡尔坐标系和球坐标系不同，圆柱坐标系使用径向、极角和高度来描述空间中的点位置。

本文将介绍在圆柱坐标系中的平衡微分方程，并探讨如何利用这些方程解决旋转对称物体的静力学问题。

圆柱坐标系简介圆柱坐标系由三个坐标轴组成：径向轴（r-axis），极角轴（θ-axis）和高度轴（z-axis）。

在圆柱坐标系中，一个点的位置可以由径向距离 r、极角θ 和高度 z 来确定。

圆柱坐标系与笛卡尔坐标系之间的坐标变换关系如下：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)•z = z圆柱坐标系平衡微分方程在静力学中，平衡微分方程用于描述物体在平衡状态下的力和力矩平衡关系。

在圆柱坐标系中，平衡微分方程可以表示为以下形式：∂(σ_rr)/∂r + (1/r) * ∂σ_rθ/∂θ + ∂σ_rz/∂z + (ρ * g * cos(θ)) = 0∂(σ_θθ)/∂r + (1/r) * ∂σ_θθ/∂θ + ∂σ_θz/∂z + (ρ * g * sin(θ)) = 0∂(σ_zz)/∂r + (1/r) * ∂σ_zθ/∂θ + ∂σ_zz/∂z + (ρ * g) = 0其中，σ_rr，σ_rθ，σ_θθ，σ_θz，σ_zθ 和σ_zz 是应力分量，ρ 是物体的密度，g 是重力加速度。

这些方程描述了物体在不同方向上受到的应力和重力之间的平衡关系。

通过解这些方程，我们可以确定物体在平衡状态下的应力分布情况。

解决平衡微分方程的方法一般来说，解决平衡微分方程的方法包括数值方法和解析方法。

数值方法通常基于数值计算技术，通过离散化和迭代求解微分方程。

解析方法则通过数学推导和变换来获得方程的解析解。

对于圆柱坐标系平衡微分方程，解析方法并不直接适用于一般情况下的物体形状和应力分布。

应力应变公式曲线方程

应力应变公式曲线方程应力应变公式是描述材料在受力作用下产生的变形的数学表达式。

它是材料力学中最基本且重要的方程之一，可以用来研究材料的力学性质和预测材料的变形行为。

应力应变公式的研究在工程设计、材料科学、结构力学等领域具有重要的理论和应用价值。

首先，我们来了解应力应变公式的基本概念和意义。

应力是指材料单位面积上承受的力，通常用σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。

而应变是指材料在受力作用下的变形程度，通常用ε表示，它是一个无量纲的比值。

应力和应变之间的关系可以通过应力应变公式来表达。

应力应变公式一般可以表示为σ=Eε，其中E是材料的弹性模量，代表材料的刚度和弹性性能。

弹性模量越大，材料的刚度越高，变形程度越小；弹性模量越小，材料的变形程度越大。

这个公式告诉我们应力和应变之间的关系是线性的，材料在弹性范围内可以按照线性关系变形。

然而，事实上，材料在受力作用下，并不总是按照线性关系变形。

很多材料在受力后会出现变形的非线性现象，这时候就需要引入非线性应力应变公式来描述材料的变形行为。

一般来说，非线性应力应变关系可以表示为σ=σ0+Kε^n，其中σ0代表应力偏移量，K代表应力与应变之间的系数，n代表非线性指数。

在实际应用中，根据不同材料的力学性质和应变特点，可以选择不同的应力应变公式来描述材料的变形行为。

例如，对于弹性材料来说，可以选择线性应力应变公式；对于塑性材料来说，可以选择非线性应力应变公式。

在材料设计和结构分析中，正确选择并应用适合的应力应变公式，可以更准确地预测和分析材料的变形行为，为工程设计提供可靠的依据。

除了应力应变公式，还有一些与之相关的概念和重要参数需要考虑。

例如，屈服强度是指材料在允许的变形范围内承受的最大应力；断裂强度是指材料在断裂前能承受的最大应力；刚度是指材料在受力下的抵抗能力；蠕变是指材料长时间作用下的变形现象等等。

这些概念和参数可以从不同角度对材料的力学性能进行研究和评价。

在工程实践中，应力应变公式的研究和应用可以用于材料的选取、结构的设计和分析以及性能的评估等方面。

轴对称问题

轴对称应力状态分析当作用力对称分布于回转体时，其内部的应力状态称为轴对称应力状态，轴对称应力状态的特点是:(1)通过旋转体轴线的子午面在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上没有剪应力，即pθτ=Zθτ=0，所以θσ就是一个主应力。

（2）各应力分量与θ坐标无光，对θ的偏导数为零。

采用圆柱坐标系时，轴对称的应力张量为：ij 0=000P ZPP ZZ θσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ττ设点a 的坐标为（P ,θZ)，应力状态为ijσ，a 1的坐标为（p p d +，d θθ+，z z d +），应力状态为ij ijd σσ+，即z z z ij ij z zzzzzz z z=zzz z d d d d d d d d d d θθθθθθθθθθσσθθσσσσθθσθσθ∂∂∂⎛⎫+++⎪∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪++++ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪+++ ⎪∂∂∂⎝⎭ρρρρρρρρρρττρττρτττρτρτττρτρ 根据力的平衡条件=P ∑ρ0；=0P θ∑；=0Z P ∑，可得以下圆柱坐标系的平衡微分方程为：z zzz 0z 0z θσσσσ∂∂-⎫++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ρρρρρτρρττρρ在有些轴对称问题（例如圆柱体的均匀镦粗、挤压和拉拔等）中，由于=d d ρθεε，由增量理论可知，当某两个正应变增量的分量相等时，其对应的应力也相等，所以=ρθσσ。

那么轴对称的平衡方程可简化为：z zz z =0z =0z ρρρρσρσρρ∂∂⎫+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++⎪∂∂⎭τττ轴对称的屈服应力： 1 Tresca 屈服准则Tresca 认为当最大剪应力达到某定值时材料就会发生屈服，开始塑性变形阶段，即 max cτ=，由于屈服时的定值c 与应力状态无光，故可由单周俊宇拉伸实验或薄壁管扭转实验确定。

单向均匀拉伸中230σσ==，屈服时1sσσ=，所以最大剪应力为：13113222scσσσστ-====，该剪应力也应等于纯剪屈服时的剪应力k ，所以当假定 123σσσ≥≥，塑性条件可写成31==2ks σσσ-，该公式同样可用于轴对称问题中。

圆柱坐标系的导热微分方程推导过程

圆柱坐标系的导热微分方程推导过程引言在热传导领域中，导热微分方程（heat conduction equation）是用来描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

圆柱坐标系是一种常用的坐标系，用来描述具有圆柱体形状的物体。

本文将对圆柱坐标系下的导热微分方程进行推导。

圆柱坐标系的基本概念在圆柱坐标系下，我们用三个坐标参数来描述空间中的点，即：•r：径向距离，表示点到坐标原点的距离•θ：极角，表示从坐标轴x轴正向逆时针旋转的角度•z：高度，表示点在坐标轴z方向上的位置圆柱坐标系下的温度场在圆柱坐标系下，假设热传导介质的温度分布为T(r, θ, z, t)，其中t表示时间。

我们将温度T分解为平均温度和扰动温度的和：T(r, θ, z, t) = T0(r, θ, z) + T1(r, θ, z, t)其中T0是平均温度，T1是扰动温度。

圆柱坐标系中的热传导模型根据热传导理论，热传导过程可以用热传导方程描述。

在圆柱坐标系下，考虑热传导方程的径向、周向和轴向三个方向的贡献。

径向热传导在径向方向上，热传导导数可以表示为：∂²T/∂r²。

周向热传导在周向方向上，圆柱坐标系的角度θ是变化的，因此需要考虑周向热传导的导数。

根据链式法则，周向热传导导数可以表示为：1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ)。

轴向热传导在轴向方向上，热传导导数可以表示为：∂²T/∂z²。

综合考虑这三个方向的热传导导数，热传导方程可以表示为：∂T/∂t = α[1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ) + ∂²T/∂r² + ∂²T/∂z²]其中α为热扩散系数。

推导过程为了推导出圆柱坐标系下的导热微分方程，我们需要考虑热传导方程中的每一项。

对径向项进行推导首先，我们考虑热传导方程中的径向项∂²T/∂r²。

在圆柱坐标系下，根据链式法则，我们有：∂T/∂r = (∂T/∂x) ∂x/∂r + (∂T/∂y)∂y/∂r + (∂T/∂z) ∂z/∂r利用圆柱坐标系下的坐标转换关系，可以得到：∂x/∂r = cosθ，∂y/∂r = sinθ，∂z/∂r = 0将上述关系带入∂T/∂r的表达式中，可以得到：∂T/∂r = cosθ (∂T/∂x) + sinθ (∂T/∂y)再对∂T/∂r进行r方向上的导数运算，即可得到径向项的表达式：∂²T/∂r² =cosθ (∂²T/∂x²) + sinθ (∂²T/∂y²)对周向项进行推导其次，我们来推导热传导方程中的周向项1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ)。