§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义[学习目标]1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算． 3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． [知识链接]1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答OC→＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 答 λa 仍然是一个向量． 当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引] 1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0 ＝0. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb . 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 4．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .要点一 向量的数乘运算 例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________.答案 －16i ＋323j解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j ＝－16i ＋323j .要点二 用已知向量表示未知向量例2 如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →. 解 法一 设BC→＝x ，则BK →＝12x ， AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2， 解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC→＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ， 得CD→＝－43e 1＋23e 2. 法二 设BC →＝x ，CD →＝y ， 则BK→＝12x ，DL →＝－12y . 由AB→＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2，②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，x ＝23(2e 2－e 1)， 同法得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即BC→＝43e 2－23e 1，CD →＝－43e 1＋23e 2.法三 如图所示，延长BC 与AL 交于点E ，则△DLA ≌△CLE ， 从而AE→＝2AL →，CE →＝AD →，KE →＝32BC →，由KE →＝AE →－AK →，得32BC →＝2e 2－e 1， 即BC →＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1.同理可得CD →＝23(－2e 1＋e 2)＝－43e 1＋23e 2.规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三． (2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一、法二．跟踪演练2 如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.解 由三角形中位线定理，知DE 綉12BC ，故D E →＝12BC →，即DE→＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN→＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b . 要点三 共线向量定理的应用 例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪演练3 如图所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线． 证明 设AB→＝a ，AD →＝b ， 则BD→＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN→＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ， ∴MC→＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN→＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点．∴M 、N 、C 三点共线.1．化简：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b ).解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a .2．如图，AM→＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.证明 ∵AM→＝13AB →，AN →＝13AC →，∴MN→＝AN →－AM →＝13AC →－13AB →＝13(AC →－AB →)＝13BC →.3．设e 1，e 2是两个不共线的非零向量，如果AB →＝3e 1－2e 2，BC →＝4e 1＋e 2，CD →＝8e 1－9e 2.求证：A ，B ，D 三点共线．证明 ∵BD →＝BC →＋CD →＝4e 1＋e 2＋8e 1－9e 2＝12e 1－8e 2＝4(3e 1－2e 2)＝4AB →， ∴AB→与BD →共线． ∵AB→与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 4．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，试求实数k 的值． 解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴k ＝±1.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.一、基础达标1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2 D ．k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线．2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D答案 C解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上 答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．4．在△ABC 中，如果AD 、BE 分别为BC 、AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC→为( ) A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43b D ．－23a ＋43b 答案 A解析 由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC→＝b ＋12a ＋14BC →.解得BC→＝23a ＋43b .5．向量a 、b 共线的有( )①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2. A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 答案 A6．(2013·四川理)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， 所以AB→＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →， 因为AB→＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.7．如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形． 证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点． ∴FG→＝12BC →. 同理，EH →＝12BC →. ∴FG→＝EH →. ∴四边形EFGH 为平行四边形． 二、能力提升8．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①②C ．①③D ．③④ 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 答案 B解析 AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向． 又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD→上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值． 解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎨⎧ λk ＝2，λ＝－1，∴⎩⎨⎧ k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.12．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )．∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎨⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 三、探究与创新13．已知任意两个非零向量a ，b ，作OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解 因为AB→＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC→＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC→＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线．。
21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备 尺规、多媒体等 课堂模式 学案导学 一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：=，= 则 -=。
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教案)
4.小结:
1），向量数乘的定义及运算律；
2），共线向量定理；
3），定理的应用：
a、证明向量共线；
b、证明三点共线；
c、证明两直线平行。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生： 的长度是 的长度的3倍，其方向与 的方向相同， 的长度是 长度的3倍，其方向与 的方向相反。
2．新知探究：
1）.定义：
实数 与向量 的积是一个向量，记作 .它的长度和方向规定如下：
（1） .
（2） 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；特别地，当 或 时， .
2）.运算律：
思考：求作向量 和 （ 为非零向量）并进行比较，向量 与向量 相等吗？
设 、 为任意向量， 、 为任意实数，则有：
（1） ；（2） ；（3） .
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量 、 ，以及任意实数 ，恒有 。（仍是向量）
3）共线向量定理
3.例题讲解：
例1，计算
练习：
例2.已知 ， ，试判断 与 是否线．
例3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，你能用 来表示 。
例4.已知任意两个向量 ，试作
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
一、教学目标
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
必修4课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义
b
A
三 【应用】
a
B
练习：
三 【应用】
1.若λa=0，则_______.
2：如图，若P为AB的中点，则 uuu uuu r uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何？
O
r uuu 1 uuu uuu r r OP = (OA + OB ) 2
A P B
三 【应用】
3.已知非零向量a, 求与a共线的单位向量。
M B D C
二 【新课】
2.共线向量定理
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数λ，使得 b=λa
思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
3.数乘运算律 思考:(1) 3 (2a) 6a (3 2)a ? 3 (2a) (3 2)a ? 6a ? ? (2 3)a 2a 3a (2) (2 3)a 5a 2a 3a 5a 2(a+b) = 2a+2b (3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
4.O是平面上一点，求证：若存在实数 使得 OP OA (1 )OB, 则点A、B、P三点共线。 反之
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
思考： 如图，设点M为△ABC的重心， D为BC的中点，那么向量 BD与 BC， AD与DM 分别有什么关系？
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
(2)
原式
r 3a
r 3b
r 2a
r 2b
r a
r 5b ；
(3)
原式
r 2a
r 3b
r c
r 3a
r 2b
r c
rrr
a 5b 2c .
对于向量 a (a 0) 、b，若有一个实数 ，使 b a，
那么由实数与向量的积的定义知，a 与 b 共线 .
反过来，若向量 b 与 a 共线(a 0)，且 | b | | a |，那么
AD 与 AB 共线. 又 AD 与 AB 有共同的起点A， A，B，D 三点共线 .
例例24 如图， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且
AB a ，AD b ，用 a 、b 表示 MA 、MB 、MC 和 MD .
D
b
M
解：在 ABCD 中，
C
AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
1.
e
ee e e
a 4e
a a a a
2.
A
b 4e
.
C
B
AC
5 7
AB
BC
2 7
AB
3. (1) b 2a
(2)
b
7 4
a
(2)
b
1 2
a
(4)
b
8 9
a
4. (1) a b a 与 b 共线；
(2) b 2a a 与 b 共线；
课后作业
1.教材第96页 A组 6,9,10,12,13 B组 3,4 2.完成教辅练习册第22页2.2.3作业 3.预习教材93页~96页
证明：设 AB e1 ，AD e2 ，则
2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件 新人教a版(1)
一样进行运算.
想一想： 1.a与a有何关系？(a 0)
2.如果b a , 那么a，b 是共线向量吗？
3.如果 a 与 b 是共线向量， 那么b a？
三、共线向量基本定理：
向量
b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数 ，使得 b a
a a
O A
a
B
a
C N
a
M
a BC a a a 记: a a a 3a 即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a
思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 3a 与向量 a 有什么关系? (1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a . (2)向量3a 的方向与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
D
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题: AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
例3：设a，b是两个不共线的向量，
AB a b ， BC 2a 8b ， CD 3 a b ，
求证：A，B，D三点共线. 证明： BD BC CD
5a
2a
3a
( )a a a
二、实数与向量的积的运算律：
2 a b 2a 2b ?
a b
2a 2b
a
ab
b 2a
2b
(a b ) a b
高一数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教、学案)
2. 2.3向量数乘运算及其几何意义1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。
如力与加速度的关系F m a =，位移与速度的关系s v t =。
这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++和()()()a a a -+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a a a ++的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同，()()()a a a -+-+-的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反。
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积） 2．探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a 相乘的含义作一番解释才行。
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . 它的长度和方向规定如下： （1）||||||λa λa =.（2）0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当0λ=或0a =时，0λa =.2）运算律：问：求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较，向量2()a b +与向量22a b +相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 生：2(3)6a a =，222()a b a b +=+.师：设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμa λa μa +=+； （2）()()λμa λμa =； （3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：计算：（1）(3)4a -?； （2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+.3）向量平行的充要条件：请同学们观察a m n =-，22b m n =-+，回答a 、b 有何关系？ 生：因为2b a =-，所以a 、b 是平行向量.引导：若a 、b 是平行向量，能否得出b λa =？为什么？可得出a λb =吗？为什么？ 生：可以！因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b λa =.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数λ，使b λa =，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知λb 与a 平行，即b 与a 平行.其二，若b 与a 平行，且不妨令0a ¹，设||||b μa =（这是实数概念）．接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b μa =，②若a 、b 反向，则记b μa =-，总而言之，存在实数λ（λμ=或λμ=-）使b λa =.小练习2：如图：已知3AD AB =，3DE BC =，试判断AC 与AE 是否平行． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AE 与AC 平行. 4）单位向量：单位向量：模为1的向量.向量a （0a ¹）的单位向量：与a 同方向的单位向量，记作0a . 思考：0a 如何用a 来表示？ （0||a a a =?Þ01||a a a =?） 3．例题与练习：题1：如图，在ΔABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 延长线上的点，且2BE BC =，是根据下列要求表示向量DE ：（1） 用BA 、BC 表示； （2）用CA 、CB 表示.题2：如图，在ΔABC 中，已知M 、N 分别是AB 、AC 的中点，用向量方法证明：12MN BC //C题 31O题3：如图，已知1OA kOA =，1OB kOB =，1OC kOC =，求证：ΔABC ∽111ΔA B C 练习：P145 1、2、3、44．课堂小结：（1）λ与a 的积还是向量，λa 与a 是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。
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高一（ ）班 第（ ）学习小组 姓名
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
撰写：陈燕飞 审核：韦国锋
【学习目标】
1、掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2、掌握实数与向量的积的运算律；
3、理解向量共线定理，能够运用定理解决共线等问题。
【学习过程】
一、知识链接
已知非零向量a，作出aaa和)()(aa。
二、新课导航
探究任务一：相同向量相加后，和向量的长度与方向有什么变化？
（1）a3与a方向相同且aa33；
（2）a2与a方向相反且aa22
上题结果可记为： aaaaOA3
aaaPB2)()(
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：a 。
其大小和方向规定如下：
大小：aa
方向：λ>0时，a与a方向相同；
λ<0时，a与a方向相反。
特别地，当0或0a时0a。
探究任务二：运算律
练习2：
(1) 根据定义，求作向量)2(3a和a6(a为非零向量)，并进行比较。
2a2a2a
aaaaaa
a
PB
AO
-a-aaaa-a
a
结论：aa6)2(3 ， aaa42)42(
(2) 已知向量a、b，求作向量)(2ba和ba22，并进行比较。
结论：baba22)(2
归纳得：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律： aa)()(
第一分配律：aaa)(
第二分配律：baba)(
练习3：计算(口答)
(1) a4)3(
(2) ababa)(2)(3
(3) )23()32(cbacba
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式
=
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
探究任务三：向量共线定理
问题① 如果 ab, 那么，向量a与b是否共线？
问题② 如果非零向量a与b共线， 那么，ab ？
对于向量a(0a)、b，如果有一个实数，使得ab , 那么，由数乘向量的定
义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，0a，且向量b的长度是a的长度的倍，即有ab,
当a与b同方向时，有ab;
当a与b反方向时，有ab
所以始终有一个实数，使ab。
从而得到，
向量共线定理
向量b与非零．．向量a共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数，使得 ab。
2(a+b)
b
aab2a+2bbba
a
三、典型例题
例1
、如图，已知ABAD3、BCDE3，试判断AC与AE是否共线?
解：∵ ABAD3、BCDE3
又 DEADAE
)(333BCABBCAB
AC3
∴ AC与AE共线。
在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？
例2
、已知任意两非零向量a、b，试作baOA, baOB2，baOC3。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：作图如右（过程略）
依图观察，知A、B、C三点共线。
证明如下：
∵ )()3(babaOAOCAC
b2
又 )()2(babaOAOBAB
b
∴ ABAC2
又 AB与AC有公共点A，
∴ A、B、C三点共线。
解后小结：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一
个公共点，得到三点共线。
举一反三：
1、判断下列各小题中的向量a与b是否共线
.
1212
1212
(1)2,2(2),22(3),2aebeaeebeeaeebee
C
E
A
B
D
C
B
A
O
b
b
b
a
四、学习小结
五、课后作业：
3
1
ADB
C
M
N
2、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN= BD，
求证：M、N、C三点共线。