巧用过两圆交点的曲线系方程解题
4-5圆系与曲线系
方程可以写成 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F + l (ax + by + c1)(ax - by + c 2 )= 0 ，此时 A + la2 = C - lb2 ，方程表示一
个圆．
2
k2
x - ky - p kx + y - p = 0 ，若 A、B、C、D 四点共圆，则 y2 - 2 px + l x - ky - p kx + y - p = 0 ，
2
2
2
2
( ) ( ) 即 y2 1 - lk 2 + lk 2 x2 + l 1 - k 2 xy + x -2 p - pl - pkl + y pkl - pl = 0 ，由于 xy 的系数为零，故 k2 = 1；
求实数 m 的值． 【分析】充分挖掘本题的几何关系 OA OB ，不难得出 O 在以 AB 为直径的圆上．而 A, B 刚好为直线与圆
的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程．
【解析】过直线 l : x y m 0 与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 的交点的圆系方程为：
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第四章 圆锥曲线
专题 5 圆系与曲线系
秒杀秘籍：第一讲 圆系和曲线中的四点共圆
圆系：具有某种共同属性的圆的集合． 几种常见的圆系方程： （1）同心圆系： (x x0 )2 ( y y0 )2 r 2 ， x0 , y0 为常数， r 为参数． （2）过两已知圆 C1 : f1(x, y) x2 y 2 D1x E1 y F1 0 和 C2 ： f2 (x, y) x2 y 2 D2 x E2 y F2 0 的交 点的圆系方程为： x2 y 2 D1x E1 y F1 (x2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1) 若 1 时，变为 (D1 D2 )x (E1 E2 ) y F1 F2 0 ，则表示过两圆的交点的直线． 其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时， 此直线表示与两圆连心线垂直的直线． （3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线 l : Ax By C 0 与圆 C : x2 y2 D x E y F 0 相交，则过 直线 l 与圆 C 交点的圆系方程为 x 2 y 2 Dx Ey F ( Ax By C) 0 ． 曲线系：两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同属性的集合．
活用“系”方程解题更简洁
方程 ． 以及 各 种 形 式 的 圆锥 曲线 系方 程 等 系 方 程 的实 质 也 就 是 参 数 法 。 整 体 思 想 的具 体 应 用 ． “ ” 程 可 以大 大 简 化 是 用 系 方
运 算 ， 低 难 度 ， 高解 题 效 率 ， 可取 捷 径 之 一 ， 下 笔 者 举 降 提 是 以
由２３ １ 和ｘｙ ＝得 点 标 ， ）代 所 ｘｙ ＝ － ＋ ０ 交 坐 为（ ， 人 设 ＋＋ ０ ３ ４ ／
方程。 可得 ｍ ９ 故 所 求 方 程 为 ：ｘ ３ ＋ ＝ 。 ＝ ， ４一ｙ ９ ０ 解 法 二 ： 利用 交 点 直 线 系 ） 所 求 直线 方 程 为 ： （ 设
所 ２ｋ—＝解 ：≠。 以－一４０ 得ｋ ２４ｋ； ＝ 因 轨 方 为２一一｝ 仁 一一＝ 此 迹 程 ３ ３０ ＋ ＋ ＋ ）。
化 简 得 ： 一 ＋ ｙ ３ ０ ＋ ２ 一 ＝ 。
三 圆 锥 曲 线 系
当 ｋ为变 量 时 ， 程 ｙｙ ｋｘｘ） 示 过定 点 Ｐｘ， ） 方 －ｏ （－。 ＝ 表 （。 ０的直 线 ｙ ＿
一 ＝ ３０ － ：， ｌ ）０ ３
种 共 同特 征 或 性 质 的 曲线 ．其 方 程 可 用 一 种 式 ” 程 ， 们统称为“ ” 程 。 这 形 方 我 系 方 比如 “ 行 直 平
线 系 方 程 ” “ 直 直 线 系 方 程 ” “ 点 直 线 系 方 程 ”等 直 线 系 、垂 、交 方程 ， 以及 “ 心 圆系 方 程 ” “ 两 圆交 点 的 圆 系 方 程 ” 圆 系 共 、过 等
例说 明
一
２＝ ｏ
， 以 所
。
（ － ） 一 ｂ ￣ ｙ ｂ ＝ ２ｙ ｂ，
、
妙用曲线系方程巧解高考试题
，即a =32b 时等号成立,以下同解法一.解法六（柯西不等式法）:∵4a 2-2ab +4b 2-c =0，∴c 4=a 2-12ab +b 2=æèöøa -b 42+1516b 2，由柯西不等式得æèöøa -b 42ùû+1516b 2⋅éëêêùûúú22+æèçöø÷6152 éëêùûú2æèöøa -b 4+⋅6152=||2a +b 2,故当||2a +b 最大时，有a -b 42=4615⇒a =32b ,c =10b 2，以下同解法一.（浙江省嘉善第二高级中学鲁和平314100）“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质在解析几何中，我们将椭圆x 2a 2+y 2b2=1和双曲线x 2a 2-y 2b2=1称为“情侣圆锥曲线”.笔者在研究圆锥曲线的过程中，发现了“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质.定理如图1所示，若P (x 0，y 0)是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1上的任意一点（除顶点外），过点P 作椭圆C 的切线l ，l 交双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1于点M ,N ，点Q 为线段MN 的中点，则k MN ∙k OQ =b 2a2.易知，存在如下引理1.引理1若P (x 0，y 0)是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1上的一点，则过点P 的切线有且仅有一条，该切线方程为x 0x a 2+y 0yb2=1.证明：设M (x 1，y 1),N (x 2，y 2)，P (x 0,y 0)，由引理得直线MN 的方程为x 0x a 2+y 0yb 2=1，即y =b 2a 2y 0(a 2-x 0x )，联立ìíîïïïïx 2a 2-y 2b 2=1y =b 2a 2y 0(x 0x -a 2)⇒(b 2x 02-a 2y 02)x 2+2a 2b 2x 0x -a 4()b 2-y 02=0，x 1+x 2=-2a 2b 2x 0b 2x 02-a 2y 02，y 1+y 2=2a 2b 2y 0b 2x 02-a 2y 02，则点Q (-a 2b 2x 0b 2y 02-a 2y 02，a 2b 2y 0b 2x 02-a 2y 02)，k MN ∙k OQ ==2a 2b 2y 0b 2x 02-a 2y 02-a 2b 2x 0b 2y 02-a 2y 02∙-b 2x 0a 2y 0=b 2a 2.（云南师范大学数学学院朱啟吉650500）解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会出现思路正确,但因运算过程繁杂,而半途而废的现象.因此在解答解析几何问题的过程中如何减少计算就成为能否迅速、正确解题的关键.本文介绍利用曲线系方程求解几道高考试题.1定值问题例1（2021年全国新高考1卷）：在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(-17,0)，F 2(17,0)，点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2，记MxNPQ O y 图1M妙用曲线系方程巧解高考试题··52的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||TA ⋅||TB =||TP ⋅||TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解析：（1）易得x 2-y 216=1(x >0)（略）；（2）点T 在x =12上，可设T （12，m )，过点T 的直线AB :y -m =k 1(x -12)，过点T 的直线PQ :y -m =k 2(x -12)，故A ，B ，P ，Q四点的坐标满足如下直线AB ，PQ 的方程(k 1x -12k 1-y +m )(k 2x -12k 2-y +m )=0,又A ，B ，P ，Q 四点在曲线C 上，所以这四点在曲线(k 1x -12k 1-y +m )(k 2x -12k 2-y +m )+λ(x 2-y 216-1)=0上，因为||TA ⋅||TB =||TP ⋅||TQ ，所以A ，B ，P ，Q 四点共圆，则上述方程表示圆，左边展开后x 2,y 2的系数相等，且xy 项的系数为0，由xy 项的系数为0得到k 1+k 2=0.点评：利用二次曲线系方程解决解析几何中的定值问题，视角独特，过程简洁.2定点问题例2（2020年高考全国Ⅰ理科20题）：已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点， AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：（1）E 的方程为x 29+y 2=1（略）；（2）设直线AC 的方程为x =k 1y -3，直线BD 的方程为x =k 2y +3，直线CD 的方程为x =my +n ，直线AB 的方程为y =0，则A 、C 、B 、D 四点在曲线(x -k 1y +3)(x -k 2y -3)+λy (x -my -n )=μ(x 29+y 2-1)上，整理得x 2+(k 1k 2-λm )y 2+(k 1+k 2-λ)xy -(3k 1-3k 2-λn )y-9=μ9x 2+μy 2-μ，比较系数可得k 1+k 2-λ=0，3k 1-3k 2-λn =0，则ìíîïïk 1+k 2=λk 1-k 2=λn 3，又{x =k 1y -3x =k 2y +3则x =3(k 1+k 2)k 1-k 2=9n =6，解得n =32，故直线CD 的方程为x =my +32，即直线CD 过定点æèöø32,0.点评：利用二次曲线系方程解决解析几何中的定点问题，解答过程简洁明快.3四点共圆问题例3（2011年高考全国（大纲）理科21题）：已知O 为坐标原点，F 为椭圆C :x 2+y 22=1在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足 OA + OB +OP =0.（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．证明：由P æèçöø÷-1和题设知Qèöø÷，所以直线PQ 的方程为y =2x ，又直线AB 的方程为y =-2x +1，故经过A 、P 、B 、Q 四点的曲线为(2x 2+y 2-2)+λ(2x -y )(2x+y -1)=0，即(2+2λ)x 2+(1-λ)y 2-2λx +λy-2=0，当2+2λ=1-λ时，有λ=-13，此时æèçøx 2+æèöøy -182=9964.因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上，且圆的方程为æèçøx +2+··53æèöøy -182=9964.点评：要证明四点共圆，若用常规方法，则运算量较大，而利用曲线系可又快又准地解决问题.利用曲线系方程解题时，运算相对简便，过程简洁，方便实用.把握好各种类型的曲线系方程，有利于我们解决一些较复杂的题目，教会学生运用此方法，更能拓展学生解题思维，对学生解题能力的提高有一定的帮助.（湖北省大冶市第一中学黄俊峰袁方程435100）1问题的呈现与分析题目比较下列各题中三个值的大小：（1）log 0.26，log 0.36，log 0.46；（2）log 23，log 34，log 45.分析：该题出自人教A 版新教材选择性必修第一册141页，习题4.4“拓广探索”中的第13题，试题结构简单明了，但内涵丰富，是一道值得拓广探索的好题，下面从不同角度探析问题，并对其变式拓展.2问题的探析2.1对第（1）题的解析与拓广解析：由换底公式得log 0.26=ln 6ln 0.2，log 0.36=ln 6ln 0.3，log 0.46=ln 6ln 0.4，则问题转化为比较ln 0.2，ln 0.3，ln 0.4的大小关系，由函数y =ln x 在(0,1)上单调递增，得ln 0.2<ln 0.3<ln 0.4<0，又y =ln 6x在(-∞,0)上单调递减，得ln 6ln 0.2>ln 6ln 0.3>ln 6ln 0.4，故log 0.26>log 0.36>log 0.46.拓广1：已知函数f (x )=log x m （x >0，且x ≠1，m >0），（1）若m =1，则函数f (x )=0为常数函数；（2）若0<m <1，则函数f (x )在(0,1)上单调递增且f (x )>0，在(1,+∞)上单调递增且f (x )<0；（3）若m >1，则函数f (x )在(0,1)上单调递减且f (x )<0，在(1,+∞)上单调递减且f (x )>0.2.2对第（2）题的解析与拓广解法1：作差法+基本不等式放缩.由换底公式得log 23-log 34=ln 3ln 2-ln 4ln 3=(ln 3)2-ln 2×ln 4ln 2×ln 3，又ln 2×ln 4<æèöøln 2+ln 422=æèöøln 822=()ln 82<(ln 3)2，所以log 23-log 34>0，即log 23>log 34，同理log 34>log 45，故log 23>log 34>log 45.解法2：作商法+基本不等式放缩.由换底公式得log 23log 34=(ln 3)2ln 2×ln 4，同方法1得ln 2×ln 4<(ln 3)2，所以log 23log 34>1，则log 23>log 34,同理log 34>log 45，故log 23>log 34>log 45.解法3：糖水不等式放缩法.由换底公式及糖水不等式得log 23=ln 3ln 2>ln 3+ln 32ln 2+ln 32=ln 92ln 3>ln 4ln 3=log 34，log 34=ln 4ln 3>ln 4+ln 43ln 3+ln 43=ln 163ln 4>ln 5ln 4=log 45，所以log 23>log 34>log 45.拓广2：数列{log n (n +1)}为递减数列.证明：由a n -a n -1=log n (n +1)-log n +1(n +2)=ln(n +1)ln n -ln(n +2)ln(n +1)=[]ln(n +1)2-ln n ⋅ln(n +2)ln n ⋅ln(n +1)=[]ln(n +1)2-4⋅ln n ⋅ln(n +2)4⋅ln n ⋅ln(n +1)新教材一道比较大小问题的拓广研究··54。
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
又椭圆过点 ，则 ，（1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。
（Ⅱ）设 ，弦MN的中点A
由 得： ， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即 ………………（1）
由韦达定理得： ，则 ，
直线AG的斜率为： ，
由直线AG和直线MN垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得 ，即 ，则 。
由 消y整理，得
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=
由|OM|=r，得 ，解得t=± ，∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± )2= .
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)
第20讲曲线系及其应用知识与方法1.曲线系与曲线系方程的概念曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示. 曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,x,y x,y这样的方程叫曲线系方程.2.过两曲线交点的曲线系若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为C1:f1(x,y)=0C2:f2(x,y)=0（不包括或者.f1(x,y)+λf2(x,y)=0f2(x,y)=0）λf1(x,y)+μf2(x,y)=03.一次曲线系（直线系)具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程. 下面是几种常见的直线系方程:(1)过已知点的直线系方程或(为参数）;P(x0,y0)y−y0=k(x−x0)x=x0(2)斜率为的直线系方程：是参数）;k y=kx+b（b(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Ax+By+λ=0（λ(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Bx−Ay+λ=0(λ(5)过直线与的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0为参数）（不包括直线）A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ l24.二次曲线系圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式. 二次曲线系的一般形式为:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0两条直线所组成的二次曲线方程为:(Ax+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=01熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:定理给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们可以进一步得到一些重要结论. 为简单起见,以下将两直线的并体记作l1,l2,那么可以理解为一条退化的二次曲线,其方程简记为.l1⋅l2l1⋅l2l1(x,y)⋅l2(x,y)=0推论1如果两条直线的方程为,分别记为,即A i x+B i y+C i=0(i=1,2)l i(x,y)(i=1,2),它们与一条二次曲线有交点,那么曲线系l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0F(x,y)=0λF(x,y)+μl1(x,y)⋅l2(x,y)=0经过这些交点.如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含有所有过此四点的二次曲线.由推论可知:若二次曲线的方程为: ,则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(1)已知四边形四条边的方程为l i:A i x+B i y+C i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线方程为.l1(x,y)l3(x,y)+λl2(x,y)l4(x,y)=0(2)过两直线与一条二次曲线的四个交点的二次曲线系的方程为l1,l2f(x,y)=0f(x,y)+λl1(x,y)l2(x,y)=0(3)与两条已知直线分别切于点的二次曲线系方程为, 其中l1,l2M1,M2l1(x,y)l2(x,y)+λl23(x,y)=0l3(x,是直线的方程.y)M1M2推论为不共线的三点,直线的方程为2P i(i=1,2,3)P i P i+1(i=1,2,3,P4=P1)l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0，则曲线系:λl1(x,y)⋅l2(x,y)+λ2l2(x,y)⋅l3(x,y)+λ3l3(x,y)⋅l1(x,y)=01表示所有过三点的二次曲线.P1,P2,P3典型例题类型利用曲线系求曲线方程1:【例1】已知椭圆与两直线C:x2+2y2=4l1:x+y−1=0,l2:2x−2y+1=0,各有两个交点,求过此四个交点及点的二次曲线.(−1,1)【答案】.5x2+4y2−x+3y−13=0【解析】显然四个交点不共线,可设所求曲线方程为,λ(x2+2y2−4)+(x+y−1)(2x−2y+1)=0将点的坐标代人方程,即得.故所求椭圆方程为.(−1,1)λ=35x2+4y2−x+3y−13=0【注】利用曲线系求曲线方程的步䐂:(1)设出曲线系方程;(2)根据条件求出参数;(3)回代即得所求方程.类型2：圆系问题【例2】求经过两圆和的交点,并且圆心在直线x2+y2+6x−4=0x2+y2+6y−28=0x−y−4=0的圆的方程.【答案】.x2+y2−x+7y−32=0【解析】设所求圆的方程为,x2+y2+6x−4+λ(x2+y2+6y−28)=0化简得 ，(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy−(28λ+4)=0因为圆心在直线 上,所以 ,(−31+λ,−3λ1+λ)x−y−4=0−31+λ+−3λ1+λ−4=0解得,即得所求圆的方程为.λ=−7x 2+y 2−x +7y−32=0【例3】三边所在直线方程为: ,求的外接圆的方程. △ABC x−2y−5=0,3x−y =0,x +y−8=0△ABC 【答案】x 2+y 2−4x−2y−20=0【解析】外接圆方程可写为△ABC (x−2y−5)⋅(3x−y )+λ1(3x−y )(x +y−8)+λ2(x +y−8)(x−2y−5)=0即(3λ1+λ2+3)x 2+(2λ1−λ2−7)xy +(−λ1−2λ2+2)y 2+(−24λ1−13λ2−15)x+(8λ1+11λ2+5)y +40λ2=0于是,解得:,将它们代入，{2λ1−λ2−7=03λ1+λ2+3=−λ1−2λ2+2λ1=2,λ2=−3即得外接圆方程为 .△ABC x 2+y 2−4x−2y−20=0【例4】椭圆与直线 交于两点,点的坐标为.求过x 2+2y 2−2=0x +2y−1=0B ,C A (2,2)A ,B ,C 三点的圆的方程.【答案】6x 2+6y 2−9x−14y−2=0【解析】我们可以先求出B ,C点的坐标,利用推论2求解,不过这里可从另一个角度思考问题,二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2过两点,但十分明显地不包含过的所有曲线,过y−1)=0B ,C B ,C B ,C 的圆就不在其中.不过我们可以“就势”一变,再构造二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2y−1)(x−2y +m )=0(∗)这就包含了过的圆了.展开,得B ,C (λ+μ)x 2+(2λ−4μ)y 2+μ(m−1)x +2μ(m +1)y−mμ−2λ=0令,并取,即得.λ+μ=2λ−4μμ=1λ=5代入得.(∗)6x 2+6y 2+(m−1)x +2(m +1)y−m−10=0将点坐标代人,得,代人得所求圆的方程为.A m =−86x 2+6y 2−9x−14y−2=0【注】这里添加直线,原因是过三点的圆是唯一的,且缺项.x−2y +m =0A ,B ,C xy【例5】四条直线围成一个四边形,问l 1:x +3y−15=0,l 2:kx−y−6=0,l 3:x +5y =0,l 4:y =0k取何值时, 此四边形有个外接圆,并求此外接圆的方程.【答案】.x 2+y 2−15x−159y =0【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系的方程为.(x +3y−15)(x +5y )+λ(kx−y−6)y =0整理得, 方程表示圆, 则 解得()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++---+=151,80.k λλ-=+=, 故此四边形外接圆的方程为.414,7k λ==-22151590x y x y +--=【例6】 设过坐标原点的直线与拋物线交于两点, 且以l ()2:41C y x =-,A B AB 为直径的圆恰好经过拋物线的焦点, 求直线的方程.C F l【答案】.y =【解析】设直线的方程为, 构造过的二次曲线系l y kx =,A B ,()()()2410y x kx y kx y m λ--+-++=即,①()()2221440k x y mk x my λλλλ+-+--+=令得，代入①即得过两点的圆的方程是21k λλ=-211k λ=+,A B 222222224401111k k mk m x y x y k k k k ⎛⎫++--+= ⎪++++⎝⎭因点在圆上，于是有()2,0F 2224244011k mk k k ⎛⎫+-+= ⎪++⎝⎭又以为直径的圆的圆心在直线上, AB y kx =22411m mk k k k ⎛⎫∴=-- ⎪++⎝⎭由上两式消去, 解得故所求的直线的方程是m k =l y x =【例7】 已知直线与双曲线相交于两点, 当为何值时, 以10mx y -+=2231x y -=,A B m AB为直径的圆经过原点.【答案】 .1m =±【解析】构造二次曲线系: ,()()223110x y mx y mx y n λ--+-+++=即()()()()222311110m x y m n x n y n λλλλλ+-++++-+-=，令得，又圆经过原点，代入得，于是方程可表示为()231m λλ+=-+241m λ-=+1n λ=222253m x y mx y m ++-+=-又圆心在直线上，故()225,223m m m ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭10mx y -+=()22510223m m m m ⎡⎤+⎢⎥⋅--+=-⎢⎥⎣⎦化简整理得 故.410m -=，1m =±易知当时, 直线与双曲线相交, 所以当时, 以为直径的圆经过原点.1m =±1m =±AB 类型3: 利用曲线系求解切线问题【例8】 已知圆的方程为, 求经过圆上一点的切线方程.222x y r +=()00,M x y 【答案】 .200x x y y r +=【解析】视圆上的点为点圆,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=设所求圆方程为: ,()()()22222000x x y y x y r λ-+-++-=令, 得, 故切线方程为.1λ=-22220000222x x y y x y r r +=++=200x x y y r +=【注】在二次曲线系的应用中，“点圆”, “点椭圆”可助一臂之カ.本题中, 将点看成“二次曲线": ,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=即为“点圆”. 用类似的解法可得:(1)过圆上一点的切线方程为222()()x a y b r -+-=()00,M x y ()()()()200;x a x a y b y b r --+--=(2) 过椭圆上一点的切线方程为22221(0)x y a b a b +=>>()00,M x y 2200221;x y a b +=(3)过双曲线上一点的切线方程为；22221(0,0)x y a b a b -=>>()00,M x y 2200221x y a b-=(4)过抛物线上一点的切线方程为.22(0)y px p =>()00,M x y ()00y y p x x =+【例9】 求经过点且与圆相切于点的圆的方程.()4,1A -22(1)(3)5x y ++-=()1,2B 【答案】 .226250x y x y +--+=【解析】将切点视为点圆, 设所求圆的方程为:()1,2B 22(1)(2)0x y -+-=()2222(1)(2)2650x y x y x y λ⎡⎤-+-+++-+=⎣⎦将点坐标代入, 可得, 代入整理, 得所求方程为.A 12λ=-226250x y x y +--+=【例10】 求与拋物线相切于两点, 且过点的圆锥曲线方程.259y x =+()()0,3,1,2P Q --()2,1A -【答案】 .2225103117562970x xy y x y --+-+=【解析】过 和 两切点的直线方程是,()0,3P ()1,2Q --530x y -+=设所求的曲线方程是()2259(53)0, *y x x y λ--+-+=因曲线过点, 代人上式得.()2,1A -132λ=-再代入, 化简整理得所求的圆锥曲线方程是.()*2225103117562970x xy y x y --+-+=【注】运用此种解法比其他解法解决这类问题要简单得多，但切勿忘记将切点弦方程加上平方.类型4: 利用曲线系求解圆锥曲线上的四点共圆问题【例11】 已知为坐标原点, 为椭圆在轴正半轴上的焦点,O F 22:12y C x +=y过且斜率为的直线与交于两点, 点满足.F l C ,A B P 0OA OB OP ++=(1) 证明：点在上;P C (2) 设点关于点的对称点为, 证明： 四点在同一圆上.P O Q ,,,A P B Q 【答案】（1）见解析; (2) 见解析.【解析】 (1) 设, 直线, 与联立得,()()1122,,,A x y B x y :1l y =+2212y x +=2410x --=所以121214x x x x +==-由，得0OA OB OP ++=()()()1212,P x x y y -+-+()()())121212121121x x y y x x -+=-+=-+++=+-=-因为, 所以点在上.22(1)12⎛-+= ⎝P C (2) 解法 1:()()()2112224tan 11131PA PBPA PBx x k k APB y y k k ∠ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----++同理()214tan 13QB QA QA QBk k x x AQB k k ∠---====-+所以互补, 因此四点在同一圆上.,APB AQB ∠∠,,,A P B Q 解法 2:由和题设知, 的垂直平分线的方程为1P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,Q PQ ⎫⎪⎪⎭1l ()1yx =⋯设的中点为, 则的垂直平分线的方程为 (2)AB M 1,2M AB ⎫⎪⎪⎭2l 14y=+⋯由(1)(2)得的交点为,12,l l 18N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1NP x ==-=AM ===所以,NA NP NB NQ ===故四点在以为圆心的同一圆上.,,,A PB Q N 解法 3:由(1)得, 直线.1,P Q ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭PQ 0y -=又直线的方程为AB 1y =+10y +-=故两直线的二次方程为,AB PQ )10y y +--=由此可设过点的曲线系方程为,,,A P B Q①)()221220y y xy λ+--++-=即②()()2222120x y y λλλ++--+-=我们让②式表示圆, 则, 得 .221λλ+=-3λ=-代入①式化简得,224460x y y +--=即, 显然此方程表示一个圆, 故四点在同一圆上.22199864x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝,,,A P B Q【例12】 若两条直线与圆锥曲线有四个交点, ()1,2i i y k x b i =+=()220ax by cx dy c a b ++++=≠则四个交点共圆的充要条件是.120k k +=【答案】见解析【证明】两直线组成的曲线方程为, 则过四个交点的曲线方程可设为()()11220k x y b k x y b -+-+=()()()2211220k x y b k x y b ax by cx dy e λ-+-++++++=必要性：若四点共圆, 则方程(1)表示圆, 那么(1)式左边展开式中项的系数为零, 即有xy .120k k +=充分性：当时，令(1)式左边展开式中项的系数相等, 得, 120k k +=22,x y 121k k a b λλ+=+联立解得, 将其代入(1)式, 整理得21211, k k k a bλ+=-=-220x y c x d y e ++++''='由题设知四个交点在方程(2)所表示的曲线上，显然方程(2)表示圆, 即四个交点共圆.【注】本题表明：圆锥曲线的内接四边形ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.【例13】 设直线 与椭圆 交于 两点, 过 两点的圆与:43l y x =-22:12516x y E +=,A B ,A B E 交于另两点 , 则直线 的斜率为（ ,C D CD ）A. B. C.D. -414-2-14【答案】D【解析】设 , 所以, 则过:0CD l ax by c ++=()():430AB CD l l ax by c x y ⋃++--=,,,A B C D四点的曲线系为 .()()22:14302516x y C ax by c x y λ+-+++--=表示圆, 则系数相等, 且无项. 化简得C 22,x y xy 114251640a b b a λλλλ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解得 4.CD a k b=-=-【注】由例 12 结论可知：四点共圆.,,,A B C D 04CD AB CD k k k ⇔+=⇒=-【例14】 已知拋物线的焦点为, 直线与轴的交点为,2:2(0)C y px p =>F 4y =y P 与的交点为, 且.C Q 54QF PQ =(1) 求抛物线的方程;C (2) 过的直线与相交于两点, 若的垂直平分线与相交于两点, 且F l C ,A B AB l 'C ,M N ,,,A M B N四点在同一个圆上, 求直线的方程.l【答案】（1） (2)或.24; y x =10x y --=10x y +-=【解析】 (1) 设, 代入中得, 所以,()0,4Q x 22(0)y px p =>08x p =088,22p p PQ QF x p p==+=+依题意得, 解得或 （舍去)，故拋物线的方程为.85824p p p+=⨯2p =2p =-C 24y x =(2) 依题意知与坐标轴不垂直, 故可设的方程为.l l ()10x my m =+≠代入得. 设,24y x =2440y my --=()()1122,,,A x y B x y 则, 故的中点为.12124,4y y y y +==-AB ()221,2D m m +又的斜率为, 所以的方程为,l 'm -l '2123x y m m=-++由直线的方程及拋物线方程, 可设过四点的曲线系方程为:,l l ',,,A M B N ()()22112340x my x y m y x m λ⎛⎫--+--+-= ⎪⎝⎭()()2223211122223230x y m xy m x m m y m m m λλ⎛⎫⎛⎫+----++++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为四点共圆, 所以, 从而.,,,A M B N 111,0m mλ-=-=2,1m λ==±当时，化简式得，1m =()*2214450x y x y +-++=即, 此时直线的方程为:;22(7)(2)48x y -++=l 10x y --=当时，化简式得, 即1m =-()*2214450x y x y +--+=22(7)(2)48x y -+-=此时直线的方程为：, 所求直线的方程为：或.l 10x y +-=l 10x y --=10x y +-=【例15】 设, 过两定点, 分别引直线和, 使与拋物线0b a >>()(),0,,0A a B b l m 2y x =有四个不同的交点, 当这四点共圆时, 求和的交点的轨迹.l m P 【答案】点的轨迹是直线 (除去与和三个交点）.P 2a bx +=0y =2y x =【解析】设, 则:,()00,P x y ()()0000:,:y yPA y x a PB y x b x a x b=-=---将两直线合并为二次曲线: ，,PA PB ()()00000y yy x a y x b x a x b ⎡⎤⎡⎤--⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦又抛物线方程为,20y x -=则过四个点的二次曲线系方程为()()()200000y yy x a y x b y x x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为四个交点共圆, 则方程（*）表示圆, 四点必满足方程:(为常数)()()222110x x y y r -+--=11,,x y r 于是:()()()()()2222001100y y y x a y x b y x x x y y r x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对比两侧项的系数, 可得, 所以,xy 00000y y x a x b λ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭()02a b x +=即点的轨迹是直线(除去与和的三个交点）. P 2a bx +=0y =2y x =【注】本题借助曲线系方程,巧妙利用“四点共圆”的已知条件，成功避开了求交点的繁杂过程. 需 要注意的是,在对比系数时, 不必找出所有项的系数, 我们只要找出其中最好用的即可. 本例中, 由于圆 方程的特点：没有项, 即项系数为0 , 故对比项的系数即可得到结果.xy xy xy 类型5: 利用曲线系求解定点定值问题【例16】 已知椭圆中有一内接, 且(如图), 求证, 直线22126x y +=,60PAB XOP ∠= 0PA PB k k +=AB方向一定.【答案】见解析【解析】点的坐标为, 过点, 将点视作二重点P (P 0y +-=P ,于是直线的方程依次是:,P P ,,,PA PB PPAB ()()1100y k x y k x y px qy r -=--=--++=++=过四点的椭圆方程可写为,,,A P P B①()][()()110y k x y k x y px qy r λμ⎡⎤--⋅--+++⋅++=⎣⎦与椭圆方程②22126x y +=代表同一条二次曲线, 故比较①②中项系数, 可得：, 即为所求.xy pq-=【例17】 已知为椭圆 的左右顶点, 在直线 上任取一点, 连接,A B 22221(0)x y a b a b+=>>:l x m =P , 分别与椭圆交于, 连交轴于点, 求证: .PA PB ,C D ,CD CD x (),0Q n 2mn a =【答案】见解析【解析】设, 则,(),P m t ()():0:0:0:0PA tx m a y at PB tx m a y at AB y CD kx y kn ⎧-++=⎪---=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线得,PA PB 222210x y a b+-=,AB CD ()()()()()22221x y tx m a y at tx m a y at kx y kn y a b λμ⎛⎫⎡⎤+-+-++---=-- ⎪⎣⎦⎝⎭比较的系数得, 即xy ()()()k t m a t m a μ=---+2k tmμ=-比较的系数得, 即y ()()()kn at m a at m a μ-=--++22kn ta μ-=所以.2mn a =【例18】 已知椭圆, 四点2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()1231,1,0,1,1,P P P -中恰有三点在椭圆上.C (1) 求的方程;C (2) 设直线不经过点, 且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为, 证明:l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-过定点.l 【答案】（1） (2)见解析.221;4x y +=【解析】 (1) (过程略)221;4x y +=(2)设斜率分别为，其中22,P A P B 12,k k 121k k +=-则2122:10,:10P A k x y P B k x y -+=-+=将两直线方程合并为：()()12110 k x y k x y -+-+=联立方程组，（此方程组的解为三点的坐标）()()122211044k x y k x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩2,,P A B 整理得()()()2212212121(1)0411k k x y x y k k x k k y y ⎧+-+-=⎪⎨-=+-⎪⎩进而()()()2121(1)411y x y k k y y -+-=+-所以或（即点或）1y =()()12141x y k k y +-=+2P AB l 故直线的方程为：, 显然恒过定点.l ()()12141x y k k y +-=+l ()2,1-【例19】已知分别为椭圆的左、右顶点, 为的上顶点,A B 、222:1(1)x E y a a+=>G E 为直线上的动点,与的另一交点为与的另一交点为.8,AG GB P ⋅=6x =PA E ,C EB E D (1) 求的方程; (2) 证明：直线过定点.E CD 【答案】 (1) (2) 见解析221;9x y +=【解析】 (1) （过程略）2219x y +=(2) 设, 则()6,P t :930:330:0:0PA tx y t PB tx y t AB y CD x my n -+=⎧⎪--=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线,,PA PB 22990x y +-=,AB CD 得()()()()22999333x y bx y t tx y t y x my n λμ+-+-+--=--⎡⎤⎣⎦，比较的系数得;xy 121t μ-=比较的系数得, 所以.y 18t n μ=-32n =直线的方程为, 显然直线过定点.CD 32x my =+CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【例20】 已知椭圆和定点 过点2222:1(0)x y E a b a b+=>>()(),0,,0, (,0).M m N n a m n a m n -<<<⋅≠M作直线交椭圆于点, 直线分别交椭圆于另一个点. 设直线和E ,A B ,AN BN E ,P Q AB PQ的斜率为 证明:21,.k k (1) 直线经过定点;PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭(2) 为定值.2212222k a n k a mn n -=-+【答案】见解析.【解析】证明：如图, 设直线, 即()():,:A B AP y k x n BQ y k x n =-=-0A A k x y k n --=.则下面的曲线系方程表示经过点四点的曲线:0B B k x y k n --=,,,A B P Q ()()222210A AB B x y k x y k n k x y k n a b λ⎛⎫----++-= ⎪⎝⎭展开此方程得()()()222Λ22120A B A B A B B A B k k x y k k xy k k n x k k n y k k n a b λλλ⎛⎫⎛⎫++++--+-++⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即①()2222222222011111A B A B A b A B A B k k k k n k k n k k k k n a x y xy x y b b b b bλλλλλλλ++----⋅++⋅+⋅+⋅+=+++++取特殊的, 使该方程表示为直线和组合体对应的曲线方程λ()1:AB y k x m =-2:PQ y k x t =+，展开此方程得()()1120k x y mk k x y t ---+=②()()()()2212121121102k k x y k k xy k t k k m x t k m y k mt ⋅++--+-+-+-=由此存在实数, 使得方程①和方程②为同一个方程, 对照和项系数得,λxy y 112t k mn k k -+-=--即()12t k m n n k =--⋅由此知直线,()212:PQ y k x k m n n k =+--⋅其与轴的交点为.x ()212,0n k k m n E k ⋅--⎛⎫⎪⎝⎭设直线的交点为, 点在椭圆关于点的极线上，,AB PQ T T 2222:1(0)x y E a b a b +=>>(),0N n 2:a l x n=设极线与轴的交点为. 由此得l x 2,0a K n ⎛⎫⎪⎝⎭()()22211122222n k k m n k a a n m n k n k n k KN a a k KMm m n n⋅----+-⋅===--解得2212222k a n k a mn n -=-+故此时的方程为，PQ ()()22222222an m n y k x k n k a mn n --=+⋅-⋅-+即()22222222a m n mn y k x k a mn n -+=+⋅-+从而直线经过定点.PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭类型6: 证明圆锥曲线内接四边形的性质【例21】 试证明, 椭圆的内接矩形的两相邻边分别与椭圆的长短轴平行.【答案】见解析【解析】建立坐标系, 设矩形各边：,(), 1,2i i y k x h i ===则椭圆方程可写为,()()()()12120y k y k x h x h λμ--+--=显然,项系数为0, 故得证.xy。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题-解析版
第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题应用曲线系方程解题,即引入适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程,,然后根据题中的其他条件,通过推理,运算求出曲线系方程中的参数值,从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦,既减少了计算量,又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法.当然,由于曲线系方程的多样化、所给问题条件的隐蔽性,应用曲线系方程解题虽然减少了运算量,但对技巧的要求颇高,在高中数学竞赛中运用较为广泛,本讲对各类圆雉曲线系方程进行归纳总结. 圆锥曲线系方程:(1)共顶点圆锥曲线系方程222:1(x y a λλ+=为参数). (2)共渐近线双曲线系方程2222:(x y a b λλ-=为参数,0)λ≠.(3)共焦点圆锥曲线系方程:2221(x y c c λλ+=+为焦半径,λ为参数). 当0λ>时,表示共焦点椭圆系;当一20c λ<<时,表示共焦点双曲线系;当2c λ<-时,无轨迹.(4)共离心率圆锥曲线系方程222:(x y a bλλ±=为参数,0λ>). (5)过两圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系:若2211111122222222:0,:0c A x C y D x E y F c A x C y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩是有4个交点的二次曲线,则2211:c A x C y + ()22111222220D x E y F A x C y D x E y F λ++++++++=是过12,c c 的交点的圆雉曲线系,其中不包括2(c λ为参数).(6)过两条直线与圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=⎛++=⎝与圆锥曲线22:0c Ax Cy Dx Ey F ++++=有4个交点,则方程()()221112220Ax Cy Dx Ey F a x b y c a x b y c λ+++++++++=为过4个交点的圆锥曲线系方程.典型例题【例1】(1)求渐近线方程为340x y ±=,焦点为椭圆221105x y +=的一对顶点的双曲线的方程；(2)求与双曲线221164x y -=有共同的渐近线,且与直线5680x y --=相切的标准双曲线方程.【分析】当已知双曲线的渐近线方程为1(x ya b±=或y mx =±)时,可设双曲线的方程为2222x y a bλ-=或)222m x y λ-=(其中λ为不等于零的待定常数),以简化运算过程,这里方程(2222x y a b λλ-=∈R 且0λ≠)称之为与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线系,为解题带来方便.【解析】(1)依题意,可设双曲线的方程为22(169x y λλ-=±是正实数),当双曲线的焦点为椭圆的长轴的顶点,即)与()时,由222c a b =+,可得210169,5λλλ=+=,∴双曲线的方程为225513218x y -=;当双曲线的焦点为椭圆的短轴的顶点,即(与(0,时,双曲线的方程为(22169x y λλ-=-是正实数),即2211,5916,9165y x λλλλλ-=∴=+=. ∴双曲线的方程为2255 1.916y x -= (2)【解法1】(利用共渐近线双曲线系方程结合判别式法)设所求双曲线的方程为()220164x y λλ-=≠, 此双曲线与直线5680x y --=相切,且显然其渐近线都不平行于直线5680.x y --=∴由方程组221645680x y x y λ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩消去x ,得2462540y y λ-+-=,其判别式Δ=()2(6)442540λ--⨯⨯-=,解得14λ=. 故所求双曲线的标准方程为2211644x y -=,即2214x y -=. 【解法2】(利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法)设所有双曲线的方程为()220164x y λλ-=≠,即()224160x y λλ-=≠, 设其与直线5680x y --=相切的切点为()00,x y , 则切线方程为004160,x x y y λ--=∴有0000568.10,3416x y x y λλλ==∴==.代人双曲线方程中并化简得214,0,4λλλλ=≠∴=又,故所求双曲线的标准方程 为2214x y -=. 【解法3】(利用共渐近线双曲线系方程结合双曲线参数方程解)设所求双曲线方程为()2210164x y λλλ-=≠,双曲线上一点M的坐标为θ,)θ,以此点为切点的双曲线的切线方程为1164x yθθλλ⋅⋅-=,化简得sec 2tan x y θθ⋅-⋅=它和直线568x y -=重合,sec 2tan 56θθ∴==即22sec tan 2594θθλ-==-,由等 比定理得22sec tan 2594θθλ-=-,即11,1644λλ==,代人原双曲线方程得2214x y -=,此 即为所求.【例2】讨论方程221259x y k k+=--所表示的曲线. 【分析】观察方程可以发现其中心在原点,是有心曲线,对称轴为坐标轴,若2590k k ->->,则方程表示椭圆系,()()225916,4;c k k c =---==若250,90,k k ->⎧⎨-<⎩方程表示则曲线系,()()225916,4c k k c =-+-==.所有的曲线焦点相同,因此,原方程表示中心在原点,对称轴为坐标轴,有相同焦点的圆锥曲线系.【解析】由所给方程知25k ≠且9k ≠,原方程可化为()()()()22925259k x k y k k -+-=--它表示中心在原点,对称轴为两坐标轴的有心圆锥曲线系. (1)当9k <时,它的曲线是椭圆.()()22225916,c a b k k =-=---=∴焦点为()4,0-和()4,0.(2)当925k <<时,它的曲线是双曲线.()()22225916,c a b k k =+=-+-=∴焦点为()4,0-和()4,0.(3)当25k >时,250,90k k <-<一,方程无实数解,故方程无轨迹.因此,原方程表示的是具有同一中心,相同对称轴、相同焦点的有心圆锥曲线系.【例3】已知圆22(1)9x y -+=和双曲线221x y -=,求通过它们的4个交点和点()0,2M 的二次曲线方程.【分析】构造过圆与双曲线4个交点的圆锥曲线系,而圆锥曲线系过点(0M ,2),可待定参数的值,从而大大减少运算量.【解析】圆方程和双曲线方程可分别写成2222280,10x y x x y +--=--=,将其中第二个方 程乘以任意实数λ,然后与第一个方程相加,得()()22222810x y x x y λ+--+--= 圆和双曲线的任一交点的坐标同时满足圆方程和双曲线的方程,因而使式左边两个括号里面代数式的值同时为0,所以这些交点都在①式表示的二次曲线上.将点M 的坐标()0,2代入(1)式,得4450,.5λλ--=∴=-将所得λ值代入(1)式,得()()2222428105xy x x y +-----= 化简得22910360x y x +--=,即22(5) 1.61619x y -+=所得的曲线是一个椭圆,它的中心是点()5,0,焦点在x 轴上,3(如图23-所示)．【例4】一条圆锥曲线过点17,22⎛⎫-⎪⎝⎭,切直线250x y -+=于点()1,3,切直线52200x y +-=于点()4,0,求它的方程.【分析】由于圆锥曲线的形态不清楚,无法直接求解,只能通过圆锥曲线系来解,如何列出符合条件的圆锥曲线系是关键.【解析】过点()()1,3,4,0的直线方甶为40x y +-=,①由于()()1,3,4,0都是切点,直线(1)可以看作是两条重合的直线(退化了的曲线),于是所求方程可写成()()2255220(4)0x y x y x y λ-++-++-=.②再由曲线过点17,22⎛⎫-⎪⎝⎭,代人(2)式,解得254λ=.故所求方程为22451891800x xy y x ++-=.【例5】(1)(蝴蝶定理)过圆AB 弦的中点M ,任意作两弦CD 和,EF CF 和ED 交弦AB 于,P Q ,求证:PM QM =;(2)AB 是圆Γ的一条定弦,O 为AB 上的定点,过点O 作圆Γ的两条弦CD 和EF ,弦CF 和OA 交于点I ,弦DE 与OB 交于点.J求证:11OA OB-=∣∣ 11OI OJ - 【分析】运用曲线系方程证明蝴蝶定理及其推广比用平面几何知识证明要简便许多. 【证明】(1)如图24-所示,以M 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设圆方程为222()()x y b r b r +-=<设直线,CD EF 的方程分别为12,y k x y k x ==.将它们合并为()()120y k x y k x --=,于是过点,,C D E F 、的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=令0y =,得()2221210k k x b λγ++-=,即过点,,,C D E F 的曲线系与AB 交于点,P Q 的横坐标是方程()2221210k k x b λγ++-=的两个根.由韦达定理得0P Q x x +=,即M 是PQ 的中点,故PM QM =(2)如图25-所示,以O 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,设圆Γ的方程为220x y dx ey f ++++=:120,:0.CD EF l x t y l x t y -=-=则直线,CD EF 合成的二次曲线方程为)()12(0x t y x t y --= 从而,经过,,,C D E F 这4点的曲线系方程为()()2212x y dx ey f x t y x t y λ+++++--=0∴存在λ,使得(1)为直线CF DE 、合成的二次曲线.在①中,令0y =,则1,J x x 是方程()210x dx f λ+++=的两个根.由韦达定理得11,11s J d fx x x x λλ+=-⋅=++. 1111110,0,0,.I J I J J J x x d x x f OI OJ x x x x f+≠∴-=-=-=- 在(1)中,令0,0y λ==,则,A B x x 是方侱20x dx f ++=的两个根. 由韦达定理得,,0,0,0A B A B A B x x d x x f x x f +=-⋅=≠又,1111.1111.A B A B A B x x dOA OB x x x x fOA OB OI OJ+∴-=-=-=--=-故【例6】已知任意二次曲线,S AB 是曲线S 的弦,O 是AB 的中点,过点O 任意作弦CD 、EF ,过点,,,C D E F 另作一条任意二次曲线t ,如果曲线t 与直线AB 交于点P 、Q ,求证:.OP OQ =【分析】上例介绍了平面几何蝴蝶定理的证明和应用,本例是平面几何蝴蝶定理的推广,从圆一步飞跃到任意的二次曲线,联结圆上4点的两直线CF 和DE 也直接换成一般的二次曲线,从蝴蝶定理的特殊图形里看到一般的二次曲线系,升级换代、一次到位,不是拾级而上,而是直上高楼,美景无限.观察如图26-所示图形,里面是否隐藏着一只飞舞的蝴蝶?【证明】如图()26a -所示,取直线AB 为y 轴,O 为原点,AB 方向为y 轴的正方向建立直角坐标系.设OA OB a ==,则点A 的坐标为()0,a -,点B 的坐标为()0,a . 二次曲线S 通过点()()0,,0,A a B a -,∴在曲线S 的方程中,当0x =时,应有22y a =.因而二次曲线S 的方程形如：2220Ax Bxy y Dx a +++-=又：弦,CD EF 者通过原点O ,且与直线AB 相交(因而都不是y 轴).∴可设它们的方程分别为12,.y k x y k x ==这一对直线CD 和FE 合在一起,可以看成一条退化二次曲线u . 其方程为()()120y k x y k x --=.(2)曲线(1)和(2)相交于点,,C D E F 、,利用曲线系知识,通过,,,C D E F 的二次曲线 系的方程为()()()222120Ax Bxy y Dx a y k x y k x λ+++-+--=,(3) 若曲线(3)中的一条二次曲线t 交y 轴于点()10,P y 和点()20,Q y , 则在(3)式中以0x =代人,得()2210y a λ+-=,(4)1y 和2y 应该是所得二次方程(4)的两个实数根,由二次方程根与系数的关系,得12120,y y y y +=∴=-,即OP OQ =.【例7】(1)4条直线1234:3150,:60,:50,:0l x y l kx y l x y l y +-=--=+==围成一个四边形,问k 取何值时,该四边形有一个外接圆,并求出外接圆的方程;（2)已知椭圆221:9236270C x y x y +--+=与双曲线222:4250C x y y -+-=有4个交点,求证:此4个交点共圆,并求出此圆的中心坐标.【分析】第(1)问,用直线方程交,点构成的二次其线系方程求解;第(2)问,用过两圆锥曲线交点的二次曲线系方程求解或证明.【解析】（1）设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为()()()315560x y x y kx y y λ+-++--⋅=()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++--+--=即22151,4151590.780k x y x y k λλ-=⎧=-⋅∴+--=⎨+=⎩解得由∣所求圆的方程为(2)【证明】设过1C 和2C 交点的曲线系方程为()22229236274250x y x y x y y λ+--++-+-=(不包括)2C ,即()()()2214923622750.x y x y λλλλ++----+-=显然,当149λλ+=-,即85λ=时,曲线系方程表示一个过1C 和2C 交点的圆. 将85λ=代人曲线系方程化简得:22373710164950x y x y +--+=, 即椭圆与双曲线的4个交点共圆。
巧用曲线系方程妙解题
巧用曲线系方程妙解题
曲线系方程是数学中一种重要的工具，它能够帮助我们解决各种问题。
有些问题可以通过曲线系方程解决：
1、找出直线上的某一点：两个直线的交点可以通过解曲线系方程确定。
例如，两个直线y=2x-3和y=x+1，它们的交点可以解出x=2，y=3；
2、求偏移量：如果两个直线具有某种特定的相对位置关系，可以计算它们的偏移量。
例如，两个直线y=3x+9和y=x+1的偏移量可以通过解出x=-8，y=-5得出；
3、求抛物线的焦点：若要求抛物线的焦点，则可以通过求解相应的曲线系方程而得出，如y=x^2的焦点可以通过解出x=0，y=0的方程而确定；
4、求圆的方程：要得到圆的方程，只需要给出它的半径和圆心，然后通过曲线系方程可以得到它的方程，如圆心为(2,3)，半径为5的圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25。
由此可见，曲线系方程可以为我们解决上述类似的问题，它的作用是十分巧妙的。
活用曲线系方程 巧解解析几何题
例 ４．求 过 直 线 ２ｘ＋ｙ＋４＝０和 网 ＋ ＋２ｘ＋４ｙ＋ｌ：０ 的
交 点 ，Ⅱ 过 原 点 的 同 ‘程 。
解 ：设所求网的方程 为：
ｘ。４ －
ｙ ＋２ｘ一４ｙ＋１４ －Ｚ（２ｘ＋Ｙ４ －４）＝０·
一 程为专＋ ＝
即 ！＋ ：１
３６ １６
四 、双 曲线 系 方 程
１．共焦点的双曲线系方程 南 ＋ ｙ２＿ｌ或妄＋≥ －１
‘ 程为
２ ＋２ｙ一１１＝０，两 直 线
的父，点 是 １１ｔ１）
，
当 网
积
最 ：一 １１ ，所以Ｉ＾ｉ积最小
的 同 的方 程 是 ４ｘ ＋４ｙ 一２２ｘ一２２ｙ＋２１＝０
三 、椭 圆 系 方 程 １．共 焦 点 的椭 网系 方 程 ：
．．
· ．
·
Ｌ与直线
厶：３ｘ＋ｙ－１：０平行’．．．半ｊ ：竿ｌ ≠型≠。
— Ｉ
Ｔ ｌ
解 得 ： ．所 以 直线 Ｌ的方 程 为 ：１５ｘ＋５ｙ＋１６＝０．
即 ｘ。＋Ｙ ＋２（１＋ ｘ＋（ 一４）ｙ＋（１＋４柚＝０，因为过 原点 ，
所 以 ｌ＋４ｋ＝０，得 ： 一 １
。
故所求网的方程为：ｘ２＋ｙ２ ４．；ｘ一 ｙ－Ｄ。
—
—
一
经验父 流
】ｌ 蠕 Ａ 聃Ａ◇ 一 臻
蓿 缀 氡 辑
文 ／吴 永 芳
选 用 恰 当方 法 ，简 化 解 题 过 程 ，是 顺 利 解 答 平 解 析几 何
问题 火 键 所 在 。灵 活 运 用 曲 线 系 的方 法 ，能 非 常 简便 地 解 答 很
多解 析几 何 问题 。
２．过 两 相交 网 交 点 的 冈系 的方 程 两 已 知 网 Ｃ，：ｆｌ ｘ，Ｙ）＝ｏ 和 Ｃ ：ｆ１（ｘ，Ｙ）＝０的 市Ｈ交 ，则 过 同 Ｃ 和 Ｃ 的 交 点 的 网 系 的 方 程 是 ｆ１ ｘ，Ｙ）＋ （ｘ，Ｙ）＝０（ ≠一１），不 包 含 网 Ｃ：ｆ１（ｘ，ｙ）＝Ｏ．若 一 １ 时 ，变 为直 线 ｆｊ（ｘ，ｙ）＋Ｘｆｄｘ，Ｙ）＝０．
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巧用过两圆交点的曲线系方程解题
河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文Email:zhaojw1968@
已知圆A ：2x +2y +1D x +1E y +1F =0与圆B ：2
x +2y +2D x +2E y +2F =0，方程：2x +2y +1D x +1E y +1F +λ(2x +2y +1D x +1E y +1F )=0 ①,当λ≠1-时，方程①表示过圆A 与圆B 的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A ，但不能表示圆B ；当λ=1-时，若圆A 与圆B 相交，方程①表示圆A 与圆B 的公共弦所在的直线方程，当圆A 与圆B 相切时，方程①表示圆A 与圆B 的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果，本文将过两圆交点的曲线系方程在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程
例1求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x +2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直
线：250x y --=的圆的方程.
分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.
解析：设所求圆的方程为：2x +2y 2x -+2y +1+(λ2x +2y +4x 2y -4-)=0(λ≠1-).
整理得 22(1)(1)(42)2(1)14x y x y λλλλλ++++-+-+-=0， 所以所求圆的圆心为121(,)11λλλλ
--++， 由已知知所求圆的圆心在直线：250x y -+=上， 所以
1212511λλλλ
---⨯+++＝0，解得，λ=8-，代入圆系方程整理得， 所以，所求圆的方程为223418330777x y x y ++--=. 点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数λ不等于1-这一条件，同学们应很好掌握这一方法.
二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程
例2已知圆O ：22
2410x y x y +-++=和圆外一点A （3，4），过点A 作圆O 的切线，切点分别为C 、D ，求过切点C 、D 的直线方程.
分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO 为直径的圆上，故直线CD 是以线段AO 为直径的圆与圆O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.
解析：由切线性质知，切点C 、D 在以线段AO 为直径的圆上，由题知，O(1,2-)，
∴，线段AO 的中点为（2，1）， ∴以线段AO 为直径的圆的方程为，22
(2)(1)10x y -+-=，即
224250
+---=，
x y x y
圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0，
∴直线CD的方程为x+3y+3=0.
点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数λ为何值时表示圆，参数λ为何值时表示直线.。