曲线系方程

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平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用(原稿)

平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用王永洪1北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081过平面曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程可表示为12(,)(,)(,)0f x y x y f x y λ+=，其中(,)x y λ的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解(,)x y λ表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。

用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中(,)x y λ应具有的形式。

平面二次曲线方程的一般形式是221112*********a x a xy a y a x a y a +++++=，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。

为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程1(,)0f x y =和直线方程2(,)0f x y =为例，这时的曲线系方程为：11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断21112212I a a a =-的符号：10I >，曲线为椭圆或圆，10I =，曲线为抛物线，10I <，曲线为双曲线。

有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。

高中数学：曲线系方程的应用

高中数学：曲线系方程的应用如果两条曲线方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0的曲线也经过点P（λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)＝0和f2（x，y）＝0交点的曲线系方程为：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一、直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程y－y0＝k（x －x0）（k为参数）（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax ＋By＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx －Ay＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）例1、已知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线L的方程。

解析：设直线L的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。

∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。

∵L与直线3x＋y－1＝0平行，∴。

解得：λ＝。

所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0例2、求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解析：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点P（9，－4）说明：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

二、圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0为常数，r为参数。

第20讲曲线系及其应用(解析几何)(解析版)

第20讲曲线系及其应用知识与方法1.曲线系与曲线系方程的概念曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示. 曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,x,y x,y这样的方程叫曲线系方程.2.过两曲线交点的曲线系若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为C1:f1(x,y)=0C2:f2(x,y)=0（不包括或者.f1(x,y)+λf2(x,y)=0f2(x,y)=0）λf1(x,y)+μf2(x,y)=03.一次曲线系（直线系)具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程. 下面是几种常见的直线系方程:(1)过已知点的直线系方程或(为参数）;P(x0,y0)y−y0=k(x−x0)x=x0(2)斜率为的直线系方程：是参数）;k y=kx+b（b(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Ax+By+λ=0（λ(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Bx−Ay+λ=0(λ(5)过直线与的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0为参数）（不包括直线）A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ l24.二次曲线系圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式. 二次曲线系的一般形式为:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0两条直线所组成的二次曲线方程为:(Ax+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=01熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:定理给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们可以进一步得到一些重要结论. 为简单起见,以下将两直线的并体记作l1,l2,那么可以理解为一条退化的二次曲线,其方程简记为.l1⋅l2l1⋅l2l1(x,y)⋅l2(x,y)=0推论1如果两条直线的方程为,分别记为,即A i x+B i y+C i=0(i=1,2)l i(x,y)(i=1,2),它们与一条二次曲线有交点,那么曲线系l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0F(x,y)=0λF(x,y)+μl1(x,y)⋅l2(x,y)=0经过这些交点.如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含有所有过此四点的二次曲线.由推论可知:若二次曲线的方程为: ,则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(1)已知四边形四条边的方程为l i:A i x+B i y+C i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线方程为.l1(x,y)l3(x,y)+λl2(x,y)l4(x,y)=0(2)过两直线与一条二次曲线的四个交点的二次曲线系的方程为l1,l2f(x,y)=0f(x,y)+λl1(x,y)l2(x,y)=0(3)与两条已知直线分别切于点的二次曲线系方程为, 其中l1,l2M1,M2l1(x,y)l2(x,y)+λl23(x,y)=0l3(x,是直线的方程.y)M1M2推论为不共线的三点,直线的方程为2P i(i=1,2,3)P i P i+1(i=1,2,3,P4=P1)l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0，则曲线系:λl1(x,y)⋅l2(x,y)+λ2l2(x,y)⋅l3(x,y)+λ3l3(x,y)⋅l1(x,y)=01表示所有过三点的二次曲线.P1,P2,P3典型例题类型利用曲线系求曲线方程1:【例1】已知椭圆与两直线C:x2+2y2=4l1:x+y−1=0,l2:2x−2y+1=0,各有两个交点,求过此四个交点及点的二次曲线.(−1,1)【答案】.5x2+4y2−x+3y−13=0【解析】显然四个交点不共线,可设所求曲线方程为,λ(x2+2y2−4)+(x+y−1)(2x−2y+1)=0将点的坐标代人方程,即得.故所求椭圆方程为.(−1,1)λ=35x2+4y2−x+3y−13=0【注】利用曲线系求曲线方程的步䐂:(1)设出曲线系方程;(2)根据条件求出参数;(3)回代即得所求方程.类型2：圆系问题【例2】求经过两圆和的交点,并且圆心在直线x2+y2+6x−4=0x2+y2+6y−28=0x−y−4=0的圆的方程.【答案】.x2+y2−x+7y−32=0【解析】设所求圆的方程为,x2+y2+6x−4+λ(x2+y2+6y−28)=0化简得，(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy−(28λ+4)=0因为圆心在直线上,所以 ,(−31+λ,−3λ1+λ)x−y−4=0−31+λ+−3λ1+λ−4=0解得,即得所求圆的方程为.λ=−7x 2+y 2−x +7y−32=0【例3】三边所在直线方程为: ,求的外接圆的方程. △ABC x−2y−5=0,3x−y =0,x +y−8=0△ABC 【答案】x 2+y 2−4x−2y−20=0【解析】外接圆方程可写为△ABC (x−2y−5)⋅(3x−y )+λ1(3x−y )(x +y−8)+λ2(x +y−8)(x−2y−5)=0即(3λ1+λ2+3)x 2+(2λ1−λ2−7)xy +(−λ1−2λ2+2)y 2+(−24λ1−13λ2−15)x+(8λ1+11λ2+5)y +40λ2=0于是,解得:,将它们代入，{2λ1−λ2−7=03λ1+λ2+3=−λ1−2λ2+2λ1=2,λ2=−3即得外接圆方程为 .△ABC x 2+y 2−4x−2y−20=0【例4】椭圆与直线交于两点,点的坐标为.求过x 2+2y 2−2=0x +2y−1=0B ,C A (2,2)A ,B ,C 三点的圆的方程.【答案】6x 2+6y 2−9x−14y−2=0【解析】我们可以先求出B ,C点的坐标,利用推论2求解,不过这里可从另一个角度思考问题,二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2过两点,但十分明显地不包含过的所有曲线,过y−1)=0B ,C B ,C B ,C 的圆就不在其中.不过我们可以“就势”一变,再构造二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2y−1)(x−2y +m )=0(∗)这就包含了过的圆了.展开,得B ,C (λ+μ)x 2+(2λ−4μ)y 2+μ(m−1)x +2μ(m +1)y−mμ−2λ=0令,并取,即得.λ+μ=2λ−4μμ=1λ=5代入得.(∗)6x 2+6y 2+(m−1)x +2(m +1)y−m−10=0将点坐标代人,得,代人得所求圆的方程为.A m =−86x 2+6y 2−9x−14y−2=0【注】这里添加直线,原因是过三点的圆是唯一的,且缺项.x−2y +m =0A ,B ,C xy【例5】四条直线围成一个四边形,问l 1:x +3y−15=0,l 2:kx−y−6=0,l 3:x +5y =0,l 4:y =0k取何值时, 此四边形有个外接圆,并求此外接圆的方程.【答案】.x 2+y 2−15x−159y =0【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系的方程为.(x +3y−15)(x +5y )+λ(kx−y−6)y =0整理得, 方程表示圆, 则解得()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++---+=151,80.k λλ-=+=, 故此四边形外接圆的方程为.414,7k λ==-22151590x y x y +--=【例6】设过坐标原点的直线与拋物线交于两点, 且以l ()2:41C y x =-,A B AB 为直径的圆恰好经过拋物线的焦点, 求直线的方程.C F l【答案】.y =【解析】设直线的方程为, 构造过的二次曲线系l y kx =,A B ,()()()2410y x kx y kx y m λ--+-++=即,①()()2221440k x y mk x my λλλλ+-+--+=令得，代入①即得过两点的圆的方程是21k λλ=-211k λ=+,A B 222222224401111k k mk m x y x y k k k k ⎛⎫++--+= ⎪++++⎝⎭因点在圆上，于是有()2,0F 2224244011k mk k k ⎛⎫+-+= ⎪++⎝⎭又以为直径的圆的圆心在直线上, AB y kx =22411m mk k k k ⎛⎫∴=-- ⎪++⎝⎭由上两式消去, 解得故所求的直线的方程是m k =l y x =【例7】已知直线与双曲线相交于两点, 当为何值时, 以10mx y -+=2231x y -=,A B m AB为直径的圆经过原点.【答案】 .1m =±【解析】构造二次曲线系: ,()()223110x y mx y mx y n λ--+-+++=即()()()()222311110m x y m n x n y n λλλλλ+-++++-+-=，令得，又圆经过原点，代入得，于是方程可表示为()231m λλ+=-+241m λ-=+1n λ=222253m x y mx y m ++-+=-又圆心在直线上，故()225,223m m m ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭10mx y -+=()22510223m m m m ⎡⎤+⎢⎥⋅--+=-⎢⎥⎣⎦化简整理得故.410m -=，1m =±易知当时, 直线与双曲线相交, 所以当时, 以为直径的圆经过原点.1m =±1m =±AB 类型3: 利用曲线系求解切线问题【例8】已知圆的方程为, 求经过圆上一点的切线方程.222x y r +=()00,M x y 【答案】 .200x x y y r +=【解析】视圆上的点为点圆,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=设所求圆方程为: ,()()()22222000x x y y x y r λ-+-++-=令, 得, 故切线方程为.1λ=-22220000222x x y y x y r r +=++=200x x y y r +=【注】在二次曲线系的应用中，“点圆”, “点椭圆”可助一臂之カ.本题中, 将点看成“二次曲线": ,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=即为“点圆”. 用类似的解法可得:(1)过圆上一点的切线方程为222()()x a y b r -+-=()00,M x y ()()()()200;x a x a y b y b r --+--=(2) 过椭圆上一点的切线方程为22221(0)x y a b a b +=>>()00,M x y 2200221;x y a b +=(3)过双曲线上一点的切线方程为；22221(0,0)x y a b a b -=>>()00,M x y 2200221x y a b-=(4)过抛物线上一点的切线方程为.22(0)y px p =>()00,M x y ()00y y p x x =+【例9】求经过点且与圆相切于点的圆的方程.()4,1A -22(1)(3)5x y ++-=()1,2B 【答案】 .226250x y x y +--+=【解析】将切点视为点圆, 设所求圆的方程为:()1,2B 22(1)(2)0x y -+-=()2222(1)(2)2650x y x y x y λ⎡⎤-+-+++-+=⎣⎦将点坐标代入, 可得, 代入整理, 得所求方程为.A 12λ=-226250x y x y +--+=【例10】求与拋物线相切于两点, 且过点的圆锥曲线方程.259y x =+()()0,3,1,2P Q --()2,1A -【答案】 .2225103117562970x xy y x y --+-+=【解析】过和两切点的直线方程是,()0,3P ()1,2Q --530x y -+=设所求的曲线方程是()2259(53)0, *y x x y λ--+-+=因曲线过点, 代人上式得.()2,1A -132λ=-再代入, 化简整理得所求的圆锥曲线方程是.()*2225103117562970x xy y x y --+-+=【注】运用此种解法比其他解法解决这类问题要简单得多，但切勿忘记将切点弦方程加上平方.类型4: 利用曲线系求解圆锥曲线上的四点共圆问题【例11】已知为坐标原点, 为椭圆在轴正半轴上的焦点,O F 22:12y C x +=y过且斜率为的直线与交于两点, 点满足.F l C ,A B P 0OA OB OP ++=(1) 证明：点在上;P C (2) 设点关于点的对称点为, 证明：四点在同一圆上.P O Q ,,,A P B Q 【答案】（1）见解析; (2) 见解析.【解析】 (1) 设, 直线, 与联立得,()()1122,,,A x y B x y :1l y =+2212y x +=2410x --=所以121214x x x x +==-由，得0OA OB OP ++=()()()1212,P x x y y -+-+()()())121212121121x x y y x x -+=-+=-+++=+-=-因为, 所以点在上.22(1)12⎛-+= ⎝P C (2) 解法 1:()()()2112224tan 11131PA PBPA PBx x k k APB y y k k ∠ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----++同理()214tan 13QB QA QA QBk k x x AQB k k ∠---====-+所以互补, 因此四点在同一圆上.,APB AQB ∠∠,,,A P B Q 解法 2:由和题设知, 的垂直平分线的方程为1P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,Q PQ ⎫⎪⎪⎭1l ()1yx =⋯设的中点为, 则的垂直平分线的方程为 (2)AB M 1,2M AB ⎫⎪⎪⎭2l 14y=+⋯由(1)(2)得的交点为,12,l l 18N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1NP x ==-=AM ===所以,NA NP NB NQ ===故四点在以为圆心的同一圆上.,,,A PB Q N 解法 3:由(1)得, 直线.1,P Q ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭PQ 0y -=又直线的方程为AB 1y =+10y +-=故两直线的二次方程为,AB PQ )10y y +--=由此可设过点的曲线系方程为,,,A P B Q①)()221220y y xy λ+--++-=即②()()2222120x y y λλλ++--+-=我们让②式表示圆, 则, 得 .221λλ+=-3λ=-代入①式化简得,224460x y y +--=即, 显然此方程表示一个圆, 故四点在同一圆上.22199864x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝,,,A P B Q【例12】若两条直线与圆锥曲线有四个交点, ()1,2i i y k x b i =+=()220ax by cx dy c a b ++++=≠则四个交点共圆的充要条件是.120k k +=【答案】见解析【证明】两直线组成的曲线方程为, 则过四个交点的曲线方程可设为()()11220k x y b k x y b -+-+=()()()2211220k x y b k x y b ax by cx dy e λ-+-++++++=必要性：若四点共圆, 则方程(1)表示圆, 那么(1)式左边展开式中项的系数为零, 即有xy .120k k +=充分性：当时，令(1)式左边展开式中项的系数相等, 得, 120k k +=22,x y 121k k a b λλ+=+联立解得, 将其代入(1)式, 整理得21211, k k k a bλ+=-=-220x y c x d y e ++++''='由题设知四个交点在方程(2)所表示的曲线上，显然方程(2)表示圆, 即四个交点共圆.【注】本题表明：圆锥曲线的内接四边形ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.【例13】设直线与椭圆交于两点, 过两点的圆与:43l y x =-22:12516x y E +=,A B ,A B E 交于另两点 , 则直线的斜率为（ ,C D CD ）A. B. C.D. -414-2-14【答案】D【解析】设 , 所以, 则过:0CD l ax by c ++=()():430AB CD l l ax by c x y ⋃++--=,,,A B C D四点的曲线系为 .()()22:14302516x y C ax by c x y λ+-+++--=表示圆, 则系数相等, 且无项. 化简得C 22,x y xy 114251640a b b a λλλλ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解得 4.CD a k b=-=-【注】由例 12 结论可知：四点共圆.,,,A B C D 04CD AB CD k k k ⇔+=⇒=-【例14】已知拋物线的焦点为, 直线与轴的交点为,2:2(0)C y px p =>F 4y =y P 与的交点为, 且.C Q 54QF PQ =(1) 求抛物线的方程;C (2) 过的直线与相交于两点, 若的垂直平分线与相交于两点, 且F l C ,A B AB l 'C ,M N ,,,A M B N四点在同一个圆上, 求直线的方程.l【答案】（1） (2)或.24; y x =10x y --=10x y +-=【解析】 (1) 设, 代入中得, 所以,()0,4Q x 22(0)y px p =>08x p =088,22p p PQ QF x p p==+=+依题意得, 解得或（舍去)，故拋物线的方程为.85824p p p+=⨯2p =2p =-C 24y x =(2) 依题意知与坐标轴不垂直, 故可设的方程为.l l ()10x my m =+≠代入得. 设,24y x =2440y my --=()()1122,,,A x y B x y 则, 故的中点为.12124,4y y y y +==-AB ()221,2D m m +又的斜率为, 所以的方程为,l 'm -l '2123x y m m=-++由直线的方程及拋物线方程, 可设过四点的曲线系方程为:,l l ',,,A M B N ()()22112340x my x y m y x m λ⎛⎫--+--+-= ⎪⎝⎭()()2223211122223230x y m xy m x m m y m m m λλ⎛⎫⎛⎫+----++++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为四点共圆, 所以, 从而.,,,A M B N 111,0m mλ-=-=2,1m λ==±当时，化简式得，1m =()*2214450x y x y +-++=即, 此时直线的方程为:;22(7)(2)48x y -++=l 10x y --=当时，化简式得, 即1m =-()*2214450x y x y +--+=22(7)(2)48x y -+-=此时直线的方程为：, 所求直线的方程为：或.l 10x y +-=l 10x y --=10x y +-=【例15】设, 过两定点, 分别引直线和, 使与拋物线0b a >>()(),0,,0A a B b l m 2y x =有四个不同的交点, 当这四点共圆时, 求和的交点的轨迹.l m P 【答案】点的轨迹是直线 (除去与和三个交点）.P 2a bx +=0y =2y x =【解析】设, 则:,()00,P x y ()()0000:,:y yPA y x a PB y x b x a x b=-=---将两直线合并为二次曲线: ，,PA PB ()()00000y yy x a y x b x a x b ⎡⎤⎡⎤--⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦又抛物线方程为,20y x -=则过四个点的二次曲线系方程为()()()200000y yy x a y x b y x x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为四个交点共圆, 则方程（*）表示圆, 四点必满足方程:(为常数)()()222110x x y y r -+--=11,,x y r 于是:()()()()()2222001100y y y x a y x b y x x x y y r x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对比两侧项的系数, 可得, 所以,xy 00000y y x a x b λ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭()02a b x +=即点的轨迹是直线(除去与和的三个交点）. P 2a bx +=0y =2y x =【注】本题借助曲线系方程,巧妙利用“四点共圆”的已知条件，成功避开了求交点的繁杂过程. 需要注意的是,在对比系数时, 不必找出所有项的系数, 我们只要找出其中最好用的即可. 本例中, 由于圆方程的特点：没有项, 即项系数为0 , 故对比项的系数即可得到结果.xy xy xy 类型5: 利用曲线系求解定点定值问题【例16】已知椭圆中有一内接, 且(如图), 求证, 直线22126x y +=,60PAB XOP ∠= 0PA PB k k +=AB方向一定.【答案】见解析【解析】点的坐标为, 过点, 将点视作二重点P (P 0y +-=P ,于是直线的方程依次是:,P P ,,,PA PB PPAB ()()1100y k x y k x y px qy r -=--=--++=++=过四点的椭圆方程可写为,,,A P P B①()][()()110y k x y k x y px qy r λμ⎡⎤--⋅--+++⋅++=⎣⎦与椭圆方程②22126x y +=代表同一条二次曲线, 故比较①②中项系数, 可得：, 即为所求.xy pq-=【例17】已知为椭圆的左右顶点, 在直线上任取一点, 连接,A B 22221(0)x y a b a b+=>>:l x m =P , 分别与椭圆交于, 连交轴于点, 求证: .PA PB ,C D ,CD CD x (),0Q n 2mn a =【答案】见解析【解析】设, 则,(),P m t ()():0:0:0:0PA tx m a y at PB tx m a y at AB y CD kx y kn ⎧-++=⎪---=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线得,PA PB 222210x y a b+-=,AB CD ()()()()()22221x y tx m a y at tx m a y at kx y kn y a b λμ⎛⎫⎡⎤+-+-++---=-- ⎪⎣⎦⎝⎭比较的系数得, 即xy ()()()k t m a t m a μ=---+2k tmμ=-比较的系数得, 即y ()()()kn at m a at m a μ-=--++22kn ta μ-=所以.2mn a =【例18】已知椭圆, 四点2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()1231,1,0,1,1,P P P -中恰有三点在椭圆上.C (1) 求的方程;C (2) 设直线不经过点, 且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为, 证明:l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-过定点.l 【答案】（1） (2)见解析.221;4x y +=【解析】 (1) (过程略)221;4x y +=(2)设斜率分别为，其中22,P A P B 12,k k 121k k +=-则2122:10,:10P A k x y P B k x y -+=-+=将两直线方程合并为：()()12110 k x y k x y -+-+=联立方程组，（此方程组的解为三点的坐标）()()122211044k x y k x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩2,,P A B 整理得()()()2212212121(1)0411k k x y x y k k x k k y y ⎧+-+-=⎪⎨-=+-⎪⎩进而()()()2121(1)411y x y k k y y -+-=+-所以或（即点或）1y =()()12141x y k k y +-=+2P AB l 故直线的方程为：, 显然恒过定点.l ()()12141x y k k y +-=+l ()2,1-【例19】已知分别为椭圆的左、右顶点, 为的上顶点,A B 、222:1(1)x E y a a+=>G E 为直线上的动点,与的另一交点为与的另一交点为.8,AG GB P ⋅=6x =PA E ,C EB E D (1) 求的方程; (2) 证明：直线过定点.E CD 【答案】 (1) (2) 见解析221;9x y +=【解析】 (1) （过程略）2219x y +=(2) 设, 则()6,P t :930:330:0:0PA tx y t PB tx y t AB y CD x my n -+=⎧⎪--=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线,,PA PB 22990x y +-=,AB CD 得()()()()22999333x y bx y t tx y t y x my n λμ+-+-+--=--⎡⎤⎣⎦，比较的系数得;xy 121t μ-=比较的系数得, 所以.y 18t n μ=-32n =直线的方程为, 显然直线过定点.CD 32x my =+CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【例20】已知椭圆和定点过点2222:1(0)x y E a b a b+=>>()(),0,,0, (,0).M m N n a m n a m n -<<<⋅≠M作直线交椭圆于点, 直线分别交椭圆于另一个点. 设直线和E ,A B ,AN BN E ,P Q AB PQ的斜率为证明:21,.k k (1) 直线经过定点;PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭(2) 为定值.2212222k a n k a mn n -=-+【答案】见解析.【解析】证明：如图, 设直线, 即()():,:A B AP y k x n BQ y k x n =-=-0A A k x y k n --=.则下面的曲线系方程表示经过点四点的曲线:0B B k x y k n --=,,,A B P Q ()()222210A AB B x y k x y k n k x y k n a b λ⎛⎫----++-= ⎪⎝⎭展开此方程得()()()222Λ22120A B A B A B B A B k k x y k k xy k k n x k k n y k k n a b λλλ⎛⎫⎛⎫++++--+-++⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即①()2222222222011111A B A B A b A B A B k k k k n k k n k k k k n a x y xy x y b b b b bλλλλλλλ++----⋅++⋅+⋅+⋅+=+++++取特殊的, 使该方程表示为直线和组合体对应的曲线方程λ()1:AB y k x m =-2:PQ y k x t =+，展开此方程得()()1120k x y mk k x y t ---+=②()()()()2212121121102k k x y k k xy k t k k m x t k m y k mt ⋅++--+-+-+-=由此存在实数, 使得方程①和方程②为同一个方程, 对照和项系数得,λxy y 112t k mn k k -+-=--即()12t k m n n k =--⋅由此知直线,()212:PQ y k x k m n n k =+--⋅其与轴的交点为.x ()212,0n k k m n E k ⋅--⎛⎫⎪⎝⎭设直线的交点为, 点在椭圆关于点的极线上，,AB PQ T T 2222:1(0)x y E a b a b +=>>(),0N n 2:a l x n=设极线与轴的交点为. 由此得l x 2,0a K n ⎛⎫⎪⎝⎭()()22211122222n k k m n k a a n m n k n k n k KN a a k KMm m n n⋅----+-⋅===--解得2212222k a n k a mn n -=-+故此时的方程为，PQ ()()22222222an m n y k x k n k a mn n --=+⋅-⋅-+即()22222222a m n mn y k x k a mn n -+=+⋅-+从而直线经过定点.PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭类型6: 证明圆锥曲线内接四边形的性质【例21】试证明, 椭圆的内接矩形的两相邻边分别与椭圆的长短轴平行.【答案】见解析【解析】建立坐标系, 设矩形各边：,(), 1,2i i y k x h i ===则椭圆方程可写为,()()()()12120y k y k x h x h λμ--+--=显然,项系数为0, 故得证.xy。

设曲线系方程

设曲线系方程
当您提到“设曲线系方程”时，我理解您可能想要设置一个通用的曲线方程来表示某种类型的曲线。

曲线方程通常用于描述几何形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

以下是一些常见的曲线方程示例：
1. 直线方程：
-斜截式：y = mx + b
-两点式：y - y1 = m(x - x1)，其中m 是斜率
-截距式：x/a + y/b = 1
-一般式：Ax + By + C = 0
2. 圆方程：
-标准式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心，r 是半径
-一般式：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
3. 椭圆方程：
-标准式：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a 和b 是椭圆的半轴
-一般式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
4. 抛物线方程：
-标准式：y^2 = 4px，其中p 是焦距
-顶点式：y = ax^2 + bx + c
-一般式：y = ax^2 + bx + c
5. 双曲线方程：
-标准式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a 和b 是双曲线的半轴
-一般式：Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0
如果您想要为特定的曲线或场景设置方程，请提供更多的上下文信息，以便我可以为您提供更具体的帮助。

例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用

图1曲线系方程：设f (x ,y )=0和g (x ,y )=0分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为λf (x ,y )+g (x ,y )=0(不含f (x ,y )=0).高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为λf (x ,y )+g (x ,y )=0，其中f (x ,y )=0表示圆锥曲线方程，g (x ,y )=0表示两直线构成的曲线方程；（2）将λf (x ,y )+g (x ,y )=0展开，合并同类项，与圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0比较系数，求出λ的值；（3）将λ反代回方程λf (x ,y )+g (x ,y )=0的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补.例1已知T (3,0),Q 是圆P :(x +3)2+y 2=16上一动点，线段QT 的中垂线与直线PQ 交于点S .（1）求动点S 的轨迹E 的方程；（2）过点()1,0且斜率为2的直线l 1与轨迹E 交于A ,B 两点，过原点且斜率为-2的直线l 2与轨迹E 交于M ,N 两点，判断A ,B ,M ,N 四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程.解析：(1)如图1，因为S 为QT 中垂线上的点，所以||ST =||SQ ，故||SP +||ST =||SP +||SQ =||PQ =4，即点S 的轨迹是以P ,T 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则2a =4，故a =2,又b 2=a 2-3=1，故动点S 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1.（2）由题意，l 1:2x -y -2=0，l 2:2x +y =0,例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用四川省成都市树德中学李小蛟610091摘要：圆锥曲线中的四点共圆问题是近年考试的难点和热点，如何在解析几何问题中判断或证明四点共圆问题，是一直困扰师生的一个拦路虎.本文从曲线系方程出发，从纯解析的角度去理解并解决共圆问题.关键词：曲线系；运算；构建；共圆y QxTOP S ··20设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24+y 2-1+()2x -y -2()2x +y =0，整理得æèöøλ4+4x 2+()λ-1y 2-4x -2y -λ=0①.若方程①表示圆，则λ4+4=λ-1，解得λ=203，代入式①得x 2+y 2-1217x -617y -2017=0②.显然方程②表示圆，故A ,B ,M ,N 四点在同一圆上，圆的方程是x 2+y 2-1217x -617y -2017=0.评注：直线和椭圆交点是否共圆问题，若采用先求解出点坐标（用参数表示），再用三点确定圆方程（可用圆方程一般方程或标准方程），再检验其余点是否在该圆上.这种求解方法便于理解，但运算量非常大，对学生的应试心理和考场毅力要求较高.反观若运用曲线系方程则减少运算量，参数非常少（只引入了λ），在考场上对学生的应试信心会有很大的提升.例2已知抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线E 交于A ,C 和B ,D .问：A ,B ,C ,D 四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由.解析：由题意，两直线都不与坐标轴垂直，可设AC 的方程为x =my +2，BD 的方程为y =-m ()x -2，经过A ,B ,C ,D 四点的曲线系方程y 2-8x +λ(x -my -2)(mx +y -2m )=0，化简整理得λmx 2+(1-λm )y 2+λ(1-m 2)xy-(8+4m λ)x +2λ()m 2-1y +4m λ=0③.若该方程表示圆，则{λ()1-m 2=0λm =1-λm,即m =±1且λm =12.代入式③整理得x 22+y 22-10x +2=0，化为标准方程得()x -102+y 2=96.综上，当且仅当两直线倾斜角分别为π4,3π4时，A ,B ,C ,D 四点共圆，圆的方程为()x -102+y 2=96.评注：抛物线方程形式上左边二次，右边一次，因此抛物线与直线交点共圆问题联立时相对椭圆运算量要小一些，但本题同样涉及用参数m 表示，形式还是比较复杂，且表示圆的形式更加繁琐.因此，采用曲线系方程解决问题可减少运算，思路清晰，求解目标明确，形式简捷.例3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线方程为3x -2y =0,且过点()4,3.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为-12的直线l 1过点()-1,0且与双曲线C 交于A ,B 两点，斜率为k 的直线l 2过原点且与双曲线C 交于M ,N 两点，若A ,B ,M ,N 四点是在同一圆上，求k 的值及该圆的方程.解析:（1）由题意，ìíîïïïïb a16a 2-9b2=1,解得a =2,b =3，故双曲线C 的方程为x 24-y 23=1.（2）由已知直线l 1的方程为y =-12(x +1)，即x +2y +1=0，直线l 2的方程为kx -y =0，故可设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24-y 23-1+(x +2y +1)(kx -y )=0，整理得æèöøλ4-k x 2-æèöøλ3+2y 2+(2k -1)⋅xy +kx-y -λ=0④.若方程④表示圆，则ìíîïïλ4-k =-æèöøλ3+22k -1=0解得ìíîïïλ=-187k =12，代入式④··21图2化简得x 2+y 2-716x +78y -94=0⑤.显然方程⑤是圆的方程，经检验，当k =12时，直线l 2与双曲线C 有两个交点，故k =12，所求圆的方程为x 2+y 2-716x +78y -94=0.评注：本题是两直线与双曲线交点的四点共圆问题，采用曲线系方程求解，虽引入两个未知数（k ,λ），但根据圆一般方程的形式运算相对较小，且易于检验是否四点共圆.例4已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且||QF =54||PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解析:（1）由{y =4y 2=2px .得x =8p ，即Q æèçöø÷8p ,4，所以||PQ =8p ，||QF =8p +p 2.因为||QF =54||PQ ，所以8p +p 2=54⋅8p，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .（2）由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，则直线AB 的方程为y =k (x -1).由ìíîy =k ()x -1y 2=4x .得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1，y 1+y 2=k ()x 1+x 2-2=4k，故AB 中点D 的坐标为æèçöø÷k 2+2k 2,2k ，故直线MN 的方程为x =-ky +3k 2+2k2.可设经过A ,M ,B ,N 四点的曲线系方程为λ(y 2-4x )+(kx -y -k )æèçöø÷x +ky -3k 2+2k 2=0，整理得kx 2+(λ-k )y 2+(k 2-1)xy -(4λ+)3k 2+2k 2+k x +æèçöø÷3k 2+2k 2-k 2y +3k 2+2k 2=0⑥.若方程⑥表示圆，则{k =λ-k k 2-1=0，故{k =1λ=2或{k =-1λ=-2.当k =1，λ=2时，代入式⑥整理得()x -72+()y +22=48，符合题意；当k =-1，λ=-2时，代入式⑥整理得(x -7)2+(y -2)2=48，符合题意.综上所述，直线l 的方程为y =±()x -1.评注:本题运算相对复杂（特别是求解直线MN 方程需用k 的相关形式表示），但涉及四点共圆时用曲线系解答非常巧妙地避开了用k 表示相关点求解圆方程，减少运算，降低思维难度，用一种形式轻松解决两个参数（k ,λ）的求解.曲线系方程从统一的思想高度来思考问题,求大同存小异,考虑共性的东西，不刻意去顾及个性特征，是数学形式与数学本质的完美结合，形式简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.基金项目：本文为四川省数学会重点立项课题“提升学生核心素养的高中数学课程校本化研究”研究成果（项目编号：2020SXHJY004）.y A M DF B O Nx ··22。

高考数学总复习考点知识专题讲解17 狭义曲线系与广义曲线系方程

高考数学总复习考点知识专题讲解专题17 狭义曲线系与广义曲线系方程知识点一圆锥曲线与两相交直线构成的圆系方程（四点共圆问题）圆锥曲线上的四点共圆问题：圆锥曲线221(,)0f x y Ax By Dx Ey F =++++=上存在四点P 、Q 、M 、N,且PQ 与MN 相交于点T ，若满足TQ TP TN TM ⋅=⋅，则P 、Q 、M 、N 四点共圆（如图）．根据初中的相交弦定理（左图）或切割线定理（右图）即可证明，当然也有同学觉得需要更严谨的证明，不妨利用相似来证明．下面我们来理解四点共圆的曲线系方程形式，由于是221(,)0f x y Ax By Dx Ey F =++++=上四点形成的圆，不妨设0:11=+-m y x k l MN ，0:22=+-m y x k l PQ ，而⋅+-=)(),(112m y x k y x f0)(22=+-m y x k 表示满足直线MN 和直线PQ 上的任意点方程，0),(),(21=+y x f y x f λ表示过圆锥曲线和两直线构成的弱化二次曲线交点的一系列曲线方程，而这一系列曲线中，有一个满足圆的方程),(111223=++++=F y E x D y x y x f ，即()()2211220Ax By Dx Ey F k x y m k x y m l +++++-+-+=，或者221122()()Ax By Dx Ey F k x y m k x y m l +++++-+-+22111()x y D x E y F m =++++．由于没有xy 的项，必有120k k --=．即PQ 与MN 斜率互为相反数．定理：圆锥曲线的内接四边形PQMN 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补．其方程可以写成22(Ax By Dx Ey F kx l +++++12)()0y m kx y m -+--+=，此时2A k B l l -=+，方程表示一个圆．推论:若圆锥曲线221()f x y Ax By Dx Ey ，=+++0F +=上存在四点P 、Q 、M 、N ，斜率互为相反数，且PQ 是MN 中垂线，则1MN k =±；证明四点共圆的步骤：1．设出曲线系方程，解出l ；2．根据222440R D E F =+->证明四点一定共圆．【例1】（2021•新课标1卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(0)F ，20)F ，点M 满足12||||2MF MF -=．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【例2】（2005•湖北）设A 、B 是椭圆223x y λ+=上的两点，点(13)N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由．【例3】（2011•全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足0OA OB OP =++．（1）证明：点P 在C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．知识点二狭义曲线系之以坐标定曲线模型构造：123()()()f x y f x y f x y λμ+=，，，如图，A 、B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，M 、N 为椭圆上任意两点，MN 与x 轴交于点Q ，AM 与BN 交于点P ，我们可以理解为A ，M ，B ，N 四点确定椭圆（双曲线和抛物线也一致），那么四点之间连线有6条，我们选取两条交点在椭圆内的直线乘积式构造弱化二次曲线1()0f x y =，，再选取两条交点在椭圆外的直线乘积式构造另一条弱化的二次曲线2()0f x y =，，可以理解为两条弱化的二次曲线形成了这个椭圆22322()10x y f x y a b=+-=，，即123()()()f x y f x y f x y λμ+=，，，注意：这里最终结果会指向一个极点极线性质2P Q x x a =，故在设计:0AB l y =，:0MN l x ky m --=，1()()0f x y y x ky m =⋅--=，，1:0AM l x k y a -+=，2:0BN l x k y a --= 212()()()0f x y x k y a x k y a =-+⋅--=，，从而得出：221222()()()(1)x y y x ky m x k y a x k y a a bλμ⋅--+-+⋅--=+-；记住：曲线系只需要对比系数，确定参数，无需展开求出λ和μ，k ，1k ，2k 均是斜率倒数，不是斜率．【例4】（2020•新课标Ⅰ卷）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB =．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【例5】（2023•江苏月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)bC x y a b a +=>>的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3．（1）求a ，b 的值；（2）已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，(10)F ，，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．【例6】（2011•四川）如图，椭圆有两顶点)01(，-A 、)01(，B ，过其焦点)10(，F 的直线l 与椭圆交于D C ，两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．当点P 异于B A ，两点时，求证：OQ OP ⋅为定值．【例7】(2022全国甲卷)已知抛物线2:2(0)C y px p =>焦点为F ，点(,0)D p 过焦点F 做直线l 交抛物线于,M N 两点，当MD x ⊥轴时，||3MF =. (1)求抛物线方程(2)若直线,MD ND 与抛物线的另一个交点分别为,A B .若直线,MN AB 的倾斜角为,αβ，当αβ-最大时，求AB 的方程【例8】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点)22(，，离心率为22．（1）求椭圆的方程;（2）过点)10(，P 做椭圆的两条弦AB ，CD （A ，C 分别位于第一、二象限），若BC ，AD 与直线1=y 分别交于M ，N ，求证：PN PM =．【例9】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为23，半焦距为(0)c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点1F 斜率为11(0)k k ≠的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(10)R ，，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C 、D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求12k k 的值及直线CD 所经过的定点坐标．知识点三广义曲线系之以斜率定曲线回到那个话题，就是曲线系是不需要解方程的，只需要对比方程的系数，为什么呢？只要满足同解同根，满足方程同构，这样构造的方程就是以这些根为基准的一系列曲线方程，通过系数锁定，找出他们共同的关系，体现了方程中的动中求静，从而实现定点定值的锁定。

(完整word版)曲线系方程及应用

曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ；２．圆系⎪⎩⎪⎨⎧=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系相交圆系：３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抛物线型双曲线型椭圆型４．圆锥曲线系定理一:给定五点，其中三点在直线l 上,另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线(即两条直线）．定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点,则过两曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ．推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点,则过这四个交点的曲线系方程为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ．推论三:若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ．推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为:0),(=++=i i i i C y B x A y x l 则曲线系为：0),(),(),(),(),(),(133322211=++y x l y x l y x l y x l y x l y x l λλλ．二．曲线系方程的应用1.求一条经过五点)21,21(),1,0(),1,1(),0,1(),0,0(-的圆锥曲线． 2、四条直线0:,05:,06:,0253:4321==+=--=-+y l y x l y kx l y x l 围成一个四边形，问k 取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．3、已知AB ，CD 是椭圆12222=+by a x 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆． 4、已知三角形三边所在直线方程为01,0,0=-+==y x y x ,求经过这个三角形的三个顶点,且过(3,1）点的抛物线方程．例５．求过点C(4,4)042),6,9(),2,1(切于点且与直线=+---y x B A 的抛物线方程．例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证:过Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形ABCD 的边AB ，CD 相交于O ，过O 点任作一直线l 交AC 于E ，交BD 于F ，过A,B ，C ，D 任作一圆锥曲线S 与l 相交于G ，H,求证： OFOE OH OC 1111+=+．例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行,求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆01y 0,2x 1-y x 04222=++=+=-+与两条直线y x 有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．２．求过点)2,3(),0,2(),1,1(),1,1(),0,0(--D C B A O 五点的二次曲线方程．３．在⊙Ｏ中,弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ,求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．。

【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程

直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

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)的所
有圆
4
6、已知圆 C：x2+y2 -2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 L，使直线 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆经过原点，存在求出方程，不存在说明理由。
解:
假设存在 L:其方程为 y=x+b,则以 AB 为弦的圆系方程为
x2+y2 -2x+4y-4+ (x-y+b)=0,因为过圆点，整理可得心
设点 Q,P 的坐标分别为( 由中点公式，可得到
)和(x,y) 那么 x=2 ,y=2 ,Q 为 MN 中点，
x=3+2λ ,y=2+ ,消去参数可求得轨迹为 y=2+
3、在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A(0, a), B(b, 0),C(c, 0) ，
点 P(0, p) 在线段 OA 上（异于端点），设 a,b, c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别交
则二次曲线方程 (
)(
)(
)+ (
)=0,表示过此 4 点的所有二次曲线
6
8、2010 江苏高考在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆
的左、右顶
点为 A、B，右焦点为 F．设过点 T（t，m）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M（x1， y1）、N（x2，y2），其中 m＞0，y1＞0，y2＜0．
（1）设动点 P 满足 PF2﹣PB2=4，求点 P 的轨迹；
（2）设
，求点 T 的坐标；
（3）设 t=9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）．
只做第三问
设 MN：x=ky+n, 故我们只要求出 n
易知
TA:y= (x+3)
TB: :y= (x-3)
AB: y=0
因为椭圆过二次曲线 TA TB 与二次曲线 AB*MN 的四个交点，A,B,M,N，所以有
曲线系方程本章，我们将看到解析几何中最精彩部分,曲线系。从字面看来似乎很恐怖，其实没那么吓人，下面老师介绍下什么是曲线系。一、直线系首先，脑子里要有这个概念:所有一次式都是直线，所有直线都是一次式! 两条相交直线过直线 l1：A1x+B1y+C1=0 与
l2：A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程 λ(A1x+B1y+C1)+ μ(A2x+B2y+C2)=0 表示了所有经过 l1 和 l2 交点的直线，给定参数的值，你就得到一条经过其交点的直线。特别的当 λ=0，它表示的就是 l2；当 μ=0，它表示 l1，所以当我们要求的直线确定不是 l1 l2，只需要设一个参数 (A1x+B1y+C1)+ μ(A2x+B2y+C2)=0 (此 μ 不是上面的 μ)
过交点的二次曲线可以表示成:
=0，同样如果能确定需要求的曲
线不是 =0， =0，我们可以只设一个参数。
当我们知道曲线 H=0,要求某些未知数，可以利用方程
=H，两边
对比系数即可，同样，如果 H 不为本身，通过除以或，可知上式两个待
定系数可以放在任意两个方程前面，应依据实际情况放在适合计算的位置。
总结:使用直线系，关键就是在需要表达的直线上选好一个点，它是两条已知直线交点，然后利用垂直，已知比例关系，过某个点，求出直线方程
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二、二次曲线系方程
方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0
表示的是二次曲线，高中涉及二次曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线，以及退化的二次曲线，两条直线。现对退化 2 次曲线补充说明如下，我们知道方程 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 表示的是两条直线
类型一圆曲线系方程
1、若直线 l:Ax+By+C=0 与圆 C： x2+y2 +Dx+Ey+F=0 相较于 A、B 两点，则曲线系方程 (Ax+By+C)+ x2+y2 +Dx+Ey+F=0 表示过 A、B 两点的所有圆
2、若圆 : x2+y2 + x+ y+ =0 与 : x2+y2 + x+ y+ =0 表示两个相交圆，则曲线系方程
CH: + =1
DF 过 AB,CH 的交点 F,其方程可以设为
+ -1+ （
） =0，DF 过原点，
故 DF：( )x+( )y=0 同理可求 DE：( )x+( )y=0 斜率互为相反数，所以角度相等。
5、M 为等腰直角三角形 ABC 的腰 AC 中点，CD 垂直 BM 交 AB 于 D,求证: 角 BMC=角 DMA 证明: 建立直角坐标系设 A（m,0）,C(-m,0), B(-m,2m) BM:2x+y=0 由 CD 垂直 BM，且过点 C(-m，0)，得 CD：x-2y=-m-2*0=-m AB:x+y=m DM 经过 AB 和 CD 交点 D,且过原点 M,由两式联立可得 DM：2x-y=0 BM:2x+y=0,所以得证。
( )x+( )y=0
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4、在三角形 ABC 中，AD 垂直 BC 于 D,在 AD 上任取一点 H，连接 CH,BH 并延长，分别交 AC，BC 于 E、F，连接 FD,ED, 求证:角 FDH=角 EDH 证明:
设 A（0，a）,B(b,0), C(c,0) ,H(0,h)
AB： + =1,
，此方程表示过 A、B 两点的
当不等于，此方程表示过 A、B 的所有圆( 除外，显然当以 AB 为
直径，此圆面积最小，、圆心分别为(1，1)和(0,0)，即两圆心所在直线方程为 y-x=0,解方程组，x=y= ,AB 中点为( ， )，而圆
x2+y2 -2x-2y-14+ (x2+y2 -25)=0，圆心为(
)=0
即
- 2 x+y-2
=
,带入原式，化简得 4 +4 - 2 x-y-6=0
因为 2 +
-4
A、P、B、Q 四点共圆
大于 0，所以此方程表示一个圆，故
二元二次方程 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+EY+F=0 表示圆的充要条件是 A=C≠0，B=0，D²+E²-4F>0。
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最后一个问题
一条直线与一个二次曲线交于 A、B 两点，那么我们可以用 0A 线
共离心率圆锥曲线方程: + = 为共离心率，双曲线变成减号
+=
共顶点圆锥曲线方程:
共渐近线双曲线方程: :
-=
类型三用直线方程构成的二次曲线方程
若四条直线 :
+ =0 (i=1，2,3,4)，相交于不共线四点
, L1 和 L2 交于 P1; L2 和 L3 交于 p2; L3 和 L4 交于 P3; L4 和 L1 交于 P4
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10、(2011 全国卷)已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： x2 y2 1在 y 轴正半轴上的焦 2
点，过
F 且斜率为- 2 的直线l 与 C 交于 A、B 两点，
点 P 满足OA OB OP 0 . （Ⅰ）证明：点 P 在 C 上；（Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q
那么方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0 将表示这两条直线并且方程展开后为一个二次式。原因很简单，所有满足上述两条直线的点的坐标都满足这个方程，故它表示的是这两条直线，特别的，当 A1 A2 时，表示的是两条
B1 B2 平行线。
设两条 2 次曲线方程分别为 =0， =0，都为 2 次曲线，那么所有经
(x2+y2 + x+ y+ ）+ (x2+y2 + x+ y+ ）=0,表示过的所有圆，且 + 不等于 0，等于 0 表示一条直线。
交点
3、若( )表示圆 : x2+y2 + x+ y+ =0 上任意一点，则曲线系方
程 x2+y2 + x+ y+ + 【(x- )2+(y- )2】=0,表示与相切于(

2a）(y

ax

2a）+
(
x2 a2

y2 b2
1)

（y y

kx
b）
我们只要分别找出 k、b 即可，对比系数我们得到
k 3a a 2a
b 6a 2a 8a
故 MN： y 2ax 8a 2a(x 4) ，恒过点（4,0）证毕。
又因为圆
，
在 y=x+b 上， =b+3,带入
,可以求得，
，或
7、求过两圆 : x2+y2 -2x-2y-14=0 与 : x2+y2 =25 的两交点圆中，面积最小的圆的方程
解:
设圆、相较于 A、B 两点，过 A、B 的曲线方程可以设为
x2+y2 -2x-2y-14+ (x2+y2 -25)=0，当直线，即：2x-2y-11=0
AC,
AB
于点
E，F，一同学已正确算出
OE
的方程：

1 b

1 c