曲线系方程及应用
第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)
第20讲曲线系及其应用知识与方法1.曲线系与曲线系方程的概念曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示. 曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,x,y x,y这样的方程叫曲线系方程.2.过两曲线交点的曲线系若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为C1:f1(x,y)=0C2:f2(x,y)=0（不包括或者.f1(x,y)+λf2(x,y)=0f2(x,y)=0）λf1(x,y)+μf2(x,y)=03.一次曲线系（直线系)具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程. 下面是几种常见的直线系方程:(1)过已知点的直线系方程或(为参数）;P(x0,y0)y−y0=k(x−x0)x=x0(2)斜率为的直线系方程：是参数）;k y=kx+b（b(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Ax+By+λ=0（λ(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Bx−Ay+λ=0(λ(5)过直线与的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0为参数）（不包括直线）A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ l24.二次曲线系圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式. 二次曲线系的一般形式为:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0两条直线所组成的二次曲线方程为:(Ax+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=01熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:定理给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们可以进一步得到一些重要结论. 为简单起见,以下将两直线的并体记作l1,l2,那么可以理解为一条退化的二次曲线,其方程简记为.l1⋅l2l1⋅l2l1(x,y)⋅l2(x,y)=0推论1如果两条直线的方程为,分别记为,即A i x+B i y+C i=0(i=1,2)l i(x,y)(i=1,2),它们与一条二次曲线有交点,那么曲线系l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0F(x,y)=0λF(x,y)+μl1(x,y)⋅l2(x,y)=0经过这些交点.如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含有所有过此四点的二次曲线.由推论可知:若二次曲线的方程为: ,则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(1)已知四边形四条边的方程为l i:A i x+B i y+C i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线方程为.l1(x,y)l3(x,y)+λl2(x,y)l4(x,y)=0(2)过两直线与一条二次曲线的四个交点的二次曲线系的方程为l1,l2f(x,y)=0f(x,y)+λl1(x,y)l2(x,y)=0(3)与两条已知直线分别切于点的二次曲线系方程为, 其中l1,l2M1,M2l1(x,y)l2(x,y)+λl23(x,y)=0l3(x,是直线的方程.y)M1M2推论为不共线的三点,直线的方程为2P i(i=1,2,3)P i P i+1(i=1,2,3,P4=P1)l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0，则曲线系:λl1(x,y)⋅l2(x,y)+λ2l2(x,y)⋅l3(x,y)+λ3l3(x,y)⋅l1(x,y)=01表示所有过三点的二次曲线.P1,P2,P3典型例题类型利用曲线系求曲线方程1:【例1】已知椭圆与两直线C:x2+2y2=4l1:x+y−1=0,l2:2x−2y+1=0,各有两个交点,求过此四个交点及点的二次曲线.(−1,1)【答案】.5x2+4y2−x+3y−13=0【解析】显然四个交点不共线,可设所求曲线方程为,λ(x2+2y2−4)+(x+y−1)(2x−2y+1)=0将点的坐标代人方程,即得.故所求椭圆方程为.(−1,1)λ=35x2+4y2−x+3y−13=0【注】利用曲线系求曲线方程的步䐂:(1)设出曲线系方程;(2)根据条件求出参数;(3)回代即得所求方程.类型2：圆系问题【例2】求经过两圆和的交点,并且圆心在直线x2+y2+6x−4=0x2+y2+6y−28=0x−y−4=0的圆的方程.【答案】.x2+y2−x+7y−32=0【解析】设所求圆的方程为,x2+y2+6x−4+λ(x2+y2+6y−28)=0化简得 ，(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy−(28λ+4)=0因为圆心在直线 上,所以 ,(−31+λ,−3λ1+λ)x−y−4=0−31+λ+−3λ1+λ−4=0解得,即得所求圆的方程为.λ=−7x 2+y 2−x +7y−32=0【例3】三边所在直线方程为: ,求的外接圆的方程. △ABC x−2y−5=0,3x−y =0,x +y−8=0△ABC 【答案】x 2+y 2−4x−2y−20=0【解析】外接圆方程可写为△ABC (x−2y−5)⋅(3x−y )+λ1(3x−y )(x +y−8)+λ2(x +y−8)(x−2y−5)=0即(3λ1+λ2+3)x 2+(2λ1−λ2−7)xy +(−λ1−2λ2+2)y 2+(−24λ1−13λ2−15)x+(8λ1+11λ2+5)y +40λ2=0于是,解得:,将它们代入，{2λ1−λ2−7=03λ1+λ2+3=−λ1−2λ2+2λ1=2,λ2=−3即得外接圆方程为 .△ABC x 2+y 2−4x−2y−20=0【例4】椭圆与直线 交于两点,点的坐标为.求过x 2+2y 2−2=0x +2y−1=0B ,C A (2,2)A ,B ,C 三点的圆的方程.【答案】6x 2+6y 2−9x−14y−2=0【解析】我们可以先求出B ,C点的坐标,利用推论2求解,不过这里可从另一个角度思考问题,二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2过两点,但十分明显地不包含过的所有曲线,过y−1)=0B ,C B ,C B ,C 的圆就不在其中.不过我们可以“就势”一变,再构造二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2y−1)(x−2y +m )=0(∗)这就包含了过的圆了.展开,得B ,C (λ+μ)x 2+(2λ−4μ)y 2+μ(m−1)x +2μ(m +1)y−mμ−2λ=0令,并取,即得.λ+μ=2λ−4μμ=1λ=5代入得.(∗)6x 2+6y 2+(m−1)x +2(m +1)y−m−10=0将点坐标代人,得,代人得所求圆的方程为.A m =−86x 2+6y 2−9x−14y−2=0【注】这里添加直线,原因是过三点的圆是唯一的,且缺项.x−2y +m =0A ,B ,C xy【例5】四条直线围成一个四边形,问l 1:x +3y−15=0,l 2:kx−y−6=0,l 3:x +5y =0,l 4:y =0k取何值时, 此四边形有个外接圆,并求此外接圆的方程.【答案】.x 2+y 2−15x−159y =0【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系的方程为.(x +3y−15)(x +5y )+λ(kx−y−6)y =0整理得, 方程表示圆, 则 解得()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++---+=151,80.k λλ-=+=, 故此四边形外接圆的方程为.414,7k λ==-22151590x y x y +--=【例6】 设过坐标原点的直线与拋物线交于两点, 且以l ()2:41C y x =-,A B AB 为直径的圆恰好经过拋物线的焦点, 求直线的方程.C F l【答案】.y =【解析】设直线的方程为, 构造过的二次曲线系l y kx =,A B ,()()()2410y x kx y kx y m λ--+-++=即,①()()2221440k x y mk x my λλλλ+-+--+=令得，代入①即得过两点的圆的方程是21k λλ=-211k λ=+,A B 222222224401111k k mk m x y x y k k k k ⎛⎫++--+= ⎪++++⎝⎭因点在圆上，于是有()2,0F 2224244011k mk k k ⎛⎫+-+= ⎪++⎝⎭又以为直径的圆的圆心在直线上, AB y kx =22411m mk k k k ⎛⎫∴=-- ⎪++⎝⎭由上两式消去, 解得故所求的直线的方程是m k =l y x =【例7】 已知直线与双曲线相交于两点, 当为何值时, 以10mx y -+=2231x y -=,A B m AB为直径的圆经过原点.【答案】 .1m =±【解析】构造二次曲线系: ,()()223110x y mx y mx y n λ--+-+++=即()()()()222311110m x y m n x n y n λλλλλ+-++++-+-=，令得，又圆经过原点，代入得，于是方程可表示为()231m λλ+=-+241m λ-=+1n λ=222253m x y mx y m ++-+=-又圆心在直线上，故()225,223m m m ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭10mx y -+=()22510223m m m m ⎡⎤+⎢⎥⋅--+=-⎢⎥⎣⎦化简整理得 故.410m -=，1m =±易知当时, 直线与双曲线相交, 所以当时, 以为直径的圆经过原点.1m =±1m =±AB 类型3: 利用曲线系求解切线问题【例8】 已知圆的方程为, 求经过圆上一点的切线方程.222x y r +=()00,M x y 【答案】 .200x x y y r +=【解析】视圆上的点为点圆,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=设所求圆方程为: ,()()()22222000x x y y x y r λ-+-++-=令, 得, 故切线方程为.1λ=-22220000222x x y y x y r r +=++=200x x y y r +=【注】在二次曲线系的应用中，“点圆”, “点椭圆”可助一臂之カ.本题中, 将点看成“二次曲线": ,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=即为“点圆”. 用类似的解法可得:(1)过圆上一点的切线方程为222()()x a y b r -+-=()00,M x y ()()()()200;x a x a y b y b r --+--=(2) 过椭圆上一点的切线方程为22221(0)x y a b a b +=>>()00,M x y 2200221;x y a b +=(3)过双曲线上一点的切线方程为；22221(0,0)x y a b a b -=>>()00,M x y 2200221x y a b-=(4)过抛物线上一点的切线方程为.22(0)y px p =>()00,M x y ()00y y p x x =+【例9】 求经过点且与圆相切于点的圆的方程.()4,1A -22(1)(3)5x y ++-=()1,2B 【答案】 .226250x y x y +--+=【解析】将切点视为点圆, 设所求圆的方程为:()1,2B 22(1)(2)0x y -+-=()2222(1)(2)2650x y x y x y λ⎡⎤-+-+++-+=⎣⎦将点坐标代入, 可得, 代入整理, 得所求方程为.A 12λ=-226250x y x y +--+=【例10】 求与拋物线相切于两点, 且过点的圆锥曲线方程.259y x =+()()0,3,1,2P Q --()2,1A -【答案】 .2225103117562970x xy y x y --+-+=【解析】过 和 两切点的直线方程是,()0,3P ()1,2Q --530x y -+=设所求的曲线方程是()2259(53)0, *y x x y λ--+-+=因曲线过点, 代人上式得.()2,1A -132λ=-再代入, 化简整理得所求的圆锥曲线方程是.()*2225103117562970x xy y x y --+-+=【注】运用此种解法比其他解法解决这类问题要简单得多，但切勿忘记将切点弦方程加上平方.类型4: 利用曲线系求解圆锥曲线上的四点共圆问题【例11】 已知为坐标原点, 为椭圆在轴正半轴上的焦点,O F 22:12y C x +=y过且斜率为的直线与交于两点, 点满足.F l C ,A B P 0OA OB OP ++=(1) 证明：点在上;P C (2) 设点关于点的对称点为, 证明： 四点在同一圆上.P O Q ,,,A P B Q 【答案】（1）见解析; (2) 见解析.【解析】 (1) 设, 直线, 与联立得,()()1122,,,A x y B x y :1l y =+2212y x +=2410x --=所以121214x x x x +==-由，得0OA OB OP ++=()()()1212,P x x y y -+-+()()())121212121121x x y y x x -+=-+=-+++=+-=-因为, 所以点在上.22(1)12⎛-+= ⎝P C (2) 解法 1:()()()2112224tan 11131PA PBPA PBx x k k APB y y k k ∠ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----++同理()214tan 13QB QA QA QBk k x x AQB k k ∠---====-+所以互补, 因此四点在同一圆上.,APB AQB ∠∠,,,A P B Q 解法 2:由和题设知, 的垂直平分线的方程为1P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,Q PQ ⎫⎪⎪⎭1l ()1yx =⋯设的中点为, 则的垂直平分线的方程为 (2)AB M 1,2M AB ⎫⎪⎪⎭2l 14y=+⋯由(1)(2)得的交点为,12,l l 18N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1NP x ==-=AM ===所以,NA NP NB NQ ===故四点在以为圆心的同一圆上.,,,A PB Q N 解法 3:由(1)得, 直线.1,P Q ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭PQ 0y -=又直线的方程为AB 1y =+10y +-=故两直线的二次方程为,AB PQ )10y y +--=由此可设过点的曲线系方程为,,,A P B Q①)()221220y y xy λ+--++-=即②()()2222120x y y λλλ++--+-=我们让②式表示圆, 则, 得 .221λλ+=-3λ=-代入①式化简得,224460x y y +--=即, 显然此方程表示一个圆, 故四点在同一圆上.22199864x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝,,,A P B Q【例12】 若两条直线与圆锥曲线有四个交点, ()1,2i i y k x b i =+=()220ax by cx dy c a b ++++=≠则四个交点共圆的充要条件是.120k k +=【答案】见解析【证明】两直线组成的曲线方程为, 则过四个交点的曲线方程可设为()()11220k x y b k x y b -+-+=()()()2211220k x y b k x y b ax by cx dy e λ-+-++++++=必要性：若四点共圆, 则方程(1)表示圆, 那么(1)式左边展开式中项的系数为零, 即有xy .120k k +=充分性：当时，令(1)式左边展开式中项的系数相等, 得, 120k k +=22,x y 121k k a b λλ+=+联立解得, 将其代入(1)式, 整理得21211, k k k a bλ+=-=-220x y c x d y e ++++''='由题设知四个交点在方程(2)所表示的曲线上，显然方程(2)表示圆, 即四个交点共圆.【注】本题表明：圆锥曲线的内接四边形ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.【例13】 设直线 与椭圆 交于 两点, 过 两点的圆与:43l y x =-22:12516x y E +=,A B ,A B E 交于另两点 , 则直线 的斜率为（ ,C D CD ）A. B. C.D. -414-2-14【答案】D【解析】设 , 所以, 则过:0CD l ax by c ++=()():430AB CD l l ax by c x y ⋃++--=,,,A B C D四点的曲线系为 .()()22:14302516x y C ax by c x y λ+-+++--=表示圆, 则系数相等, 且无项. 化简得C 22,x y xy 114251640a b b a λλλλ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解得 4.CD a k b=-=-【注】由例 12 结论可知：四点共圆.,,,A B C D 04CD AB CD k k k ⇔+=⇒=-【例14】 已知拋物线的焦点为, 直线与轴的交点为,2:2(0)C y px p =>F 4y =y P 与的交点为, 且.C Q 54QF PQ =(1) 求抛物线的方程;C (2) 过的直线与相交于两点, 若的垂直平分线与相交于两点, 且F l C ,A B AB l 'C ,M N ,,,A M B N四点在同一个圆上, 求直线的方程.l【答案】（1） (2)或.24; y x =10x y --=10x y +-=【解析】 (1) 设, 代入中得, 所以,()0,4Q x 22(0)y px p =>08x p =088,22p p PQ QF x p p==+=+依题意得, 解得或 （舍去)，故拋物线的方程为.85824p p p+=⨯2p =2p =-C 24y x =(2) 依题意知与坐标轴不垂直, 故可设的方程为.l l ()10x my m =+≠代入得. 设,24y x =2440y my --=()()1122,,,A x y B x y 则, 故的中点为.12124,4y y y y +==-AB ()221,2D m m +又的斜率为, 所以的方程为,l 'm -l '2123x y m m=-++由直线的方程及拋物线方程, 可设过四点的曲线系方程为:,l l ',,,A M B N ()()22112340x my x y m y x m λ⎛⎫--+--+-= ⎪⎝⎭()()2223211122223230x y m xy m x m m y m m m λλ⎛⎫⎛⎫+----++++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为四点共圆, 所以, 从而.,,,A M B N 111,0m mλ-=-=2,1m λ==±当时，化简式得，1m =()*2214450x y x y +-++=即, 此时直线的方程为:;22(7)(2)48x y -++=l 10x y --=当时，化简式得, 即1m =-()*2214450x y x y +--+=22(7)(2)48x y -+-=此时直线的方程为：, 所求直线的方程为：或.l 10x y +-=l 10x y --=10x y +-=【例15】 设, 过两定点, 分别引直线和, 使与拋物线0b a >>()(),0,,0A a B b l m 2y x =有四个不同的交点, 当这四点共圆时, 求和的交点的轨迹.l m P 【答案】点的轨迹是直线 (除去与和三个交点）.P 2a bx +=0y =2y x =【解析】设, 则:,()00,P x y ()()0000:,:y yPA y x a PB y x b x a x b=-=---将两直线合并为二次曲线: ，,PA PB ()()00000y yy x a y x b x a x b ⎡⎤⎡⎤--⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦又抛物线方程为,20y x -=则过四个点的二次曲线系方程为()()()200000y yy x a y x b y x x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为四个交点共圆, 则方程（*）表示圆, 四点必满足方程:(为常数)()()222110x x y y r -+--=11,,x y r 于是:()()()()()2222001100y y y x a y x b y x x x y y r x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对比两侧项的系数, 可得, 所以,xy 00000y y x a x b λ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭()02a b x +=即点的轨迹是直线(除去与和的三个交点）. P 2a bx +=0y =2y x =【注】本题借助曲线系方程,巧妙利用“四点共圆”的已知条件，成功避开了求交点的繁杂过程. 需 要注意的是,在对比系数时, 不必找出所有项的系数, 我们只要找出其中最好用的即可. 本例中, 由于圆 方程的特点：没有项, 即项系数为0 , 故对比项的系数即可得到结果.xy xy xy 类型5: 利用曲线系求解定点定值问题【例16】 已知椭圆中有一内接, 且(如图), 求证, 直线22126x y +=,60PAB XOP ∠= 0PA PB k k +=AB方向一定.【答案】见解析【解析】点的坐标为, 过点, 将点视作二重点P (P 0y +-=P ,于是直线的方程依次是:,P P ,,,PA PB PPAB ()()1100y k x y k x y px qy r -=--=--++=++=过四点的椭圆方程可写为,,,A P P B①()][()()110y k x y k x y px qy r λμ⎡⎤--⋅--+++⋅++=⎣⎦与椭圆方程②22126x y +=代表同一条二次曲线, 故比较①②中项系数, 可得：, 即为所求.xy pq-=【例17】 已知为椭圆 的左右顶点, 在直线 上任取一点, 连接,A B 22221(0)x y a b a b+=>>:l x m =P , 分别与椭圆交于, 连交轴于点, 求证: .PA PB ,C D ,CD CD x (),0Q n 2mn a =【答案】见解析【解析】设, 则,(),P m t ()():0:0:0:0PA tx m a y at PB tx m a y at AB y CD kx y kn ⎧-++=⎪---=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线得,PA PB 222210x y a b+-=,AB CD ()()()()()22221x y tx m a y at tx m a y at kx y kn y a b λμ⎛⎫⎡⎤+-+-++---=-- ⎪⎣⎦⎝⎭比较的系数得, 即xy ()()()k t m a t m a μ=---+2k tmμ=-比较的系数得, 即y ()()()kn at m a at m a μ-=--++22kn ta μ-=所以.2mn a =【例18】 已知椭圆, 四点2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()1231,1,0,1,1,P P P -中恰有三点在椭圆上.C (1) 求的方程;C (2) 设直线不经过点, 且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为, 证明:l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-过定点.l 【答案】（1） (2)见解析.221;4x y +=【解析】 (1) (过程略)221;4x y +=(2)设斜率分别为，其中22,P A P B 12,k k 121k k +=-则2122:10,:10P A k x y P B k x y -+=-+=将两直线方程合并为：()()12110 k x y k x y -+-+=联立方程组，（此方程组的解为三点的坐标）()()122211044k x y k x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩2,,P A B 整理得()()()2212212121(1)0411k k x y x y k k x k k y y ⎧+-+-=⎪⎨-=+-⎪⎩进而()()()2121(1)411y x y k k y y -+-=+-所以或（即点或）1y =()()12141x y k k y +-=+2P AB l 故直线的方程为：, 显然恒过定点.l ()()12141x y k k y +-=+l ()2,1-【例19】已知分别为椭圆的左、右顶点, 为的上顶点,A B 、222:1(1)x E y a a+=>G E 为直线上的动点,与的另一交点为与的另一交点为.8,AG GB P ⋅=6x =PA E ,C EB E D (1) 求的方程; (2) 证明：直线过定点.E CD 【答案】 (1) (2) 见解析221;9x y +=【解析】 (1) （过程略）2219x y +=(2) 设, 则()6,P t :930:330:0:0PA tx y t PB tx y t AB y CD x my n -+=⎧⎪--=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线,,PA PB 22990x y +-=,AB CD 得()()()()22999333x y bx y t tx y t y x my n λμ+-+-+--=--⎡⎤⎣⎦，比较的系数得;xy 121t μ-=比较的系数得, 所以.y 18t n μ=-32n =直线的方程为, 显然直线过定点.CD 32x my =+CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【例20】 已知椭圆和定点 过点2222:1(0)x y E a b a b+=>>()(),0,,0, (,0).M m N n a m n a m n -<<<⋅≠M作直线交椭圆于点, 直线分别交椭圆于另一个点. 设直线和E ,A B ,AN BN E ,P Q AB PQ的斜率为 证明:21,.k k (1) 直线经过定点;PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭(2) 为定值.2212222k a n k a mn n -=-+【答案】见解析.【解析】证明：如图, 设直线, 即()():,:A B AP y k x n BQ y k x n =-=-0A A k x y k n --=.则下面的曲线系方程表示经过点四点的曲线:0B B k x y k n --=,,,A B P Q ()()222210A AB B x y k x y k n k x y k n a b λ⎛⎫----++-= ⎪⎝⎭展开此方程得()()()222Λ22120A B A B A B B A B k k x y k k xy k k n x k k n y k k n a b λλλ⎛⎫⎛⎫++++--+-++⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即①()2222222222011111A B A B A b A B A B k k k k n k k n k k k k n a x y xy x y b b b b bλλλλλλλ++----⋅++⋅+⋅+⋅+=+++++取特殊的, 使该方程表示为直线和组合体对应的曲线方程λ()1:AB y k x m =-2:PQ y k x t =+，展开此方程得()()1120k x y mk k x y t ---+=②()()()()2212121121102k k x y k k xy k t k k m x t k m y k mt ⋅++--+-+-+-=由此存在实数, 使得方程①和方程②为同一个方程, 对照和项系数得,λxy y 112t k mn k k -+-=--即()12t k m n n k =--⋅由此知直线,()212:PQ y k x k m n n k =+--⋅其与轴的交点为.x ()212,0n k k m n E k ⋅--⎛⎫⎪⎝⎭设直线的交点为, 点在椭圆关于点的极线上，,AB PQ T T 2222:1(0)x y E a b a b +=>>(),0N n 2:a l x n=设极线与轴的交点为. 由此得l x 2,0a K n ⎛⎫⎪⎝⎭()()22211122222n k k m n k a a n m n k n k n k KN a a k KMm m n n⋅----+-⋅===--解得2212222k a n k a mn n -=-+故此时的方程为，PQ ()()22222222an m n y k x k n k a mn n --=+⋅-⋅-+即()22222222a m n mn y k x k a mn n -+=+⋅-+从而直线经过定点.PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭类型6: 证明圆锥曲线内接四边形的性质【例21】 试证明, 椭圆的内接矩形的两相邻边分别与椭圆的长短轴平行.【答案】见解析【解析】建立坐标系, 设矩形各边：,(), 1,2i i y k x h i ===则椭圆方程可写为,()()()()12120y k y k x h x h λμ--+--=显然,项系数为0, 故得证.xy。
过两曲线交点的曲线系方程及应用
过两曲线交点的曲线系方程及应用浙江曾安雄高中数学第二册(上)(修订试验本)的第88页B 组第4题是： 两条曲线的方程是f 1(x ，y )＝0和f 2(x ，y )＝0，它们的交点是P (x 0，y 0)，求证方程：f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线也经过点P (λ是任意实数)．本题证明较易，在此略．它揭示了“过两曲线交点的曲线系方程(不含曲线f 2(x ，y ))”，在解决过两曲线交点问题极其简捷，下面举例说明．一、求直线方程例1 求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0交点的直线的方程．解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是： (x 2＋y 2＋3x －y )＋λ(3x 2＋3y 2＋2x ＋y )＝0整理，得(3λ＋1)x 2＋(3λ＋1)y 2＋(2λ＋3)x ＋(λ－1)y ＝0． 令3λ＋1=0，即λ＝-31，故所求的直线为 7x －4y ＝0． 二、求定点坐标例2求证：不论m 取何实数，方程(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标．解：由原方程整理，得(4x ＋5y －6)＋m (3x －2y ＋7)＝0令45603270x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩故知定点应是(－1，2)． 三、求圆的方程例3求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：过两圆交点的曲线系为(x 2＋y 2＋6x －4)＋λ( x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得 (1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0 ①圆心为33,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭(λ≠－1)，由题意知在直线x －y －4＝0上，即31λ-+＋31λλ+－4＝0，解得λ＝－7．代入①知所求的圆方程是 x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0． 四、证明相关问题例4 证明椭圆22205x y +＝1与双曲线22123x y -＝1的交点在同一个圆上． 证明：由椭圆22205x y +＝1即为x 2＋4y 2－20＝0，双曲线22123x y -＝1即x 2－4y 2－12＝0，故过椭圆及双曲线的交点的所有曲线(不含f 2(x ，y )＝0)的方程为(x 2＋4y 2－20)＋λ(x 2－4y 2－12)＝0即(1＋λ)x 2＋(4－4λ)y 2－20－12λ＝0 ① 令1＋λ＝4－4λ≠0，得λ＝35，代入①得x 2＋y 2＝17 这说明椭圆与双曲线的交点在同一个圆x 2＋y 2＝17上．运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。
例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用
图1曲线系方程：设f (x ,y )=0和g (x ,y )=0分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为λf (x ,y )+g (x ,y )=0(不含f (x ,y )=0).高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为λf (x ,y )+g (x ,y )=0，其中f (x ,y )=0表示圆锥曲线方程，g (x ,y )=0表示两直线构成的曲线方程；（2）将λf (x ,y )+g (x ,y )=0展开，合并同类项，与圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0比较系数，求出λ的值；（3）将λ反代回方程λf (x ,y )+g (x ,y )=0的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补.例1已知T (3,0),Q 是圆P :(x +3)2+y 2=16上一动点，线段QT 的中垂线与直线PQ 交于点S .（1）求动点S 的轨迹E 的方程；（2）过点()1,0且斜率为2的直线l 1与轨迹E 交于A ,B 两点，过原点且斜率为-2的直线l 2与轨迹E 交于M ,N 两点，判断A ,B ,M ,N 四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程.解析：(1)如图1，因为S 为QT 中垂线上的点，所以||ST =||SQ ，故||SP +||ST =||SP +||SQ =||PQ =4，即点S 的轨迹是以P ,T 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则2a =4，故a =2,又b 2=a 2-3=1，故动点S 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1.（2）由题意，l 1:2x -y -2=0，l 2:2x +y =0,例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用四川省成都市树德中学李小蛟610091摘要：圆锥曲线中的四点共圆问题是近年考试的难点和热点，如何在解析几何问题中判断或证明四点共圆问题，是一直困扰师生的一个拦路虎.本文从曲线系方程出发，从纯解析的角度去理解并解决共圆问题.关键词：曲线系；运算；构建；共圆y QxTOP S ··20设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24+y 2-1+()2x -y -2()2x +y =0，整理得æèöøλ4+4x 2+()λ-1y 2-4x -2y -λ=0①.若方程①表示圆，则λ4+4=λ-1，解得λ=203，代入式①得x 2+y 2-1217x -617y -2017=0②.显然方程②表示圆，故A ,B ,M ,N 四点在同一圆上，圆的方程是x 2+y 2-1217x -617y -2017=0.评注：直线和椭圆交点是否共圆问题，若采用先求解出点坐标（用参数表示），再用三点确定圆方程（可用圆方程一般方程或标准方程），再检验其余点是否在该圆上.这种求解方法便于理解，但运算量非常大，对学生的应试心理和考场毅力要求较高.反观若运用曲线系方程则减少运算量，参数非常少（只引入了λ），在考场上对学生的应试信心会有很大的提升.例2已知抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线E 交于A ,C 和B ,D .问：A ,B ,C ,D 四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由.解析：由题意，两直线都不与坐标轴垂直，可设AC 的方程为x =my +2，BD 的方程为y =-m ()x -2，经过A ,B ,C ,D 四点的曲线系方程y 2-8x +λ(x -my -2)(mx +y -2m )=0，化简整理得λmx 2+(1-λm )y 2+λ(1-m 2)xy-(8+4m λ)x +2λ()m 2-1y +4m λ=0③.若该方程表示圆，则{λ()1-m 2=0λm =1-λm,即m =±1且λm =12.代入式③整理得x 22+y 22-10x +2=0，化为标准方程得()x -102+y 2=96.综上，当且仅当两直线倾斜角分别为π4,3π4时，A ,B ,C ,D 四点共圆，圆的方程为()x -102+y 2=96.评注：抛物线方程形式上左边二次，右边一次，因此抛物线与直线交点共圆问题联立时相对椭圆运算量要小一些，但本题同样涉及用参数m 表示，形式还是比较复杂，且表示圆的形式更加繁琐.因此，采用曲线系方程解决问题可减少运算，思路清晰，求解目标明确，形式简捷.例3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线方程为3x -2y =0,且过点()4,3.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为-12的直线l 1过点()-1,0且与双曲线C 交于A ,B 两点，斜率为k 的直线l 2过原点且与双曲线C 交于M ,N 两点，若A ,B ,M ,N 四点是在同一圆上，求k 的值及该圆的方程.解析:（1）由题意，ìíîïïïïb a16a 2-9b2=1,解得a =2,b =3，故双曲线C 的方程为x 24-y 23=1.（2）由已知直线l 1的方程为y =-12(x +1)，即x +2y +1=0，直线l 2的方程为kx -y =0，故可设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24-y 23-1+(x +2y +1)(kx -y )=0，整理得æèöøλ4-k x 2-æèöøλ3+2y 2+(2k -1)⋅xy +kx-y -λ=0④.若方程④表示圆，则ìíîïïλ4-k =-æèöøλ3+22k -1=0解得ìíîïïλ=-187k =12，代入式④··21图2化简得x 2+y 2-716x +78y -94=0⑤.显然方程⑤是圆的方程，经检验，当k =12时，直线l 2与双曲线C 有两个交点，故k =12，所求圆的方程为x 2+y 2-716x +78y -94=0.评注：本题是两直线与双曲线交点的四点共圆问题，采用曲线系方程求解，虽引入两个未知数（k ,λ），但根据圆一般方程的形式运算相对较小，且易于检验是否四点共圆.例4已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且||QF =54||PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解析:（1）由{y =4y 2=2px .得x =8p ，即Q æèçöø÷8p ,4，所以||PQ =8p ，||QF =8p +p 2.因为||QF =54||PQ ，所以8p +p 2=54⋅8p，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .（2）由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，则直线AB 的方程为y =k (x -1).由ìíîy =k ()x -1y 2=4x .得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1，y 1+y 2=k ()x 1+x 2-2=4k，故AB 中点D 的坐标为æèçöø÷k 2+2k 2,2k ，故直线MN 的方程为x =-ky +3k 2+2k2.可设经过A ,M ,B ,N 四点的曲线系方程为λ(y 2-4x )+(kx -y -k )æèçöø÷x +ky -3k 2+2k 2=0，整理得kx 2+(λ-k )y 2+(k 2-1)xy -(4λ+)3k 2+2k 2+k x +æèçöø÷3k 2+2k 2-k 2y +3k 2+2k 2=0⑥.若方程⑥表示圆，则{k =λ-k k 2-1=0，故{k =1λ=2或{k =-1λ=-2.当k =1，λ=2时，代入式⑥整理得()x -72+()y +22=48，符合题意；当k =-1，λ=-2时，代入式⑥整理得(x -7)2+(y -2)2=48，符合题意.综上所述，直线l 的方程为y =±()x -1.评注:本题运算相对复杂（特别是求解直线MN 方程需用k 的相关形式表示），但涉及四点共圆时用曲线系解答非常巧妙地避开了用k 表示相关点求解圆方程，减少运算，降低思维难度，用一种形式轻松解决两个参数（k ,λ）的求解.曲线系方程从统一的思想高度来思考问题,求大同存小异,考虑共性的东西，不刻意去顾及个性特征，是数学形式与数学本质的完美结合，形式简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.基金项目：本文为四川省数学会重点立项课题“提升学生核心素养的高中数学课程校本化研究”研究成果（项目编号：2020SXHJY004）.y A M DF B O Nx ··22。
曲线系方程
曲线系方程我们研究的曲线系方程是一类特殊的方程。
它包含了圆锥曲线系方程，椭圆型方程和抛物线型方程。
在日常生活中，我们也常常碰到这类问题，下面就让我们一起来看看吧！在欧几里得空间，向量组A， B， C都可以用运动轨迹来表示。
而运动轨迹又可以分为两种：曲线和直线。
现在，我们就研究这类特殊的曲线系方程，并应用学过的知识来解决问题。
设有两条平行的直线ab、 ac，设直线ab和cd交于点e。
又设a， b分别为直线ab和cd的方程，下面将讲解曲线的相关概念和几个重要定理。
在定义中，ab表示曲线ab； ac表示曲线ac； ae表示曲线ae； ad表示曲线ad； cd表示曲线cd。
（ 1）1。
圆的方程和弦的方程由圆的方程定义可知，圆的方程是一个二元二次方程：圆的方程和弦的方程是二元二次方程的组合。
根据这个概念，我们来探讨以下几种情况：定义在圆上，并且对于任意的x 和y，|||| a=b，||||||a=y，|||||||||| x^2-2xy+3x=0。
因为已知直线ab和cd的方程，所以a=b、 x^2-2xy+3x=0两种情况均不满足：a=b， x^2-2xy+3x=0和x^2-2xy+3x=0所以，我们可以肯定的说，圆上的一点，不能用这三个方程来表示，只有一个方程： x^2-2xy+3x=0。
（ 2）3。
直线的方程3。
直线的方程设a， b分别为直线ab和cd的方程，则a=c， b=1，c， d， e， f是定义在直线ab和cd上的任意点，由a， b和c， d，e， f的方程可得： a=c， b=1， c， d， e， f是一组四边形，其中每一边都是ab的延长线，但e， f不是延长线。
将其转化成一个标准的矩形，再由直线ab的方程可以得出： c， d， e， f也是一组四边形，因此可以证明，直线ab和cd中的一点，不能用这三个方程来表示，只有一个方程： x^2-2xy+3x=0。
现在，再从圆的方程来看，只要将圆的方程中的a， b和c， d， e， f去掉，也就是说，去掉线段ab、 cd、 ae和ad，就是一个矩形。
数学高考知识点曲线方程
数学高考知识点曲线方程曲线方程是数学高考的重要知识点之一，其在数学科目中起着重要的作用。
曲线方程是描述平面上曲线图形特征的数学函数关系，它可以帮助我们深入理解和分析曲线的性质和行为。
本文将通过介绍曲线方程的基本概念、常见类型和应用，展示曲线方程在高考数学中的重要性和实用价值。
1. 基本概念曲线方程是用数学语言描述曲线图形的函数关系，常用的表示方法有显式方程、参数方程和极坐标方程等。
显式方程通过将自变量和因变量之间的关系式整理成一个等式，直接表示曲线的轨迹；参数方程则用一个或多个参数来表示曲线上每个点的坐标；极坐标方程则通过极径和极角来表示每个点的位置。
这些不同的表示方法可以根据实际问题的需要进行选择和转换，以方便得到所需的信息。
2. 常见类型曲线方程的类型多种多样，其中包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等等。
直线是最基本的曲线类型，其方程为y = kx + b，其中k代表斜率，b代表截距。
圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)代表圆心坐标，r代表半径长度。
椭圆、双曲线和抛物线的方程比较复杂，它们分别具有不同的特点和性质，需要通过进一步的研究和分析来理解和应用。
3. 应用曲线方程在数学高考中具有广泛的应用价值。
首先，通过曲线方程可以计算和预测曲线上每个点的坐标和性质，以便用于建模和问题求解。
例如，我们可以通过椭圆的方程来计算其焦点和顶点的位置，进而分析椭圆的形状和变化规律。
其次，曲线方程可以用于解决几何问题，如求两个曲线的交点、判断点是否在曲线上等等。
最后，曲线方程还可以与其他数学知识进行结合，如微积分、极限等，用于深入研究和探索曲线的性质和变化规律。
总结起来，曲线方程是数学高考的重要知识点之一，其理解和掌握对于提高数学成绩和解决实际问题具有重要作用。
通过学习曲线方程，我们可以更好地理解和分析曲线的特征和行为，为数学高考提供有效的解题工具和方法。
曲线系方程及其应用
曲线系方程及其应用
曲线系方程是数学中基础而重要的研究对象，它以曲线系形式表示对象的形状、定位和关系，是几何研究形体、定位和变化的基础。
使用曲线系方程可以准确地表示复杂几何形状，并且可以用数学知识综合这些系统方程来求解几何问题，这是时间与空间相结合的表达以及描述复杂几何形状的有效方法。
曲线系方程的基本概念
曲线系方程表示的是一个曲线的运动轨迹，以及曲线的形状和构造等元素。
曲线系方程有以下几部分组成：定义域、函数、参数系数和曲线所在的平面。
定义域是曲线系方程的解空间，它由所给函数的参数确定，也是曲线所绘制的范围。
函数是曲线系方程的核心，它由指定参数计算得出。
参数系数是曲线所在的平面，它由数学语言来描述，也就是曲线系方程的参数。
曲线系方程的解法
曲线系方程的解法有分析解法和数值解法两种，分析解法可以直接给出满足曲线系方程的数学解，即曲线系方程的精确表达。
数值解法则是用几何图形、数学表达式及下列解法来近似求解曲线系方程：隐式函数解法、显式函数解法、牛顿切线法、修正牛顿法、最小二乘法。
曲线系方程的应用
曲线系方程的应用非常广泛，它在几何中、学科领域中，以及科
学、技术、工程领域中都有着重要的应用。
在几何学中，曲线系方程能够清楚的描述复杂的几何形状，它有助于几何学问题的定义和分析；在科学技术和工程领域，曲线系方程也可以用来解决各种科学技术和工程问题，比如流体动力学、热力学、振动力学等。
结论
曲线系方程是数学中重要的研究内容，其基本概念、解法以及广泛的应用都可以说明这一点。
曲线系方程不仅可以用来描述几何形状，还能够满足科学技术和工程领域的需求，因此它以其重要的研究地位成为了数学的支柱。
四点曲线系方程
四点曲线系方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四点曲线系方程是解析几何中的一个重要概念，它描述了一个平面上通过四个给定点的曲线的方程。
在数学中，曲线方程的形式可以是各种各样的，包括圆、抛物线、椭圆、双曲线等。
通过给定四个点的坐标，我们可以推导出满足这四个点的曲线的方程，并进一步研究这条曲线的性质。
我们来看一个简单的例子。
假设我们有四个点A(x1, y1)、B(x2,y2)、C(x3, y3)、D(x4, y4)，我们要找到一个曲线通过这四个点，那么我们可以建立一个方程来描述这个曲线。
通常情况下，我们可以假设这个曲线是一个二次曲线，可以用一般二次方程的形式表示：\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\]其中a、b、c、d、e、f是未知系数，我们可以通过四个点的坐标来解方程组，得到满足这四个点的曲线方程。
在实际应用中，四点曲线系方程可以用于建模和解决各种问题。
比如在工程和建筑中，我们常常需要通过一些关键点来描绘一个曲线，比如地形地貌的曲线、曲线轨迹的设计等。
通过求解四点曲线系方程，我们可以精确地描述出这些曲线的形状和特征，为实际问题的分析和解决提供重要的数学工具。
不过，要注意的是，求解四点曲线系方程可能会涉及到一些复杂的数学计算和算法。
在实际应用中，我们可以利用计算机软件和数值计算方法来求解这些方程，以提高效率和精度。
我们也需要注意方程的解可能有多个，需要根据具体问题来选择符合要求的解。
四点曲线系方程是一个重要的数学工具，它可以描述通过四个给定点的曲线方程，为建模、设计和问题求解提供了有力的数学支持。
通过求解这些方程，我们可以深入研究曲线的性质，进一步推动数学在实际应用中的发展和应用。
希望通过本文的介绍，读者对四点曲线系方程有了更深入的了解和认识，能够将其运用到实际问题中，取得更好的效果和成果。
【结束】第二篇示例：四点曲线系方程是数学中的一个重要概念，它指的是通过四个给定点的曲线方程。
曲线的参数方程及其几何应用
曲线的参数方程及其几何应用曲线是数学中非常重要的概念，它在各个领域有着广泛的应用。
在几何学中，曲线可以用参数方程的形式表示，这种表示方法非常灵活，能够描述一些复杂的曲线形状。
本文将介绍曲线的参数方程以及其在几何中的应用。
一、曲线的参数方程曲线的参数方程是一种描述曲线的方法，它使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，(x, y)为曲线上任意一点的坐标。
通过不同的参数取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。
例如，考虑一个简单的曲线——单位圆，其参数方程可以表示为：x = cos(t)y = sin(t)当参数t取0到2π的范围时，就可以得到单位圆上的所有点。
二、参数方程的几何应用1. 曲线的绘制与描述通过参数方程，我们可以很方便地绘制各种曲线。
例如，通过调整参数方程中的函数形式、参数范围等，可以绘制出直线、抛物线、椭圆、双曲线等各种曲线形状。
这为几何学的研究和应用提供了重要的工具。
2. 运动轨迹的描述参数方程还可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，在物理学中，我们可以使用参数方程来描述质点的运动路径。
通过参数t的取值，可以确定不同时刻质点的位置。
这种描述方法在运动学、动力学等方面有着广泛的应用。
3. 曲线长度的计算通过参数方程，可以计算曲线的长度。
设曲线上两点的参数分别为t1和t2，曲线上这两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则曲线的长度可以通过如下公式计算：L = ∫[t1, t2] √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt这里，dx/dt和dy/dt分别表示曲线在x轴和y轴方向上的导数。
4. 曲线的曲率与切线通过参数方程，可以计算曲线上任意一点的曲率和切线。
曲率表示曲线在某一点的弯曲程度，而切线则表示曲线在该点的方向。
这种参数方程的描述方式，使得曲率和切线的计算变得相对简单，为曲线的研究提供了便利。
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曲线系方程及应用
曲线系方程
１．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ；
２．圆系⎪⎩⎪⎨⎧=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系
相交圆系： ３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抛物线型
双曲线型椭圆型
４．圆锥曲线系
定理一：给定五点，其中三点在直线l 上，另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）．
定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线． 推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点，则过两
曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ．
推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆 锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程
为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ．
推论三：若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l
0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：
0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ．
推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为：
0),(=++=i i i i C y B x A y x l 则曲线系为：
0),(),(),(),(),(),(133322211=++y x l y x l y x l y x l y x l y x l λλλ．
二．曲线系方程的应用
1.求一条经过五点)2
1,21(),1,0(),1,1(),0,1(),0,0(-的圆锥曲线．
2、四条直线0:,05:,06:,0253:4321==+=--=-+y l y x l y kx l y x l 围成一个四边形，问k 取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．
3、已知AB ，CD 是椭圆122
22=+b
y a x 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆． 4、已知三角形三边所在直线方程为01,0,0=-+==y x y x ，求经过这个三角形的三个顶点，且过(3,1)点的抛物线方程．
例５．求过点C(4,4)042),6,9(),2,1(切于点且与直线=+---y x B A 的抛物线方程．
例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证：过Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．
例７．已知四边形ABCD 的边AB ，CD 相交于O ，过O 点任作一直线l 交AC 于E ，交BD 于F ，过A ，B ，C ，D 任作一圆锥曲线S 与l 相交于G ，H ，求证：
OF
OE OH OC 1111+=+． 例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行，求证：三组对边所在直线的交点共线． 练习
１．已知椭圆01y 0,2x 1-y x 04222=++=+=-+与两条直线y x 有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．
２．求过点)2,3(),0,2(),1,1(),1,1(),0,0(--D C B A O 五点的二次曲线方程．
３．在⊙Ｏ中，弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ，求证：ＥＭ＝ＭＦ．
４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．。