双曲线方程及几何性质的应用 课件

[思路点拨] 设直线l的方程为y＝2x＋m，由题意建立
关于m的等式，求出m即可．
[精解详析] 设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，
y＝2x＋m， 由x32－y22＝1，
得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，
[一点通] (1)弦长公式
斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2
＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
(2) 与 弦 中 点 有 关 的 问 题 主 要 用 点 差 法 ， 根 与 系 数 的 关 系 解
若 4－k2＝0，即 k＝±2 时，方程(*)为一次方程，只有一解. 若 4－k2≠0 时，Δ＝4k2＋8(4－k2)＝4(8－k2)． 当 Δ>0 即－2 2<k<2 2时，方程(*)有两个不同的解． 当 Δ＝0 即 k＝±2 2时，方程(*)有一解． 当 Δ<0 即 k<－2 2或 k>2 2时，方程 (*)无解． 综合以上得：当－2 2<k<2 2时,直线与双曲线有两个公共 点；当 k＝±2 或 k＝±2 2时,直线与双曲线有一个公共点；当 k< －2 2或 k>2 2时,直线与双曲线没有公共点．
由此得 x1＝152x2.因为 x1，x2 是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 的两根，且 1－a2≠0，
所以1172x2＝－12－a2a2，152x22＝－12－a2a2.消去 x2，得
－1－2a2a2＝26809.由 a>0，解得 a＝1173.
[例 2] 斜率为 2 的直线 l 在双曲线x32－y22＝1 上截得的弦长 为 6，求 l 的方程．
∵x1·x2＝－72<0， ∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72， ∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2| ＝ 2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 2· －22－4－72＝6.
[例 3] 已知直线 l：x＋y＝1 与双曲线 C：xa22－y2＝1(a>0)． (1)若 a＝12，求 l 与 C 相交所得的弦长； (2)若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围．
4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，且倾 斜
角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两 点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长． 解：∵直线l过点F2且倾斜角为45°， ∴直线l的方程为y＝x－2. 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1),B(x2，y2).
①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1 ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. ∴xy11－ －yx22＝4xy11＋＋xy22＝2. ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－8)， 即 2x－y－15＝0.
决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中
点、弦长等问题解决．
3．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B两
点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：设 A,B 的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，
则 x12－4y12＝4，
①
x22－4y22＝4.
②
双曲线方程及几何性质的应用
[例1] 已知直线y＝kx－1与双曲线4x2－y2＝1.当k为何 值时，直线与双曲线：
(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点？ [思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题，可以 将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的 个数问题．
[精解详析] 由y4＝ x2－ kxy－2＝1，1， 消去 y 得(4－k2)x2＋2kx－2 ＝0.(*)
1．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个交点， 则k的值为________．
解析：由yx＝2－kyx2－＝11，， 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. 当 1－k2＝0 时，即 k＝±1 时， 方程变为±2x－2＝0，则 x＝±1. 此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
当 1－k2≠0 时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0， 解得 k＝± 2. 此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点． 综上所述,k＝±1，± 2. 答案：±1, ± 2
2．直线 l：x＋y＝1 与双曲线 C：ax22－y2＝1(a>0)相交于两个不同 点 A,B，与 y 轴交于点 P，且 PA＝152 PB，求 a 的值． 解：将 y＝－x＋1 代入xa22－y2＝1(a>0)，得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得 P(0,1)． 因为 PA＝152 PB，所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)．
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲 线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲 线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线 相离．
得 x1＋x2＝－65m，x1x2＝130(m2＋2)． ∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2 ＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3265m2－4×130(m2＋2)]． ∵|AB|＝ 6，∴356m2－6(m2＋2)＝6. ∴m2＝15，m＝± 15. 由(*)式得 Δ＝24m2－240， 把 m＝± 15代入上式，得 Δ>0， ∴m 的值为± 15， ∴所求 l 的方程为 y＝2x± 15.
[一点通] 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
②
把①代入②得
(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线的渐近
线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．