双曲线方程及性质的应用 ppt(新人教版)PPT优选课件
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3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
意义同上，这时双曲线的方程是
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
双曲线的性质PPT课件
双曲线的定义及标准方程
双曲线的几何性质
椭圆
双曲线
方程
x2 y2 1
a2 b2
(a b 0)
x2 y 2 1 (a 0,b 0) a2 b2
图形
y
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
范围 | x | a ， | y | a
对称性 对称轴：x、y轴 对称中心：原点
顶点 离心率
a4
渐近线方程:
x 3 y,即
4
y 4x 3
例3.已知实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，求等轴双曲线的渐近线以及离心率。
x 等轴双曲线方程： 2 y 2 a 2
或 y2 x2 a2 渐进线方程： x y 0
离心率： e 2
双曲线
x2 y2 16 b2
双曲线性质：
1、 范围：x≥a或x≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
1 的实轴的一个端点A1，虚轴的一个
端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。
y
A1 O
xB1ຫໍສະໝຸດ 四个顶点 (a,0)e c (0,1)
a
，
e越大，椭圆越扁，
e越小，椭圆越圆
(0,b)
F1 A1 O A2 F2
x
| x | a
双曲线的几何性质
椭圆
双曲线
方程
x2 y2 1
a2 b2
(a b 0)
x2 y 2 1 (a 0,b 0) a2 b2
图形
y
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
范围 | x | a ， | y | a
对称性 对称轴：x、y轴 对称中心：原点
顶点 离心率
a4
渐近线方程:
x 3 y,即
4
y 4x 3
例3.已知实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，求等轴双曲线的渐近线以及离心率。
x 等轴双曲线方程： 2 y 2 a 2
或 y2 x2 a2 渐进线方程： x y 0
离心率： e 2
双曲线
x2 y2 16 b2
双曲线性质：
1、 范围：x≥a或x≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
1 的实轴的一个端点A1，虚轴的一个
端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。
y
A1 O
xB1ຫໍສະໝຸດ 四个顶点 (a,0)e c (0,1)
a
，
e越大，椭圆越扁，
e越小，椭圆越圆
(0,b)
F1 A1 O A2 F2
x
| x | a
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
人教版高中数学课件-双曲线方程及性质的应用
y2 6
1的右焦点F2 , 倾斜角
为30 的直线交双曲线于A, B两点，求 AB . y
解：由雙曲線的方程得，兩焦點
分別為F1(-3,0),F2(3,0).
·
·
因為直線AB的傾斜角是30°， F1 O B F2 x
且直線經過右焦點F2，所以，直
A
線AB的方程為
3
y (x 3).
(1)
3
3
由
y
所以设双曲线的方程为16－ 9 ＝λ，
由题意知λ>0，所以 16λ＋9λ＝16，所以λ＝1265. x2 y2
所以所求的双曲线标准方程为256－144＝1. 25 25
1.雙曲線的簡單幾何性質，利用性質求方程， 解決與性質相關的綜合性問題； 2.掌握直線與雙曲線的位置關係及弦長公式.
淚水和汗水的化學成分相似，但前者 只能為你換來同情，後者卻可以為你贏得 成功.
(3 9)2 (2 3 2 3 )2
5
5
16 3.
【提升總結】5
算一算， 看結果一
樣嗎？
這裏我們也可以利用弦長公式求解.
弦長公式：AB 1 k 2 x1 x2
1 k2 (x1 x2 )2 4x1x2，
或 AB
1
1 k2
(y1 y2 )2 4y1y2 .
【變式練習】
你 能 求 出 A F1B 的 周 长 吗 ？ 解析：因為F1的座標是(-3,0),所以
第2課時 雙曲線方程及性質的應用
雙 曲
性
質 圖象
範圍
對稱 性
頂點
漸近 線
離心 率
線
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
《双曲线》_PPT完整版人教版1
94
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
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变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
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变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的性质PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
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7.(2010·营口高二检测)中心在原点的双曲线，经过一点
P（4，3 2 ）. (1)若直线y= 3 x-2与双曲线只有一个交点，求双曲线的标准
4
方程;
(2)若它的一个焦点为F( 1 0 , 0),求它的顶点坐标及离心率.
【解析】（1）由直线与双曲线只有一个交点可知直线y=
3 x-2平行于双曲线的一条渐近线，即双曲线的一条渐近线
【解析】
9.(10分)设直线l:y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A，B 两点，O为坐标原点. （1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ （2）是否存在实数a,使 |OA|=|OB|且 O A +O B=λ(2,1)?若存 在，求a的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由 3yx=2a-xy+21=消1,去y整理得 (3-a2)x2-2ax-2=0.
mn
将点P(4,3 2)代入方程得到 16 -同18时=1有, m+n=10;
mn
将n=10-m代入解得：m=4或m=40,当m=4时，n=6,
当m=40时，n=-30,不合题意，舍去，故m=4,n=6;
∴a=2,b= 6 ,c= 1顶0 ;点坐标为：A1(-2,0),A2(2,0),
离心率 e= c = 10 .
4
为y=3 x,
4
可以用双曲线系方程设双曲线的方程为 x2 - y（2 =λ≠, 0），
16 9
将点P(4,3 2)代入方程得到 16 -1得8到=λ, =-1.
16 9
∴双曲线的方程为 y2 - x2 =1.
9 16
(2)一个焦点为F（ 1 00 ,）,可设方程为 n＞0),
x2 (-my2＞=10,
一、填空题（每题4分，共24分）
1.（2010·苏州高二检测）以椭圆 x2 y2 =1的焦点为顶点、
2
两顶点为焦点的双曲线的标准方程是____.
【解析】椭圆 x2 y的2 =焦1 点坐标为（0，1），（0，-1），由
2
题意可知所求双曲线的顶点坐标为（0，1），（0，-1），
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
焦点坐标为（0， 2 ），（0， ）2 ，所以其标准形式为y2x2=1.
答案：y2-x2=1
2.设P是双曲线
x2 a2
- y2 9
=1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为
3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1=3，则PF2
等于____.
【解析】由3x-2y=0是一条渐近线,
∴ b = 3∴=a3=, 2,
a2 2
e= c = 10 . a2
答案： 1 0
2
6.过点A(6,1)作直线l与双曲线 x2 - y2 =1 相交于两点B、C,且A
16 4
为线段BC的中点.则直线l的方程为____.
【解析】Βιβλιοθήκη ∴直线l的方程为y-1= 3 (x-6),
2
即3x-2y-16=0.
答案：3x-2y-16=0
二、解答题（每题8分，共16分）
aa2
∴双曲线方程为
x2 y2 - =1,
49
由双曲线定义知PF1-PF2=±4,
∴PF2=7或PF2=-1(舍去).
答案：7
3.存在斜率且过点P(-1, - b
a
)的直线l与双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1 有且
仅有一个公共点,且这个公共点恰是双曲线的左顶点,则双曲
线的实轴长等于____.
【解析】依题意知,过点P的直线l与双曲线的渐近线y= - bx
a
平行,
所以
-b a
=- b ,
-1+a a
解得a=2.
所以实轴长等于4.
答案：4
4.（2010·玉溪高二检测）双曲线x2-y2=1左支上一点P (a,b)到直线y=x的距离为 2 , 则a+b=____.
【解析】∵P(a,b)在双曲线x2-y2=1上, ∴a2-b2=1.
∴(a+b)(a-b)=1.
依题意得3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0,
∴a2<6且a2≠3,
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，由根与系数的关系得
x 1+ x2=3 2 -a a2,x 1 x2=a2 2 -3,
又以AB为直径的圆过原点，
即x1·x2+y1·y2=0， (a2+1)x1·x2+a(x1+x2)+1=0， ∴a=±1.
又P(a,b)到直线y=x的距离为 2 . ∴ |a-b| = 2.
2
∴|a-b|=2.
∵P(a,b)在双曲线左支上,
∴a-b<0.∴a-b=-2. ∴a+b= 1 .
2
答案： 1
2
5.（2010·抚顺高二检测）设F1,F2分别是双曲线
x2 y2 a2 - b2 =1
(a＞0,b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
a2
8.(2010·湛江高二检测)已知双曲线C:
x2 a2
-y 2
=1
(a>0)与直线
l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
(2)设直线l与y轴交点为P,且 PA= 5 PB, 求a的值.
12
【解题提示】解答本题（1）可将方程联立，消元后利用
Δ＞0求e的取值范围.解答本题（2）可将向量关系转化.
∠F1AF2=90°且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为____.
【解题提示】解答本题要结合双曲线的定义和勾股定理解
题.
【解析】∵AF1-AF2=2a,AF1=3AF2，
∴AF2=a,AF1=3a,
又∠F1AF2=90°,∴F1F22=AF12+AF22,
∴4c2=a2+9a2=10a2,
∴ c 2 =∴5 ,
P（4，3 2 ）. (1)若直线y= 3 x-2与双曲线只有一个交点，求双曲线的标准
4
方程;
(2)若它的一个焦点为F( 1 0 , 0),求它的顶点坐标及离心率.
【解析】（1）由直线与双曲线只有一个交点可知直线y=
3 x-2平行于双曲线的一条渐近线，即双曲线的一条渐近线
【解析】
9.(10分)设直线l:y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A，B 两点，O为坐标原点. （1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ （2）是否存在实数a,使 |OA|=|OB|且 O A +O B=λ(2,1)?若存 在，求a的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由 3yx=2a-xy+21=消1,去y整理得 (3-a2)x2-2ax-2=0.
mn
将点P(4,3 2)代入方程得到 16 -同18时=1有, m+n=10;
mn
将n=10-m代入解得：m=4或m=40,当m=4时，n=6,
当m=40时，n=-30,不合题意，舍去，故m=4,n=6;
∴a=2,b= 6 ,c= 1顶0 ;点坐标为：A1(-2,0),A2(2,0),
离心率 e= c = 10 .
4
为y=3 x,
4
可以用双曲线系方程设双曲线的方程为 x2 - y（2 =λ≠, 0），
16 9
将点P(4,3 2)代入方程得到 16 -1得8到=λ, =-1.
16 9
∴双曲线的方程为 y2 - x2 =1.
9 16
(2)一个焦点为F（ 1 00 ,）,可设方程为 n＞0),
x2 (-my2＞=10,
一、填空题（每题4分，共24分）
1.（2010·苏州高二检测）以椭圆 x2 y2 =1的焦点为顶点、
2
两顶点为焦点的双曲线的标准方程是____.
【解析】椭圆 x2 y的2 =焦1 点坐标为（0，1），（0，-1），由
2
题意可知所求双曲线的顶点坐标为（0，1），（0，-1），
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
焦点坐标为（0， 2 ），（0， ）2 ，所以其标准形式为y2x2=1.
答案：y2-x2=1
2.设P是双曲线
x2 a2
- y2 9
=1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为
3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1=3，则PF2
等于____.
【解析】由3x-2y=0是一条渐近线,
∴ b = 3∴=a3=, 2,
a2 2
e= c = 10 . a2
答案： 1 0
2
6.过点A(6,1)作直线l与双曲线 x2 - y2 =1 相交于两点B、C,且A
16 4
为线段BC的中点.则直线l的方程为____.
【解析】Βιβλιοθήκη ∴直线l的方程为y-1= 3 (x-6),
2
即3x-2y-16=0.
答案：3x-2y-16=0
二、解答题（每题8分，共16分）
aa2
∴双曲线方程为
x2 y2 - =1,
49
由双曲线定义知PF1-PF2=±4,
∴PF2=7或PF2=-1(舍去).
答案：7
3.存在斜率且过点P(-1, - b
a
)的直线l与双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1 有且
仅有一个公共点,且这个公共点恰是双曲线的左顶点,则双曲
线的实轴长等于____.
【解析】依题意知,过点P的直线l与双曲线的渐近线y= - bx
a
平行,
所以
-b a
=- b ,
-1+a a
解得a=2.
所以实轴长等于4.
答案：4
4.（2010·玉溪高二检测）双曲线x2-y2=1左支上一点P (a,b)到直线y=x的距离为 2 , 则a+b=____.
【解析】∵P(a,b)在双曲线x2-y2=1上, ∴a2-b2=1.
∴(a+b)(a-b)=1.
依题意得3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0,
∴a2<6且a2≠3,
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，由根与系数的关系得
x 1+ x2=3 2 -a a2,x 1 x2=a2 2 -3,
又以AB为直径的圆过原点，
即x1·x2+y1·y2=0， (a2+1)x1·x2+a(x1+x2)+1=0， ∴a=±1.
又P(a,b)到直线y=x的距离为 2 . ∴ |a-b| = 2.
2
∴|a-b|=2.
∵P(a,b)在双曲线左支上,
∴a-b<0.∴a-b=-2. ∴a+b= 1 .
2
答案： 1
2
5.（2010·抚顺高二检测）设F1,F2分别是双曲线
x2 y2 a2 - b2 =1
(a＞0,b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
a2
8.(2010·湛江高二检测)已知双曲线C:
x2 a2
-y 2
=1
(a>0)与直线
l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
(2)设直线l与y轴交点为P,且 PA= 5 PB, 求a的值.
12
【解题提示】解答本题（1）可将方程联立，消元后利用
Δ＞0求e的取值范围.解答本题（2）可将向量关系转化.
∠F1AF2=90°且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为____.
【解题提示】解答本题要结合双曲线的定义和勾股定理解
题.
【解析】∵AF1-AF2=2a,AF1=3AF2，
∴AF2=a,AF1=3a,
又∠F1AF2=90°,∴F1F22=AF12+AF22,
∴4c2=a2+9a2=10a2,
∴ c 2 =∴5 ,