《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业

《双曲线方程及性质的应用》课时提升作业双曲线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2020·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则如此的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故如此的直线只有两条.【变式训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,如此的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,因此当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,因此当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.2.(2020·长春高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,因此E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依旧有效.3.(2020·郑州高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=,即M,在△MF1F2中,tan30°=,即=,解得e==.4.F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB 的面积为( )A. B.2 C. D.【解析】选 B.由双曲线-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,因此c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直线AB:y=x-2.由得2x2-12x+15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=,因此|AB|=|x1-x2|=·=2.又F1到直线AB:x-y-2=0的距离为:d==2,因此=×d×|AB|=×2×2=2.5.(2020·攀枝花高二检测)P是双曲线-=1右支上的一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A.9B.8C.7D.6【解析】选A.由双曲线-=1,知a2=9,b2=16,因此c2=25,因此c=5.因此双曲线左、右焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),由圆的方程知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=6,结合图形当M为PF1延长线与圆交点时PM最长,当N为PF2与圆交点时PN最短,现在|PM|-|PN|最大,故最大值为6+2+1=9.6.(2020·天津高二检测)已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C. D.2+【解析】选A.由双曲线-=1(a>0,b>0),得左焦点F1(-c,0),则直线方程为y=(x+c).又PF1的中点在y轴上,故P点横坐标为x P=c,代入直线y=(x+c),得y P=c,又点P在双曲线上,故-=1,即c4-a2c2+a4=0,因此e4-e2+1=0,解得e=或e=(舍).二、填空题(每小题4分,共12分)7.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,则直线的方程为.【解题指南】依照直线通过点A(6,1),设出直线方程y-1=k(x-6);依照点A(6,1)为线段BC的中点,应用中点坐标公式,确定B,C的坐标关系;应用“点差法”确定直线的斜率.【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k≠0),则直线的方程为y-1=k(x-6).设B(x1,y1),C(x2,y2),因为点A(6,1)为线段BC的中点,因此x1+x2=12,y1+y2=2.因为点B,C在双曲线x2-4y2=16上,因此由②-①得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,因此k====,因此经检验,直线的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=08.(2020·福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可设BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.【解析】依照题意,得a2=9,b2=16,因此c==5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.因此直线BF的方程为y=±(x-5).①若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,现在S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=;②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.现在S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=.因此,△AFB的面积为.答案:9.(2020·景德镇高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F 的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=3,则双曲线离心率的最小值为.【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点且=3,故直线与双曲线相交只能是如图所示的情形,即A点在双曲线的左支,B点在右支,设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,因此c-x1=3(c-x2),3x2-x1=2c,由图可知,x1≤-a,x2≥a,因此-x1≥a,3x2≥3a,故3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e≥2,因此离心率的最小值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2020·遵义高二检测)设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率e的取值范畴.【解析】由C与l相交于两个不同的点,可知方程组有两组不同的解, 消去y,并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,①因此解得0<a<,且a≠1,而双曲线C的离心率e==,从而e>,且e≠,即双曲线C的离心率e的取值范畴为∪(,+∞).【举一反三】本题若加上条件“设直线l与y轴交于点P,且=”.求a的值.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),且P(0,1),因为=,因此(x1,y1-1)=(x2,y2-1),得x1=x2.由于x1,x2是方程①的两个根,因此x1+x2=-,x1x2=-,即x2=-,=-,消去x2,得-=,解得a=.11.(2020·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点,右焦点为F,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线L:y=kx+1与双曲线交于A,B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点?【解题指南】(1)设出双曲线方程-=1,由条件建立关于a,b的方程组求解. (2)只需依照OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0求出k的值.【解析】(1)设双曲线的方程为-=1,由焦点坐标得c=,渐近线方程为y=±x=±x,结合c2=a2+b2得a2=,b2=1⇒-y2=1.(2)由得(3-k2)x2-2kx-2=0,由Δ>0,且3-k2≠0,得-<k<,且k ≠±.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过原点,因此OA⊥OB,因此x1x2+y1y2=0.又x1+x2=,x1x2=,因此y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,因此+1=0,解得k=±1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,同时P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( ) A. B. C. D.【解析】选B.由条件知a2+1=4,因为a>0,因此a=,又PF2⊥x轴,把x=2代入-y2=1得y2=.因此|OP|==.【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求·的取值范畴. 【解析】设P(x0,y0),由题目可知-=1,且x0≥,又F1(-2,0),因此·=(x0,y0)·(x0+2,y0)=+2x0+=+2x0+-1=+2x0-1=-.因为x0≥,因此x0=时,·最小,其值为3+2.即·∈[3+2,+∞).2.(2020·兰州高二检测)直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么k的值是( )A.k=±1B.k=±C.k=±1或k=±D.k=±【解析】选C.联立直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,当1-k2=0时,k=±1,现在方程只有一解;当1-k2≠0时,要满足题意,Δ=16k2+24(1-k2)=0,即k=±.综上知:k的值是k=±1或k=±.3.(2020·温州高二检测)F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,过F作直线l 与一条渐近线平行,直线l与双曲线交于点M,与y轴交于点N,若=,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.不妨设F为右焦点,则F(c,0),直线l与直线y=x平行,则l方程为:y=(x-c),设l与双曲线的交点M坐标为(x1,y1),与y轴交点坐标为N(0,y0),则=(x1-c,y1),=(-x1,y0-y1).由=,得x1=c,代入直线l方程得y1=-.又M在双曲线上,故-=1,解得c2=3a2,因此e=.【变式训练】已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范畴是( )A.(+1,+∞)B.(1,)C.(1,1+)D.(,+∞)【解析】选C.设F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,令A,B,由△ABF1是锐角三角形,可得tan∠AF1F2=<1,故b2<2ac,因此c2-2ac-a2<0,两边同除以a2可得e2-2e-1<0,可解得1-<e<1+,又e>1,故1<e<1+,选C.4.(2020·黄石高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P 使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )①y=x+1; ②y=2; ③y=x; ④y=2x+1.A.①③B.③④C.②③D.①②【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,因此点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x>0).关于①,联立消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,因此y=x+1是“单曲型直线”.关于②,联立消y得x2=,因此y=2是“单曲型直线”.关于③,联立整理得0=1,不成立,因此y=x不是“单曲型直线”.关于④,联立消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,因此y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·哈尔滨高二检测)双曲线C的中心为原点O,焦点在x轴上,一条渐近线记为l1,通过右焦点F且垂直于l1的直线交l1于A.已知||=2||,则双曲线C 的离心率为.【解析】不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则两条渐近线方程分别为l1:y=x,l2:y=-x.因为||=2||,因此==,即=,因此e=.答案:6.(2020·莆田高二检测)已知直线x=3与双曲线C:-=1的渐近线交于E1,E2两点,记=e1,=e2,任取双曲线上的点P,若=a e1+b e2(a,b∈R),则下列关于a,b的表述:①4ab=1;②0<a2+b2<;③a2+b2≥1;④a2+b2≥;⑤ab=1,其中正确的是.【解题指南】由已知条件,求出E1,E2点的坐标,表示出向量,及向量,从而得出点P的坐标代入双曲线方程,得出a,b的关系求解.【解析】由双曲线-=1,得渐近线方程y=±x,因此E1(3,2),E2(3,-2),因此=e1=(3,2),=e2=(3,-2),=a e1+b e2=a(3,2)+b(3,-2)=(3(a+b),2(a-b)).又点P在双曲线C上,故(a+b)2-(a-b)2=1,因此得4ab=1,故①正确.又a2+b2≥2ab=,因此④正确.答案:①④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2020·南昌高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足:||,||,||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:·=·.(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范畴.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±x,F(c,0),因此直线l的斜率为:-,因此直线l:y=-(x-c).由得P,因为||,||,||成等比数列,因此x A·c=a2,因此x A=,A,=,=,=因此·=-,·=-,则·=·.(2)由得,x2+2cx-=0,因为点E,D分别在左右两支上,因此<0,因此b2>a2,因此e2>2,因此e>.8.(2020·长春高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【解析】(1)直线AB的方程为:+=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离=⇒ab=c,由得所求双曲线方程为-y2=1,渐近线方程为:y=±x.(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:因此3+3+(y1+1)2=3+3+(y2+1)2,整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,因为k≠0,因此y1≠y2,因此y1+y2=-,又由⇒(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0,因此y1+y2==-,得k2=7,由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒0<k2<,k2=7满足此条件,故满足题设的k=±.【一题多解】(2)由⇒(1-3k2)x2-30kx-78=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),因为|AC|=|AD|,因此M在CD的中垂线AM上,因为l AM:y+1=-x,因此+1=-·,整理得k2=7,解得k=±.(k2=7满足1-3k2≠0且Δ>0).。