双曲线方程及性质的应用
21-22版：3.2.2 第二课时 双曲线的方程及性质的应用（创新设计）
解 显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.
y＝kx＋2－k，
由x2－y22＝1
消去 y，
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1＝x1＋2 x2＝k（22－－kk2）(2－k2≠0)，解得 k＝1. 当k＝1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝5，故选B.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 2 13 14
索引
2.已知 F 是双曲线 C：x2－y32＝1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，
点 A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( D )
1
1
2
3
A.3
索引
自主检验
///////
1.思考辨析，判断正误 (1)过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作 2条.( × ) 提示 过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平 行于渐近线，一条与双曲线相切. (2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.( √ ) (3)直线与双曲线有唯一交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.( √ ) (4)双曲线xa22－by22＝1 的焦点到渐近线的距离为 b.( √ )
B.2
C.3
D.2
解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)， 将 x＝2 代入 x2－y32＝1，得 y＝±3，所以|PF|＝3. 又A的坐标是(1，3)， 故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.
双曲线的数学基础及应用
双曲线的数学基础及应用双曲线是一种非常有趣的数学曲线，在众多数学领域有着广泛的应用。
这条曲线具有独特的性质，通过对它的深入研究，我们可以发现它在自然科学和工程技术领域的应用价值。
一、什么是双曲线双曲线是一条二次曲线，通常用方程y = a/x或x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1来描述。
其中，a和b分别是曲线的半轴长度，这两个参数决定了曲线的形状。
如果a>b，对应的曲线比y=x^2更扁平；如果a<b，对应的曲线则比y=x^2更细长。
双曲线是一条开口向左右两侧的曲线，两个开口的大小和形状相同。
这种独特的形状使双曲线在几何学、物理学、统计学和经济学等方面有着广泛的应用。
二、双曲线的几何性质双曲线的几何性质是研究双曲线应用的基础。
双曲线的一个重要性质是它是非对称的。
这意味着双曲线的左右两边是不同的，因此它适用于描述各种非对称的现象。
另一个重要的性质是双曲线的对称轴。
双曲线有两条对称轴，它们分别垂直于x轴和y轴。
对称轴被曲线分为两段，每一段对称于另一段。
这种对称结构使得双曲线在数学领域中有重要的应用。
三、双曲线在物理学中的应用双曲线在物理学中有广泛的应用。
其中最突出的应用是描述光学现象中的光偏振。
当光线通过玻璃等材料时，会发生偏振现象，即光线在特定方向上振动，称为偏振方向。
这种现象可以用双曲线来描述。
双曲线还被用来表示热力学变量之间的关系。
例如，温度和热能之间的关系可以用双曲线来描述，这使得双曲线成为热力学中的一种工具。
四、双曲线在工程技术中的应用双曲线在工程技术中也有广泛的应用。
在建筑学中，双曲线被用来设计建筑物的天空线，以使建筑物看上去更加动态和富有层次感。
在航空工程中，双曲线被用来表示飞机的滑行和起降轨迹。
这种曲线的形状使得飞行员可以更容易地控制飞机的速度和方向。
五、双曲线在数学领域中的应用双曲线在数学领域中也有广泛的应用。
其中最重要的应用之一是它在微积分方面的应用。
双曲线的导数和微分方程都可以用来描述复杂的数学问题。
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2
②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。
其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。
双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。
而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。
渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。
对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。
准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。
准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。
双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。
双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。
平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
双曲线的实际应用原理
双曲线的实际应用原理1. 什么是双曲线?双曲线是一种二元二次方程的图形表示，其方程形式为：x˚=0.5(e t+e(-t))cos(t)，y˚=0.5(e t-e(-t))sin(t) 其中，e为自然常数（约等于2.71828），t为参数，x˚和y˚是双曲线上的点的坐标。
2. 双曲线的性质双曲线有许多有趣的性质和应用。
以下是一些最重要的性质：•双曲线是一个对称图形，关于x轴和y轴分别对称。
•双曲线有两个分支，其中一个分支与x轴无交点，另一个分支与y 轴无交点。
•双曲线在原点处有一个渐近线，与x轴和y轴交于对应的渐近线上的点。
3. 双曲线的实际应用双曲线的实际应用非常广泛，以下是一些重要的应用领域：3.1 数学与几何学双曲线在数学与几何学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：•双曲线作为一种特殊的曲线形状，可以用于描述一些数学函数的图像，如双曲函数、双曲三角函数等等。
•双曲线可以用来描述空间曲线的形状，如双曲面、双曲椎等等，这些曲线在几何学中有着重要的应用。
3.2 物理学双曲线在物理学中也有重要的应用，以下是一些例子：•双曲线可以用来描述物体在弹性力作用下的运动轨迹，如弹簧的振动，电荷在电场中的运动等等。
•双曲线可以用来描述物体的光学性质，如反射、折射等等。
在光学领域中，双曲线也常被称为“光线曲线”。
3.3 工程学双曲线在工程学中也有许多重要的应用，以下是一些例子：•双曲线可以用来描述电子电路中的共振现象，如LC电路中的谐振、射频通信中的天线辐射模型等等。
•双曲线可以用来描述流体力学中的一些流动现象，如双曲型的水波传播、空气动力学中的激波等等。
4. 小结双曲线作为一种特殊的曲线形状，在数学、几何学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
通过了解双曲线的性质和应用，我们可以更好地理解和应用这种曲线形状，推动相关领域的发展和创新。
应该继续深入研究和探索双曲线的特性和应用，为科学研究和工程实践提供更多的可能性。
人教版数学选择性必修一3.2.2双曲线方程及性质的应用课件
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个交点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)，
[例1]
已知直线l：y＝k(x－1)，双曲线x2－y2＝4，试讨论实数k的
二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点；
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
另外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只
有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲
线相切的必要而不充分条件．
题一定要保证相交．
通过本节课，
你学会了什么？
(1)求双曲线的离心率；
2
点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线 2
由题意又有
0
· 0
0 − 0 +
1
5
＝ ，可得
a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
则e＝ ＝
30
.
5
−
2
2
＝1上，有 2
2
2
− 2 ＝1.
2．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：
2
k2－2≠0
= 2
2
2
>
2 −2
2
>0
2 −2
−
− 8 2 − 2 > 0
0
解得－2<k<－ 2.
故实数k的取值范围为(－2，－ 2)．
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
高中数学选择性必修一课件：3.2.3双曲线的方程与性质的应用
课后提能训练
解：(1)由已知可设双曲线E的方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
c＝2， 则a42－b92＝1，
c2＝a2＋b2，
解得ba22＝＝31，，
所以双曲线E的方程为x2－y32＝1.
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|素养达成|
课后提能训练
(2)当直线l斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l方程为y＝kx＋1.
3 3
，且右焦点为
F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°.根据
双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝ 3(x
－2)，分别与两条渐近线y＝
3 3
x和y＝－
3 3
x联立，求得M(3，
3 )，
N32，－ 23，所以|MN|＝
3－232＋ 3＋ 232＝3.
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. 提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．
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课后提能训练
2．中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法、根与系数的关系解决．另外， 要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题 解决．
－
y2 b2
＝1⇒y＝±ba2
.对于过双曲线一个焦点的弦
长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于x轴的弦，长度为
2ab2；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴2a.
过双曲线x2－y22＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点．
|课堂互动|
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课后提能训练
若l⊥x轴，则AB为通径，而通径长度
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双曲线方程及性质的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2012·湖南高考)已知双曲线C:错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )A.错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1B.错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1C.错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1D.错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=12.(2013·昆明高二检测)过双曲线x2-错误!未找到引用源。
=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条3.(2013·大理高二检测)若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线错误!未找到引用源。
-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
4.(2013·聊城高二检测)双曲线错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
5.已知点M(1,4),双曲线错误!未找到引用源。
-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知双曲线a n-1y2-a n x2=a n-1a n的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=错误!未找到引用源。
x,其中{a n}是以4为首项的正项数列,则数列{a n}的通项公式是.7.双曲线错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为.8.(2013·吉林高二检测)已知双曲线错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。
x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·洛阳高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B,求实数k的取值范围.10.已知双曲线C1:x2-错误!未找到引用源。
=1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,错误!未找到引用源。
)的双曲线C2的标准方程.(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=3时,求实数m的值.11.(能力挑战题)已知双曲线C:错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。
x,O为坐标原点,点M(错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)在双曲线上.(1)求双曲线C的方程.(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.答案解析1.【解题指南】根据双曲线的性质,由焦距为10可以求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线求出方程中的参数.【解析】选A.由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=错误!未找到引用源。
x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1.2.【解析】选C.过右焦点且垂直于实轴的弦长为错误!未找到引用源。
=2×错误!未找到引用源。
=16,∵|AB|=16,∴当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又∵实轴长为2,16>2,∴当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.【解析】选B.由条件知a2+1=4,∵a>0,∴a=错误!未找到引用源。
,又PF2⊥x 轴,把x=2代入错误!未找到引用源。
-y2=1得y2=错误!未找到引用源。
.∴|OP|=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
的取值范围.【解析】设P(x0,y0),由题目可知错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1, 且x0≥错误!未找到引用源。
,又F1(-2,0),∴错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=(x0,y0)·(x0+2,y0)=错误!未找到引用源。
+2x0+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
+2x0+错误!未找到引用源。
-1=错误!未找到引用源。
+2x0-1=错误!未找到引用源。
(x0+错误!未找到引用源。
)2-错误!未找到引用源。
.∵x0≥错误!未找到引用源。
,∴x0=错误!未找到引用源。
时,错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
最小,其值为3+2错误!未找到引用源。
.即错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
∈[3+2错误!未找到引用源。
,+∞).4.【解析】选B.由题意可知△MF1F2为直角三角形且∠MF1F2=30°,∴tan30°=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,整理得错误!未找到引用源。
e2-2e-错误!未找到引用源。
=0,解得e=错误!未找到引用源。
.5.【解析】选A.双曲线错误!未找到引用源。
-y2=1的左顶点A为(-错误!未找到引用源。
,0),得直线AM的斜率为k=错误!未找到引用源。
,渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。
x,所以有错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
⇒a=错误!未找到引用源。
.6.【解析】双曲线方程可转化为错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1, ∵{a n}是以4为首项的正项数列,一条渐近线方程为y=错误!未找到引用源。
x, ∴错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
=2,∴数列{a n}是以4为首项,以2为公比的等比数列,∴a n=4·2n-1=2n+1.答案:a n=2n+17.【解析】由a=4,b=3,得c=5,设左焦点为F1,右焦点为F2,则|PF2|=错误!未找到引用源。
(a+c+c-a)=c=5,由双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13.答案:138.【解析】由条件可知错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
即b=错误!未找到引用源。
a,由顶点(a,0)到y=错误!未找到引用源。
x的距离等于1得1=错误!未找到引用源。
,解得a=2,b=错误!未找到引用源。
,即a2=4,b2=错误!未找到引用源。
,∴双曲线方程为错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1. 答案:错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=19.【解析】将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同的两点,故错误!未找到引用源。
解得k的取值范围是{k|-2<k<-错误!未找到引用源。
}.10.【解析】(1)双曲线C1的焦点坐标为(错误!未找到引用源。
,0),(-错误!未找到引用源。
,0),设双曲线C2的标准方程为错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1(a>0,b>0),则错误!未找到引用源。
解得错误!未找到引用源。
∴双曲线C2的标准方程为错误!未找到引用源。
-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由错误!未找到引用源。
消去y化简得3x2-2mx-m2=0,由Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.∵x1x2=-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2,∴m2=3,即m=±错误!未找到引用源。
.【拓展提升】平面几何与平面向量的结合平面解析几何与平面向量在高考中是重要的交汇点,当这种题目出现时,要注意以下几点:(1)合理使用平面向量的坐标表示和坐标运算.(2)合理使用平面几何中的结论、关系等.(3)把几何运算转化为代数运算,利用代数运算的结果解释平面几何问题.11.【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。
x,∴b2=3a2,双曲线的方程可设为3x2-y2=3a2.∵点M(错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)在双曲线上,可解得a2=4, ∴双曲线C的方程为错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=1.(2)设直线PQ的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程代入双曲线C的方程,可化为(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,∴错误!未找到引用源。
①x1+x2=错误!未找到引用源。
,x1x2=错误!未找到引用源。
.由错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=0⇒x1·x2+y1·y2=0即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴(1+k2)错误!未找到引用源。
+km错误!未找到引用源。
+m2=0化简得m2=6k2+6, |OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=24+错误!未找到引用源。
.当k=0时,|PQ|2=24+错误!未找到引用源。
≥24成立,且满足①,又因为当直线PQ垂直x轴时,|PQ|2>24,所以|OP|2+|OQ|2的最小值是24.关闭Word文档返回原板块。