双曲线的标准方程及其性质

双曲线的标准方程及其性质

一、双曲线的定义

1、已知双曲线22

1916

x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________.

2、若双曲线22

221x y a b

-=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程.

3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？

4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|⋅|PF 2|=32，求12F PF S ∆；

（2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120︒，求12F PF S ∆.

二、双曲线的标准方程

1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________.

2、已知双曲线方程为22

1205

x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22

19

y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13

322

=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.

5、双曲线22

2x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________.

三、双曲线的性质

1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________.

2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________.

3、若双曲线的渐近线方程为

,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=

4、双曲线2

2

21(0)y x b b -=>

的一条渐近线方程为y =，则b =__________________. 四、直线与双曲线的位置关系

五、1、已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .

(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:222

=-y a

x C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；

2、在平面直角坐标系中，已知双曲线

（1）设是的左焦点，是右支上一点，若

的坐标；

（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积.

3、在平面直角坐标系中，已知双曲线.

（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l 交于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证： OP ⊥OQ .

4、已知双曲线C ：的一个焦点是，且。 （1）求双曲线C 的方程；

（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上。

（3）设（2）中直线与双曲线C 的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由。

xOy 22:21C x y -=F C M C MF =M C C xOy 12:2

21=-y x C 1C 1C 1C 122=+y x 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>2(2,0)F a b 3=2F l )1,(m l B A ,m AB M 3)1(322=--y x l B A ,m AOB ∠m