高二数学双曲线的方程和性质的应用PPT优秀课件
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高二数学课件(双曲线)
为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′
y 13 C
12
0
Ax
B′
20 B
F1 A1 O A2 F2 x
(3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
思考：y 1 的图像是什么形状？ x
图像无限靠近x轴和y轴 x轴, y轴叫做y 1 的渐进线. x
5、渐近线
双曲线 x2 y2 1, (a 0,b 0) a2 b2
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
如何记忆双曲线的渐进线方程？
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
e c (e 1) a
b
yx
y x 0
a
ba
ya x y x 0
b
ab
例题讲解
例1、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, 2x±3y=0 (2)25x2－4y2=100. 5x±2y=0
双曲线标准方程： x 2 a2
y2 b2
1
1、范围：x≥a或x≤-a
Y
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
B2
3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：y b x
6、离心率：e= c
a
a
X
A2
B1
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
高二数学双曲线的几何性质课件
y
(x,y)
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 对称性
-a (-x,-y)
o a
(x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1 (a,0)、A2 (a,0)
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
图象
F1
0
F2
X
F1
0
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
c (e1) e= a
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
顶点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b c e= a
( 0＜e ＜1 )
（2） 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 （3） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
(x,y)
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 对称性
-a (-x,-y)
o a
(x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1 (a,0)、A2 (a,0)
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
图象
F1
0
F2
X
F1
0
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
c (e1) e= a
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
顶点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b c e= a
( 0＜e ＜1 )
（2） 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 （3） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
双曲线的性质PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
高二数学双曲线及标准方程PPT教学课件
M
o F2 x
3.列式． |MF1| - |MF2|=2a
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
c x a 2 a(x c )2y2
的点M的轨迹 叫做双曲线。
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点 |F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
提出问题：
1）当a=c时，动点M的轨迹是什么？
(动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外 侧的两条射线．)
2）当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
b2c2a244400 怎样才能找
所求双曲线的方程为
出具体爆炸 点?
x2 y2 1 11560404400
(x0)
思考题
y
① 求与圆C1 : x32y21
M
和圆 C2 : x32y29
都外切的圆的圆心M的轨迹程．
C1 0 C2
x
过 B②两FF1的 点 1,F,直 2且 是 |线A交双 B 双|1曲曲 0 ,线x9求 2的线 左A1y2支B6的 F2于的A焦 周 ，长 点。 AF， 1 y O
当 y 2 项的系数为正时，焦点落在y轴上
反之也成立。
归 纳
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
高二数学选修2-1课件231_双曲线的定义及其标准方程新人教A版.ppt
焦点： F1(–c,0)， F2(c,0)
思考：换为如右图建系呢？ y
标准方程：
y2 x2 1 (a>0,b>0)
a2 b2
F1•
O
x
•M • F2
焦点： F1(0, c)， F2(0, –c)
思考：a, b, c有何关系？ c2=a2+b2
c最大，a与b的大小无规定
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
移项得,
4cx 4a2 4a (x c)2 y2 .
cx a2 a (x c)2 y2 .
推导方程
两边再平方得:
(cx
a2 )2
a2
x
c2
y2
.
c2x2 2a2cx a4 a2x2 2a2cx a2c2 a2 y2
c2x2 a2x2 a2 y2 a2c2 a4
轨迹方程. 先建系
x2 y2 1 (x<-2) 4 12
课堂练习
2、若双曲线
x2 y2 25 9
1
上的一点P到
一个焦点的距离为12，则它到另一个焦
点的距离是＿2＿或＿2＿2 ＿.
yP
F1 O
F2 x
课堂练习
3、已知双曲线
x2 9
y2 4
1
，A、B为过左焦点F1的直线与
双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B的
复习引入
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 F1, F2的距离的和
等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆。
问题2：平面内与两定点的距离的差
为非零常数的点的轨迹如何呢？
刚看的是 MF1 MF2 2a (a是常数)
思考：换为如右图建系呢？ y
标准方程：
y2 x2 1 (a>0,b>0)
a2 b2
F1•
O
x
•M • F2
焦点： F1(0, c)， F2(0, –c)
思考：a, b, c有何关系？ c2=a2+b2
c最大，a与b的大小无规定
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
移项得,
4cx 4a2 4a (x c)2 y2 .
cx a2 a (x c)2 y2 .
推导方程
两边再平方得:
(cx
a2 )2
a2
x
c2
y2
.
c2x2 2a2cx a4 a2x2 2a2cx a2c2 a2 y2
c2x2 a2x2 a2 y2 a2c2 a4
轨迹方程. 先建系
x2 y2 1 (x<-2) 4 12
课堂练习
2、若双曲线
x2 y2 25 9
1
上的一点P到
一个焦点的距离为12，则它到另一个焦
点的距离是＿2＿或＿2＿2 ＿.
yP
F1 O
F2 x
课堂练习
3、已知双曲线
x2 9
y2 4
1
，A、B为过左焦点F1的直线与
双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B的
复习引入
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 F1, F2的距离的和
等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆。
问题2：平面内与两定点的距离的差
为非零常数的点的轨迹如何呢？
刚看的是 MF1 MF2 2a (a是常数)
双曲线的简单几何性质 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
13 y 1.
②
122 b2
2
5b
55
252 12
5b
1.
由方程②，得 y （负值舍去）.代入方程①，得 2
2
12
b
12
化简得 19b2 275b 18150 0 .③
解方程③，得 b 25 （负值舍去）.
x2
y2
因此所求双曲线的方程为
解析：双曲线方程化为标准形式： y
1
m
m
2
由题设知 2
1
1
，解得 m .故选 A.
m
4
x2
y2
x2
y2
2. 若实数 k 满足 0 k 9 ，则曲线
1 的( A )
1 与曲线
25 k 9
25 9 k
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
令 x 0 ，得 y 2 b2 ，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴
没有公共点，但也把 B1 (0 ， b) ，B2 (0 ，
b) 两点画在 y 轴上（如图）.
4. 渐近线
实际上，经过两点 A1 ，A2 作 y 轴的平行线 x 3 ，经过两点 B1 ，B2
作 x 轴的平行线 y 2 ，四条直线围成一个矩形（如图）
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例 1 求双曲线 9 y 2 16 x2 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程.
y 2 x2
解：把双曲线的方程 9 y 16 x 144 化为标准方程 2 2 1 .
13 y 1.
②
122 b2
2
5b
55
252 12
5b
1.
由方程②，得 y （负值舍去）.代入方程①，得 2
2
12
b
12
化简得 19b2 275b 18150 0 .③
解方程③，得 b 25 （负值舍去）.
x2
y2
因此所求双曲线的方程为
解析：双曲线方程化为标准形式： y
1
m
m
2
由题设知 2
1
1
，解得 m .故选 A.
m
4
x2
y2
x2
y2
2. 若实数 k 满足 0 k 9 ，则曲线
1 的( A )
1 与曲线
25 k 9
25 9 k
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
令 x 0 ，得 y 2 b2 ，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴
没有公共点，但也把 B1 (0 ， b) ，B2 (0 ，
b) 两点画在 y 轴上（如图）.
4. 渐近线
实际上，经过两点 A1 ，A2 作 y 轴的平行线 x 3 ，经过两点 B1 ，B2
作 x 轴的平行线 y 2 ，四条直线围成一个矩形（如图）
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例 1 求双曲线 9 y 2 16 x2 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程.
y 2 x2
解：把双曲线的方程 9 y 16 x 144 化为标准方程 2 2 1 .
高二数学双曲线的几何性质精品PPT课件
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
双曲焦线点方坐程标吗: ? ( 7,0),2( 7,0) (0, 7), (0, 7)
顶点坐标: x2 离心率: 4
渐近线方程:
(e-2y,20c)， (2(,70)
y
3a
3
2
x
(0, 3), (0,
e0) c 21 a3 y 3x
3)
2
2
问:若将题目中“焦点在y轴上” 改为“焦点在坐标轴上”呢?
双曲线的几何性质
青云学府数学组 王斌
知识回顾
• 1.椭圆的几何性质有哪些？我们是如何探讨 的？
• 方请程同学们完成下表ax22 ：by22 1(a b 0)
性
y
图象
o
x
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
顶点坐标 (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
质
对称性
x轴、y轴、原点对称
离心率
0<e<1
知识回顾
• 2.双曲线的定义、标准方程是什么？
• 定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的
距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）
的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
x
O
F1 O F2 x
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 1
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
双曲焦线点方坐程标吗: ? ( 7,0),2( 7,0) (0, 7), (0, 7)
顶点坐标: x2 离心率: 4
渐近线方程:
(e-2y,20c)， (2(,70)
y
3a
3
2
x
(0, 3), (0,
e0) c 21 a3 y 3x
3)
2
2
问:若将题目中“焦点在y轴上” 改为“焦点在坐标轴上”呢?
双曲线的几何性质
青云学府数学组 王斌
知识回顾
• 1.椭圆的几何性质有哪些？我们是如何探讨 的？
• 方请程同学们完成下表ax22 ：by22 1(a b 0)
性
y
图象
o
x
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
顶点坐标 (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
质
对称性
x轴、y轴、原点对称
离心率
0<e<1
知识回顾
• 2.双曲线的定义、标准方程是什么？
• 定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的
距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）
的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
x
O
F1 O F2 x
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 1
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（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程。
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演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
双曲线方程和性质应用
双曲线的几何性质
性 双质 曲 线
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
y
o
xa
或
x xa
关于 坐标 轴和
(a,0) yb x
a
e
c a
原点
(其中
y ya
或
o x ya
都对 称
(0,a) y a x c2 a2b2)
法二:巧设方程,运用待定系数法.
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
成
x2 a2
y2 b2
(
0) 的形式.
巧设方程形式将使问题解决变得简洁.
例2
Байду номын сангаас
已知双曲线的方程为 x2 y2 1 ，试问过点
2
A(2,1)能否作直线 l
使它与双曲线交于
P1
，P 2
两点，且点A是线段P1
P
的中点？这样的直线如
2
果存在，求出它的方程及弦长 P1，P2 如果不存
在，请说明理由。
变式1：A(1,2)
x2 a2
y2 b2
(
a 0) 的形式.
证明:直线 y b x 与 y b x 的交点为原点且它们关于 x 轴、 y 轴对称.
a
a
∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上.
∴∴双⑴ ⑵ ∴∴双曲当 当m曲nm线n2焦焦2线22的的点 点方ab方ab在 程在2222程,可,xy令可令写轴轴写n成m上上2成2,y2,b2则则 x2a222a方方a2x22程(程a2y1(2b22可可21设设(010()2为为),1,则0m则myx)02m即2)22n即22axa2xn2xny222222b2ybb2b2y122221..2((12
3)2
9 16
9
16
∴ 1 ,∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
4
94
4
⑵设双曲线方程为 x2 y2 1 16 k 0且4 k 0
16 k 4 k
∴
(3
2 )2
22
1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
16 k 4 k
12 8
求证:渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写成
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线
x2
y2
1
为什么可以这样设?
有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,∴
(3)2 (2
0) 的形式. 0) 的形式.
综上所述,原命题成立.
课堂练习:
3 1. 过点（1，2），且渐近线为 y x
4 的双曲线方程是__1_6_y__2__.9x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
P( 1,－3) 且离心率为 2 的双曲线标准方程.
y2 x2 1
88
归纳:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4
y2 4
1
根据下列条件，求双曲线方程:
b
例 1.根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16 ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2)
16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
变式2：A(1,1)
思考：对于变式2，为什么所求直线不存在呢？
45-9（2）
经过椭圆
x2 2
y2
1的左焦点
F1
作
直线 l与椭圆相交于 A, B 两点，求OAB面积
的最大值，并求此时直线 l的方程。
48-11 已知椭圆C的中心在原点，焦点 F1,F2 在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且 F1PF2的最大值为12。
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 a2
22 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
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演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
双曲线方程和性质应用
双曲线的几何性质
性 双质 曲 线
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
y
o
xa
或
x xa
关于 坐标 轴和
(a,0) yb x
a
e
c a
原点
(其中
y ya
或
o x ya
都对 称
(0,a) y a x c2 a2b2)
法二:巧设方程,运用待定系数法.
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
成
x2 a2
y2 b2
(
0) 的形式.
巧设方程形式将使问题解决变得简洁.
例2
Байду номын сангаас
已知双曲线的方程为 x2 y2 1 ，试问过点
2
A(2,1)能否作直线 l
使它与双曲线交于
P1
，P 2
两点，且点A是线段P1
P
的中点？这样的直线如
2
果存在，求出它的方程及弦长 P1，P2 如果不存
在，请说明理由。
变式1：A(1,2)
x2 a2
y2 b2
(
a 0) 的形式.
证明:直线 y b x 与 y b x 的交点为原点且它们关于 x 轴、 y 轴对称.
a
a
∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上.
∴∴双⑴ ⑵ ∴∴双曲当 当m曲nm线n2焦焦2线22的的点 点方ab方ab在 程在2222程,可,xy令可令写轴轴写n成m上上2成2,y2,b2则则 x2a222a方方a2x22程(程a2y1(2b22可可21设设(010()2为为),1,则0m则myx)02m即2)22n即22axa2xn2xny222222b2ybb2b2y122221..2((12
3)2
9 16
9
16
∴ 1 ,∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
4
94
4
⑵设双曲线方程为 x2 y2 1 16 k 0且4 k 0
16 k 4 k
∴
(3
2 )2
22
1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
16 k 4 k
12 8
求证:渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写成
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线
x2
y2
1
为什么可以这样设?
有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,∴
(3)2 (2
0) 的形式. 0) 的形式.
综上所述,原命题成立.
课堂练习:
3 1. 过点（1，2），且渐近线为 y x
4 的双曲线方程是__1_6_y__2__.9x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
P( 1,－3) 且离心率为 2 的双曲线标准方程.
y2 x2 1
88
归纳:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4
y2 4
1
根据下列条件，求双曲线方程:
b
例 1.根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16 ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2)
16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
变式2：A(1,1)
思考：对于变式2，为什么所求直线不存在呢？
45-9（2）
经过椭圆
x2 2
y2
1的左焦点
F1
作
直线 l与椭圆相交于 A, B 两点，求OAB面积
的最大值，并求此时直线 l的方程。
48-11 已知椭圆C的中心在原点，焦点 F1,F2 在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且 F1PF2的最大值为12。
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 a2
22 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8