高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第2课时双曲线方程与性质的应用北师大版选修

双曲线的实际应用问题
(12 分 )2010 年 4 月，青海玉树发生了里氏7.1级地震，为了援救 灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救 灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩 形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝ 150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾 民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿 道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药 较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求 出其方程．
[ 思 路 导 引 ] 分析轨迹特点 ―→ 建立直角坐标系 ―→
求出a，b，c ―→ 求方程 ―→ 确定变量范围 [规范解答] 设 M 点是分界线上任意一点，则|PA|＋|MA|
＝|PB|＋|MB|，所以|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值).2 分 故所求分界线是以 A，B 为焦点的双曲线的一支． 若以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 中点 O 为坐标原点， 建立直角坐标系，如图所示，4 分
解答此类问题要建立恰当的坐标 系并设出相应点的坐标，然后将相应曲线的轨迹方程求出．特 别要注意定义在确定轨迹上的应用，最后将实际问题转化成轨 迹间的关系，用轨迹方程的运算解决．
3．“神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时 将航天员安全救出，地面指挥中心在返回航预计到达区域安排 三 个 救 援 中 心 ( 记 为 A ， B ， C) ， A 在 B 的 正 东 方 向 ， 相 距 6 千 米 ， C 在 B 的 北 偏 西 30° 方 向 ， 相 距 4 千 米 ， P 为 航 天 员 着 陆 点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P 远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信 号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位 角．
―→
可求出|PF1|·|PF2|
―→
求出△PF1F2的面积
[边听边记] ∵||PF1|－|PF2||＝8， 又|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝100， ∴|PF1|·|PF2|＝36， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinπ3＝9 3. 所以△PF1F2 的面积为 9 3.
第二课时 双曲线方程与性质的应用
讲课堂互动讲义
双曲线的焦点三角形问题
双曲线1x62 －y92＝1 上有一点 P，F1、F2 是双曲线的焦
点，且∠F1PF2＝π3，求△PF1F2 的面积．
[思路导引]
利用定义||PF1|－|PF2||＝2a ―→
解△PF1F2得|PF1|2＋|PF2|2 －2|PF1|·|PF2|·cos θ＝4c2
利用双曲线的定义解决与焦点有 关 的 问 题 ， 一 是 要 注 意 定 义 条 件 ||PF1| － |PF2|| ＝ 2a 的 变 形 使 用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系，二是要与三 角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时 要注意整体运算思想的应用．
已知斜率为 2 的直线被双曲线x32－y22＝1 所截得的弦
长为 4，求直线 l 的方程．
[思路导引]
设直线y＝2x＋b ―→
解方程组x32－y22＝1 y＝2x＋b
―→ 两点间距离公式 决方法就是联立方程，运用韦达定理求解，但要注意求得的 参数值是否满足条件(即Δ＞0成立)．
1．若 F1、F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点，P 在双曲线 上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
解析： 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限，F1、 F2 为左、右焦点，由双曲线的方程，知 a＝3，b＝4.
∴c＝5. 由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 x1、x2 是方程(*)的两个不等实根， ∴Δ＝4k2(8－k)2－4(k2－4)[(8－k)2－4]＞0. ① ∵弦 AB 的中点是 P(1,8)， ∴由中点坐标公式与韦达定理，得－kk82－－4k＝1. ② 由①②得 k＝12. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
设所求双曲线方程为ax22－by22＝1，其中 a＝25，由余弦定理 可求得 2c＝|AB|＝50 7，所以 c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750.8 分
B 点坐标为(25 7，0)，将 x＝25 7代入6x225－3 y7250＝1 中 得 y＝150(负值舍去)10 分
因此，所求的曲线方程为6x225－3 y7250＝1(x≥25,0≤y≤60)， 它是双曲线右支的一部分.12 分
方法二：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 y21－4x21＝4，y22－4x22＝4， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1＋x2)(x1－x2)． ∵线段 AB 的中点是 P(1,8)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝16. ∴16(y1－y2)＝4×2(x1－x2)． ∴直线 AB 的斜率为yx11－－yx22＝21. ∴直线 AB 的方程为 y－8＝12(x－1)，即 x－2y＋15＝0.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64 ＝100.
由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0. ∴∠F1PF2＝90°.
直线与双曲线的位置关系
2．以P(1,8)为中点作双曲线y2－4x2＝4的一条弦AB，求直 线AB的方程．
解析： 方法一：当过点 P 的直线和 x 轴垂直时，直线被 双曲线截得的弦的中点不是点 P.
当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，则直线 AB 的 方程为 y－8＝k(x－1)．
由yy－2－84＝x2k＝x4－1 ，得(k2－4)x2＋2k(8－k)x＋(8－k)2－4＝ 0(k2－4≠0)．(*)