曲线系方程的共交点在解题中的应用
利用曲线系方程解决定点、定值问题
利用曲线系方程解决定点、定值问题陈忠【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2014(000)009【总页数】4页(P63-66)【作者】陈忠【作者单位】江苏省昆山市陆家高级中学 215300【正文语种】中文圆锥曲线中的定点、定值问题是近几年江苏高考中的热点问题，按常规的联立方程组方法解这类问题有时显得非常繁琐，如若能巧妙利用曲线系方程来求解，则可以使问题简单化.本文就此类问题作一些探讨.首先，圆、椭圆、双曲线、抛物线被称为二次曲线，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式，二次曲线系的一般形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.同圆系一样，具有某一共同性质的二次曲线也能用二次曲线系表示，以下是常用的几个结论(λ,μ表示参数，fi=Aix+Biy+Ci).结论1 当三角形三边方程为fi=0(i=1,2,3)时，过三角形三个顶点的二次曲线系为f1f2+λf2f3+μf3f1=0.结论2 当四边形四条边方程顺次为fi=0(i=1,2,3,4)时，过四边形四个顶点的二次曲线系为f1f3+λf2f4=0.结论3 与两直线fi=0(i=1,2)相切于点M,N 的二次曲线系为为过M,N的直线方程).结论4 过两直线f1=0,f2=0与二次曲线F(x,y)=0的四个交点的二次曲线系为F(x,y)+λf1f2=0.结论5 过两二次曲线F1(x,y)=0,F2(x,y)=0 的交点的二次曲线系为F1(x,y)+λF2(x,y)=0(F2(x,y)=0除外).利用上述结论，有些问题可以得到更为简洁的求解和证明，举例如下.1 定点问题例1 已知椭圆+y2=1的左顶点为A，过点A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M,综上可知,在几何图形中求函数图象时,若函数解析式不易求,作为选择题,我们可以从几何图形特征定性分析.定性可以从函数值的变化快慢,利用曲线的凹凸性去判断,从而收到化难为易、化复杂为简单的效果.图1N两点，当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.解如图1，设直线MN与x轴的交点为P(m,0)，则可设直线MN的方程为x-ny-m=0.又因为点A处的切线方程为x+2=0，由结论4，设过交点A,M,N的二次曲线系方程为(x+2)(x-ny-m)+λ(x2+4y2-4)=0.①设直线AM方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，则直线AN方程为即x+ky+2=0，得(kx-y+2k)(x+ky+2)=0.②①和②应有相同的特征，比较系数得x2,y2系数相反，x系数和常数项相同，则则所以，直线MN的方程为恒过定点点评 (1)此题亦可先由点A和直线AM，AN,设二次曲线系方程为：(kx-y+2k)(x+ky+2)+λ(x2+4y2-4)=0，再由点A的切线方程和直线MN的方程Ax+By+C=0，得(x+2)(Ax+By+C)=0,比较系数得故可得最后的结论.(2)一般性结论：过椭圆长轴一端点P(a,0)(或P(-a,0)作弦PA,PB,若PA⊥PB,则直线AB必过定点或例2 (2013·陕西理科卷)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.解 (1)动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x(过程略).图2(2)如图2，设直线BP的方程为kx-y+k=0，与抛物线交于另一点A,则直线BQ的方程为kx+y+k=0,与抛物线交于另一点C.由结论4知，过直线BP，BQ与椭圆C 交于点A，P，C，Q的二次曲线系方程可以设为：y2-8x+λ(kx-y+k)(kx+y+k)=0.整理得(1-λ)y2+λk2x2+(2λk2-8)x+λk2=0.①根据对称性，可设直线AC和PQ的方程分别为Ax+By+C=0,Ax-By+C=0,因此，(Ax+By+C)(Ax-By+C)=0.②由于①和②有相同特征，比较系数得则C=-A ,所以直线PQ，即l的方程为Ax-By-A=0，恒过定点(1,0).2 定值问题例3 (2013·江西文科卷)如图3，椭圆的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值.解 (1)椭圆方程为(过程略).图3(2)如图3，设N(a,0)，直线AD的方程为x-2y+2=0，直线BP的方程为kx-y-2k=0，直线DP的方程为x+ay-a=0，直线AB的方程为y=0.由结论2知，过A,B,P,D四点的二次曲线系方程可以设为(x-2y+2)(kx-y-2k)+λy(x+ay-a)=0.与椭圆x2+4y2-4=0的系数作比较得则又由得点所以图4例4 如图4，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为F(1,0)，离心率为分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE=EF．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．解 (1)由题意，得故从而b2=a2-c2=1，所以椭圆的方程为(2)设直线AB的斜率为k，由题意得直线CD的斜率为-k，所以直线AB的方程为kx-y=0，直线CD的方程为kx+y-k=0.设直线AC，BD的方程分别为:A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，由结论2，过A,C,B,D四点的二次曲线系方程可以设为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(kx-y)(kx+y-k)=0.若表示椭圆，则A1B2+B1A2=0,所以点评一般性结论：(1)若椭圆的两条相交弦AB,CD的倾斜角互补，即kAB+kCD=0,则kAC+kBD=0,kAD+kAC=0(AD,BC的斜率均存在时)；(2)若椭圆的两条相交弦AB,CD交于点E,在斜率均存在的前提下，kAB+kCD，kAC+kBD和kAD+kAC中，若有一个为0，则其余两个均为0；(3)上述命题对双曲线和椭圆同样成立.图5例5 (2011·四川理科卷)椭圆有两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(1)当时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：为定值.解 (1)椭圆方程为直线l的方程为(过程略).(2)设直线CD方程为kx-y+1=0，则直线AC方程为k1x-y+k1=0，直线BD方程为k2x-y-k2=0，联立解得交点故由结论2，可设过A,B,C,D四点的二次曲线系方程为y(kx-y+1)+λ(k1x-y+k1)(k2x-y-k2)=0，与椭圆方程2x2+y2-2=0比较系数得即故为定值.。
巧用过两圆交点的曲线系方程解题
巧用过两圆交点的曲线系方程解题河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文Email:zhaojw1968@已知圆A ：2x +2y +1D x +1E y +1F =0与圆B ：2x +2y +2D x +2E y +2F =0，方程：2x +2y +1D x +1E y +1F +λ(2x +2y +1D x +1E y +1F )=0 ①,当λ≠1-时，方程①表示过圆A 与圆B 的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A ，但不能表示圆B ；当λ=1-时，若圆A 与圆B 相交，方程①表示圆A 与圆B 的公共弦所在的直线方程，当圆A 与圆B 相切时，方程①表示圆A 与圆B 的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果，本文将过两圆交点的曲线系方程在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x +2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直线：250x y --=的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为：2x +2y 2x -+2y +1+(λ2x +2y +4x 2y -4-)=0(λ≠1-).整理得 22(1)(1)(42)2(1)14x y x y λλλλλ++++-+-+-=0， 所以所求圆的圆心为121(,)11λλλλ--++， 由已知知所求圆的圆心在直线：250x y -+=上， 所以1212511λλλλ---⨯+++＝0，解得，λ=8-，代入圆系方程整理得， 所以，所求圆的方程为223418330777x y x y ++--=. 点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数λ不等于1-这一条件，同学们应很好掌握这一方法.二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已知圆O ：222410x y x y +-++=和圆外一点A （3，4），过点A 作圆O 的切线，切点分别为C 、D ，求过切点C 、D 的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO 为直径的圆上，故直线CD 是以线段AO 为直径的圆与圆O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C 、D 在以线段AO 为直径的圆上，由题知，O(1,2-)，∴，线段AO 的中点为（2，1）， ∴以线段AO 为直径的圆的方程为，22(2)(1)10x y -+-=，即224250+---=，x y x y圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0，∴直线CD的方程为x+3y+3=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数λ为何值时表示圆，参数λ为何值时表示直线.。
巧用曲线系方程解决四点共圆问题
巧用曲线系方程解决四点共圆问题
蔡顶芳
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2009(000)009
【摘要】@@ 曲线系是具有某种性质的曲线的集合,合理运用曲线系解题体现了参数变换的数学观点,整体处理的解题策略,以及"基本量"和"待定系数"等重要解题方法,下面结合一道竞赛题浅析四点共圆问题的一种巧解.
【总页数】1页(P46)
【作者】蔡顶芳
【作者单位】湖北省黄梅县第一中学
【正文语种】中文
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第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)
第20讲曲线系及其应用知识与方法1.曲线系与曲线系方程的概念曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示. 曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,x,y x,y这样的方程叫曲线系方程.2.过两曲线交点的曲线系若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为C1:f1(x,y)=0C2:f2(x,y)=0（不包括或者.f1(x,y)+λf2(x,y)=0f2(x,y)=0）λf1(x,y)+μf2(x,y)=03.一次曲线系（直线系)具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程. 下面是几种常见的直线系方程:(1)过已知点的直线系方程或(为参数）;P(x0,y0)y−y0=k(x−x0)x=x0(2)斜率为的直线系方程：是参数）;k y=kx+b（b(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Ax+By+λ=0（λ(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Bx−Ay+λ=0(λ(5)过直线与的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0为参数）（不包括直线）A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ l24.二次曲线系圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式. 二次曲线系的一般形式为:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0两条直线所组成的二次曲线方程为:(Ax+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=01熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:定理给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们可以进一步得到一些重要结论. 为简单起见,以下将两直线的并体记作l1,l2,那么可以理解为一条退化的二次曲线,其方程简记为.l1⋅l2l1⋅l2l1(x,y)⋅l2(x,y)=0推论1如果两条直线的方程为,分别记为,即A i x+B i y+C i=0(i=1,2)l i(x,y)(i=1,2),它们与一条二次曲线有交点,那么曲线系l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0F(x,y)=0λF(x,y)+μl1(x,y)⋅l2(x,y)=0经过这些交点.如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含有所有过此四点的二次曲线.由推论可知:若二次曲线的方程为: ,则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(1)已知四边形四条边的方程为l i:A i x+B i y+C i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线方程为.l1(x,y)l3(x,y)+λl2(x,y)l4(x,y)=0(2)过两直线与一条二次曲线的四个交点的二次曲线系的方程为l1,l2f(x,y)=0f(x,y)+λl1(x,y)l2(x,y)=0(3)与两条已知直线分别切于点的二次曲线系方程为, 其中l1,l2M1,M2l1(x,y)l2(x,y)+λl23(x,y)=0l3(x,是直线的方程.y)M1M2推论为不共线的三点,直线的方程为2P i(i=1,2,3)P i P i+1(i=1,2,3,P4=P1)l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0，则曲线系:λl1(x,y)⋅l2(x,y)+λ2l2(x,y)⋅l3(x,y)+λ3l3(x,y)⋅l1(x,y)=01表示所有过三点的二次曲线.P1,P2,P3典型例题类型利用曲线系求曲线方程1:【例1】已知椭圆与两直线C:x2+2y2=4l1:x+y−1=0,l2:2x−2y+1=0,各有两个交点,求过此四个交点及点的二次曲线.(−1,1)【答案】.5x2+4y2−x+3y−13=0【解析】显然四个交点不共线,可设所求曲线方程为,λ(x2+2y2−4)+(x+y−1)(2x−2y+1)=0将点的坐标代人方程,即得.故所求椭圆方程为.(−1,1)λ=35x2+4y2−x+3y−13=0【注】利用曲线系求曲线方程的步䐂:(1)设出曲线系方程;(2)根据条件求出参数;(3)回代即得所求方程.类型2：圆系问题【例2】求经过两圆和的交点,并且圆心在直线x2+y2+6x−4=0x2+y2+6y−28=0x−y−4=0的圆的方程.【答案】.x2+y2−x+7y−32=0【解析】设所求圆的方程为,x2+y2+6x−4+λ(x2+y2+6y−28)=0化简得 ，(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy−(28λ+4)=0因为圆心在直线 上,所以 ,(−31+λ,−3λ1+λ)x−y−4=0−31+λ+−3λ1+λ−4=0解得,即得所求圆的方程为.λ=−7x 2+y 2−x +7y−32=0【例3】三边所在直线方程为: ,求的外接圆的方程. △ABC x−2y−5=0,3x−y =0,x +y−8=0△ABC 【答案】x 2+y 2−4x−2y−20=0【解析】外接圆方程可写为△ABC (x−2y−5)⋅(3x−y )+λ1(3x−y )(x +y−8)+λ2(x +y−8)(x−2y−5)=0即(3λ1+λ2+3)x 2+(2λ1−λ2−7)xy +(−λ1−2λ2+2)y 2+(−24λ1−13λ2−15)x+(8λ1+11λ2+5)y +40λ2=0于是,解得:,将它们代入，{2λ1−λ2−7=03λ1+λ2+3=−λ1−2λ2+2λ1=2,λ2=−3即得外接圆方程为 .△ABC x 2+y 2−4x−2y−20=0【例4】椭圆与直线 交于两点,点的坐标为.求过x 2+2y 2−2=0x +2y−1=0B ,C A (2,2)A ,B ,C 三点的圆的方程.【答案】6x 2+6y 2−9x−14y−2=0【解析】我们可以先求出B ,C点的坐标,利用推论2求解,不过这里可从另一个角度思考问题,二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2过两点,但十分明显地不包含过的所有曲线,过y−1)=0B ,C B ,C B ,C 的圆就不在其中.不过我们可以“就势”一变,再构造二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2y−1)(x−2y +m )=0(∗)这就包含了过的圆了.展开,得B ,C (λ+μ)x 2+(2λ−4μ)y 2+μ(m−1)x +2μ(m +1)y−mμ−2λ=0令,并取,即得.λ+μ=2λ−4μμ=1λ=5代入得.(∗)6x 2+6y 2+(m−1)x +2(m +1)y−m−10=0将点坐标代人,得,代人得所求圆的方程为.A m =−86x 2+6y 2−9x−14y−2=0【注】这里添加直线,原因是过三点的圆是唯一的,且缺项.x−2y +m =0A ,B ,C xy【例5】四条直线围成一个四边形,问l 1:x +3y−15=0,l 2:kx−y−6=0,l 3:x +5y =0,l 4:y =0k取何值时, 此四边形有个外接圆,并求此外接圆的方程.【答案】.x 2+y 2−15x−159y =0【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系的方程为.(x +3y−15)(x +5y )+λ(kx−y−6)y =0整理得, 方程表示圆, 则 解得()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++---+=151,80.k λλ-=+=, 故此四边形外接圆的方程为.414,7k λ==-22151590x y x y +--=【例6】 设过坐标原点的直线与拋物线交于两点, 且以l ()2:41C y x =-,A B AB 为直径的圆恰好经过拋物线的焦点, 求直线的方程.C F l【答案】.y =【解析】设直线的方程为, 构造过的二次曲线系l y kx =,A B ,()()()2410y x kx y kx y m λ--+-++=即,①()()2221440k x y mk x my λλλλ+-+--+=令得，代入①即得过两点的圆的方程是21k λλ=-211k λ=+,A B 222222224401111k k mk m x y x y k k k k ⎛⎫++--+= ⎪++++⎝⎭因点在圆上，于是有()2,0F 2224244011k mk k k ⎛⎫+-+= ⎪++⎝⎭又以为直径的圆的圆心在直线上, AB y kx =22411m mk k k k ⎛⎫∴=-- ⎪++⎝⎭由上两式消去, 解得故所求的直线的方程是m k =l y x =【例7】 已知直线与双曲线相交于两点, 当为何值时, 以10mx y -+=2231x y -=,A B m AB为直径的圆经过原点.【答案】 .1m =±【解析】构造二次曲线系: ,()()223110x y mx y mx y n λ--+-+++=即()()()()222311110m x y m n x n y n λλλλλ+-++++-+-=，令得，又圆经过原点，代入得，于是方程可表示为()231m λλ+=-+241m λ-=+1n λ=222253m x y mx y m ++-+=-又圆心在直线上，故()225,223m m m ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭10mx y -+=()22510223m m m m ⎡⎤+⎢⎥⋅--+=-⎢⎥⎣⎦化简整理得 故.410m -=，1m =±易知当时, 直线与双曲线相交, 所以当时, 以为直径的圆经过原点.1m =±1m =±AB 类型3: 利用曲线系求解切线问题【例8】 已知圆的方程为, 求经过圆上一点的切线方程.222x y r +=()00,M x y 【答案】 .200x x y y r +=【解析】视圆上的点为点圆,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=设所求圆方程为: ,()()()22222000x x y y x y r λ-+-++-=令, 得, 故切线方程为.1λ=-22220000222x x y y x y r r +=++=200x x y y r +=【注】在二次曲线系的应用中，“点圆”, “点椭圆”可助一臂之カ.本题中, 将点看成“二次曲线": ,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=即为“点圆”. 用类似的解法可得:(1)过圆上一点的切线方程为222()()x a y b r -+-=()00,M x y ()()()()200;x a x a y b y b r --+--=(2) 过椭圆上一点的切线方程为22221(0)x y a b a b +=>>()00,M x y 2200221;x y a b +=(3)过双曲线上一点的切线方程为；22221(0,0)x y a b a b -=>>()00,M x y 2200221x y a b-=(4)过抛物线上一点的切线方程为.22(0)y px p =>()00,M x y ()00y y p x x =+【例9】 求经过点且与圆相切于点的圆的方程.()4,1A -22(1)(3)5x y ++-=()1,2B 【答案】 .226250x y x y +--+=【解析】将切点视为点圆, 设所求圆的方程为:()1,2B 22(1)(2)0x y -+-=()2222(1)(2)2650x y x y x y λ⎡⎤-+-+++-+=⎣⎦将点坐标代入, 可得, 代入整理, 得所求方程为.A 12λ=-226250x y x y +--+=【例10】 求与拋物线相切于两点, 且过点的圆锥曲线方程.259y x =+()()0,3,1,2P Q --()2,1A -【答案】 .2225103117562970x xy y x y --+-+=【解析】过 和 两切点的直线方程是,()0,3P ()1,2Q --530x y -+=设所求的曲线方程是()2259(53)0, *y x x y λ--+-+=因曲线过点, 代人上式得.()2,1A -132λ=-再代入, 化简整理得所求的圆锥曲线方程是.()*2225103117562970x xy y x y --+-+=【注】运用此种解法比其他解法解决这类问题要简单得多，但切勿忘记将切点弦方程加上平方.类型4: 利用曲线系求解圆锥曲线上的四点共圆问题【例11】 已知为坐标原点, 为椭圆在轴正半轴上的焦点,O F 22:12y C x +=y过且斜率为的直线与交于两点, 点满足.F l C ,A B P 0OA OB OP ++=(1) 证明：点在上;P C (2) 设点关于点的对称点为, 证明： 四点在同一圆上.P O Q ,,,A P B Q 【答案】（1）见解析; (2) 见解析.【解析】 (1) 设, 直线, 与联立得,()()1122,,,A x y B x y :1l y =+2212y x +=2410x --=所以121214x x x x +==-由，得0OA OB OP ++=()()()1212,P x x y y -+-+()()())121212121121x x y y x x -+=-+=-+++=+-=-因为, 所以点在上.22(1)12⎛-+= ⎝P C (2) 解法 1:()()()2112224tan 11131PA PBPA PBx x k k APB y y k k ∠ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----++同理()214tan 13QB QA QA QBk k x x AQB k k ∠---====-+所以互补, 因此四点在同一圆上.,APB AQB ∠∠,,,A P B Q 解法 2:由和题设知, 的垂直平分线的方程为1P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,Q PQ ⎫⎪⎪⎭1l ()1yx =⋯设的中点为, 则的垂直平分线的方程为 (2)AB M 1,2M AB ⎫⎪⎪⎭2l 14y=+⋯由(1)(2)得的交点为,12,l l 18N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1NP x ==-=AM ===所以,NA NP NB NQ ===故四点在以为圆心的同一圆上.,,,A PB Q N 解法 3:由(1)得, 直线.1,P Q ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭PQ 0y -=又直线的方程为AB 1y =+10y +-=故两直线的二次方程为,AB PQ )10y y +--=由此可设过点的曲线系方程为,,,A P B Q①)()221220y y xy λ+--++-=即②()()2222120x y y λλλ++--+-=我们让②式表示圆, 则, 得 .221λλ+=-3λ=-代入①式化简得,224460x y y +--=即, 显然此方程表示一个圆, 故四点在同一圆上.22199864x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝,,,A P B Q【例12】 若两条直线与圆锥曲线有四个交点, ()1,2i i y k x b i =+=()220ax by cx dy c a b ++++=≠则四个交点共圆的充要条件是.120k k +=【答案】见解析【证明】两直线组成的曲线方程为, 则过四个交点的曲线方程可设为()()11220k x y b k x y b -+-+=()()()2211220k x y b k x y b ax by cx dy e λ-+-++++++=必要性：若四点共圆, 则方程(1)表示圆, 那么(1)式左边展开式中项的系数为零, 即有xy .120k k +=充分性：当时，令(1)式左边展开式中项的系数相等, 得, 120k k +=22,x y 121k k a b λλ+=+联立解得, 将其代入(1)式, 整理得21211, k k k a bλ+=-=-220x y c x d y e ++++''='由题设知四个交点在方程(2)所表示的曲线上，显然方程(2)表示圆, 即四个交点共圆.【注】本题表明：圆锥曲线的内接四边形ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.【例13】 设直线 与椭圆 交于 两点, 过 两点的圆与:43l y x =-22:12516x y E +=,A B ,A B E 交于另两点 , 则直线 的斜率为（ ,C D CD ）A. B. C.D. -414-2-14【答案】D【解析】设 , 所以, 则过:0CD l ax by c ++=()():430AB CD l l ax by c x y ⋃++--=,,,A B C D四点的曲线系为 .()()22:14302516x y C ax by c x y λ+-+++--=表示圆, 则系数相等, 且无项. 化简得C 22,x y xy 114251640a b b a λλλλ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解得 4.CD a k b=-=-【注】由例 12 结论可知：四点共圆.,,,A B C D 04CD AB CD k k k ⇔+=⇒=-【例14】 已知拋物线的焦点为, 直线与轴的交点为,2:2(0)C y px p =>F 4y =y P 与的交点为, 且.C Q 54QF PQ =(1) 求抛物线的方程;C (2) 过的直线与相交于两点, 若的垂直平分线与相交于两点, 且F l C ,A B AB l 'C ,M N ,,,A M B N四点在同一个圆上, 求直线的方程.l【答案】（1） (2)或.24; y x =10x y --=10x y +-=【解析】 (1) 设, 代入中得, 所以,()0,4Q x 22(0)y px p =>08x p =088,22p p PQ QF x p p==+=+依题意得, 解得或 （舍去)，故拋物线的方程为.85824p p p+=⨯2p =2p =-C 24y x =(2) 依题意知与坐标轴不垂直, 故可设的方程为.l l ()10x my m =+≠代入得. 设,24y x =2440y my --=()()1122,,,A x y B x y 则, 故的中点为.12124,4y y y y +==-AB ()221,2D m m +又的斜率为, 所以的方程为,l 'm -l '2123x y m m=-++由直线的方程及拋物线方程, 可设过四点的曲线系方程为:,l l ',,,A M B N ()()22112340x my x y m y x m λ⎛⎫--+--+-= ⎪⎝⎭()()2223211122223230x y m xy m x m m y m m m λλ⎛⎫⎛⎫+----++++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为四点共圆, 所以, 从而.,,,A M B N 111,0m mλ-=-=2,1m λ==±当时，化简式得，1m =()*2214450x y x y +-++=即, 此时直线的方程为:;22(7)(2)48x y -++=l 10x y --=当时，化简式得, 即1m =-()*2214450x y x y +--+=22(7)(2)48x y -+-=此时直线的方程为：, 所求直线的方程为：或.l 10x y +-=l 10x y --=10x y +-=【例15】 设, 过两定点, 分别引直线和, 使与拋物线0b a >>()(),0,,0A a B b l m 2y x =有四个不同的交点, 当这四点共圆时, 求和的交点的轨迹.l m P 【答案】点的轨迹是直线 (除去与和三个交点）.P 2a bx +=0y =2y x =【解析】设, 则:,()00,P x y ()()0000:,:y yPA y x a PB y x b x a x b=-=---将两直线合并为二次曲线: ，,PA PB ()()00000y yy x a y x b x a x b ⎡⎤⎡⎤--⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦又抛物线方程为,20y x -=则过四个点的二次曲线系方程为()()()200000y yy x a y x b y x x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为四个交点共圆, 则方程（*）表示圆, 四点必满足方程:(为常数)()()222110x x y y r -+--=11,,x y r 于是:()()()()()2222001100y y y x a y x b y x x x y y r x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对比两侧项的系数, 可得, 所以,xy 00000y y x a x b λ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭()02a b x +=即点的轨迹是直线(除去与和的三个交点）. P 2a bx +=0y =2y x =【注】本题借助曲线系方程,巧妙利用“四点共圆”的已知条件，成功避开了求交点的繁杂过程. 需 要注意的是,在对比系数时, 不必找出所有项的系数, 我们只要找出其中最好用的即可. 本例中, 由于圆 方程的特点：没有项, 即项系数为0 , 故对比项的系数即可得到结果.xy xy xy 类型5: 利用曲线系求解定点定值问题【例16】 已知椭圆中有一内接, 且(如图), 求证, 直线22126x y +=,60PAB XOP ∠= 0PA PB k k +=AB方向一定.【答案】见解析【解析】点的坐标为, 过点, 将点视作二重点P (P 0y +-=P ,于是直线的方程依次是:,P P ,,,PA PB PPAB ()()1100y k x y k x y px qy r -=--=--++=++=过四点的椭圆方程可写为,,,A P P B①()][()()110y k x y k x y px qy r λμ⎡⎤--⋅--+++⋅++=⎣⎦与椭圆方程②22126x y +=代表同一条二次曲线, 故比较①②中项系数, 可得：, 即为所求.xy pq-=【例17】 已知为椭圆 的左右顶点, 在直线 上任取一点, 连接,A B 22221(0)x y a b a b+=>>:l x m =P , 分别与椭圆交于, 连交轴于点, 求证: .PA PB ,C D ,CD CD x (),0Q n 2mn a =【答案】见解析【解析】设, 则,(),P m t ()():0:0:0:0PA tx m a y at PB tx m a y at AB y CD kx y kn ⎧-++=⎪---=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线得,PA PB 222210x y a b+-=,AB CD ()()()()()22221x y tx m a y at tx m a y at kx y kn y a b λμ⎛⎫⎡⎤+-+-++---=-- ⎪⎣⎦⎝⎭比较的系数得, 即xy ()()()k t m a t m a μ=---+2k tmμ=-比较的系数得, 即y ()()()kn at m a at m a μ-=--++22kn ta μ-=所以.2mn a =【例18】 已知椭圆, 四点2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()1231,1,0,1,1,P P P -中恰有三点在椭圆上.C (1) 求的方程;C (2) 设直线不经过点, 且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为, 证明:l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-过定点.l 【答案】（1） (2)见解析.221;4x y +=【解析】 (1) (过程略)221;4x y +=(2)设斜率分别为，其中22,P A P B 12,k k 121k k +=-则2122:10,:10P A k x y P B k x y -+=-+=将两直线方程合并为：()()12110 k x y k x y -+-+=联立方程组，（此方程组的解为三点的坐标）()()122211044k x y k x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩2,,P A B 整理得()()()2212212121(1)0411k k x y x y k k x k k y y ⎧+-+-=⎪⎨-=+-⎪⎩进而()()()2121(1)411y x y k k y y -+-=+-所以或（即点或）1y =()()12141x y k k y +-=+2P AB l 故直线的方程为：, 显然恒过定点.l ()()12141x y k k y +-=+l ()2,1-【例19】已知分别为椭圆的左、右顶点, 为的上顶点,A B 、222:1(1)x E y a a+=>G E 为直线上的动点,与的另一交点为与的另一交点为.8,AG GB P ⋅=6x =PA E ,C EB E D (1) 求的方程; (2) 证明：直线过定点.E CD 【答案】 (1) (2) 见解析221;9x y +=【解析】 (1) （过程略）2219x y +=(2) 设, 则()6,P t :930:330:0:0PA tx y t PB tx y t AB y CD x my n -+=⎧⎪--=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线,,PA PB 22990x y +-=,AB CD 得()()()()22999333x y bx y t tx y t y x my n λμ+-+-+--=--⎡⎤⎣⎦，比较的系数得;xy 121t μ-=比较的系数得, 所以.y 18t n μ=-32n =直线的方程为, 显然直线过定点.CD 32x my =+CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【例20】 已知椭圆和定点 过点2222:1(0)x y E a b a b+=>>()(),0,,0, (,0).M m N n a m n a m n -<<<⋅≠M作直线交椭圆于点, 直线分别交椭圆于另一个点. 设直线和E ,A B ,AN BN E ,P Q AB PQ的斜率为 证明:21,.k k (1) 直线经过定点;PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭(2) 为定值.2212222k a n k a mn n -=-+【答案】见解析.【解析】证明：如图, 设直线, 即()():,:A B AP y k x n BQ y k x n =-=-0A A k x y k n --=.则下面的曲线系方程表示经过点四点的曲线:0B B k x y k n --=,,,A B P Q ()()222210A AB B x y k x y k n k x y k n a b λ⎛⎫----++-= ⎪⎝⎭展开此方程得()()()222Λ22120A B A B A B B A B k k x y k k xy k k n x k k n y k k n a b λλλ⎛⎫⎛⎫++++--+-++⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即①()2222222222011111A B A B A b A B A B k k k k n k k n k k k k n a x y xy x y b b b b bλλλλλλλ++----⋅++⋅+⋅+⋅+=+++++取特殊的, 使该方程表示为直线和组合体对应的曲线方程λ()1:AB y k x m =-2:PQ y k x t =+，展开此方程得()()1120k x y mk k x y t ---+=②()()()()2212121121102k k x y k k xy k t k k m x t k m y k mt ⋅++--+-+-+-=由此存在实数, 使得方程①和方程②为同一个方程, 对照和项系数得,λxy y 112t k mn k k -+-=--即()12t k m n n k =--⋅由此知直线,()212:PQ y k x k m n n k =+--⋅其与轴的交点为.x ()212,0n k k m n E k ⋅--⎛⎫⎪⎝⎭设直线的交点为, 点在椭圆关于点的极线上，,AB PQ T T 2222:1(0)x y E a b a b +=>>(),0N n 2:a l x n=设极线与轴的交点为. 由此得l x 2,0a K n ⎛⎫⎪⎝⎭()()22211122222n k k m n k a a n m n k n k n k KN a a k KMm m n n⋅----+-⋅===--解得2212222k a n k a mn n -=-+故此时的方程为，PQ ()()22222222an m n y k x k n k a mn n --=+⋅-⋅-+即()22222222a m n mn y k x k a mn n -+=+⋅-+从而直线经过定点.PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭类型6: 证明圆锥曲线内接四边形的性质【例21】 试证明, 椭圆的内接矩形的两相邻边分别与椭圆的长短轴平行.【答案】见解析【解析】建立坐标系, 设矩形各边：,(), 1,2i i y k x h i ===则椭圆方程可写为,()()()()12120y k y k x h x h λμ--+--=显然,项系数为0, 故得证.xy。
12.1(1)曲线的交点
x2(y2)2(y2)2
因为曲线x在轴的上方，所y以 0.虽然原点 O的 坐标(0,0)是这个方程的解，属 但于 不已知曲线，
所以曲线的方程应 y 是1x2(x 0),它的图形 8
是关于y轴对称的抛物线，包 但括 不抛物线的顶点。
.
30
已知 AB的 C 两个A,顶 B的 点坐标分 (5,别 0),(5是 ,0),
y 解：如图，取直线l为x轴，
过点F且垂直于直线l的直线 为y轴，建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意
F
M
OB
x
一点，作MB⊥x轴，垂足
为B,那么点M属于集合
P={M︱︱MF︱－︱MB︱=2}
.
29
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2(y2)2y2
移项后两边平方，得
化简得 y 1x2 8
C 与 y x
1
2
与 y1 x
3
C 与 y 4x2 2
.
22
例3 、证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是
x2+ y2 =25，并判断点Ｍ１（3，－４)、Ｍ2( 2 5 ,2)是
否在这个圆上。
证明：
（１）设M(x0, y0)是圆上任意一点，因为点Ｍ到原点的距离等于５，
所以
x02 y02 5,
数解，因此直线与曲线C没有交点。
思考:这题除了用解方程组的方法外,还有其他方法解吗?
.
9
解题后的思考
例1，例2在解法上的相同之处是什么？
都是把直线方程与曲线方程联立成方程组， 通过消元变成一元二次方程，再通过解方程或 根的判别式来解决问题。
这两题在结果上有什么相同与不同吗？
过两曲线交点的曲线系方程及应用
过两曲线交点的曲线系方程及应用浙江曾安雄高中数学第二册(上)(修订试验本)的第88页B 组第4题是： 两条曲线的方程是f 1(x ，y )＝0和f 2(x ，y )＝0，它们的交点是P (x 0，y 0)，求证方程：f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线也经过点P (λ是任意实数)．本题证明较易，在此略．它揭示了“过两曲线交点的曲线系方程(不含曲线f 2(x ，y ))”，在解决过两曲线交点问题极其简捷，下面举例说明．一、求直线方程例1 求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0交点的直线的方程．解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是： (x 2＋y 2＋3x －y )＋λ(3x 2＋3y 2＋2x ＋y )＝0整理，得(3λ＋1)x 2＋(3λ＋1)y 2＋(2λ＋3)x ＋(λ－1)y ＝0． 令3λ＋1=0，即λ＝-31，故所求的直线为 7x －4y ＝0． 二、求定点坐标例2求证：不论m 取何实数，方程(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标．解：由原方程整理，得(4x ＋5y －6)＋m (3x －2y ＋7)＝0令45603270x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩故知定点应是(－1，2)． 三、求圆的方程例3求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：过两圆交点的曲线系为(x 2＋y 2＋6x －4)＋λ( x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得 (1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0 ①圆心为33,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭(λ≠－1)，由题意知在直线x －y －4＝0上，即31λ-+＋31λλ+－4＝0，解得λ＝－7．代入①知所求的圆方程是 x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0． 四、证明相关问题例4 证明椭圆22205x y +＝1与双曲线22123x y -＝1的交点在同一个圆上． 证明：由椭圆22205x y +＝1即为x 2＋4y 2－20＝0，双曲线22123x y -＝1即x 2－4y 2－12＝0，故过椭圆及双曲线的交点的所有曲线(不含f 2(x ，y )＝0)的方程为(x 2＋4y 2－20)＋λ(x 2－4y 2－12)＝0即(1＋λ)x 2＋(4－4λ)y 2－20－12λ＝0 ① 令1＋λ＝4－4λ≠0，得λ＝35，代入①得x 2＋y 2＝17 这说明椭圆与双曲线的交点在同一个圆x 2＋y 2＝17上．运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。
变式在数学教学中的应用
变式在数学教学中的应用作者：周功扬来源：《职业（上半月刊）》 2019年第3期摘要:变式教学在数学教学中具有重要的作用,巧妙地运用各类素材进行变式训练,有利于启迪学生思维,把握概念本质,掌握结论方法,增强解题灵活性,提高课堂效率。
本文运用“概念性变式”和“过程性变式”结合教学实际总结提炼变式在数学教学中的应用,从多题归一、一质多表、一题多变、一题多解、一法多用五个维度给出教学案例,并通过点面结合提供教学参考。
关键词:变式教学多题归一一质多表一题多变一题多解自顾冷沅教授开展变式教学实验以来,变式教学已获得了人们的普遍关注,“变式教学是我国数学教育的传统特征,已成为我国数学教师的日常行为规范。
”张奠宙变式就是通过变换研究对象的非本质特征,变换观察事物的角度或方法,来突出事物的本质特征,帮助学生认识、理解和把握这些本质特征。
变式教学能够在不改变事物本质的情况下,转变问题的呈现方式,巧妙运用各类素材进行变式训练,对概念、例(习)题、解法、结论不断地进行拓展和深化,有利于启迪学生思维,触类旁通,提高教学效率。
一、多题归一通过设计不同现实情境下的变式问题,发现共同特征,突出概念的本质属性,从而引入概念或获得结论。
案例1:幂函数概念引入(1)购买每千克1元的商品a千克,需要支付P = ______(2)正方形边长为 a,它的面积S = ____(3)立方体边长为a,它的体积V = ____(4)面积为 S的正方形场地的边长a = _____(5) t 时间内车行1 km,车的平均速度v=_______让学生寻找以上问题中的函数有什么共同特征?都是函数;均是以自变量为底的幂;指数为常数;自变量前的系数为1;幂前的系数也为1。
上述问题中涉及的函数,都是形如的函数,进而引出幂函数的概念。
二、一质多表通过变式题组多题辨析或多种表征,更加精准把握概念的内涵和外延,从而理解概念的本质。
1.案例2: 函数概念的辨析讲授函数定义时,设计以下一组对应关系f:A→B,让学生辨别能否构成函数:根据函数的定义,分析上述六种对应关系中,“一对一、一对一且B有余、多对一、多对一且B有余”四种对应可以构成函数,“A有余”不能满足定义中的“任意性”,“一对多”不满足定义中的“唯一性”,都不能构成函数。
例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用
图1曲线系方程：设f (x ,y )=0和g (x ,y )=0分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为λf (x ,y )+g (x ,y )=0(不含f (x ,y )=0).高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为λf (x ,y )+g (x ,y )=0，其中f (x ,y )=0表示圆锥曲线方程，g (x ,y )=0表示两直线构成的曲线方程；（2）将λf (x ,y )+g (x ,y )=0展开，合并同类项，与圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0比较系数，求出λ的值；（3）将λ反代回方程λf (x ,y )+g (x ,y )=0的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补.例1已知T (3,0),Q 是圆P :(x +3)2+y 2=16上一动点，线段QT 的中垂线与直线PQ 交于点S .（1）求动点S 的轨迹E 的方程；（2）过点()1,0且斜率为2的直线l 1与轨迹E 交于A ,B 两点，过原点且斜率为-2的直线l 2与轨迹E 交于M ,N 两点，判断A ,B ,M ,N 四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程.解析：(1)如图1，因为S 为QT 中垂线上的点，所以||ST =||SQ ，故||SP +||ST =||SP +||SQ =||PQ =4，即点S 的轨迹是以P ,T 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则2a =4，故a =2,又b 2=a 2-3=1，故动点S 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1.（2）由题意，l 1:2x -y -2=0，l 2:2x +y =0,例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用四川省成都市树德中学李小蛟610091摘要：圆锥曲线中的四点共圆问题是近年考试的难点和热点，如何在解析几何问题中判断或证明四点共圆问题，是一直困扰师生的一个拦路虎.本文从曲线系方程出发，从纯解析的角度去理解并解决共圆问题.关键词：曲线系；运算；构建；共圆y QxTOP S ··20设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24+y 2-1+()2x -y -2()2x +y =0，整理得æèöøλ4+4x 2+()λ-1y 2-4x -2y -λ=0①.若方程①表示圆，则λ4+4=λ-1，解得λ=203，代入式①得x 2+y 2-1217x -617y -2017=0②.显然方程②表示圆，故A ,B ,M ,N 四点在同一圆上，圆的方程是x 2+y 2-1217x -617y -2017=0.评注：直线和椭圆交点是否共圆问题，若采用先求解出点坐标（用参数表示），再用三点确定圆方程（可用圆方程一般方程或标准方程），再检验其余点是否在该圆上.这种求解方法便于理解，但运算量非常大，对学生的应试心理和考场毅力要求较高.反观若运用曲线系方程则减少运算量，参数非常少（只引入了λ），在考场上对学生的应试信心会有很大的提升.例2已知抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线E 交于A ,C 和B ,D .问：A ,B ,C ,D 四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由.解析：由题意，两直线都不与坐标轴垂直，可设AC 的方程为x =my +2，BD 的方程为y =-m ()x -2，经过A ,B ,C ,D 四点的曲线系方程y 2-8x +λ(x -my -2)(mx +y -2m )=0，化简整理得λmx 2+(1-λm )y 2+λ(1-m 2)xy-(8+4m λ)x +2λ()m 2-1y +4m λ=0③.若该方程表示圆，则{λ()1-m 2=0λm =1-λm,即m =±1且λm =12.代入式③整理得x 22+y 22-10x +2=0，化为标准方程得()x -102+y 2=96.综上，当且仅当两直线倾斜角分别为π4,3π4时，A ,B ,C ,D 四点共圆，圆的方程为()x -102+y 2=96.评注：抛物线方程形式上左边二次，右边一次，因此抛物线与直线交点共圆问题联立时相对椭圆运算量要小一些，但本题同样涉及用参数m 表示，形式还是比较复杂，且表示圆的形式更加繁琐.因此，采用曲线系方程解决问题可减少运算，思路清晰，求解目标明确，形式简捷.例3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线方程为3x -2y =0,且过点()4,3.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为-12的直线l 1过点()-1,0且与双曲线C 交于A ,B 两点，斜率为k 的直线l 2过原点且与双曲线C 交于M ,N 两点，若A ,B ,M ,N 四点是在同一圆上，求k 的值及该圆的方程.解析:（1）由题意，ìíîïïïïb a16a 2-9b2=1,解得a =2,b =3，故双曲线C 的方程为x 24-y 23=1.（2）由已知直线l 1的方程为y =-12(x +1)，即x +2y +1=0，直线l 2的方程为kx -y =0，故可设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24-y 23-1+(x +2y +1)(kx -y )=0，整理得æèöøλ4-k x 2-æèöøλ3+2y 2+(2k -1)⋅xy +kx-y -λ=0④.若方程④表示圆，则ìíîïïλ4-k =-æèöøλ3+22k -1=0解得ìíîïïλ=-187k =12，代入式④··21图2化简得x 2+y 2-716x +78y -94=0⑤.显然方程⑤是圆的方程，经检验，当k =12时，直线l 2与双曲线C 有两个交点，故k =12，所求圆的方程为x 2+y 2-716x +78y -94=0.评注：本题是两直线与双曲线交点的四点共圆问题，采用曲线系方程求解，虽引入两个未知数（k ,λ），但根据圆一般方程的形式运算相对较小，且易于检验是否四点共圆.例4已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且||QF =54||PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解析:（1）由{y =4y 2=2px .得x =8p ，即Q æèçöø÷8p ,4，所以||PQ =8p ，||QF =8p +p 2.因为||QF =54||PQ ，所以8p +p 2=54⋅8p，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .（2）由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，则直线AB 的方程为y =k (x -1).由ìíîy =k ()x -1y 2=4x .得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1，y 1+y 2=k ()x 1+x 2-2=4k，故AB 中点D 的坐标为æèçöø÷k 2+2k 2,2k ，故直线MN 的方程为x =-ky +3k 2+2k2.可设经过A ,M ,B ,N 四点的曲线系方程为λ(y 2-4x )+(kx -y -k )æèçöø÷x +ky -3k 2+2k 2=0，整理得kx 2+(λ-k )y 2+(k 2-1)xy -(4λ+)3k 2+2k 2+k x +æèçöø÷3k 2+2k 2-k 2y +3k 2+2k 2=0⑥.若方程⑥表示圆，则{k =λ-k k 2-1=0，故{k =1λ=2或{k =-1λ=-2.当k =1，λ=2时，代入式⑥整理得()x -72+()y +22=48，符合题意；当k =-1，λ=-2时，代入式⑥整理得(x -7)2+(y -2)2=48，符合题意.综上所述，直线l 的方程为y =±()x -1.评注:本题运算相对复杂（特别是求解直线MN 方程需用k 的相关形式表示），但涉及四点共圆时用曲线系解答非常巧妙地避开了用k 表示相关点求解圆方程，减少运算，降低思维难度，用一种形式轻松解决两个参数（k ,λ）的求解.曲线系方程从统一的思想高度来思考问题,求大同存小异,考虑共性的东西，不刻意去顾及个性特征，是数学形式与数学本质的完美结合，形式简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.基金项目：本文为四川省数学会重点立项课题“提升学生核心素养的高中数学课程校本化研究”研究成果（项目编号：2020SXHJY004）.y A M DF B O Nx ··22。
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曲线系方程的共交点在解题中的应用
共交点的曲线系：设两已知曲线S 1：0)y ,x (f =，S 2：0)y ,x (g =，（因为方程组⎩⎨⎧==0
)y ,x (g 0)y ,x (f 的公共解肯定满足方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+，其中λ为任意常数，所以此方程对应的曲线肯定过S 1和S 2的交点。
）因此可设过两曲线S 1、S 2的交点的曲线系方程是：0)y ,x (g )y ,x (f =λ+，但曲线系中不包括S 2。
这种共交点的曲线系方程也具有广泛的应用，我们常见的求轨迹问题是一个定位描述的问题，只要给多一个条件，就可以确定其轨迹方程。
本文尝试利用共交点的曲线系方程解题方面作一些探讨。
一、共交点曲线系方程的一般性运用
例1：求经过两圆0y x 2y 3x 3:C 0y x 3y x :C 222221=+++=-++和的交点及点P （1，1）的圆的方程。
分析：因为C 1、C 2是圆的方程，所以C 1+λC 2=0是过两圆交点的圆系方程。
代入交点的坐标，解出λ即可。
例2：求经过两条曲线0y x 3y x 22=-++和0y x 2y 3x 322=+++的交点的直线方程。
分析：此题可先求出两个交点再求直线方程，但计算量较大。
若从曲线与方程的关系这一角度出发，只要理解了曲线上点的坐标与方程的解之间的关系，利用共交点的曲线系方程解题，可避免大量的计算。
二、共交点曲线系方程的灵活性运用
从曲线系方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+结构看，若0)y ,x (g )y ,x (f =λ+为圆系方程，不要求f （x ，y ）=0与g （x ，y ）=0都是圆的方程，只要其中有一个是圆的方程，它就是圆系方程，因此可延展到直线与圆相交的情形。
从运动的角度看：㈠直线也可以看成圆，因为直线可理解为半径趋于正无穷大的圆；㈡点也可以看成圆，因为点可理解为半径为零的圆，即点圆；㈢因为圆系方程可延展到直线与圆相交的情形，因此圆上的切点也可理解为圆的相交直线
运动到相切的位置，即视切点为切线。
例1：求过直线015y 8x 4y x 04y x 222=+--+=-+和圆的交点，且经过点Q （5，6）的圆的方程。
分析：当圆系方程中C 1与C 2有一条是直线L 时，C 1+λL=0仍表示过C 1与L
交点的圆系方程，L 可理解为由圆退化的直线。
例2：求与圆015y 8x 4y x 22=+--+相切于点P （3，6），且经过点Q （5，
6）的圆的方程。
分析：由例2可知题设中的直线可理解为由圆退化的直线，所以也把此题中的切点P （3，6）视为由圆退化的点。
即点圆：0)6y ()3x (22=-+-。
解法一：切点P （3，6）在已知圆上，将它视为“点圆”：0)6y ()3x (22=-+-， 故建立圆系方程0)6y ()3x [(15y 8x 4y x 2222=-+-λ++--+，
将点Q （5，6）的坐标代入方程，解得2-=λ。
故所求的圆的方程是：075y 16x 8y x 22=+--+。
分析：若利用运动的观点看待此题：点P 可看成一条与圆相交的直线运动到与圆有且只有一个公共点的情形，因此切点P （3，6）又可视为退化的切线。
解法二：与圆相切于点P （3，6）的切线方程为：
015)6y (4)3x (2y 6x 3==+-+-+ 即015y 2x =-+
故可设所求的圆系方程为：0)15y 2x (15y 8x 4y x 22=-+λ++--+，
将点Q （5，6）代入得4-=λ。
故所求圆的方程是075y 16x 8y x 22=+--+
三、共交点曲线系方程的构造性运用
在实际问题的解决中，可不拘泥于曲线系方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+的结构形式，其中f （x ，y ）与g （x ，y ）都可由一些代数式经过运算得到，我们注意到两个二元一次代数式相乘的结果为二元二次代数式的情形。
例1：已知双曲线4y 2x 22=-与直线01y x 2,01y x =++=-+有四个交点，
求过此四个交点且过点)0,1(-的二次曲线方程。
分析：如直接求，则计算量太大，故采用二次曲线系研究，则需将两个二元一次方程合并成一个二次方程，即0S L L 21=λ+⋅。
例2：求与抛物线9x 5y :C 2+=相切于点P （0，3），Q )2,1(--两点，且过点A )1,2(-的圆锥曲线方程。
分析：⑴此题若直接设圆锥曲线方程为：0e dy cx by ax y x 22=+++++五个代定系数，从题中找出五个方程可以解出来，但计算量太大。
⑵若用共交点的曲线系方程解题，则关键在于如何设出曲线系方程。
方法一：（由例3得到启示：可将两切点分别看作两条退化的切线。
）
解：与抛物线9x 5y 2+=相切于点P （0，3）的切线方程为：9)0x (2
5y 3++=即018y 6x 5=+-相切于点Q )2,1(--的切线方程为：9)1x (2
5y 2+-=-即013y 4x 5=++。
因此可设所求的曲线方程是：0)18y 6x 5)(13y 4x 5(9x 5y 2=+-++λ+--，因
曲线过点A （1,2-）代入上式得7
1-=λ。
化简整理得所求的圆锥曲线方程是：0297y 6x 190y 31x y 10x 2522=+-+--。
方法二：（由例4得到启示，求出P 、Q 两切点所在的直线方程L ，则可用运动的观点认为直线L 是由两条与抛物线相交的直线运动到重合的情形。
）
解：过P （0，3）和Q )2,1(--两切点的直线方程是03y x 5=+-，设所求的曲线方程是0)3y x 5(9x 5y 22=+-λ+--。
因曲线过点A （1,2-）代入上式得32
1-=λ。
化简整理所求的圆锥曲线方程是： 0297y 6x 190y 31x y 10x 2522=+-+--。
例3：四条直线L 1：015y 3x =-+ ，L 1：06y kx =--，L 3：x+5y=0，L 4：y=0围成一个四边形，试求出一个k 的值，使得四条直线围成的四边形有一个外接圆，
并求此外接圆的方程。
分析：一、对已知条件进行分析。
①四条直线中三条直线已确定，而L2是过定点（0，)6
的动直线。
②此四边形是由四条直线围成的，所以四条直线必须两两相交，而四条直线
二、对图形进行分析
x 目只要求求出一个k
②通过观察可知，所求的外接圆方程，必须过直线L1与直线L2的交点A，直
线L2与直线L3的交点B，直线L3与直线L4的交点O，直线L1与直线L4的交点C。
利用共交点的曲线系方程求解有关圆锥曲线方程的问题，方法简捷明快，结
构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感
的一个很好的材料。