曲线系理论及其应用
平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用(原稿)
平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用王永洪1北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081过平面曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程可表示为12(,)(,)(,)0f x y x y f x y λ+=，其中(,)x y λ的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解(,)x y λ表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。
用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中(,)x y λ应具有的形式。
平面二次曲线方程的一般形式是221112*********a x a xy a y a x a y a +++++=，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。
为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程1(,)0f x y =和直线方程2(,)0f x y =为例，这时的曲线系方程为：11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断21112212I a a a =-的符号：10I >，曲线为椭圆或圆，10I =，曲线为抛物线，10I <，曲线为双曲线。
有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。
曲线曲面基本理论
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
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曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
高中数学：曲线系方程的应用
高中数学：曲线系方程的应用如果两条曲线方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0的曲线也经过点P（λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)＝0和f2（x，y）＝0交点的曲线系方程为：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一、直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程y－y0＝k（x －x0）（k为参数）（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax ＋By＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx －Ay＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）例1、已知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线L的方程。
解析：设直线L的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。
∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。
∵L与直线3x＋y－1＝0平行，∴。
解得：λ＝。
所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0例2、求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解析：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点P（9，－4）说明：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
二、圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0为常数，r为参数。
曲线的原理和应用教学反思
曲线的原理和应用教学反思1. 引言在数学和物理学中，曲线是一种重要的数学概念。
它的研究对于理解各种自然现象和应用于工程技术中具有重要意义。
本文将探讨曲线的原理以及其在教学中的应用，同时反思当前曲线教学存在的问题和改进的方向。
2. 曲线的基本原理曲线可以定义为平面上一组点的有序集合，这些点之间存在着某种特定的数学关系。
曲线可以通过方程、参数方程或者描点等方式描述。
常见的曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
2.1 直线直线是最简单的曲线形式，可以用一次方程来表示。
一次方程的一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
对于水平直线来说，斜率为0；对于竖直直线来说，斜率为无穷大。
直线在几何学中具有重要的性质，如与平行线垂直、两直线的交点等。
2.2 抛物线抛物线是二次曲线的一种，可以用二次方程表示。
一般二次方程的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a决定了抛物线的开口方向和形状，b和c则决定了抛物线在坐标轴上的位置。
抛物线常见于自然界和工程应用中，如喷泉的水流、抛物线运动等。
2.3 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，可以用椭圆方程表示。
椭圆方程的标准形式是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆具有很多有趣的性质，例如焦点、准线等，因此在天文学、工程学和图像处理等领域有广泛的应用。
2.4 双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，可以用双曲线方程表示。
双曲线方程的标准形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴的长度。
双曲线具有许多独特的性质，如渐近线和极值点等，因此在物理学、光学和工程学等领域有广泛的应用。
3. 曲线的应用教学反思曲线作为数学和物理学的重要概念，在教学中有广泛的应用。
然而，在当前的曲线教学中存在一些问题，需要进行反思和改进。
3.1 教学内容安排不合理在教学内容安排方面，有些学校或教师倾向于过多地呈现理论知识，而忽略实际应用的讲解。
曲线系理论及其应用
第21讲:曲线系理论及其应用在一个关于x,y 的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,赋于这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.利用曲线系解题,体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略,以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体,能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的曲线系. 定理1:过曲线C 1:f 1(x,y)=0与C 2:f 2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0.定理2:设二次曲线C:ax 2+cy 2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax 2+cy 2+dx+ey+ f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ=22n m a c +-,t 为任意实数.定理3:过圆M:x 2+y 2+2dx+2ey+f=0外一点P(x 0,y 0)作圆M 的两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,则双切线PA 与PB 构成的曲线方程为:(x 02+y 02+2dx 0+2ey 0+f)(x 2+y 2+2dx+2ey+f)-[x 0x+y 0y+d(x+x 0)+e(y+y 0)+f]2=0,即包含切线PA:a 1x+b 1y+c=0与PB: a 2x+b 2y+c 2=0的方程.定理4:设二次曲线C:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0与直线l 1:m 1x+n 1y+p 1=0,l 2:m 2x+n 2y+p 2=0都有公共点,则过这些公共点的二次曲线系方程为:(ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f)+λ(m 1x+n 1y+p 1)(m 2x+n 2y+p 2)=0.例1:过曲线交点的直线系.[始源问题]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方程.[解析]:由过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的曲线系:(2x 2-2x-1-y)+λ(-5x 2+2x+3-y)=0,即(2-5λ)x 2+2(λ-1)x-(λ+1)y+3λ-1=0;令2-5λ=0⇒λ=52⇒曲线系:6x+7y-1=0⇒过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方程:6x+7y-1=0.[原创问题]:已知抛物线C 1:y=2x 2+3x-3,C 2:y=-5x 2+tx+421-t.(Ⅰ)求证:过抛物线C 1与C 2两交点的直线l 过定点A;(Ⅱ)过点A 作斜率互为相反数的两直线与椭圆C:42x +32y =1分别交于异于点A 的点M 、N,求证:直线MN 的斜率为定值.[解析]:(Ⅰ)由y=2x 2+3x-3⇒5y=10x 2+15x-15…①;由y=-5x 2+tx+421-t ⇒2y=-10x 2+2tx+221-2t …②;由①+②得:7y=15x+2tx-29-2t ⇒2(x-1)t=7y-15x+29⇒直线l 过定点A(1,23); (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线MN:y=kx+t;由⎩⎨⎧=++=124322y x t kx y ⇒(3+4k 2)x 2+8ktx+4t 2-12=0⇒x 1+x 2=-2438k kt +,x 1x 2=2243124k t +-; 由k AM +k AN =0⇒12311--x y +12322--x y =0⇒12311--+x t kx +12322--+x t kx =0⇒2kx 1x 2+(t-23-k)(x 1+x 2)-(2t-3)=0⇒2243)3(8k t k +--(t-23-k) 2438k kt +-(2t-3)=0⇒8k(t 2-3)-8kt(t-23-k)-(2t-3)(3+4k 2)=0⇒6(2k-1)t+12k 2-24k+9=0⇒6(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0 ⇒k=21为定值. 例2:过曲线交点的圆系.[始源问题]:(2001年新课程高考试题)设0<θ<2π,曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1有4不同的交点.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)证明:这4交点共圆,求圆半径的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ⇒x 2=sin θ+cos θ,y 2=cos θ-sin θ>0⇒tan θ<1⇒θ∈(0,4π)⇒θ的取值范围是(0,4π);(Ⅱ)由过曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1交点的曲线系:(x 2sin θ+y 2cos θ-1)+λ(x 2cos θ-y 2sin θ-1)=0,即(sin θ+λcos θ)x 2+(cos θ-λsin θ)y 2=1+λ;令sin θ+λcos θ=cos θ-λsin θ得:λ=θθθθcos sin sin cos +-⇒曲线系:x 2+y 2=2cos θ为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=θcos 2,由θ∈(0,4π)⇒r=θcos 2∈(42,2).[原创问题]:设抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-215x+c 有4不同的交点.(Ⅰ)求c 的取值范围;(Ⅱ)证明:这4交点共圆,并求圆半径的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧+-==c x x y x y 215422⇒y 4-30y 2-16y+16c=0;令f(t)=t 4-30t 2-16t+16c,则f '(t)=4(t 3-15t-4)=4(t-4)(t 2+4t+1)= 4(t-4)(t+2+3)(t+2-3)⇒f(t)的极大值=f(-2+3)(t 2+4t+1=0⇒t 2=-4t-1)=16c+483-81>0⇒c>161(81-483); f(t)的极小值=f(-2-3)(t 2+4t+1=0⇒t 2=-4t-1)=16c-483-81<0⇒c<161(81+483);f(4)的极小值=16c-16×18<0 ⇒c<18.综上,c ∈(161(81-483),161(81483)); (Ⅱ)由过抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-2x+c 交点的曲线系:(x 2-2x+c-y)+λ(y 2-4x)=0,即x 2+λy 2-2(1+2λ)x-y+c=0;令λ=1⇒曲线系:x 2+y 2-6x-y+c=0为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=2437c -;由c ∈(161(81-483),161(81+483))⇒r ∈(0, 434867+).例3:过两交点的圆系.[始源问题]:(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B.(Ⅰ)求实数k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.[解析]:(Ⅰ)将y=kx+1代入2x 2-y 2=1中并化简整理得:(2-k 2)x 2-2kx-2=0,由已知得此方程有两个不小于22的实根,解得:-2<k<-2⇒k 的取值范围是(-2,-2);(Ⅱ)设过A,B 两点的圆系方程为:2x 2-y 2-1+λ(kx-y+1)(kx+y+t)=0,即(2+λk 2)x 2-(1+λ)y 2+k λ(t+1)x+λ(1-t)y+λt-1=0⇒2+λk 2=-(1+λ)⇒λ=-132+k ⇒圆系方程为:x 2+y 2-22)1(3kt k -+x-22)1(3kt --y-22231kt k -++=0;由于AB 是圆的直径,故圆心()2(2)1(32k t k -+,)2(2)1(32k t --)在直线l 上⇒)2(2)1(322k t k -+-)2(2)1(32k t --+1=0⇒t=-31⇒圆系方程为:x 2+y 2-222k k -x-224k -y-222k k -=0;若此圆过右焦点(26,0)⇒23-222k k -⋅26-222kk -=0⇒k=566±-,又因k ∈(-2,-2)⇒k=566--⇒存在以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F,此时直线AB 的斜率k=566--. [原创问题]:已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)的离心率e=36,过点A(0,-b)和B(a.0)的直线与原点的距离为23. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线y=kx+t 与椭圆交于M 、N 两点,证明:对任意的t>0,都存在k,使得以线段MN 为直径的圆过定点.[解析]:(Ⅰ)由直线AB:bx-ay-ab=0⇒22b a ab +=23;又由e=36⇒221a b -=36⇒a 2=3,b 2=1⇒椭圆C:32x +y 2=1; (Ⅱ)设过M 、N 两点的圆系方程为:x 2+3y 2-3+λ(kx-y+t)(kx+y+s)=0,即(1+λk 2)x 2+(3-λ)y 2+k λ(t+s)x+λ(t-s)y+λts-3= 0⇒(1+λk 2)=(3-λ)⇒λ=122+k ⇒圆系方程为:x 2+y 2+13)(22++k s t k x+13)(22+-k s t y+1333222+--k k ts =0;由于MN 是圆的直径,故圆心(-13)(2++k s t k ,-13)(2+-k s t )在直线y=kx+t 上⇒s=2t ⇒圆系方程为:x 2+y 2+1362+k ktx-1322+k t y+13334222+--k k t =0;令y=0得:x 2+1362+k kt x+13334222+--k k t =0⇒3(x 2-1)k 2+6txk+4t 2+x 2-3=0;令x=1得:6tk+4t 2-2⇒k=-tt 3122-⇒对任意的t>0,都存在k=- tt 3122-,使得以线段MN 为直径的圆过定点(1,0). 例4:四点共圆.[始源问题]:(2011年全国高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OC =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2=-2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)(法一)直线l:y=-2x+1,P(-22,-1),Q(22,1),过直线l 与椭圆C 交点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(2x+y-1)(2x- y+t)=0⇒(2+2λ)x 2+(1-λ)y 2+2(t-1)λx+(t+1)λy-t λ-2=0,由该曲线为圆⇒2+2λ=1-λ⇒λ=-31⇒圆的方程为:4x 2+4y 2-2(t-1)x-(t+1)y+t-6=0,若点P(-22,-1)在该圆上⇒t=0⇒圆的方程为:4x 2+4y 2+2x-y-6=0⇒点Q(22,1)在该圆上; (法二)直线l:y=-2x+1,直线PQ:2x-y=0,过直线l 、PQ 与椭圆C 交点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(2x+y-1)(2x-y)=0⇒ (2+2λ)x 2+(1-λ)y 2-2λx+λy-2=0,当λ=-31时,曲线系:4x 2+4y 2+2x-y-6=0为圆⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.[原创问题]:设A,B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C,D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D 四点在同一个圆上?并说明理由.[解析]:(Ⅰ)3+9<λ⇒λ>12,直线AB:3x+3y=3+9⇒x+y-4=0;(Ⅱ)过直线AB 、CD 与椭圆C 交点的曲线系:3x 2+y 2-λ+t(x+y-4)(x-y+2)=0⇒(3+t)x 2+(1-t)y 2-2tx+6ty-8t-λ=0曲线系为圆⇒t=-1⇒圆的方程为:2x 2+2y 2+2x-3y+8-λ=0⇒A,B,C,D 四点在同一个圆上.例5:四点共圆的条件.[始源问题]:(1993年全国高中数学联赛试题)设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l 和m,使与抛物线y 2=x有四个不同的交点.当这四个交点共圆时,求直线l 与m 的交点P 的轨迹.[解析]:设P(x 0,y 0),直线l:y-k 1x+k 2a=0,直线m:y-k 2x+k 2b=0,过这四点的曲线系:y 2-x+λ[y-k 1x+k 2a][y-k 2x+k 2b]=0⇒(1+λ)y 2-λ(k 1+k 2)xy+λk 1k 2x 2+λ(k 1a+k 2b)y-[λk 1k 2(a+b)+1]x+λk 1k 2ab=0,该曲线系为圆⇔⎩⎨⎧=+=+212110k k k k λλ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=211211k k k λ,直线l 与m 的交点⎩⎨⎧=+-=+-002221b k x k y a k x k y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200b a k y b a x ⇒P 的轨迹:线段AB 的中垂线x=2b a +,除去直线x=2b a +与y=0,或y 2=x 的三个交点.[原创问题]:已知F 1、F 2分别是椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆C 上的任意一点,且1PF ⋅2PF 的最大值是3,最小值是2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过两点F 1和A(1,1)分别引直线l 和m,使与椭圆C 有四个不同的交点.当这四个交点共圆时,求直线l 与m 的交点Q 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)设P(acos θ,bsin θ),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中a 2=b 2+c 2,则1PF ⋅2PF =P F 1⋅P F 2=(acos θ+c)(acos θ-c)+b 2sin 2θ=a 2cos 2θ-c 2+b 2sin 2θ=a 2(1-sin 2θ)-c 2+b 2sin 2θ=(a 2-c 2)-(a 2-b 2)sin 2θ=b 2-c 2sin 2θ⇒b 2=3,b 2-c 2=2⇒c 2=1⇒a 2=4⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)设直线l:k 1x-y+k 1=0,直线m:k 2x-y+1-k 2=0,过这四点的曲线系:3x 2+4y 2-12+λ(k 1x-y+k 1)(k 2x-y+1-k 2)=0⇒(3+λk 1k 2) x 2-λ(k 1+k 2)xy+(4+λ)y 2+λk 1x-λ(1+k 1-k 2)y+λk 1(1-k 2)=0;该曲线系为圆⇔3+λk 1k 2=4+λ,λ(k 1+k 2)=0⇔λ=1121-k k ,k 1+k 2=0;此时,由k 1x-y+k 1=0,k 2x-y+1-k 2=0⇒(k 1-k 2)x+(k 1+k 2)-1=0⇒x=121k ⇒y=k 1+21⇒x(y-21)=21. 例6:圆的双切线方程.[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛试题)如图,P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点B,C 在y 轴上,圆(x-1)2+y 2=1内切于△PBC,求△PBC 面积的最小值.[解析]:由抛物线的对称性知,不妨设P(2t 2,2t)(t>0),圆(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0⇒双切线PB 与PC 的方程为:4t 4(x 2+y 2-2x)-[2t 2x+2ty-(x+2t 2)]2=0,令x=0得:4t 4y 2-(2ty-2t 2)2=0(t ≠0)⇒(ty)2=(y-t)2.因为当t=1时,只有切线PB 与y 轴相交;当0<t<1时,圆(x-1)2+y 2=1是△PBC 的旁切圆,所以t>1,且y B =t t +1,y C =t t -1⇒|BC|=|y B -y C |=1222-t t ⇒S △PBC =21|BC||x P | =1224-t t =2[2+(t 2-1)+112-t ]≥8.当且仅当t=2时,等号成立.[原创问题]:设P 是抛物线C 1:x 2=4y 上的点.过点P 做圆C 2:x 2+(y+1)2=1的两条切线,交直线l:y=-1于A,B 两点.(Ⅰ)若抛物线C 1在P 处的切线l 1分别与x 、y 轴交于点M 、N,求证:M 是PN 的中点;(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线l 1平分？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设P(2t,t 2),则抛物线C 1在P 处的切线l 1:2tx=2(y+t 2),即y+t 2=tx ⇒M(t,0),N(0,-t 2)⇒M 是PN 的中点;(Ⅱ)圆C 2:x 2+y 2+2y=0⇒双切线PA 与PB 的方程为:(t 4+6t 2)(x 2+y 2+2y)-[2tx+t 2y+y+t 2]2=0;令y=-1得:(t 4+6t 2)(x 2-1)-(2tx- 1)2=0⇒(t 4+2t 2)x 2+4tx-(t 4+6t 2+1)=0⇒x A +x B =-2424tt t +=-tt 243+⇒AB 的中点为(-tt 223+,-1);线段AB 被抛物线C 1在点P处的切线l 1平分⇔点(-tt 223+,-1)在y+t 2=tx 直线上⇔-1+t 2=-222+t ⇔t=0,矛盾.不存在.例7:椭圆合成的二次曲线分解为直线.[始源问题]:(2011年四川高考试题)椭圆有两顶 y点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l D与椭圆交与C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线 CAC 与直线BD 交于点Q. A O B P x (Ⅰ)当|CD|=232时,求直线l 的方程;(Ⅱ)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OQ OP ⋅为定值.[解析]:(Ⅰ)椭圆x 2+22y =1,设直线l:y=kx+1,由⎩⎨⎧=-++=022122y x kx y ⇒(2+k 2)x 2+2kx-1=0⇒|CD|=21k +⋅222122k k ++= 232⇒k=±3⇒直线l:y=±3x+1;(Ⅱ)设直线AC:y-k 1x-k 1=0,直线BD:y-k 2x+k 2=0则过A,B,C,D 四点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(y-k 1x-k 1)(y-k 2x+k 2)=0⇒(2+λk 1k 2)x 2+(1+λ)y 2-λ(k 1+k 2)xy-λ(k 1-k 2)y-λk 1k 2-2=0;该曲线系变为直线AB 与CD ⇒2+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[(1+λ)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)]=0⇒直线CD:(1+λ)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)=0⇒x P =2112k k k k +-;又由直线AC:y-k 1x-k 1=0,直线BD:y- k 2x+k 2=0⇒k 1x Q +k 1=k 2x Q -k 2⇒x Q =1221k k k k -+⇒OQ OP ⋅=x P x Q =2112k k k k +-⋅1221k k k k -+=1. [原创问题]:已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)的离心率e=21,长轴的左、右端点分别为A(-2,0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ky+1与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.[解析]:(Ⅰ)由e=221a b -=21⇒22ab =43;又由a=2⇒b 2=3⇒椭圆C:42x +32y =1;(Ⅱ)设P(x,y),直线PA:y-k 1x-2k 1=0,直线PB:y-k 2x+2k 2=0⇒过A 、M 、B 、N 四点的二次曲线系:3x 2+4y 2-12+λ(y-k 1x-2k 1)(y- k 2x+2k 2)=0⇒(3+λk 1k 2)x 2-λ(k 1+k 2)xy+(4+λ)y 2+2λ(k 2-k 1)y-4λk 1k 2-12=0;该曲线系变为直线AB 与MN ⇒3+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[λ(k 1+k 2)x-(4+λ)y-2λ(k 2-k 1)]=0⇒直线MN:λ(k 1+k 2)x-(4+λ)y-2λ(k 2-k 1)=0;由直线MN 过点(1,0)⇒k 1+ k 2=2(k 2-k 1)⇒2+x y +2-x y =2(2-x y -2+x y)⇒x=4⇒点P 在定直线x=4上. 例8:双曲线合成的二次曲线分解为直线.[始源问题]:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0), y PD 在双曲线x 2-y 2=1的左支上,D ≠A,直线CD 交双曲线x 2-y 2=1的右支于点E,求证:直线 AD 与BE 的交点P 在直线x=21上. A B C x [解析]:设P(x 0,y 0),直线AD:y-k 1x-k 1=0,直线BE:y-k 2x+k 2=0,过A,B,E,D 四点的曲 D线系:x 2-y 2-1+λ(y-k 1x-k 1)(y-k 2x+k 2)=0⇒(1+λk 1k 2)x 2+(λ-1)y 2-λ(k 1+k 2)xy-λ(k 1-k 2)y-λk 1k 2-1=0,该曲线变为直线AB与CD ⇒1+λk 1k 2=0⇒直线CD:(λ-1)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)=0,由直线CD 过点C(2,0)⇒3k 1+k 2=0,⎩⎨⎧-=+=)1()1(21x k y x k y ⇒x=21.[原创问题]:已知双曲线C:22ax -22by =1(a>0,b>0)的离心率e=35,实轴的左、右端点分别为A(-3,0)、B(3,0). (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ky+3与双曲线C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.[解析]:(Ⅰ)由a=3,e=a c =35⇒c=5⇒b=4⇒双曲线C:92x -162y =1;(Ⅱ)设P(x,y),直线PA:y-k 1x-3k 1=0,直线PB:y-k 2x+3k 2=0⇒过A 、M 、B 、N 四点的二次曲线系:16x 2-9y 2-144+λ(y-k 1x-3k 1)(y -k 2x+3k 2)=0⇒(16+λk 1k 2)x 2-λ(k 1+k 2)xy+(λ-9)y 2+3λ(k 2-k 1)y-9λk 1k 2-144=0;该曲线系变为直线AB 与MN ⇒3+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[λ(k 1+k 2)x-(λ-9)y-3λ(k 2-k 1)]=0⇒直线MN:λ(k 1+k 2)x-(λ-9)y-3λ(k 2-k 1)=0;由直线MN 过点(3,0)⇒ k 1+k 2=k 2-k 1⇒3+x y +3-x y =3-x y -3+x y⇒x=3⇒点P 在定直线x=3上.。
第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)
第20讲曲线系及其应用知识与方法1.曲线系与曲线系方程的概念曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示. 曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,x,y x,y这样的方程叫曲线系方程.2.过两曲线交点的曲线系若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为C1:f1(x,y)=0C2:f2(x,y)=0（不包括或者.f1(x,y)+λf2(x,y)=0f2(x,y)=0）λf1(x,y)+μf2(x,y)=03.一次曲线系（直线系)具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程. 下面是几种常见的直线系方程:(1)过已知点的直线系方程或(为参数）;P(x0,y0)y−y0=k(x−x0)x=x0(2)斜率为的直线系方程：是参数）;k y=kx+b（b(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Ax+By+λ=0（λ(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Bx−Ay+λ=0(λ(5)过直线与的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0为参数）（不包括直线）A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ l24.二次曲线系圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式. 二次曲线系的一般形式为:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0两条直线所组成的二次曲线方程为:(Ax+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=01熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:定理给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们可以进一步得到一些重要结论. 为简单起见,以下将两直线的并体记作l1,l2,那么可以理解为一条退化的二次曲线,其方程简记为.l1⋅l2l1⋅l2l1(x,y)⋅l2(x,y)=0推论1如果两条直线的方程为,分别记为,即A i x+B i y+C i=0(i=1,2)l i(x,y)(i=1,2),它们与一条二次曲线有交点,那么曲线系l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0F(x,y)=0λF(x,y)+μl1(x,y)⋅l2(x,y)=0经过这些交点.如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含有所有过此四点的二次曲线.由推论可知:若二次曲线的方程为: ,则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(1)已知四边形四条边的方程为l i:A i x+B i y+C i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线方程为.l1(x,y)l3(x,y)+λl2(x,y)l4(x,y)=0(2)过两直线与一条二次曲线的四个交点的二次曲线系的方程为l1,l2f(x,y)=0f(x,y)+λl1(x,y)l2(x,y)=0(3)与两条已知直线分别切于点的二次曲线系方程为, 其中l1,l2M1,M2l1(x,y)l2(x,y)+λl23(x,y)=0l3(x,是直线的方程.y)M1M2推论为不共线的三点,直线的方程为2P i(i=1,2,3)P i P i+1(i=1,2,3,P4=P1)l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0，则曲线系:λl1(x,y)⋅l2(x,y)+λ2l2(x,y)⋅l3(x,y)+λ3l3(x,y)⋅l1(x,y)=01表示所有过三点的二次曲线.P1,P2,P3典型例题类型利用曲线系求曲线方程1:【例1】已知椭圆与两直线C:x2+2y2=4l1:x+y−1=0,l2:2x−2y+1=0,各有两个交点,求过此四个交点及点的二次曲线.(−1,1)【答案】.5x2+4y2−x+3y−13=0【解析】显然四个交点不共线,可设所求曲线方程为,λ(x2+2y2−4)+(x+y−1)(2x−2y+1)=0将点的坐标代人方程,即得.故所求椭圆方程为.(−1,1)λ=35x2+4y2−x+3y−13=0【注】利用曲线系求曲线方程的步䐂:(1)设出曲线系方程;(2)根据条件求出参数;(3)回代即得所求方程.类型2：圆系问题【例2】求经过两圆和的交点,并且圆心在直线x2+y2+6x−4=0x2+y2+6y−28=0x−y−4=0的圆的方程.【答案】.x2+y2−x+7y−32=0【解析】设所求圆的方程为,x2+y2+6x−4+λ(x2+y2+6y−28)=0化简得 ，(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy−(28λ+4)=0因为圆心在直线 上,所以 ,(−31+λ,−3λ1+λ)x−y−4=0−31+λ+−3λ1+λ−4=0解得,即得所求圆的方程为.λ=−7x 2+y 2−x +7y−32=0【例3】三边所在直线方程为: ,求的外接圆的方程. △ABC x−2y−5=0,3x−y =0,x +y−8=0△ABC 【答案】x 2+y 2−4x−2y−20=0【解析】外接圆方程可写为△ABC (x−2y−5)⋅(3x−y )+λ1(3x−y )(x +y−8)+λ2(x +y−8)(x−2y−5)=0即(3λ1+λ2+3)x 2+(2λ1−λ2−7)xy +(−λ1−2λ2+2)y 2+(−24λ1−13λ2−15)x+(8λ1+11λ2+5)y +40λ2=0于是,解得:,将它们代入，{2λ1−λ2−7=03λ1+λ2+3=−λ1−2λ2+2λ1=2,λ2=−3即得外接圆方程为 .△ABC x 2+y 2−4x−2y−20=0【例4】椭圆与直线 交于两点,点的坐标为.求过x 2+2y 2−2=0x +2y−1=0B ,C A (2,2)A ,B ,C 三点的圆的方程.【答案】6x 2+6y 2−9x−14y−2=0【解析】我们可以先求出B ,C点的坐标,利用推论2求解,不过这里可从另一个角度思考问题,二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2过两点,但十分明显地不包含过的所有曲线,过y−1)=0B ,C B ,C B ,C 的圆就不在其中.不过我们可以“就势”一变,再构造二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2y−1)(x−2y +m )=0(∗)这就包含了过的圆了.展开,得B ,C (λ+μ)x 2+(2λ−4μ)y 2+μ(m−1)x +2μ(m +1)y−mμ−2λ=0令,并取,即得.λ+μ=2λ−4μμ=1λ=5代入得.(∗)6x 2+6y 2+(m−1)x +2(m +1)y−m−10=0将点坐标代人,得,代人得所求圆的方程为.A m =−86x 2+6y 2−9x−14y−2=0【注】这里添加直线,原因是过三点的圆是唯一的,且缺项.x−2y +m =0A ,B ,C xy【例5】四条直线围成一个四边形,问l 1:x +3y−15=0,l 2:kx−y−6=0,l 3:x +5y =0,l 4:y =0k取何值时, 此四边形有个外接圆,并求此外接圆的方程.【答案】.x 2+y 2−15x−159y =0【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系的方程为.(x +3y−15)(x +5y )+λ(kx−y−6)y =0整理得, 方程表示圆, 则 解得()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++---+=151,80.k λλ-=+=, 故此四边形外接圆的方程为.414,7k λ==-22151590x y x y +--=【例6】 设过坐标原点的直线与拋物线交于两点, 且以l ()2:41C y x =-,A B AB 为直径的圆恰好经过拋物线的焦点, 求直线的方程.C F l【答案】.y =【解析】设直线的方程为, 构造过的二次曲线系l y kx =,A B ,()()()2410y x kx y kx y m λ--+-++=即,①()()2221440k x y mk x my λλλλ+-+--+=令得，代入①即得过两点的圆的方程是21k λλ=-211k λ=+,A B 222222224401111k k mk m x y x y k k k k ⎛⎫++--+= ⎪++++⎝⎭因点在圆上，于是有()2,0F 2224244011k mk k k ⎛⎫+-+= ⎪++⎝⎭又以为直径的圆的圆心在直线上, AB y kx =22411m mk k k k ⎛⎫∴=-- ⎪++⎝⎭由上两式消去, 解得故所求的直线的方程是m k =l y x =【例7】 已知直线与双曲线相交于两点, 当为何值时, 以10mx y -+=2231x y -=,A B m AB为直径的圆经过原点.【答案】 .1m =±【解析】构造二次曲线系: ,()()223110x y mx y mx y n λ--+-+++=即()()()()222311110m x y m n x n y n λλλλλ+-++++-+-=，令得，又圆经过原点，代入得，于是方程可表示为()231m λλ+=-+241m λ-=+1n λ=222253m x y mx y m ++-+=-又圆心在直线上，故()225,223m m m ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭10mx y -+=()22510223m m m m ⎡⎤+⎢⎥⋅--+=-⎢⎥⎣⎦化简整理得 故.410m -=，1m =±易知当时, 直线与双曲线相交, 所以当时, 以为直径的圆经过原点.1m =±1m =±AB 类型3: 利用曲线系求解切线问题【例8】 已知圆的方程为, 求经过圆上一点的切线方程.222x y r +=()00,M x y 【答案】 .200x x y y r +=【解析】视圆上的点为点圆,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=设所求圆方程为: ,()()()22222000x x y y x y r λ-+-++-=令, 得, 故切线方程为.1λ=-22220000222x x y y x y r r +=++=200x x y y r +=【注】在二次曲线系的应用中，“点圆”, “点椭圆”可助一臂之カ.本题中, 将点看成“二次曲线": ,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=即为“点圆”. 用类似的解法可得:(1)过圆上一点的切线方程为222()()x a y b r -+-=()00,M x y ()()()()200;x a x a y b y b r --+--=(2) 过椭圆上一点的切线方程为22221(0)x y a b a b +=>>()00,M x y 2200221;x y a b +=(3)过双曲线上一点的切线方程为；22221(0,0)x y a b a b -=>>()00,M x y 2200221x y a b-=(4)过抛物线上一点的切线方程为.22(0)y px p =>()00,M x y ()00y y p x x =+【例9】 求经过点且与圆相切于点的圆的方程.()4,1A -22(1)(3)5x y ++-=()1,2B 【答案】 .226250x y x y +--+=【解析】将切点视为点圆, 设所求圆的方程为:()1,2B 22(1)(2)0x y -+-=()2222(1)(2)2650x y x y x y λ⎡⎤-+-+++-+=⎣⎦将点坐标代入, 可得, 代入整理, 得所求方程为.A 12λ=-226250x y x y +--+=【例10】 求与拋物线相切于两点, 且过点的圆锥曲线方程.259y x =+()()0,3,1,2P Q --()2,1A -【答案】 .2225103117562970x xy y x y --+-+=【解析】过 和 两切点的直线方程是,()0,3P ()1,2Q --530x y -+=设所求的曲线方程是()2259(53)0, *y x x y λ--+-+=因曲线过点, 代人上式得.()2,1A -132λ=-再代入, 化简整理得所求的圆锥曲线方程是.()*2225103117562970x xy y x y --+-+=【注】运用此种解法比其他解法解决这类问题要简单得多，但切勿忘记将切点弦方程加上平方.类型4: 利用曲线系求解圆锥曲线上的四点共圆问题【例11】 已知为坐标原点, 为椭圆在轴正半轴上的焦点,O F 22:12y C x +=y过且斜率为的直线与交于两点, 点满足.F l C ,A B P 0OA OB OP ++=(1) 证明：点在上;P C (2) 设点关于点的对称点为, 证明： 四点在同一圆上.P O Q ,,,A P B Q 【答案】（1）见解析; (2) 见解析.【解析】 (1) 设, 直线, 与联立得,()()1122,,,A x y B x y :1l y =+2212y x +=2410x --=所以121214x x x x +==-由，得0OA OB OP ++=()()()1212,P x x y y -+-+()()())121212121121x x y y x x -+=-+=-+++=+-=-因为, 所以点在上.22(1)12⎛-+= ⎝P C (2) 解法 1:()()()2112224tan 11131PA PBPA PBx x k k APB y y k k ∠ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----++同理()214tan 13QB QA QA QBk k x x AQB k k ∠---====-+所以互补, 因此四点在同一圆上.,APB AQB ∠∠,,,A P B Q 解法 2:由和题设知, 的垂直平分线的方程为1P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,Q PQ ⎫⎪⎪⎭1l ()1yx =⋯设的中点为, 则的垂直平分线的方程为 (2)AB M 1,2M AB ⎫⎪⎪⎭2l 14y=+⋯由(1)(2)得的交点为,12,l l 18N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1NP x ==-=AM ===所以,NA NP NB NQ ===故四点在以为圆心的同一圆上.,,,A PB Q N 解法 3:由(1)得, 直线.1,P Q ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭PQ 0y -=又直线的方程为AB 1y =+10y +-=故两直线的二次方程为,AB PQ )10y y +--=由此可设过点的曲线系方程为,,,A P B Q①)()221220y y xy λ+--++-=即②()()2222120x y y λλλ++--+-=我们让②式表示圆, 则, 得 .221λλ+=-3λ=-代入①式化简得,224460x y y +--=即, 显然此方程表示一个圆, 故四点在同一圆上.22199864x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝,,,A P B Q【例12】 若两条直线与圆锥曲线有四个交点, ()1,2i i y k x b i =+=()220ax by cx dy c a b ++++=≠则四个交点共圆的充要条件是.120k k +=【答案】见解析【证明】两直线组成的曲线方程为, 则过四个交点的曲线方程可设为()()11220k x y b k x y b -+-+=()()()2211220k x y b k x y b ax by cx dy e λ-+-++++++=必要性：若四点共圆, 则方程(1)表示圆, 那么(1)式左边展开式中项的系数为零, 即有xy .120k k +=充分性：当时，令(1)式左边展开式中项的系数相等, 得, 120k k +=22,x y 121k k a b λλ+=+联立解得, 将其代入(1)式, 整理得21211, k k k a bλ+=-=-220x y c x d y e ++++''='由题设知四个交点在方程(2)所表示的曲线上，显然方程(2)表示圆, 即四个交点共圆.【注】本题表明：圆锥曲线的内接四边形ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.【例13】 设直线 与椭圆 交于 两点, 过 两点的圆与:43l y x =-22:12516x y E +=,A B ,A B E 交于另两点 , 则直线 的斜率为（ ,C D CD ）A. B. C.D. -414-2-14【答案】D【解析】设 , 所以, 则过:0CD l ax by c ++=()():430AB CD l l ax by c x y ⋃++--=,,,A B C D四点的曲线系为 .()()22:14302516x y C ax by c x y λ+-+++--=表示圆, 则系数相等, 且无项. 化简得C 22,x y xy 114251640a b b a λλλλ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解得 4.CD a k b=-=-【注】由例 12 结论可知：四点共圆.,,,A B C D 04CD AB CD k k k ⇔+=⇒=-【例14】 已知拋物线的焦点为, 直线与轴的交点为,2:2(0)C y px p =>F 4y =y P 与的交点为, 且.C Q 54QF PQ =(1) 求抛物线的方程;C (2) 过的直线与相交于两点, 若的垂直平分线与相交于两点, 且F l C ,A B AB l 'C ,M N ,,,A M B N四点在同一个圆上, 求直线的方程.l【答案】（1） (2)或.24; y x =10x y --=10x y +-=【解析】 (1) 设, 代入中得, 所以,()0,4Q x 22(0)y px p =>08x p =088,22p p PQ QF x p p==+=+依题意得, 解得或 （舍去)，故拋物线的方程为.85824p p p+=⨯2p =2p =-C 24y x =(2) 依题意知与坐标轴不垂直, 故可设的方程为.l l ()10x my m =+≠代入得. 设,24y x =2440y my --=()()1122,,,A x y B x y 则, 故的中点为.12124,4y y y y +==-AB ()221,2D m m +又的斜率为, 所以的方程为,l 'm -l '2123x y m m=-++由直线的方程及拋物线方程, 可设过四点的曲线系方程为:,l l ',,,A M B N ()()22112340x my x y m y x m λ⎛⎫--+--+-= ⎪⎝⎭()()2223211122223230x y m xy m x m m y m m m λλ⎛⎫⎛⎫+----++++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为四点共圆, 所以, 从而.,,,A M B N 111,0m mλ-=-=2,1m λ==±当时，化简式得，1m =()*2214450x y x y +-++=即, 此时直线的方程为:;22(7)(2)48x y -++=l 10x y --=当时，化简式得, 即1m =-()*2214450x y x y +--+=22(7)(2)48x y -+-=此时直线的方程为：, 所求直线的方程为：或.l 10x y +-=l 10x y --=10x y +-=【例15】 设, 过两定点, 分别引直线和, 使与拋物线0b a >>()(),0,,0A a B b l m 2y x =有四个不同的交点, 当这四点共圆时, 求和的交点的轨迹.l m P 【答案】点的轨迹是直线 (除去与和三个交点）.P 2a bx +=0y =2y x =【解析】设, 则:,()00,P x y ()()0000:,:y yPA y x a PB y x b x a x b=-=---将两直线合并为二次曲线: ，,PA PB ()()00000y yy x a y x b x a x b ⎡⎤⎡⎤--⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦又抛物线方程为,20y x -=则过四个点的二次曲线系方程为()()()200000y yy x a y x b y x x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为四个交点共圆, 则方程（*）表示圆, 四点必满足方程:(为常数)()()222110x x y y r -+--=11,,x y r 于是:()()()()()2222001100y y y x a y x b y x x x y y r x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对比两侧项的系数, 可得, 所以,xy 00000y y x a x b λ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭()02a b x +=即点的轨迹是直线(除去与和的三个交点）. P 2a bx +=0y =2y x =【注】本题借助曲线系方程,巧妙利用“四点共圆”的已知条件，成功避开了求交点的繁杂过程. 需 要注意的是,在对比系数时, 不必找出所有项的系数, 我们只要找出其中最好用的即可. 本例中, 由于圆 方程的特点：没有项, 即项系数为0 , 故对比项的系数即可得到结果.xy xy xy 类型5: 利用曲线系求解定点定值问题【例16】 已知椭圆中有一内接, 且(如图), 求证, 直线22126x y +=,60PAB XOP ∠= 0PA PB k k +=AB方向一定.【答案】见解析【解析】点的坐标为, 过点, 将点视作二重点P (P 0y +-=P ,于是直线的方程依次是:,P P ,,,PA PB PPAB ()()1100y k x y k x y px qy r -=--=--++=++=过四点的椭圆方程可写为,,,A P P B①()][()()110y k x y k x y px qy r λμ⎡⎤--⋅--+++⋅++=⎣⎦与椭圆方程②22126x y +=代表同一条二次曲线, 故比较①②中项系数, 可得：, 即为所求.xy pq-=【例17】 已知为椭圆 的左右顶点, 在直线 上任取一点, 连接,A B 22221(0)x y a b a b+=>>:l x m =P , 分别与椭圆交于, 连交轴于点, 求证: .PA PB ,C D ,CD CD x (),0Q n 2mn a =【答案】见解析【解析】设, 则,(),P m t ()():0:0:0:0PA tx m a y at PB tx m a y at AB y CD kx y kn ⎧-++=⎪---=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线得,PA PB 222210x y a b+-=,AB CD ()()()()()22221x y tx m a y at tx m a y at kx y kn y a b λμ⎛⎫⎡⎤+-+-++---=-- ⎪⎣⎦⎝⎭比较的系数得, 即xy ()()()k t m a t m a μ=---+2k tmμ=-比较的系数得, 即y ()()()kn at m a at m a μ-=--++22kn ta μ-=所以.2mn a =【例18】 已知椭圆, 四点2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()1231,1,0,1,1,P P P -中恰有三点在椭圆上.C (1) 求的方程;C (2) 设直线不经过点, 且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为, 证明:l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-过定点.l 【答案】（1） (2)见解析.221;4x y +=【解析】 (1) (过程略)221;4x y +=(2)设斜率分别为，其中22,P A P B 12,k k 121k k +=-则2122:10,:10P A k x y P B k x y -+=-+=将两直线方程合并为：()()12110 k x y k x y -+-+=联立方程组，（此方程组的解为三点的坐标）()()122211044k x y k x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩2,,P A B 整理得()()()2212212121(1)0411k k x y x y k k x k k y y ⎧+-+-=⎪⎨-=+-⎪⎩进而()()()2121(1)411y x y k k y y -+-=+-所以或（即点或）1y =()()12141x y k k y +-=+2P AB l 故直线的方程为：, 显然恒过定点.l ()()12141x y k k y +-=+l ()2,1-【例19】已知分别为椭圆的左、右顶点, 为的上顶点,A B 、222:1(1)x E y a a+=>G E 为直线上的动点,与的另一交点为与的另一交点为.8,AG GB P ⋅=6x =PA E ,C EB E D (1) 求的方程; (2) 证明：直线过定点.E CD 【答案】 (1) (2) 见解析221;9x y +=【解析】 (1) （过程略）2219x y +=(2) 设, 则()6,P t :930:330:0:0PA tx y t PB tx y t AB y CD x my n -+=⎧⎪--=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线,,PA PB 22990x y +-=,AB CD 得()()()()22999333x y bx y t tx y t y x my n λμ+-+-+--=--⎡⎤⎣⎦，比较的系数得;xy 121t μ-=比较的系数得, 所以.y 18t n μ=-32n =直线的方程为, 显然直线过定点.CD 32x my =+CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【例20】 已知椭圆和定点 过点2222:1(0)x y E a b a b+=>>()(),0,,0, (,0).M m N n a m n a m n -<<<⋅≠M作直线交椭圆于点, 直线分别交椭圆于另一个点. 设直线和E ,A B ,AN BN E ,P Q AB PQ的斜率为 证明:21,.k k (1) 直线经过定点;PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭(2) 为定值.2212222k a n k a mn n -=-+【答案】见解析.【解析】证明：如图, 设直线, 即()():,:A B AP y k x n BQ y k x n =-=-0A A k x y k n --=.则下面的曲线系方程表示经过点四点的曲线:0B B k x y k n --=,,,A B P Q ()()222210A AB B x y k x y k n k x y k n a b λ⎛⎫----++-= ⎪⎝⎭展开此方程得()()()222Λ22120A B A B A B B A B k k x y k k xy k k n x k k n y k k n a b λλλ⎛⎫⎛⎫++++--+-++⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即①()2222222222011111A B A B A b A B A B k k k k n k k n k k k k n a x y xy x y b b b b bλλλλλλλ++----⋅++⋅+⋅+⋅+=+++++取特殊的, 使该方程表示为直线和组合体对应的曲线方程λ()1:AB y k x m =-2:PQ y k x t =+，展开此方程得()()1120k x y mk k x y t ---+=②()()()()2212121121102k k x y k k xy k t k k m x t k m y k mt ⋅++--+-+-+-=由此存在实数, 使得方程①和方程②为同一个方程, 对照和项系数得,λxy y 112t k mn k k -+-=--即()12t k m n n k =--⋅由此知直线,()212:PQ y k x k m n n k =+--⋅其与轴的交点为.x ()212,0n k k m n E k ⋅--⎛⎫⎪⎝⎭设直线的交点为, 点在椭圆关于点的极线上，,AB PQ T T 2222:1(0)x y E a b a b +=>>(),0N n 2:a l x n=设极线与轴的交点为. 由此得l x 2,0a K n ⎛⎫⎪⎝⎭()()22211122222n k k m n k a a n m n k n k n k KN a a k KMm m n n⋅----+-⋅===--解得2212222k a n k a mn n -=-+故此时的方程为，PQ ()()22222222an m n y k x k n k a mn n --=+⋅-⋅-+即()22222222a m n mn y k x k a mn n -+=+⋅-+从而直线经过定点.PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭类型6: 证明圆锥曲线内接四边形的性质【例21】 试证明, 椭圆的内接矩形的两相邻边分别与椭圆的长短轴平行.【答案】见解析【解析】建立坐标系, 设矩形各边：,(), 1,2i i y k x h i ===则椭圆方程可写为,()()()()12120y k y k x h x h λμ--+--=显然,项系数为0, 故得证.xy。
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自然电位（SP）曲线。
地层对比，了解地层的物性，了解储集层的泥质含量。
2、组合测井曲线（横向测井）含油气层（目的层）井段的详细测井项目。
双侧向测井（三侧向测井）曲线。
深双侧向测井曲线，测量地层的真电组率（RT），试双侧向测井曲线，测量地层的侵入带电阻率（RS）。
0． 5m电位曲线。
测量地层的侵入带电阻率。
0.45m底部梯率曲线，测量地层的侵入带电阻率，主要做为井壁取蕊的深度跟踪曲线。
补偿声波测井曲线。
测量声波在地层中的传输速度。
测时是声波时差曲线（AC）自然电位（SP）曲线。
井径曲线（CALP）。
测量实际井眼的井径值。
微电极测井曲线。
微梯度（RML），微电位（RMN），了解地层的渗透性。
感应测井曲线。
由深双侧向曲线计算平滑画出。
[L/RD]*1000=COND。
地层对比用。
3、套管井测井曲线自然伽玛测井曲线（GR）。
划分储集层，了解泥质含量，划分岩性。
中子伽玛测井曲线（NGR）划分储集层，了解岩性粗细，确定气层。
校正套管节箍的深度。
套管节箍曲线。
确定射孔的深度。
固井质量检查（声波幅度测井曲线）二、3700测井系列1、组合测井双侧向测井曲线。
深双侧向测井曲线，反映地层的真电阻率（RD）。
浅双侧向测井曲线，反映侵入带电阻率（RS）。
微侧向测井曲线。
反映冲洗带电阻率（RX0）。
补偿声波测井曲线（AC），测量地层的声波传播速度，单位长度地层价质声波传播所需的时间（MS/M）。
反映地层的致密程度。
补偿密度测井曲线（DEN），测量地层的体积密度（g/cm3），反映地层的总孔隙度。
补偿中子测井曲线（CN）。
测量地层的含氢量，反映地层的含氢指数（地层的孔隙度%）自然电位曲线（SP）自然伽玛测蟛曲线（GR），测量地层的天然放射性总量。
划分岩性，反映泥质含量多少。
井径测井曲线，测量井眼直径，反映实际井径大砂眼（CM）。
高数中的曲线与曲面积分理论分析
高数中的曲线与曲面积分理论分析曲线和曲面积分是高等数学中重要的概念和工具，用于计算曲线和曲面上的物理量。
在本文中，我们将对曲线与曲面积分的理论进行分析，并讨论它们的应用。
首先，让我们从曲线积分开始讲解。
曲线积分是用于计算曲线上的物理量的工具。
对于参数曲线C：{r(t) | a≤t≤b}，其中r(t)是曲线上的点的位置矢量函数，我们可以定义曲线积分为：∫[C]f(x,y,z)ds = ∫ab f(r(t))|r'(t)|dt其中f(x,y,z)是定义在曲线上的函数，ds是曲线微元长度，r'(t)是参数曲线的导数向量。
曲线积分具有重要的几何意义。
它可以用来计算沿曲线的弧长、曲线上的向量场的通量和曲线上的标量场的平均值等。
曲线积分还可以应用在物理学和工程学的许多领域，例如计算曲线上的质量、电荷、电流等。
接下来，我们将讨论曲面积分的理论。
曲面积分是用于计算曲面上的物理量的工具。
对于参数曲面S：{r(u,v) | (u,v)∈D}，其中r(u,v)是曲面上的点的位置矢量函数，D表示参数域，我们可以定义曲面积分为：∬[S]f(x,y,z)dS = ∬D f(r(u,v))|r_u×r_v|dudv其中f(x,y,z)是定义在曲面上的函数，dS是曲面微元面积，r_u和r_v是参数曲面的偏导数向量，并且r_u×r_v表示曲面的法向量。
曲面积分也具有重要的几何意义。
它可以用来计算曲面的面积、曲面上的向量场的通量和曲面上的标量场的平均值等。
曲面积分在物理学和工程学中也有广泛的应用，例如计算流体力学中的流量、电场和磁场的通量等。
在实际应用中，曲线和曲面积分通常需要进行参数化。
参数化是将曲线或曲面上的点表示为参数的函数，以便进行计算和分析。
对于曲线，常用的参数化方法有向量参数化和标量参数化；对于曲面，常用的参数化方法有二重积分方法和参数方程方法。
根据不同的问题和情况，选择合适的参数化方法非常重要。
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第21讲:曲线系理论及其应用 173第21讲:曲线系理论及其应用在一个关于x,y 的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,赋于这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.利用曲线系解题,体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略,以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体,能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的曲线系. 定理1:过曲线C 1:f 1(x,y)=0与C 2:f 2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0.定理2:设二次曲线C:ax 2+cy 2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax 2+cy 2+dx+ey+f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ=22n m a c +-,t 为任意实数.定理3:过圆M:x 2+y 2+2dx+2ey+f=0外一点P(x 0,y 0)作圆M 的两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,则双切线PA 与PB 构成的曲线方程为:(x 02+y 02+2dx 0+2ey 0+f)(x 2+y 2+2dx+2ey+f)-[x 0x+y 0y+d(x+x 0)+e(y+y 0)+f]2=0,即包含切线PA:a 1x+b 1y+c=0与PB: a 2x+b 2y+c 2=0的方程.定理4:设二次曲线C:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0与直线l 1:m 1x+n 1y+p 1=0,l 2:m 2x+n 2y+p 2=0都有公共点,则过这些公共点的二次曲线系方程为:(ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f)+λ(m 1x+n 1y+p 1)(m 2x+n 2y+p 2)=0.例1:过曲线交点的直线系.[始源问题]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方程.[解析]:由过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的曲线系:(2x 2-2x-1-y)+λ(-5x 2+2x+3-y)=0,即(2-5λ)x 2+2(λ-1)x-(λ+1)y+3λ-1=0;令2-5λ=0⇒λ=52⇒曲线系:6x+7y-1=0⇒过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方程:6x+7y-1=0.[原创问题]:已知抛物线C 1:y=2x 2+3x-3,C 2:y=-5x 2+tx+421-t.(Ⅰ)求证:过抛物线C 1与C 2两交点的直线l 过定点A; (Ⅱ)过点A 作斜率互为相反数的两直线与椭圆C:42x +32y =1分别交于异于点A 的点M 、N,求证:直线MN 的斜率为定值. [解析]:(Ⅰ)由y=2x 2+3x-3⇒5y=10x 2+15x-15…①;由y=-5x 2+tx+421-t ⇒2y=-10x 2+2tx+221-2t …②;由①+②得:7y=15x+2tx-29-2t ⇒2(x-1)t=7y-15x+29⇒直线l 过定点A(1,23); (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线MN:y=kx+t;由⎩⎨⎧=++=124322y x t kx y ⇒(3+4k 2)x 2+8ktx+4t 2-12=0⇒x 1+x 2=-2438k kt +,x 1x 2=2243124k t +-; 由k AM +k AN =0⇒12311--x y +12322--x y =0⇒12311--+x t kx +12322--+x t kx =0⇒2kx 1x 2+(t-23-k)(x 1+x 2)-(2t-3)=0⇒2243)3(8k t k +--(t-23-k)2438k kt +-(2t-3)=0⇒8k(t 2-3)-8kt(t-23-k)-(2t-3)(3+4k 2)=0⇒6(2k-1)t+12k 2-24k+9=0⇒6(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0 ⇒k=21为定值. 例2:过曲线交点的圆系.174 第21讲:曲线系理论及其应用 [始源问题]:(2001年新课程高考试题)设0<θ<2π,曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1有4不同的交点.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)证明:这4交点共圆,求圆半径的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ⇒x 2=sin θ+cos θ,y 2=cos θ-sin θ>0⇒tan θ<1⇒θ∈(0,4π)⇒θ的取值范围是(0,4π);(Ⅱ)由过曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1交点的曲线系:(x 2sin θ+y 2cos θ-1)+λ(x 2cos θ-y 2sin θ-1)=0,即(sin θ+λcos θ)x 2+(cos θ-λsin θ)y 2=1+λ;令sin θ+λcos θ=cos θ-λsin θ得:λ=θθθθcos sin sin cos +-⇒曲线系:x 2+y 2=2cos θ为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=θcos 2,由θ∈(0,4π)⇒r=θcos 2∈(42,2).[原创问题]:设抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-215x+c 有4不同的交点.(Ⅰ)求c 的取值范围;(Ⅱ)证明:这4交点共圆,并求圆半径的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧+-==c x x y x y 215422⇒y 4-30y 2-16y+16c=0;令f(t)=t 4-30t 2-16t+16c,则f '(t)=4(t 3-15t-4)=4(t-4)(t 2+4t+1)= 4(t-4)(t+2+3)(t+2-3)⇒f(t)的极大值=f(-2+3)(t 2+4t+1=0⇒t 2=-4t-1)=16c+483-81>0⇒c>161(81-483); f(t)的极小值=f(-2-3)(t 2+4t+1=0⇒t 2=-4t-1)=16c-483-81<0⇒c<161(81+483);f(4)的极小值=16c-16×18<0 ⇒c<18.综上,c ∈(161(81-483),161(81483)); (Ⅱ)由过抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-2x+c 交点的曲线系:(x 2-2x+c-y)+λ(y 2-4x)=0,即x 2+λy 2-2(1+2λ)x-y+c=0;令λ=1⇒曲线系:x 2+y 2-6x-y+c=0为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=2437c -;由c ∈(161(81-483),161(81+483))⇒r ∈(0, 434867+).例3:过两交点的圆系.[始源问题]:(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B.(Ⅰ)求实数k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.[解析]:(Ⅰ)将y=kx+1代入2x 2-y 2=1中并化简整理得:(2-k 2)x 2-2kx-2=0,由已知得此方程有两个不小于22的实根,解得:-2<k<-2⇒k 的取值范围是(-2,-2);(Ⅱ)设过A,B 两点的圆系方程为:2x 2-y 2-1+λ(kx-y+1)(kx+y+t)=0,即(2+λk 2)x 2-(1+λ)y 2+k λ(t+1)x+λ(1-t)y+λt-1=0⇒2+λk 2=-(1+λ)⇒λ=-132+k ⇒圆系方程为:x 2+y 2-22)1(3kt k -+x-22)1(3kt --y-22231kt k -++=0;由于AB 是圆的直径,故圆心()2(2)1(32k t k -+,)2(2)1(32k t --)在直线l 上⇒)2(2)1(322k t k -+-)2(2)1(32k t --+1=0⇒t=-31⇒圆系方程为:x 2+y 2-222k k -x-224k -y-222k k -=0;若此圆过右焦点第21讲:曲线系理论及其应用 175(26,0)⇒23-222k k -⋅26-222k k -=0⇒k=566±-,又因k ∈(-2,-2)⇒k=566--⇒存在以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F,此时直线AB 的斜率k=566--. [原创问题]:已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)的离心率e=36,过点A(0,-b)和B(a.0)的直线与原点的距离为23. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线y=kx+t 与椭圆交于M 、N 两点,证明:对任意的t>0,都存在k,使得以线段MN 为直径的圆过定点.[解析]:(Ⅰ)由直线AB:bx-ay-ab=0⇒22b a ab +=23;又由e=36⇒221a b -=36⇒a 2=3,b 2=1⇒椭圆C:32x +y 2=1; (Ⅱ)设过M 、N 两点的圆系方程为:x 2+3y 2-3+λ(kx-y+t)(kx+y+s)=0,即(1+λk 2)x 2+(3-λ)y 2+k λ(t+s)x+λ(t-s)y+λts-3= 0⇒(1+λk 2)=(3-λ)⇒λ=122+k ⇒圆系方程为:x 2+y 2+13)(22++k s t k x+13)(22+-k s t y+1333222+--k k ts =0;由于MN 是圆的直径,故圆心(-13)(2++k s t k ,-13)(2+-k s t )在直线y=kx+t 上⇒s=2t ⇒圆系方程为:x 2+y 2+1362+k ktx-1322+k t y+13334222+--k k t =0;令y=0得:x 2+1362+k kt x+13334222+--k k t =0⇒3(x 2-1)k 2+6txk+4t 2+x 2-3=0;令x=1得:6tk+4t 2-2⇒k=-tt 3122-⇒对任意的t>0,都存在k=- tt 3122-,使得以线段MN 为直径的圆过定点(1,0). 例4:四点共圆.[始源问题]:(2011年全国高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OC =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2= -2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)(法一)直线l:y=-2x+1,P(-22,-1),Q(22,1),过直线l 与椭圆C 交点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(2x+y-1)(2x- y+t)=0⇒(2+2λ)x 2+(1-λ)y 2+2(t-1)λx+(t+1)λy-t λ-2=0,由该曲线为圆⇒2+2λ=1-λ⇒λ=-31⇒圆的方程为:4x 2+4y 2-2(t-1)x-(t+1)y+t-6=0,若点P(-22,-1)在该圆上⇒t=0⇒圆的方程为:4x 2+4y 2+2x-y-6=0⇒点Q(22,1)在该圆上; (法二)直线l:y=-2x+1,直线PQ:2x-y=0,过直线l 、PQ 与椭圆C 交点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(2x+y-1)(2x-y)=0⇒ (2+2λ)x 2+(1-λ)y 2-2λx+λy-2=0,当λ=-31时,曲线系:4x 2+4y 2+2x-y-6=0为圆⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.[原创问题]:设A,B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C,D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;176 第21讲:曲线系理论及其应用(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D 四点在同一个圆上?并说明理由.[解析]:(Ⅰ)3+9<λ⇒λ>12,直线AB:3x+3y=3+9⇒x+y-4=0;(Ⅱ)过直线AB 、CD 与椭圆C 交点的曲线系:3x 2+y 2-λ+t(x+y-4)(x-y+2)=0⇒(3+t)x 2+(1-t)y 2-2tx+6ty-8t-λ=0曲线系为圆⇒t=-1⇒圆的方程为:2x 2+2y 2+2x-3y+8-λ=0⇒A,B,C,D 四点在同一个圆上.例5:四点共圆的条件.[始源问题]:(1993年全国高中数学联赛试题)设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l 和m,使与抛物线y 2=x有四个不同的交点.当这四个交点共圆时,求直线l 与m 的交点P 的轨迹.[解析]:设P(x 0,y 0),直线l:y-k 1x+k 2a=0,直线m:y-k 2x+k 2b=0,过这四点的曲线系:y 2-x+λ[y-k 1x+k 2a][y-k 2x+k 2b]=0⇒(1+λ)y 2-λ(k 1+k 2)xy+λk 1k 2x 2+λ(k 1a+k 2b)y-[λk 1k 2(a+b)+1]x+λk 1k 2ab=0,该曲线系为圆⇔⎩⎨⎧=+=+212110k k k k λλ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=211211k k k λ,直线l 与m 的交点⎩⎨⎧=+-=+-002221b k x k y a k x k y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200b a k y b a x ⇒P 的轨迹:线段AB 的中垂线x=2b a +,除去直线x=2b a +与y=0,或y 2=x 的三个交点.[原创问题]:已知F 1、F 2分别是椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆C 上的任意一点,且1PF ⋅2PF 的最大值是3,最小值是2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过两点F 1和A(1,1)分别引直线l 和m,使与椭圆C 有四个不同的交点.当这四个交点共圆时,求直线l 与m 的交点Q 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)设P(acos θ,bsin θ),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中a 2=b 2+c 2,则1PF ⋅2PF =P F 1⋅P F 2=(acos θ+c)(acos θ-c)+b 2sin 2θ=a 2cos 2θ-c 2+b 2sin 2θ=a 2(1-sin 2θ)-c 2+b 2sin 2θ=(a 2-c 2)-(a 2-b 2)sin 2θ=b 2-c 2sin 2θ⇒b 2=3,b 2-c 2=2⇒c 2=1⇒a 2=4⇒椭圆C:42x +32y =1;(Ⅱ)设直线l:k 1x-y+k 1=0,直线m:k 2x-y+1-k 2=0,过这四点的曲线系:3x 2+4y 2-12+λ(k 1x-y+k 1)(k 2x-y+1-k 2)=0⇒(3+λk 1k 2) x 2-λ(k 1+k 2)xy+(4+λ)y 2+λk 1x-λ(1+k 1-k 2)y+λk 1(1-k 2)=0;该曲线系为圆⇔3+λk 1k 2=4+λ,λ(k 1+k 2)=0⇔λ=1121-k k ,k 1+k 2=0;此时,由k 1x-y+k 1=0,k 2x-y+1-k 2=0⇒(k 1-k 2)x+(k 1+k 2)-1=0⇒x=121k ⇒y=k 1+21⇒x(y-21)=21. 例6:圆的双切线方程.[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛试题)如图,P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点B,C 在y 轴上,圆(x-1)2+y 2=1内切于△PBC,求△PBC 面积的最小值.[解析]:由抛物线的对称性知,不妨设P(2t 2,2t)(t>0),圆(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0⇒双切线PB 与PC 的方程为:4t 4(x 2+y 2-2x)-[2t 2x+2ty-(x+2t 2)]2=0,令x=0得:4t 4y 2-(2ty-2t 2)2=0(t ≠0)⇒(ty)2=(y-t)2.因为当t=1时,只有切线PB 与y 轴相交;当0<t<1时,圆(x-1)2+y 2=1是△PBC 的旁切圆,所以t>1,且y B =t t +1,y C =t t -1⇒|BC|=|y B -y C |=1222-t t ⇒S △PBC =21|BC||x P | =1224-t t =2[2+(t 2-1)+112-t ]≥8.当且仅当t=2时,等号成立.[原创问题]:设P 是抛物线C 1:x 2=4y 上的点.过点P 做圆C 2:x 2+(y+1)2=1的两条切线,交直线l:y=-1于A,B 两点.(Ⅰ)若抛物线C 1在P 处的切线l 1分别与x 、y 轴交于点M 、N,求证:M 是PN 的中点;(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线l 1平分？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.第21讲:曲线系理论及其应用 177 [解析]:(Ⅰ)设P(2t,t 2),则抛物线C 1在P 处的切线l 1:2tx=2(y+t 2),即y+t 2=tx ⇒M(t,0),N(0,-t 2)⇒M 是PN 的中点;(Ⅱ)圆C 2:x 2+y 2+2y=0⇒双切线PA 与PB 的方程为:(t 4+6t 2)(x 2+y 2+2y)-[2tx+t 2y+y+t 2]2=0;令y=-1得:(t 4+6t 2)(x 2-1)-(2tx- 1)2=0⇒(t 4+2t 2)x 2+4tx-(t 4+6t 2+1)=0⇒x A +x B =-2424tt t +=-tt 243+⇒AB 的中点为(-tt 223+,-1);线段AB 被抛物线C 1在点P处的切线l 1平分⇔点(-tt 223+,-1)在y+t 2=tx 直线上⇔-1+t 2=-222+t ⇔t=0,矛盾.不存在.例7:椭圆合成的二次曲线分解为直线.[始源问题]:(2011年四川高考试题)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交与C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点 (Ⅰ)当|CD|=232时,求直线l 的方程;(Ⅱ)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OQ OP ⋅为定值.[解析]:(Ⅰ)椭圆x 2+22y =1,设直线l:y=kx+1,由⎩⎨⎧=-++=022122y x kx y ⇒(2+k 2)x 2+2kx-1=0⇒|CD|=21k +⋅222122k k ++=232⇒k=±3⇒直线l:y=±3x+1;(Ⅱ)设直线AC:y-k 1x-k 1=0,直线BD:y-k 2x+k 2=0则过A,B,C,D 四点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(y-k 1x-k 1)(y-k 2x+k 2)=0⇒(2+λk 1k 2)x 2+(1+λ)y 2-λ(k 1+k 2)xy-λ(k 1-k 2)y-λk 1k 2-2=0;该曲线系变为直线AB 与CD ⇒2+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[(1+λ)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)]=0⇒直线CD:(1+λ)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)=0⇒x P =2112k k k k +-;又由直线AC:y-k 1x-k 1=0,直线BD:y- k 2x+k 2=0⇒k 1x Q +k 1=k 2x Q -k 2⇒x Q =1221k k k k -+⇒OQ OP ⋅=x P x Q =2112k k k k +-⋅1221k k k k -+=1. [原创问题]:已知椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的离心率e=21,长轴的左、右端点分别为A(-2,0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ky+1与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.[解析]:(Ⅰ)由e=221a b -=21⇒22ab =43;又由a=2⇒b 2=3⇒椭圆C:42x +32y =1;(Ⅱ)设P(x,y),直线PA:y-k 1x-2k 1=0,直线PB:y-k 2x+2k 2=0⇒过A 、M 、B 、N 四点的二次曲线系:3x 2+4y 2-12+λ(y-k 1x-2k 1)(y- k 2x+2k 2)=0⇒(3+λk 1k 2)x 2-λ(k 1+k 2)xy+(4+λ)y 2+2λ(k 2-k 1)y-4λk 1k 2-12=0;该曲线系变为直线AB 与MN ⇒3+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[λ(k 1+k 2)x-(4+λ)y-2λ(k 2-k 1)]=0⇒直线MN:λ(k 1+k 2)x-(4+λ)y-2λ(k 2-k 1)=0;由直线MN 过点(1,0)⇒k 1+ k 2=2(k 2-k 1)⇒2+x y +2-x y =2(2-x y -2+x y)⇒x=4⇒点P 在定直线x=4上. 例8:双曲线合成的二次曲线分解为直线.[始源问题]:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点D 在双曲线x 2-y 2=1的左支上,D ≠A,直线CD 交双曲线x 2-y 2=1的右支于点E,求证:直线 AD 与BE 的交点P 在直线x=21上[解析]:设P(x 0,y 0),直线AD:y-k 1x-k 1=0,直线BE:y-k 2x+k 2=0,过A,B,E,D 四点的曲 D线系:x 2-y 2-1+λ(y-k 1x-k 1)(y-k 2x+k 2)=0⇒(1+λk 1k 2)x 2+(λ-1)y 2-λ(k 1+k 2)xy-λ(k 1-k 2)y-λk 1k 2-1=0,该曲线变为直线AB178 第21讲:曲线系理论及其应用与CD ⇒1+λk 1k 2=0⇒直线CD:(λ-1)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)=0,由直线CD 过点C(2,0)⇒3k 1+k 2=0,⎩⎨⎧-=+=)1()1(21x k y x k y ⇒x=21.[原创问题]:已知双曲线C:22a x -22b y =1(a>0,b>0)的离心率e=35,实轴的左、右端点分别为A(-3,0)、B(3,0). (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ky+3与双曲线C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.[解析]:(Ⅰ)由a=3,e=ac =35⇒c=5⇒b=4⇒双曲线C:92x -162y =1;(Ⅱ)设P(x,y),直线PA:y-k 1x-3k 1=0,直线PB:y-k 2x+3k 2=0⇒过A 、M 、B 、N 四点的二次曲线系:16x 2-9y 2-144+λ(y-k 1x-3k 1)(y -k 2x+3k 2)=0⇒(16+λk 1k 2)x 2-λ(k 1+k 2)xy+(λ-9)y 2+3λ(k 2-k 1)y-9λk 1k 2-144=0;该曲线系变为直线AB 与MN ⇒3+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[λ(k 1+k 2)x-(λ-9)y-3λ(k 2-k 1)]=0⇒直线MN:λ(k 1+k 2)x-(λ-9)y-3λ(k 2-k 1)=0;由直线MN 过点(3,0)⇒ k 1+k 2=k 2-k 1⇒3+x y +3-x y =3-x y -3+x y⇒x=3⇒点P 在定直线x=3上.。