几何体的切接球
如何求解立体几何形的内切球和外接球
如何求解立体几何形的内切球和外接球立体几何形的内切球和外接球是数学和几何学中常见的概念。
内切球是指一个球体正好与该立体几何形相切于内部的球，而外接球则是指一个球体正好与该几何形相切于外部的球。
解决这个问题需要一些几何知识和计算技巧。
一、立方体首先，让我们以立方体为例，来讨论如何求解其内切球和外接球。
立方体是一个六个面都是正方形的立体，所有的边长相等。
立方体的内切球和外接球的半径可以通过简单的计算得到。
1. 内切球内切球的半径等于立方体的半边长。
设立方体的边长为a，则内切球的半径r等于a/2。
这是因为内切球的半径与立方体的棱长之比为1:2。
2. 外接球外接球是一个球体，它与立方体的八个顶点相切。
设立方体的边长为a，则外接球的半径R等于立方体对角线的一半。
根据勾股定理，立方体的对角线的长度d等于a√3。
因此，外接球的半径R等于d/2，即R等于a√3/2。
二、圆柱体对于圆柱体来说，内切球和外接球的求解稍微复杂一些。
1. 内切球内切球的半径等于圆柱体的半径。
设圆柱的半径为r，高度为h，则内切球的半径r'等于r。
2. 外接球外接球是一个球体，它与圆柱体的底面相切。
设圆柱的半径为r，高度为h，则外接球的半径R等于圆柱体的斜高。
根据勾股定理，圆柱体的斜高等于√(h^2 + r^2)。
因此，外接球的半径R等于√(h^2 + r^2)。
三、球体球体的内切球和外接球的求解相对简单。
1. 内切球球体的内切球的半径等于球体的半径。
设球体的半径为R，内切球的半径r等于R。
2. 外接球外接球是一个球体，它与球体的表面相切。
设球体的半径为R，则外接球的半径R'等于2R。
结论：通过以上讨论，我们可以得出以下结论：1. 对于立方体来说，内切球的半径等于边长的一半，外接球的半径等于对角线长的一半。
2. 对于圆柱体来说，内切球的半径等于半径，外接球的半径等于斜高。
3. 对于球体来说，内切球的半径等于半径，外接球的半径等于半径的两倍。
球与各种几何结构切、接问题专题
球与各种几何结构切、接问题专题在几何学中，球是一种广泛应用的基本几何形状。
由于球的圆滑性和对称性，与其他几何结构的切和接问题成为了一个专题。
本文将讨论球与各种几何结构的切和接问题，并探讨其中的一些关键概念和方法。
1. 球与平面的切、接问题首先，我们来探讨球与平面的切和接问题。
当一个平面与球相交时，可能会出现以下几种情况：- 平面与球相切于一个点：这种情况下，平面与球只有一个公共点，即切点。
- 平面穿过球：当平面穿过球时，会形成一个圆。
该圆称为球在平面上的截面。
- 平面与球没有公共点：这种情况下，平面与球没有任何交点。
对于球与平面的切和接问题，可以使用几何相关的原理和方法来求解。
通过计算平面与球之间的交点，可以确定切点的坐标和截面的相关属性。
2. 球与圆柱的切、接问题接下来，我们来研究球与圆柱的切和接问题。
与平面不同，圆柱具有曲面的特性。
当一个球与圆柱相交时，可能会出现以下几种情况：- 球与圆柱相切于一个点：这种情况下，球与圆柱只有一个公共点，即切点。
- 球穿过圆柱：当球穿过圆柱时，会形成一个椭圆或一个圆。
该椭圆或圆称为球在圆柱上的截面。
- 球与圆柱没有公共点：这种情况下，球与圆柱没有任何交点。
对于球与圆柱的切和接问题，我们可以计算球与圆柱之间的交点来确定切点的坐标和截面的相关属性。
通过对相交的椭圆或圆进行进一步的计算和分析，可以获得更多关于球和圆柱之间的几何信息。
3. 球与其他几何结构的切、接问题除了平面和圆柱，球还可以与其他几何结构相交，如锥、棱柱等。
在这些情况下，球与几何结构的切点和截面可以采用类似的方法来计算和确定。
需要注意的是，在实际问题中，可能还会涉及到一些特殊情况，如球与几何结构的内部切和接、球与非欧几何结构的切和接等。
针对这些特殊情况，我们需要运用更加复杂和细致的几何分析方法来求解。
4. 结论综上所述，球与各种几何结构的切和接问题是几何学中一个重要的专题。
通过运用几何相关的原理和方法，我们可以计算和确定球与各种几何结构的切点和截面，进而获得有关几何形状的相关属性和信息。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理学生看到几何体的外接球和内切球问题就有一种恐惧感，其实理论上三棱锥都有外接球，只是有的不易求解，经常出现的外接球问题总是关于一些特殊几何体的。
一、几何体的外接球问题1、与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心（体对角线的中点）与外接球心重合，求出体对角性长，进一步求出外接球半径。
在长方体1111ABCD A B C D -中，棱1,,AB AD AA 的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为_________． 因2221D B a b c =++，故外接球半径2222a b c R ++= 当遇到由长方体切割形成的几何体时，可补全为长方体，即采用补形法例1、三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=2，则球O 的表面积为_________．12π分析：因SA,AB,BC 两两垂直，把该三棱锥补成以SA,AB,BC 为长、宽、高的长方体，长方体的外接球就是该三棱锥的外接球。
例2、四面体ABCD 中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==,则四面体ABCD 外接球体积为（ 714π ） 分析：5,1013，，看作长方体的三个面对线的长，四面体ABCD 与长方体外接球重合。
由251013(2)142R ++==,得3471433V R ππ== 2、与等边三角形，直角三角形有关的外接球问题利用等边三角形（外心和重心重合）或者直角三角形（外心为斜边中点）的特殊性找球心。
例1、已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为（ A ）A.26B.36C.23D.22分析：本题的关键是求三棱锥的高SH 。
因△ABC 是正三角形，△ABC 所在小圆的圆心G 与重心重合，则32313CG =⨯⨯=,3619OG =-=,262SH OG == 例2、已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )A. 6B.2C. 3 D ．2解：如图，设正三棱柱底面边长为a ，∴O 2C 2＝33a ，∵OC 2＝2，∴O 2O ＝4－13a 2. ∴A 1A 2＝O 1O 2＝2OO 2＝24－13a 2 ∴三棱锥侧面积为S ＝3a ·24－13a 2＝6·13·a 2(12－a 2)≤63a 2＋12－a 22＝12 3. 当且仅当a 2＝12－a 2，a ＝6时取“＝”号3、当几何体有一定的对称性时，利用几何体的对称性找球心例、在四面体ABCD 中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积为（ 43π ）分析：因AB=CD=6，其余各边均为5，取AB,CD 的中点F,E ；连接FC,FD,AE,BE;则几何体关于面FCD 对称，又关于面AEB 对称，故球心在两面交线EF 上，又需到A,B,C,D 四点距离相等，所以球心为EF 中点。
球与各种几何体切、接问题专题(一))
球与各种几何体切、接问题专题(一))近年来，高考命题中球与各种几何体的切、接问题主要以选择题、填空题为主，大题较少出现。
在此之前，需要明确两个定义：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
一、球与柱体的切接。
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、球与正方体。
正方体有三种形态：内切球、棱切球和外接球。
内切球的位置关系为正方体的六个面都与一个球相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=a。
棱切球的位置关系为正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=2a。
外接球的位置关系为正方体的八个顶点在同一个球面上，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=3a。
例如，对于一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如果其8个顶点都在球O的表面上，那么直线EF被球O截得的线段长为2.2、球与长方体。
长方体的外接球直径是长方体的对角线。
例如，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为32π。
3、球与正棱柱。
正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
结论2：直三棱柱的外接球的球心位于上下底面三角形外心的连线的中点。
二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、正四面体与球的切接问题1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= h=6a/√3；例4：正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为R= a/√6.解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离。
几何体与球的切接问题
(2)正方体的外接球：
D A C
①球心是正方体中心； ②半径 r＝ 3 a(a 为正方体的棱长)； 2
B
题型二：棱锥的外接球
P
1.正棱锥的外接球
P
A
O1 B
C
O
O
C A
O1
B
正棱锥的外接球球心必在正棱锥的高所在直线上
2. 一条侧棱垂直底面的棱锥的外接球 将一条侧棱垂直底面的棱锥的 外接球问题转化为直棱柱的外 接球求解
.
思考题：(2018· 江西宜春模拟 ) 一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A．36π 9 C. π 2
B．8π 27 D. π 8
★注意★ 锥体的外接球问题关键是确定球心位置： (1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心； (2) 锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直 线上； (3)球心到各顶点的距离都相等； (4)球心一定在外接球的直径上！
①内切球：球心是正四面体的中心； 6 ②半径 r＝ a(a 为正四面体的棱长)． 12
B C
V棱锥
1 S全 r 3
S底 h S全 r
几何体的内切球 例 4： (1)半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底 面都相切)的表面积为________，体积为________．
(2)如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为( 6 A. 6 π π π B. 3 C. 6 3 D. 3 π )
内切球、外接球的定义：
内切球：几何体各个面均与球面相切 外接球：几何体的各个顶点均在球面上
球心性质：
球的切接问题方法大全
球的切接问题方法大全
解决球的切接问题主要有以下几种方法：
1. 补形法：将几何体补成长方体或立方体，这样更容易找到球心和外接球的半径。
2. 找球心法：找到几何体某两个面外接圆的圆心，从圆心作垂线，两垂线的交点即为球心。
通过构造直角三角形来解决。
3. 坐标法：将几何问题代数化，通过设立球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径来求解问题。
4. 化“球”为“圆”法：球的轴截面是大圆，含有球的全部元素，因此可以通过作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题，将空间问题转化为平面问题。
5. 内切问题：通过切割法来解决，通过体积自等来求内切球半径。
在处理球的切接问题时，应根据具体的情况选择合适的方法。
立体几何中球的内切和外接问题
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
VABCD
1 3
3 2 4
2
6 1
O
D
1 3
r
S
全
3
22
3 r
B
O1
E
r 6 2 S球 8 5 2 6
切(如图).求:
(1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
考点-
解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1 × 3×2 6 = 2,则正棱锥
32
侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3.
∴S 侧=3×12×2 6 × 3=9 2.
则这个球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
，五个顶点都在同一个球面上，
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
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几何体的外接球和内切球专题
1、已知H是球的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面，H为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
2、已知，，三点都在表面积为的球的表面上，若，.则球心到平面的距离等于（）
A．B．C．D．
3、一个正三棱柱的三视图如图所示，则正三
棱柱的外接球的表面积是（）
A．B．C．D．
4、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，
两两垂直，则球的体积为（）
A．B．C．D．
5、已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
6、已知三棱锥中，，，，
，则该三棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
7、已知三棱锥中，平面ABC，，，
，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
8、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
9、在四面体中，已知，,
且平面，则该四面球的表面积（）
A．B．C．D．
10、已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
11、已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．B．C．D．
12．如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，
则该几何体的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
13．所有棱长均为的正四棱锥外接球表面积为（）
A．B．C．D．
14．在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A．B．C．D．
15．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）
A．B．C．D．
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的表面积是（）
A．B．C．D．
17．三棱锥各顶点均在球上，为该球的直径，
，，三棱锥的体积为，
则球的表面积为（）
A．B．C．D．
18．在三棱锥中，，，，
，，且三棱锥的外接球的表面积为，
则（）
A．B．C．D．
19．已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，
底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆如图所示，则这个几何体的内切球
的体积为
A．B．C．D．
20．已知正三棱锥的高为6，底面边长为12，则其内切球的表面积为（）A．B．C．D．
21．点、、、在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为
A．B．C．D．
22．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）
A．B．C．D．
23．中，，，将沿上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
1、【答案】D
【解析】设球的半径为，∵：：，∴平面与球心的距离为，
∵截球所得截面的面积为，∴时，，故由得，∴，∴球的表面积，故选D．
2、【答案】B
【解析】结合题意，绘制图形，
则根据正弦定理可知，结合球表面积计算公式，
可知，结合球的性质可知，构成直角三角形，
结合勾股定理可知，故选B。
3、【答案】A
【解析】由题意可得正三棱柱的示意图如图，它的高是2，底面是边长为4的正三角形，其中上下底面的中点连线的中点O′即几何体外接球的球心，线段OC即半
径
由几何体的性质知，O′是三角形的中心，可求得OO′＝1，
又OC，所以球的表面积为4．
4、【答案】A
5、【答案】B
【解析】：∵平面，∴，∵，
∴，∴，∴，
设中点为，则到四点的距离相等，
即是外接球球心，∴，，故选B．
6、【答案】A
【解析】如图：，，
的中点为外接球球心
故外接球半径为体积
7、【答案】B
【解析】如图，平面ABC，，
，，，
又，把三棱锥补形为长方体，
则长方体对角线长为，
则三棱锥外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为．故选：B．
8、【答案】A
【解析】由三视图知，该几何体是正方体的一部分，如图所示，
该几何体的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为，
则 ，所以外接球的表面积为 ， 9、【答案】B
【解析】由于 所以 ，而 平面 故 ， ，所以 平面 ，所以 即得到三角形 和三角形 都为直角三角形，所以外接球的球心在 的中点， ，故外接球半径 ，所以外接球的表面积为 ，故选B. 10、【答案】D
【解析】设AB 中点为O ，则OA=OB=OC=2,因为PA ⊥PB,所以OP=OA=OB=2,所以OA=OB=OC=OP=2,所以点O 就是三棱锥的外接球的球心，所以球的半径为2， 所以外接球的表面积为 ，故答案为：D. 11、【答案】A 【解析】由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为 ， 根据球的性质，可得外接球的直径为 ，解得 ， 所以该三棱柱的外接球的体积为
，故选A.
12、【答案】C
【解析】:由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥， 故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为 ． 所以表面积为 ．故选：C 13、【答案】C
【解析】如图，设正四棱锥的底面中心为O ，则在 中，
，所以 ， 在 中， ，
所以正四棱锥的各个顶点到它的底面中心的距离都为 ，
所以正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径为 ， 所以球的表面积 ， 故选C. 14、【答案】D 【解析】 三棱锥 的体积为
，
，
，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心， 球心到底面的距离d 等于三棱柱的高PA 的一半
， 是边长为 的正三角形， 外接圆的半径
， 球的半径为R=
，
球O 的表面积为 ．故选：D ． 15、【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半． 可得：该几何体的外接球的半径r ＝2 ．
该几何体的外接球的表面积＝448．
故选：C．
16、【答案】B【解析】∵底面为菱形，∴，
又底面，∴，∴平面，
∴，即，
取的中点，连接，
在中，；
在中，，则为三棱锥的外接球的球心，半径R=. 在中，，，∴，
∴，即半径为R=1，
则三棱锥的外接球的表面积，故选B.
17、【答案】D
【解析】如图，，
三棱锥的体积为，所以，
解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，
连接，则平面，因为为该球的直径，
所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为
，
由勾股定理可得球半径球的表面积为
18、【答案】B
【解析】∵，，
∴
∴∵，
∴三棱锥的外接球是以，，为棱的长方体的外接球，
长方体的对角线为外接球的直径.
∵三棱锥的外接球的表面积为
∴外接球的半径为，即.
∴，即.
19、【答案】A
【解析】由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3，
其正视图为等腰三角形，圆锥的内切球半径等于正视图三角形内切圆半径，
且内切圆的半径满足，解得，
几何体的内切球体积为，故选A．
20、【答案】B
【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
∵PD=6，∴DE=2,PE=4, AB=12,
∴S ABC=×（12）2=36，
S PAB=S PBC=S PCA==24．∴S表=108.
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面
把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．则由等体积可得r==2，
∴S球=4π22=16π．故选B.
21、【答案】B
【解析】根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，∴，设球心为，半径为，则在直角中，，即（），∴，则这个球的表面积为：
，故选B.
22、【答案】B
【解析】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为
，得，
另一方面，可得AB•BC＝6，
由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC ＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，
所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，
则球O的半径的最小值为，
因此，球O的体积的最小值为．故选：B．
23、【答案】C
【解析】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
∵长方体的对角线的长为：，
∴球的直径是，半径为，∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π×＝3π．。