空间几何体的外接球(一)---教案
高中数学外接球教案模板
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教学内容：外接球
教学目标：
1. 理解外接球的概念和性质
2. 掌握外接球的相关定理和推导方法
3. 能够应用外接球定理解决实际问题
教学重点：
1. 外接球的定义和性质
2. 外接球的定理及其应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入外接球的概念，通过展示一个外接球的实际图形引起学生的兴趣和好奇心。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解外接球的定义和性质
2. 讲解外接球的定理及证明过程
三、练习（20分钟）
1. 让学生做一些外接球的相关练习题，巩固所学知识
2. 提供一些实际问题，让学生应用外接球定理解决
四、总结（5分钟）
1. 总结外接球的基本概念和性质
2. 引导学生思考外接球在真实生活中的应用
五、作业布置（5分钟）
1. 布置一些与外接球有关的作业题目，巩固所学知识
2. 鼓励学生积极思考外接球在生活中的实际应用
教学反思：
本节课通过引入外接球的概念和性质，让学生了解外接球的基本概念和相关定理，通过练习和实际问题的解决，让学生掌握外接球的应用方法。
但是，在以后的教学中，可以增加更多的实际案例，引导学生更深入地理解外接球的应用。
人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》
r1 R R r2
d1
R
O O2 d2
O2 O d2
R R r2
M P1
R O d r O1
R
底面多边形有外接圆的直棱柱 底面多边形有外接圆时， 棱台存在外接球 存在外接球
底面多边形有外接圆时， 棱锥存在外接球
r1=r2=r h h1=h2= 2 h 2 2 2 R =r +( ) 2
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球，球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
设底面正方形的中心为 解： P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线：
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台
几何体的外接球
几何体的外接球几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的球心。
我们要抓住几何体外接球球心的本质特征：（1）外接球球心是任意两条直径的交点；（2）外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上；（3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直的垂线上。
所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。
下面结合实例的应用进行说明。
1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π 1．B 【解析】∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心连线过球心O ，且12ON a =，N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心，则有2333AN AE a ==，∴球半径2222712OA AN ON a =+=，∴球的表面积为22743OA a ππ=． 【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线段中点即为外接球的球心．2．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．2．12π【解析】∵三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，∴PAB PAC PBC ∆≅∆≅．∵PA PB ⊥，∴PA PC ⊥，PB PC ⊥．以,,PA PB PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P ABC -外接球．∵长方体的对角线长为32222222=++，∴球直径为32，半径3，因此，三棱锥P ABC -外接球的表面积是πππ12)3(4422==R ．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球．3．已知四面体P ABC -中，4PA PB ==，2PC =，25AC =，PB ⊥平面PAC ，则四面体P ABCD -外接球的表面积为 ．3．36π【解析】由4PA =2PC =，25AC =，∴222PA PC AC +=，可得PA PC ⊥；又∵PB ⊥平面PAC ，,PA PC ⊂平面PAC ，∴PB PA ⊥，PB PC ⊥，以,,PA PB PC 为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的外接球就是四面体P ABC -的外接球，∵长方体的对角线长为2224426++=，∴长方体外接球的直径26R =，得3R =；因此，四面体P ABC -的外接球体积为36V π=．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角”，可将“墙角”补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题．4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ）A ．14B ．24C ．26D ．2124．C 【解析】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，延长1CO 交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．由1233323CO =⨯=，116133OO =-=，得高12623SD OO ==，而ABC ∆是边长为1的正三角形，则34ABC S ∆=，得1326343V =⨯⨯ 26=． 【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面．5.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的体积为（ ）A ．43πB ．433πC ．323π D ．36π5.C 【解析】如图，由条件知ABC ∆是以BC 为直径的直角三角形，取BC 的中点1O ，知112r O A BC ==3=，又DBC ∆为等边三角形，ABC ∆所在的小圆面与平面DBC 垂直，得1O D ⊥平面ABC ，即球心O 在1O D 上，且13O D =，设球半径为R ，则222(3)(3)R R -+=，可得2R =，故球O 的体积为3432233ππ⨯=． 【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心.6.已知在梯形ABCD 中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，1==CD AD ，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥ABC D -，当二面角B AC D --是直二面角时，三棱锥ABC D -的外接球的体积为 .6.43π【解析】如图，由条件知ABC ∆是以AB 为直径的直角三角形，取AB 的中点1O ，知1112r O C AB ===，又1==CD AD ，取AC 的中点E ，则1222OE BC ==，22DE =，又二面角B AC D --是直二面角，知12O ED π∠=，所以12212O D ==，所以11O D =111O C O A O B ===，即1O 为三棱锥ABC D -的外接球的的球心，1R =，故三棱锥ABC D -的外接球的体积为344133ππ⨯=. 7．在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC ⊥==2SA SC ==，6SB =，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．86πB ．6πC ．24πD ．6π7．D 【解析】因为,2,AB BC AB BC ⊥==所以2AC SA SB ===，设AC 的中点为D ，连接AD ，O2A CB S O O 1则三角形SAC 的外心1O 为在线段AD 上，且113DO SD ==，又三角形ABC 的外心为D ，又,SD AC BD AC ⊥⊥，所以AC ⊥平面SDB，过D 垂直于平面ABC 的直线与过1O 垂直于平面SAC 的直线交于点O ，则O 为四面体外接球的球心，在三角形SDB 中，由余弦定理得cos SDB ∠=，所以1sinsin()cos 23ODO SDB SDB π∠=∠-=-∠=，所以111tan 6OO O D ODO =⨯∠=，设外接圆半径为R ，则2221132R SO OO =+=，所以246S R ππ==. 【点评】外接球球心在与棱AC 垂直的的平面SBD 中，然后在平面SBD 中可以通过平面SAC 的外心1O 作垂线与过平面ABC 的外心D 并垂直平面ABC 的垂线DF 相交出外接球球心，也可以通过棱SB 的中垂线与过平面ABC 的外心D 并垂直平面ABC 的垂线DF 相交出外接球球心．8．已知边长为ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π8．D【解析】如图所示，设两三角形外心分别为23,O O ,球心为O ，1120AO C ∠=,故132,OO OO ==，球的半径为OC ==28π.【点评】外接球球心在与棱BD 垂直的的平面1AO C 中，使空间问题平面化．9．点S 、A 、B 、C 的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA=== 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A B C ．1 D ．129．B 【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==． 作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =，∴2O 为1OO 的中点，∴1SO SO R ===【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图． 10．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，o 120BAC ∠=，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为1040. .7 .11 .33A B C D ππππ 10．D 【解析】如图所示，以A 为原点建系，则13C(2,0,0),B(2-，设球心为(1,,1)O y ，则OB OC R ==，即2223311()(12y y ++=++，解得3y =210404433S R πππ==⨯= 【点评】外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上。
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计
简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。
，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。
（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。
外接球公开课教学设计
微专题《载体法处理几何体的外接球》（一）高考地位有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点；也是高考考查的一个热点；是培养直观想象的核心素养的重要载体。
研究多面体外接球相关问题既要运用多面体的知识，又要运用球的知识；并且还要注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的联系，解法灵法多变；成为学生无法解决的难题。
今天我们以专题形式帮助同学掌握两种方法来突破外接球问题。
（二）知识储备1.外接球的定义及常见几何体的外接球（1）什么是外接球？外接球全称叫几何体的外接球，是指几何体在球内顶住球，球在几何体外面包住几何体；进一步地：若几何体是多面体，则该多面体至多一个外接球，此时多面体的顶点都在球面上，球心到各顶点的距离都相等进一步地：若几何体是旋转体，则该旋转体恰有一个外接球，此时旋转体的圆周和顶点都在球面上，球心到顶点与圆周上的每一点的距离都相等（2）外接球与内切球、棱切球的区别2.外接球的确定及度量（1）性质法利用球的性质先确定球心再用垂径定理计算半径理论依据：类比圆，球体也具备如下性质①用一个平面截球面得到的截面是一个圆，我们称作是截面圆②用一个过球心的平面截球面得到的截面圆是一个大圆，此时球心与大圆的圆心是重合③用一个不过球心的平面截球面得到的截面圆是一个小圆，此时小圆圆心与球心的连线垂直于小圆所在的平面④过截面圆圆心作截面圆的垂线必过球心⑤球面上任意三个点所在的外接圆就是球的截面圆实战演练：根据球的性质可知，我们可以通过一个大圆或者两个小圆来确定球心，通过垂径定理来计算半径。
所以球的问题，我们可以转成圆（外心）的问题。
①通过一个大圆来确定球心正方体的外接球：球心位置：大圆的圆心即体中心半径R满足：2R=a2+b2+c2圆柱的外接球：球心位置：大圆的圆心也是中间轴的中点半径R满足：R2=(h2)2+r2圆锥的外接球：球心位置--大圆的圆心半径R满足：R2=(h-R)2+r2②通过两个小圆来确定球心小结：性质法就是利用球心正好是球的大圆圆心或者是两个小圆的垂线的交点来确定的。
几何体的外接球
几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
由图可得：22)2()(a r h r +-=思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。
空间几何体的外接球
R
A
2
O
B1
O2
C1
A1
小结
直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的 中点上，找到底面外接圆圆心，求出底面 外接圆半径，再利用勾股定理求外接球半 径.
R2 r2 (h)2 2
O1
O
R
h
2
r O2
棱锥外接球
棱锥外接球
例1
四棱锥P - ABCD的顶点都在球O 的球面上, 四边形ABCD是矩形, PA 平面ABCD, PA 8, AB 3, AD 3 3, 求球O的表面积.
课前导练
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其
所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球表
面积为多少？
解 : AB a AO1
3 3
a, OO1
a 2
故AO2
R2
AO12
OO12
7 12
a2
S球
4 R2
7 a2
3
C A
O1 D B
R O
A1 a
C1 O2
若一个多面体的各顶点都在一个球的 球面上，则称这个多面体是这个球的 内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。
课前导练
圆柱的 外接球
正方体 外接球
O2
O a
R O1 a
2
R 5a 2
D1
C1
A1
R B1
O a
D
C
A
B
R 3a 2
长方体 外接球
C1
A1
D1 B1
5 O
C D B3 A4
R5 2 2
高中数学外接球的求法教案
高中数学外接球的求法教案
目标：学生能够理解外接球的概念，掌握外接球的求法，并能够在实际问题中解决外接球相关的数学问题。
教学内容：
1. 外接球的概念及性质；
2. 外接球的求法；
3. 外接球在实际问题中的应用。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾一下球的基本概念，并简单介绍外接球的概念。
二、讲解（15分钟）
1. 教师通过示意图和实例，介绍外接球的性质及特点；
2. 教师详细讲解外接球的求法，包括在不同情况下的具体步骤和计算方法；
3. 教师引导学生通过例题练习外接球的求法，确保学生掌握了方法。
三、练习（15分钟）
教师提供一些练习题供学生练习，包括计算外接球的半径、外接球的体积等问题。
四、应用（10分钟）
教师引导学生思考外接球在实际问题中的应用，例如外接球能包裹多少个相同大小的球、外接球的应用场景等。
五、总结（5分钟）
教师简要总结外接球的求法及应用，强调学生掌握了解决外接球相关数学问题的能力。
六、作业布置（5分钟）
布置作业，要求学生复习外接球的求法，并尝试解决一些相关的问题。
扩展活动：
可以引导学生进行实验，通过实际测量来验证外接球的性质和求法的正确性。
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构造法求特殊棱柱、棱锥的外接球半径
教学难点
直接法求棱锥的外接球半径
教学内容
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导学案、知识回顾
利用导学案简单复习球的性质
1、球被平面所截得到的图形
2、球大圆、小圆定义
3、球心与截面圆心连线与截面的关系
4、截面圆半径、球心到截面距离、球半径的关系
5、球体积和表面积公式
重点讲解直接法—通法
介绍构造法及适用的情况
认真听老师讲解，将两种方法融会贯通，灵活应用
培养学生的空间想象能力，数学运算能力，突破本节难点
练习1、求正四面体外接球半径
用直接法求解，立体感好的学生可以用构造法求解
巩固直接法求外接球半径，构造法求外接球半径
讨论
讨论：哪些常见的棱锥可以用构造法求解
对于讨论的结果进行总结
根据课前老师布置的问题，尽量解决这两个问题，在课堂上用投影仪展示，争取总结出直棱柱外接球半径的求法
通过正方体、长方体、三棱柱的外接球问题，让学生明确直棱柱外接球球心的位置，会求其外接球体积和表面积，巩固外接球表面积和体积公式，总结外接球半径求法
复习棱锥外接球
以阳马为例，板书，重新讲解有一条侧棱与底面垂直的四棱锥外接球半径的求法，
6、球内接多面体、外接球定义
通过导学案直接回答老师给出的问题
通过一系列问题对以前学习过的知识进行复习，为接下来要讲的内容打下基础，构建学生知识体系
课前导练
提问：圆柱、正方体、长方体外接球半径
回位置埋下伏笔
提问：课前布置的2个三棱柱的外接球的表面积和体积
空间几何体的外接球(一)---教案
高三复习课教案
绥化市第一中学高惠泽
授课时 间
2019年9月26日
课题
空间几何体的外接球(一)
教学目标
知识目标
1能找到柱体外接球球心的位置，求出外接球体积和表面积
2会用直接法和构造法求特殊棱锥的外接球半径
能力目标
培养学生的空间想象能力、数学运算能力
德育目标
培养学生观察、探究与计算能力，加强学生的合作意识。
培养学生的归纳，概括能力，也能够看出学生对本节课的接受情况，便于为下一课时复杂棱锥的外接球半径问题打下基础
巩固提升
三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上， 平面BCD， 是边长为1的正三角形，求球O的表面积
因此类高考题不给图，所以，不配图，让学生独立完成此题
没有配图，自己独立完成对此题的解答，完成后与大家交流
积极配合老师的引导，将讨论的结果形成直观图，展示给同学们
培养学生的空间想象能力，作图的规范意识
变式1
三棱锥 中， ,则其外接球表面积为多少？
看讨论结果决定接下来的授课内容，如果有人说出对棱相等的棱锥，则直接让其解决变式1，如果说不出来，那么由老师引入变式1
如果讨论出对棱相等的棱锥可以构造长方体，那么可以直接解决变式1，没有讨论出来的话，可以由老师引导，尝试解决该问题
这是一个由上面讨论引出的双向选择的环节，看学生的具体情况，再决定如何展开下面的授课环节
这个是一个特殊的棱锥，类似四面体，对棱相等，其外接球半径只能构造，如果用直接法求会非常麻烦，将这个棱锥介绍给孩子们，以便在日后遇到的时候解决类似问题
课堂总结
请同学们自己总结直棱柱和一些特殊的棱锥的外接球半径的求法
积极配合老师引导，完成对本节课的总结
检测学生对本节课知识的掌握情况，培养学生的空间想象能力，作图能力，运算能力
作
业
设
计
已知三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上， 是边长为2的正三角形，E.F分别是PA,AB的中点， 则球O的体积为多少？
板
书
设
计
空间几何体的外接球(一)
例1、直接法—通法构造法：画图
构造长方体、三棱柱
板书解法
教
学
反
思
精彩之处
需要修改的地方