外接球八大模型及公式
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法高三微专题：外接球在立体几何中，外接球问题是一个重点和难点。
其实质是确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）。
一、由球的定义确定球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。
二、球体公式球的表面积公式为S=4R²，球体积公式为V=4/3R³。
三、球体几个结论：1）长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。
2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心。
3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）。
4）正三棱锥对棱互相垂直。
四、外接球几个常见模型1.长方体（正方体）模型例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14。
练1：体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12。
2.正棱锥（圆锥）模型对于侧棱相等，底面为正多边形的正棱锥，其外接球的球心位置位于顶点与底面外心连线线段（或延长线）上。
半径公式为R²=(h-R)²+r²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理a=2rsinA求得）。
例2：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h，体积为V，则这个球的表面积为____。
正四棱锥的高为h，体积为V，易知底面面积为，底面边长为。
正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，得，在中。
由勾股定理，所以球的表面积为。
练2：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。
解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R=，外接球半径R=，外接球体积V=4/3R³=。
对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱，其外接球的球心位置在上下底面外心连线中点处。
立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型(学生版)
立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型1.知识梳理一、墙角模型适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合直接用公式(2R )2=a 2+b 2+c 2，即2R =a 2+b 2+c 2，求出R【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑二、麻花模型适用范围：对棱相等相等的三棱锥对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，AD =BC =x ，AB =CD =y ，AC =BD =z ，列方程组，a 2+b 2=x 2b 2+c 2=y 2c 2+a 2=z 2⇒(2R )2=a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，补充：V A −BCD =abc −16abc ×4=13abc 第三步：根据墙角模型，2R =a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，R 2=x 2+y 2+z 28，R =x 2+y 2+z 28，求出R .三、垂面模型适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步：O 1为ABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=csin C =2r ,OO 1=12PA .第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式：R 2=r 2+h 24四、切瓜模型适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心0，取B C 的中点为E ，连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式：R 2=r 21+r 22-l 24五、斗笠模型适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥推导过程：取底面的外心01，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式：R =r 2+h 22h六、矩形模型适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径推导过程：图中两个直角三角形ΔPAB 和ΔQAB ，其中∠APB =∠AQB =90°，求外接圆半径取斜边AB 的中点O ，连接OP ,OQ ，则OP =12AB =OA =OB =OQ 所以O 点即为球心，然后在ΔPOQ 中解出半径R 公式：R 2=l22(l 为斜边长度)七、折叠模型适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图，作左图的二面角剖面图如右图：H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O CH 1=r =BD 2sin ∠BCD,EH 1=h -r ,OH 1=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=r 2+(h -r )2tan 2α2.公式：R 2=r 2+(h -r )2tan 2α2八、鳄鱼模型适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥方法：找两面外接圆圆心到交线的距离m ,n ，找二面角α，找面面交线长度l 推导过程：取二面角两平面的外心分别为O 1,O 2并过两外心作这两个面的垂线，两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，则O ,O 1,E ,O 2四点共圆，由正弦定理得：OE =2r =O 1O 2sin α①在ΔO 1O 2E 中，由余弦定理得：O 1O 2 2=O 1E 2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos α②由勾股定理得：OD 2=O 1O 2+O 1D 2③由①②③整理得：OD2=O 1O 2+O 1D 2=OE 2-O 1E 2+O 1D 2=O 1O 2sin α2-O 1E 2+O 1D 2=O 1E2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos αsin 2α-O 1E 2+O 1D 2=O1E2+O2E2-2O1EO2Ecosαsin2α-O1E2+O1B2记O1E=m,O2E=n,AB=l,则R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l22公式：R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l222.常考题型3.题型精析题型一:墙角模型1(2023·高一单元测试)三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，DC⊥BD，2AD=BD=DC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A.3π2B.9π2C.9πD.36π1.(2022秋·陕西西安·高一统考期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A-BCD中，满足AB⊥平面BCD，且AB=BD=5，BC=3，CD=4，则此鳖臑外接球的表面积为()A.25πB.50πC.100πD.200π2.(2023·高一课时练习)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π33.(2023·广西南宁·统考二模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD =2，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为.4.(2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 的外接球O 的表面积为64π，PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，PA =4，设点M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M -ABCD 体积的最大值为.题型二:麻花模型1(2023春·广东梅州·高二统考期中)已知三棱锥S -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且SA =BC =2，SB =AC =7，SC =AB =5，则球O 的体积是()A.83π B.3223π C.423π D.823π1.(2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中)在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为．2.(2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为()A.72π B.7143π C.14π D.56π3.(2023·江西·统考模拟预测)在三棱锥P -ABC 中，已知PA =BC =213,AC =BP =41,CP =AB =61，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.77πB.64πC.108πD.72π4.(2022·全国·高三专题练习)已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．题型三:垂面模型1(2023·高一单元测试)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =6，BC =3，∠CAB =π6，则三棱锥P -ABC 的外接球半径为()A.3B.23C.32D.61.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且边长为3，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.32π2.(2020春·天津宁河·高一校考期末)在三棱锥P -ABC 中，AP =2,AB =3,PA ⊥面ABC ，且在△ABC 中，C =60°，则该三棱锥外接球的表面积为()A.20π3B.8πC.10πD.12π3.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.πB.2πC.4πD.8π4.(2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC =2，PC 与平面PAB 所成的角为30o ，则该四棱锥外接球的体积为()A.433π B.43πC.823πD.833π题型四:切瓜模型1(2023·贵州贵阳·校联考模拟预测)在三棱锥A -BCD 中，已知AC ⊥BC ,AC =BC =2,AD =BD =6，且平面ABD ⊥平面ABC ，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为()A.8πB.9πC.10πD.12π1.(2023·四川达州·统考二模)三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD =6，AB ⊥AD ，∠BDC =2∠DBC =60°，则球O 的体积为()A.43πB.32π3C.49π3D.323π2.(2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =AA 1=4，点P 为B 1C 1的中点，则四面体PABC 的外接球的体积为()A..41416π B.41413π C.41412π D.4141π3.(2022·高一单元测试)四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，若AB =2，BC =3，则球O 的表面积为()A.12πB.16πC.20πD.32π4.(2021·高一课时练习)在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，∠DPA =π2，AD =23，AB =2，PA =PD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为()A.163π B.323π C.643π D.16π5.(2023春·全国·高一专题练习)在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，AP=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.4πB.8πC.136π9D.68π3题型五:斗笠模型1(2023·全国·高一专题练习)正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为()A.64B.33C.263D.31.(2022·高一专题练习)已知正四棱锥P-ABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50 3，则此球的体积为()A.18πB.86πC.36πD.323π2.(2022·全国·高一专题练习)某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是()A.16B.8C.32D.243.(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=PB=PC=10，∠BAC=π4，BC=22，则此三棱锥外接球的表面积为．题型六:矩形模型1(2022春·全国·高一期末)已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为()A.2π3B.2π C.82π3D.8π1.(2022春·广东惠州·高一校考期中)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为()A.1963π B.10003π C.4003π D.5003π2.(2022春·河北沧州·高一校考阶段练习)矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A-BCD的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为()A.25πB.30πC.36πD.100π3.(2022春·四川成都·高一统考期末)在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为()A.36πB.64πC.100πD.与二面角B -AC -D 的大小有关题型七:折叠模型1(2022春·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC =60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为()．A.5152π B.6πC.515πD.12π1.已知等边△ABC 的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C -AB -C 为60°，则三棱锥C -ABC 外接球的半径为2.(2023·广西南宁·统考二模)蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A ,B ,C ,D 满足AB =BC =CD =DA =DB =433cm ，AC =23cm ，则该“鞠”的表面积为cm 2.3.(2022秋·福建泉州·高三校考开学考试)在三棱锥S -ABC 中，SA =SB =AC =BC =2,SC =1，二面角S -AB -C 的大小为60°，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为.4.(2022秋·山东德州·高二统考期中)已知在三棱锥中，S -ABC 中，BA ⊥BC ，BA =BC =2，SA =SC =22，二面角B -AC -S 的大小为5π6，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.56π3B.58π3C.105π4D.124π9题型八:鳄鱼模型1(2022春·四川成都·高一树德中学校考期末)已知在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA =SC=22，二面角B-AC-S的大小为2π3，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.124π9B.105π4C.105π9D.104π91.(2023春·全国·高一专题练习)如图，在三棱锥P-ABC，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6，二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为()A.5103π B.10π C.9π D.4+23π2.(2023·陕西榆林·统考三模)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC= 4，二面角A-BC-D为60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为()A.16πB.24πC.18πD.20π3.(2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习)如图1，四边形ABCD中，AB=AD =2，CB=CD=2，AB⊥AD，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使二面角P-BD-C的正切值等于2，如图2，四面体PBCD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.9π4.(2023·江西南昌·校联考模拟预测)在平面四边形ABCD中，AD=CD=3，∠ADC=∠ACB =90°，∠ABC=60°，现将△ADC沿着AC折起，得到三棱锥D-ABC，若二面角D-AC-B的平面角为135°，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.5.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，△PAC为正三角形，且二面角P-AC-B的平面角为π6，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为．。
十种求外接球与内切球模型(学生版)
十种求外接球与内切球模型【必备知识点】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=a2+b2+c2,求出R.例1.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3，AC=2，AD= 3，则球O的表面积为( )A.64πB.16πC.4πD.π例2.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.3πB.6πC.6πD.24π例3.已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=1，AC=BC= 2，则球O的表面积为( )A.2πB.3πC.4πD.5π例4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E为BC中点，把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.9π例5.在正三棱锥S-ABC中, 点M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=22,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.6πB.12πC.32πD.36π例6.将一个边长为4的正三角形ABC沿其中线BD折成一个直二面角，则所得三棱锥A-BCD的外接球的体积为_________.例7.在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且AM⊥MN, 若侧棱SA=23,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是_________.例8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为32的正方形,AA1=3,E是线段A1B1上一点, 若二面角A-BD-E的正切值为3,则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为_________.模型二:对棱相等模型使用范围:对棱相等的三棱锥推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a ,b ,cAD =BC AB =CD AC =BD ⇒a 2+b 2=BC 2=λ2b 2+c 2=AC 2=μ2c 2+a 2=AB 2=k 2⇒a 2+b 2+c 2=λ2+μ2+k 22⇒R =λ2+μ2+k 28V A -BCD =abc -16abc ×4=13abc 例1.如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为( )A.72πB.7143πC.14πD.56π例2.在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为_____________．例3.已知三棱锥P -ABC 的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA =32，PB =PC =5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．例4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．例5.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=25，PB=AC=13，AB=PC=5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是______．例6.已知三棱锥A-BCD,三组对棱两两相等,且AB=CD=1,AD=BC=3,若三棱雉A-BCD的外接球表面积为9π2.则AC=______．模型三:汉堡模型适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1⊥平面ABC.第二步:算出小圆O1的半径AO1=r,OO1=12AA1=12h AA1=h也是圆柱的高).第三步:勾股定理:OA2=O1A2+O1O2⇒R2=h22+r2⇒R=r2+h2 2,求出R.公式:R=r2+h 22例1.已知某圆柱的高为42，体积为42π，则该圆柱外接球的表面积为( )A.32πB.36πC.40πD.44π例2.已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为( )A.120πB.129πC.129πD.180π例3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，AB=AC=AA1=2，∠BAC=120∘，则球O的表面积是( )A.4πB.163πC.16πD.20π例4.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6，AA 1=22，AC =3AB =3，则球O 的表面积为________．例5.在四面体ABCD 中，AB =CD =1，BC =2，且AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，异面直线AB ，CD 所成角为π3，则该四面体外接球的表面积为______.模型四:垂面模型适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将ABC 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步:O 1为ABC 的外心,所以OO 1⊥平面ABC ,算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=c sin C =2r ,OO 1=12PA .第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2;(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式:R 2=r 2+h 24例1.已知三棱锥P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，PA =AB =AC =2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.12π B.16π C.20π D.24π例2.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，CD ⊥平面ABC ，AC =23，△ABC 是正三角形，△ACD 是等腰三角形，则球O 的体积为( )A.2053πB.86πC.2873πD.36π例3.在三棱锥S -ABC 中, 侧棱SA ⊥底面ABC ,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,SA =25, 则该三棱锥的外接球的表面积为()A.643π B.2563π C.4363π D.2048327π例4.已知四棱锥P -ABCD 的五个顶点在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，AB =AD ，BC=CD ，∠BAD =120°，且四边形ABCD 的面积为934，则球O 的表面积为___________.例5.在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,设D 为BC 中点, 且直线PD 与平面ABC 所成角的余弦值为55, 则该三棱雉外接球的表面积为___________.模型五:斗笠模型使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心01, 连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h ,在h 上取一点作为球心0,根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h 公式:R =r 2+h 22h例1.已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为△ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1, 则球O 的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π例2.正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4 , 底面边长为2 , 则该球的表面积为()A.81π4 B.16π C.9π D.27π4例3.已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( )A.36πB.48πC.36D.242例4.在三棱锥P -ABC 中，侧棱PA =PB =PC =10，∠BAC =π4，BC =22，则此三棱锥外接球的表面积为_______．例5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________.例6.在三棱雉P -ABC 中,PA =PB =PC =26,AC =AB =4,且AC ⊥AB ,则该三棱锥外接球的表面积为________.例7..一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°, 若该圆雉的侧面积为33π,则该圆雉外接球的表面积为________.类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线, 两条垂线的交点即为球心0,取B C 的中点为E , 连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式:R 2=r 21+r 22-l 24例1.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为边长为4的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为( )A.112π3B.64π3C.64πD.16π例2.已知三棱锥A -BCD 中, △ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角, 则三棱雉A -BCD 的外接球的表面积为()A.10π3 B.5π C.6πD.20π3例3.已知四棱锥P -ABCD 的体积是363，底面ABCD 是正方形，△PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为________.例4.已知四面体ABCD 中，△ABD 和△BDC 是等边三角形，二面角A -BD -C 为直二面角.若AB =43，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________________.例5.已知在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.模型七:折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图,作左图的二面角剖面图如右图:H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心,CH 1=r =BD 2sin ∠BCD,EH 1=h -r ,OH 1=(h -r )tan α2故R 2=OC 2=OH 21+CH 21=r 2+(h -r )2tan 2α2.公式:R 2=r 2+(h -r )2tan 2α2例1.已知菱形ABCD 中,∠DAB =60°,AB =3,对角线AC 与BD 的交点为O ,把菱形ABCD 沿对角线BD 折起, 使得∠AOC =90°,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.15π B.15π2 C.7π2 D.7π例2.在三棱雉P -ABC 中,PA =PB =AC =BC =2,AB =23,PC =1,则三棱雉P -ABC 的外接球的表面积为()A.4π3 B.4π C.12π D.52π3例3.在边长为23的菱形ABCD 中,∠BAD =60°,沿对角线AC 折成二面角B -AC -D 为120°的四面体ABCD ,则此四面体的外接球表面积为________.模型八:已知球心或球半径模型例1.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB ,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.例2.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上,AB为球O的直径,若该三棱雉的体积为3, BC=3,BD=3,∠CBD=90°, 则球O的体积为________.例3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形, SC为球O 的直径, 且SC=2,则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22例4.三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3 , 其外接球半径为2 , 则三棱锥S-ABC的体积最大时,点S到平面ABC的距离为()A.2+3B.2-3C.3D.2模型九:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.例1.在边长为6的菱形ABCD中，∠A=π3，现将△ABD沿BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.60πB.30πC.70πD.50π例2.在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，且SA=SD，∠ASD=90°，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥P-SAD的最大体积为( )A.1+2B.2+223 C.2+23 D.1+23例3.已知P，A，B，C，D都在同一个球面上，平面PAB⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，∠APB=60°，当四棱锥P-ABCD的体积最大时，该球的半径为______．例4.A，B，C，D四点均在同一球面上，∠BAC=120∘，△BCD是边长为2的等边三角形，则△ABC面积的最大值为__________，四面体ABCD体积最大时球的表面积为___________．模型十:内切球模型以三棱雉P -ABC 为例, 求其内切球OE 的半径推导过程:等体积法,三棱雉P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为r ,球心为O ,建立等式:V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC⇒V P -ABC =13S △ABC ⋅r +13S △PAB ⋅r +13S △PAC ⋅r +13S △PBC ⋅r =13S △ABC+S △PAB +S △PAC +S △PBC ⋅r 第三步:解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表.公式:r =3V S 表例1.已知点O 到直三棱柱ABC -A 1B 1C 1各面的距离都相等，球O 是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥A 1-ABC 的体积为( )A.43B.163C.833D.1633例2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD =1，BC ⊥CD ，则鳖臑ABCD 内切球的表面积为( )A.3πB.(3-22)πC.12πD.(3+22)π例3.《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AD=AB，则四棱锥P-ABCD和三棱锥P-ADC的内切球半径比为___________.【过关检测】一、单选题1.如图，在三棱锥D-ABC中，∠DAC=∠BCA=∠BCD=90°，DC=19，AB=3，且直线AB与DC所成角的余弦值为1919，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.45π2B.75π4C.125π6 D.65π32.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P -ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=22，AB=BC=2，则该阳马的外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π3.设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2,∠BAC=120∘,AA1=33，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.46πB.35πC.43πD.39π4.如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为( )A.π6B.πC.4π3D.4π5.已知三棱锥P-ABC中，AC=BC=1，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥P-ABC的体积是16，则球O的半径为( )A.32B.1C.12D.346.已知三棱锥S-ABC的棱SA⊥底面ABC，若SA=2,AB=AC=BC=3，则其外接球的表面积为( )A.4πB.32π3C.16πD.32π7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P-ABC体积为6，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.18πB.24πC.36πD.40π8.已知三棱锥S-ABC所有顶点都在球O的球面上，且SA⊥平面ABC，若SA=AB=AC=BC= 1，则球O的表面积为( )A.5π2B.5πC.53πD.7π39.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=2，△ABC与△PAB的外接圆圆心分别为O1，O2，若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16π，设O1A=a，O2A=b，则a+b的最大值是( )A.5B.10C.23D.2510.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足AB=BC=3，AC=3，若该三棱锥体积的最大值为334，则其外接球的半径为( )．A.1B.2C.3D.23二、填空题11.四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB=1，AC=2，AD=3，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于______．12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=π2，AP=AB=3，BC=6，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为___________.13.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC=π2，则过A，B，C，D四点的球的表面积为_____________.14.空间四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，BD=10，直线BD和AC所成的角为π3，则该四面体的外接球的表面积为__.15.已知A，B，C，D四点在半径为292的球面上，且AC=BD=13，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是__________.16.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为33，点P为△A1B1C1的中心，直线PA和底面ABC所成角为60°，则正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为______．17.已知三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，BD=2，AB=3，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为_____.18.在正四面体SABC中，SA=23，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的圆周长为______．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AB=AD=12BC，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是__________ __.20.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB=AC=DB=DC，AD=2BC=4，则球O的表面积的最小值为________.。
外接球与内切八大模型—老师专用
外接球与内切八大模型—老师专用类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是。
36解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。
证明如下： 如图（ 3）-1 ，取 AB,BC 的中点 D,E ，连接 AE,CD ，AE,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角 形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，AC BC ， AD BD ， CD AB ， AB 平面 SCD ，AB SC ，同理： BC SA ， AC SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（ 3）-2， AM MN ， SB// MN ，AM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ， SB SA ， SB SC ， SB SA ， BC SA ， SA 平面 SBC ， SA SC ，故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，（2R ）2 （2 3）2 （2 3）2 （2 3）2 36 ，即 4R 2 36，正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 a 2 b 2 c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A ． 16B ． 20C ． 244 ，体积为 16，则这个球的表面积是（ D ． 322）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是解：( 1)V a 2h 16， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 2 4 4 16 24， S 24 ，选 C ；2) 4R 2 3 3 3 9， S 4 R 2 9 3）在正三棱锥 S ABC 中，M 、N 分别是棱 SC 、 B C 的中点，且 AM MN ,若侧棱 SA 2 3 ,则PAB图2图4C(3)题-1C(3)题-24）在四面体 S ABC 中， SA 平面ABC ， BAC 120 ,SA AC 2,AB 1,则该四面体的外接6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几ab 122 2 2 2 2bc 8 ， abc 24， a 3，b 4，c 2，(2R)2a 2b 2c 2 29， S 4 R 2 29 ，ac 6② R 2 r 2 OO 12 R r 2 OO 12球的表面积为（ D ） A.11 B.75） 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为C.106、4、 40 D.33，那么它的外接球的表面积是解析： (4)在 ABC 中， BC 2 AC 2 AB 2 2AB BC cos120 7 ，BC 7 ， ABC 的外接球直径为 2r BCsin BAC 7 2 7， 332 2 2(2R)2 (2r)2SA 2440，S 4033，选 D 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c ( a,b,c R )，则6)(2R)2 a 2 b 2 c 2 3，R 2 43 ，R3V4 R3 4 3 3 3 ，3 3 8 2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图 5， PA 平面 ABC 解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；第二步： O 1为 ABC 的外心，所以 OO 1 平面 ABC ，算出小圆 O 1的半径 O 1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得sin A sin Bsin c C2r )， OO 1 21PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 2 2(2R)2PA 2 (2r)22R PA 2 (2r)2 ；2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC的外心三棱锥P ABC的三条侧棱相等解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC的外心O1，则P , O, O1三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径AO1 r ，再算出棱锥的高PO1 h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r 2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。
外接球与内切球八种类型，纯干货，用上就得分！
外接球与内切球八种类型，纯干货，用上就得分！
说了很多的学习方法，今天给大家分享一个纯干货：外接球和内切球八种试题类型及其解题公式！秒杀此类题目，只需看这一篇文章即可，一起来看看吧！
类型一：墙角模型（三条线两两垂直）
类型二：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
类型三：切瓜模型（两个平面互相垂直）展开剩余74%
类型四：汉堡模型（直棱柱的外接球）
类型五：折叠模型
类型六：对棱相等模型
类型七：两直角三角形拼在一起模型
类型八：椎体的内切球问题
今天的干货分享就到这里，以上的内容真的纯干货，超级有用，考试直接套用公式，节省时间，提高正确率，同学们一定要好好利用起来，抓住每一个提分机会，把自己的成绩提上去！加油！
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几何体的外接球问题8大模型
几何体的外接球问题8大模型以几何体的外接球问题8大模型为标题，写一篇文章。
一、立方体：立方体是一种拥有六个相等正方形面的几何体，它的外接球是一个与立方体六个顶点相切的球体。
外接球的半径等于立方体的对角线长度的一半。
立方体的外接球不仅可以帮助我们计算立方体的对角线长度，还可以作为一个几何体之间的联系，帮助我们理解其他几何体的外接球问题。
二、正四面体：正四面体是一种拥有四个全等的三角形面的几何体，它的外接球是一个与正四面体的四个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正四面体的边长的一半乘以根号6除以4。
正四面体的外接球是一个特殊的几何体，它具有对称性，可以帮助我们理解其他几何体的外接球问题。
三、正六面体：正六面体是一种拥有六个全等的正方形面的几何体，它的外接球是一个与正六面体的八个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正六面体的边长的一半。
正六面体的外接球是一个与立方体外接球相似的几何体，它们具有相同的形状和性质，只是大小不同。
四、正八面体：正八面体是一种拥有八个全等的正三角形面的几何体，它的外接球是一个与正八面体的六个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正八面体的边长的一半乘以根号2。
正八面体的外接球是一个与正四面体外接球相似的几何体，它们具有相似的形状和性质，只是大小不同。
五、正十二面体：正十二面体是一种拥有十二个全等的正五边形面的几何体，它的外接球是一个与正十二面体的二十个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正十二面体的边长的一半乘以根号3除以2。
正十二面体的外接球是一个与正八面体外接球相似的几何体，它们具有相似的形状和性质，只是大小不同。
六、正二十面体：正二十面体是一种拥有二十个全等的正三角形面的几何体，它的外接球是一个与正二十面体的十二个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正二十面体的边长的一半乘以根号5除以4。
正二十面体的外接球是一个与正十二面体外接球相似的几何体，它们具有相似的形状和性质，只是大小不同。
七、正二十四面体：正二十四面体是一种拥有二十四个全等的正六边形面的几何体，它的外接球是一个与正二十四面体的二十四个顶点相切的球体。
高中数学解题秘籍系列一篇文章攻克外接球
【高中数学解题秘籍系列】————一篇文章攻克外接球⚫外接球指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上.正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.⚫内切球球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球.如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.一、外接球七大模型二、内切球万能公式(棱锥)①圆柱②直棱柱③侧棱垂直底面➢适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥.②和 ③ 可以通过补形转化为 ①，所以我们只需证明 ① 即可证明：设P 、O '分别为上下底面圆的圆心，O 为线段PO '的中点，( 2017•新课标 Ⅲ ) 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π4由秒杀公式1得22222212=1442h R r r ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭，解得234r =， 因此圆柱的体积233πππ144V r h =⋅=⋅⋅=，故选B.( 2017•新课标 Ⅱ ) 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则 球O 的表面积为 ．由秒杀公式1得2222217=442h R r +=+=⎝⎭， 因此球O 的表面积为274π4π14π2S R ==⋅⋅=. 本题还可用秒杀公式4可得22222223217442a b c R ++++===，因此球O 的表面积为274π4π14π2S R ==⋅⋅=. 由此可知在选用公式的时候是比较灵活的，原因在于模型之间可以相互转化.典例例题1-1例题1-2( 2012•辽宁 ) 已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为PA =，则OAB △的面积为 ．由秒杀公式1得(22222=12424h R r +=⋅+=⎝，解得R =OAB △为等边三角形，所以(2OAB S ==△( 2011•四川 ) 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ．由秒杀公式1得222=4h R r +，于是2224=2π=4π4π2π22h r h S r h r R+⋅⋅⋅=侧， 当且仅当2h r ==时不等式取“=”，于是 222=4π2π=2πSS R R R −−侧球.( 2010•辽宁 ) 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC ，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π由秒杀公式1得222221=144h R r +=+=⎝⎭， 解得1R =，则球O 的表面积为24π4πS R ==.故选A .( 2008•浙江 ) 如图，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ==O 的体积等于 ．由秒杀公式1得222229=444h R r +=+=⎝⎭， 解得32R =，则球O 的体积为 334439πππ3322V R ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭.①圆锥 ②正棱锥➢适用几何体：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥(正棱锥).② 可以通过补形转化为 ①，所以我们只需证明 ① 即可心O 为PO '上一点，于是在Rt OO A '△中有解得( 2018•新课标 Ⅲ ) 设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且面积为D ABC −体积的最大值为( ) A．B．C．D．依题意得，当三棱锥D ABC −为正三棱锥且hR 时，三棱锥D ABC −的体积最大，那么由秒杀公式2得22=42r h R h+=，①又因为ABC △为正三角形且面积为))1πsin23S =⋅⋅⋅=，解得r =①式解得2h =或6h =，又因为4hR =，所以6h =，于是()max 1=3D ABC V −⋅ 故选B .例题2-1典例( 2014•大纲版 ) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A ．81π4B ．16πC ．9πD ．27π4由秒杀公式2得2222+49==2244r h R h+=⋅， 因此22981π=4π=4π=44S R ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 故选A .( 2020•银川模拟 ) 已知圆锥的母线与底面所成的角等于60︒，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于( ) A ．4:3B ．3:4C ．16:9D ．9:16由秒杀公式2得22=2r h R h+，依题意得h =，因此R =， 于是2222224164ππ4π1633=ππππ23π9r r S R S r rl r r r r ⋅===++⋅球锥. 故选C .例题2-2例题2-3( 2018秋•太原期末 ) 在三棱锥P ABC −中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ABC △的外心，2PB BC ==，平面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60︒，则三棱锥P ABC −的外接球的表面积为 .如图所示，作BC 的中点M ，在Rt PMB △[1]中有PM ==依题意知60PMG ∠=︒[2]，在Rt PGM △中有3sin 60cos602h PG PM GM PM ==︒==︒=， 于是在Rt BGM △中有r BG =， 由秒杀公式2可得224=23r h R h +=，因此264π4π9S R ==.[1] 因为顶点P 在底面ABC 的投影G 是ABC △的外心，所以PA PB PC ==. [2] 因为BC PM ⊥且BC GM ⊥，所以PMG ∠为二面角P BC A −−的平面角.( 2020•娄底模拟 ) 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．25π8B ．25π4C ．25π2 D ．9π8由秒杀公式2得2222+=2r hR h+= 因此2225π=4π=4π=2S R ⋅⎝⎭， 故选C .( 2019秋•东莞市期末 ) 已知球O 是正四面体A BCD −的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是( )A ．8π9B ．11π18C ．5π12 D ．4π9依题意易知3r =，3h =，由秒杀公式2得2222+=2r h R h +=， 如图所示，在OBD △中，由余弦定理可得222cos 23OB BD ODOBD OB BD+−∠==⋅⋅， 那么在OBE △中，由余弦定理可得222112cos 18OE OB BE OB BE OBD =+−∠=， 当截面圆垂直OE 时面积最小，故截面圆的最小半径为3r '==， 因此截面圆面积的最小值为()288πππ99S r '==⋅=.故选A .( 学生答疑 ) 在《九章算术》卷商功中称正四棱锥为“方锥”. 现有一“方锥”的体积为若该“方锥”的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为 A ．18πB ．27πC ．36πD ．75π由秒杀公式2得22=2r h R h+， 依题意得211=233V S h r h ⋅⋅=⋅⋅=底，即2r =2223263=32244h rh h h h R h h h ++==+⋅=4h”，即“h =”时不等式取“=”，因此 2min min 27=4π4π27π4S R =⋅=，故选B.➢适用几何体：三组线线垂直型三棱锥.证明：在三棱锥P ABC=，−中，AB AC APAB a，AC b、、两两垂直，= =，将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线PQ即为外接球的AP c直径，于是所以()22222R a b c=++，即( 2019•新课标 Ⅰ ) 已知三棱锥P ABC −的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( ) A．B．C．D依题意得三棱锥P ABC −为正三棱锥，CE EF ⊥，因为//EF PB ，所以PB CE ⊥，由正三棱锥性质可得PB CA ⊥[1]，又因为CE ⊂面PAC ，CA ⊂面PAC ，=CE CA C ，因此PB ⊥面PAC ，因此PA PB PC ，，两两垂直[2]，由秒杀公式3得2222222++3===442a b cR ++， 于是3344=π=π332V R ⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 故选D .[1] 设G 为AC 的中点，P 点在底面ABC 的投影为1O ，因为三棱锥P ABC −为正三棱锥， 所以1O 为ABC △的外心，故1B O G ，，三点共线，因为1AC PO AC BG ⊥⊥，，且 11PO BG O =，所以AC ⊥平面PGB ，又因为PB ⊂平面PGB ，故PB CA ⊥.[2] PAB PAC PBC ≅≅△△△.例题3-1典例( 2012•辽宁 ) 已知正三棱锥P ABC −，点P ，A ，B ，CPA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．由秒杀公式3可得2222222344PA PB PC a b c R ++++===，由正三棱锥性质可得PA PB PC ==，解得2PA PB PC ===，则球心到截面ABC 的距离为OH ===.( 2008•福建 ) 是 ．由秒杀公式3可得2222944a b c R ++===，故294π4π9π4S R ==⋅=. 例题3-3( 2020•山东学业考试 ) 在三棱锥P ABC −中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A ．9π2B ．27π2C ．9πD ．36π由秒杀公式3可得22222221229444a b c R ++++===，于是334439πππ3322V R ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 故选A .( 2019春•湖南期末 ) 已知点P 在直径为2的球面上，过点P 作球的两两相互垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，若PA PB =，则PA PB PC ++的最大值为( )A．B ．4C．2+D ．3由秒杀公式3可得22222222221444PA PB PC PB PC a b c R +++++====，即2224PB PC +=，因此()222PAPB PC PB PC⎡++=+=⎢⎣1PC =时，即3PB PC ==时不等式取“=”，故选A .例题3-5➢适用几何体：对棱长相等的三棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，PA BC x ==，PB AC y ==，PC AB z ==，将三棱锥P ABC −补成如图所示长方体，设DA a =，DB b =，DC c =，于是长方体的体对角线PD 即为三棱锥P ABC −外接球，因为222222222a b z a c y b c x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，，， 所以()2222222x y z a b c ++=++，又因为那么即( 2020•红河州模拟 ) 在三棱锥A BCD −中，5AB CD AC BD ====，AD BC ==( )AB．C ．132D ．13由秒杀公式4得()((22222225+169==884x y z R +++=， 解得13=2R ，故选C .( 2016•蚌埠三模 ) 在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ==== 面体的外接球的表面积为 ．由秒杀公式4得()22222222+==188x y zR +++=，因此四面体外接球的表面积为24π4πS R ==.典例例题4-1例题4-2( 2019秋•路南区校级期中 ) 四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上中，4AB BC CD DA ====，AC BD ==E 为AC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为( ) A ．5:4B2CD ．5:2由秒杀公式4得()()(22222224+4==588x y z R +++=，在等腰OAE △中，OE ==当截面圆所在平面垂直OE 时面积最小，截面圆所在平面过球心O 时面积最大，因此22min maxπ2ππ5πS SR =⋅==⋅=，，于是max min 52S S =， 故选D .例题4-3➢适用几何体：两全等等腰三角形折叠式棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，PAB CAB ≅△△，CA CB =，1O ，2O 分别是ABC △和PBC △的外心，M 为线段AB 的中点，1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥中有那么，在Rt MBO △中有( 2019•齐齐哈尔一模 ) 在边长为2的菱形ABCD中，BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D −−的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD −的外接球的表面积为.由秒杀公式5得因此三棱锥A BCD −的外接球表面积为234π4π6π2S R ==⋅=.典例例题5-1(2017•广西一模)在菱形ABCD中，60A=︒，AB=ABD∆的∆沿BD折起到PBD位置，若二面角P BD C−的外接球球心为O，BD的中−−的大小为120︒，三棱锥P BCD点为E，则(OE=)A．1B．2C D．由秒杀公式5得那么OE===，2故选B.( 原创 ) 已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD BC AC =====，若二面角C AB D −−的取值范围为π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ．由秒杀公式5得又因为π2π33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ263α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，那么tan 2α∈⎣，因此213793R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，又因为2=4πS R ，故外接球表面积的取值范围为52π28π93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.➢适用几何体：面面垂直型棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，平面ABP ⊥平面ABC ，1O ，2O 分别是ABP △和ABC △的外心，且1OO ⊥平面ABP ，2OO ⊥平面ABC ，1r ，2r 分别是ABP △和ABC △外接圆的半径，l 为线段AB 的长度，在2O BM △中有即同理所以( 原创 ) 在三棱锥S ABC −中，ABC △是边长为3的等边三角形，SA =，SB =面角S AB C −−的大小为90︒，则此三棱锥的外接球的半径为 ．由秒杀公式5得典例例题6-1( 2019•中卫一模 ) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几 何体的外接球的表面积为( ) A ．16π3B ．8π3C． D．由秒杀公式5得因此外接球的表面积为正视图侧视图俯视图( 2019•开福区校级模拟 ) 已知等腰ABC △的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将ABC △折成一个直二面角，则三棱锥A BCD −的外接球的表面积的最小值为 ．设AD x BD y ==，，因为等腰ABC △的面积为4，则=4xy ，又因为12r r ==， 那么由秒杀公式5得2211242x ⋅2212x y =时，即x y ==时，不等式取“=”，故三棱锥A BCD −的外接球的表面积的最小值为2min min =4πS R .如图，三棱锥P ABC −的底面是边长为2的等边三角形，若PA PB =二面角P BA C −− 的大小为90︒，则三棱锥P ABC −的外接球的表面积等于 ．由秒杀公式5得因此外接球的表面积为➢适用几何体：普通三棱锥.证明：在三棱锥P ABC −中，1O ，2O 分别是ABP △和ABC △的外心，二面角12P AB C O MO α−−=∠=，M 为AB 的中点，1O M m =，2O M n =，且1OO ⊥平面ABP ，2OO ⊥平面ABC ， l 为线段AB 的长度，在四边形12OO MO 中，因为所以12OO MO 四点共圆，设四边形12OO MO 的外接圆的半径为r ，则因此( 2019秋•迎泽区校级月考 ) 在三棱锥S ABC −中，ABC △是边长为3的等边三角形，SA，SB =二面角S AB C −−的大小为120︒，则此三棱锥的外接球的半径为 ． 由秒杀公式7得典例例题7-1( 2019春•孝感期末 ) 将边长为2的正三角形ABC 沿中线AD 折成60︒的二面角B AD C −−，则三棱锥A BDC −的外接球的表面积为 ．由秒杀公式7得因此外接球的表面积为( 2015秋•绍兴校级期中) 如图，三棱锥P ABC −的底面是边长为2的等边三角形，若PA PB ==P BA C −−的大小为60︒，则三棱锥P ABC −的外接球的表面积等于 ．由秒杀公式7得因此外接球的表面积为( 2017•葫芦岛模拟 ) 已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD =，若二面角A BD C −−的取值范围为π2π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ．由秒杀公式7得因为π2π43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以21sin 12α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，因此24533R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，因此外接球的表面积的取值范围为➢适用几何体：所有棱锥.证明：设PAB PAC PBC ABC △、△、△、△的面积分别为1234S S S S 、、、，则那么即( 2020•来宾模拟 )已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正三棱锥内切球的表面积为 ．由秒杀公式8得所以外接球的表面积为典例例题8-1( 2020•浙江模拟 ) 几何体三视图如图所示，则该几何体的内切球表面积是 ．由秒杀公式8得所以外接球的表面积为( 2020•娄底模拟 ) 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的内切球与外接球的半径之比为( )A ．12B ．23C ．25 D ．13由秒杀公式2得2222=2r hR h++==外， 由秒杀公式8得故该几何体的内切球与外接球的半径之比为故选C .。
八个模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题(学生版)
1八个模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、直棱柱模型1.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是。
2.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为。
3.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于。
4.在直三棱柱ABC A B C 111中,AB 4,AC 6，,A 3AA 14则直三棱柱ABC A B C 111的外接球的表面积为。
5．若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为。
6.三棱锥S ABC 中，侧棱SA 平面ABC ，底面ABC的正三角形，SA ，则该三棱锥的外接球体积等于。
，则其外接球的表面积是。
8.在四面体S ABC -中，SA ABC 平面，,,,BAC SA AC AB 12021则该四面体的外接球的表面积为。
二、棱锥所有侧棱相等模型1、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是。
2．正三棱锥S ABC 中，底面ABC侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。
3、在三棱锥P ABC中，PA PB PC ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ，2则该三棱锥外接球的体积为。
三、侧面与底面垂直模型1.三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC 3，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为。
2.三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为。
3.已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直,,EA EB AD AEB 3260，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为。
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外接球八大模型及公式
外接球其实就是一个外接球体，它是三维空间中最完美的几何体形状。
设计者们把它分解成八大模型和公式，用来解决各种几何问题。
据说，外接球体是宇宙中最完整的物质，也可以说是天然的几何体，比如地球，在宇宙中的球状星体就都是外接球的形状。
本文将主要介绍外接球八大模型及公式，了解外接球如何帮助我们解决几何问题。
外接球八大模型及公式
1.球：具有三个半径r1，r2，r3，以及半长轴a和半短轴b，其公式为：
(x2/a2) + (y2/b2) + (z2/c2) = 1
2.锥（截锥）：具有半径r和圆锥的高h，公式为：
(x2 + y2)/r2 + z2/h2 = 1
3.曲线：是一种二维曲线，由位置向量表示，其公式为：
x2/a2 - y2/b2 = 1
4.筒：是一种三维的曲线，具有圆柱体的高h和半径r，公式为： (x2 + y2)/r2 = h
5.锥：具有半径r和圆锥的高h，公式为：
(x2 + y2)/r2 - z2/h2 = 1
6.物线：是一种二维曲线，由位置向量表示，其公式为：
x2/a2 - y2/b2 = 1
7.柱：具有半径r和圆柱体的高h，公式为：
x2 + y2/r2 = h
8.台：是一种三维曲线，具有圆柱体的高h和半径r1，r2，其公式为：
(x2 + y2)/r1 - (x2 + y2)/r2 = h
应用
外接球八大模型及公式在几何学中应用十分广泛，可以解决各种几何问题。
比如，我们可以用它来计算宇宙中的星球距离，并且可以计算物体的体积，在建筑、机械、测绘、地理等学科中也有重要的应用。
例如，当我们在计算一个圆锥体的体积时，可以通过以下公式来计算：
V = (1/3)*π*r*h
在这个公式中，π是圆周率，r半径，h圆锥体的高，V圆锥体的体积。
另一个例子是计算球锥的表面积，可以使用以下公式：
S = 2*π*r*h + 2*π*r2
结论
外接球八大模型及公式是用来解决各种几何问题的理论模型，它们可以用来计算宇宙中的星球距离，以及物体的体积和表面积等。
该模型在几何学中有广泛的应用，可以极大地提高工作效率，并且具有良好的精度。