新课标高中数学人教A版必修四全册课件2 .5.2向量在物理中的应用举例
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高中数学人教A版必修4课件：2-5-2向量在物理中的应用举例
首页 探究一 探究二 思维辨析
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
探究一
用向量解决力学问题
【例1】 如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢 拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹 角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.
解析:因为物体处于平衡状态,所以 F1+F2+F3=0. 因此 F3=-(F1+F2), 于是|F3|= (������1 + ������2 )2 = |������1 |2 + |������2 |2 + 2������1 · ������2 = 32 + 42 + 2· 3· 4· cos60° = 37,
2.5.2 向量在物理中的应用举例
-1-
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ANGTANG JIAN
课
标 阐 释
思
维 脉 络
1.会用向量方法解决物理中的力学 向量在物理中的应用 问题. 力学问题 2.会用向量方法解决物理中的速度 速度问题 问题.
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向量在物理中的应用 1.填空:(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向 量. (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量 的加减法. 2.利用向量方法解决物理问题的基本步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题; ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课课件_4
2.5.2 向量在物理中的应用举例
复习回顾
问题：用向量解决几何问题的三步曲是什么？
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向 量问题；
通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如：距离，夹角等；
把运算结果“翻Байду номын сангаас”成几何关系．
情境引入
情景一：
有一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两支胳膊悬空 拎起,结果造成小孩的胳膊受伤,你能解释这种现象吗?
新课讲解
B
分析：如图，已知v v1 v2，
v1 10km / h, v2 2km / h，
V
v v2，求t.
解：由已知条件得
v v2 0
| v | 所以
| v1 |2 | v2 |2 96(km / h), t d 0.5 60 3.1(min).
细绳能够承受最大拉力为10N，g=10m/s2，则整条细
绳至少需要多长才不至于断掉？
钉子
A 1.2m
B 1.5m C 2.0m
挂钩
挂钩
1m
D 3.5m
学以致用
小结:
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下
1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解------理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
抽象出数学问题：用同样长的两根绳子挂 一个物体(如图). 物体受到的重力为G。你 能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1 的大小与两绳之间的夹角θ的关系？
| F1 |
|G|
复习回顾
问题：用向量解决几何问题的三步曲是什么？
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向 量问题；
通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如：距离，夹角等；
把运算结果“翻Байду номын сангаас”成几何关系．
情境引入
情景一：
有一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两支胳膊悬空 拎起,结果造成小孩的胳膊受伤,你能解释这种现象吗?
新课讲解
B
分析：如图，已知v v1 v2，
v1 10km / h, v2 2km / h，
V
v v2，求t.
解：由已知条件得
v v2 0
| v | 所以
| v1 |2 | v2 |2 96(km / h), t d 0.5 60 3.1(min).
细绳能够承受最大拉力为10N，g=10m/s2，则整条细
绳至少需要多长才不至于断掉？
钉子
A 1.2m
B 1.5m C 2.0m
挂钩
挂钩
1m
D 3.5m
学以致用
小结:
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下
1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解------理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
抽象出数学问题：用同样长的两根绳子挂 一个物体(如图). 物体受到的重力为G。你 能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1 的大小与两绳之间的夹角θ的关系？
| F1 |
|G|
人教版高中数学必修4PPT课件：.2向量在物理中的应用举例
如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边
P处，从这里起，在下游 l=80m处河流有一
处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游 （与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小 船能安全过河，船的划速不能小于多少？当 划速最小时，划速方向如何？
60m
人教版高中数学必修4PPT课件：.2向 量在物 理中的 应用举 例
的速度 v2 = 2km/h。
问:（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？ 500m
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所
以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的
方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关 的物理现象。
人教版高中数学必修4PPT课件：.2向 量在物 理中的 应用举 例
人教版高中数学必修4PPT课件：.2向 量在物 理中的 应用举 例
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流
P
120º
Q
θ 瀑 布
l
Q，
人教版高中数学必修4PPT课件：.2向 量在物 理中的 应用举 例
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速
和船它的们实的际合速速度度为为向量V水 、 V船 和 V合，由题意，
高一数学人教A版必修4课件：2.5.2 向量在物理中的应用举例(1)
预习导学
ห้องสมุดไป่ตู้
挑战自我，点点落实
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点：力和向量都既要考虑 大小 又要考虑 方向 . (2)不同点：向量与 始点无关，力和 作用点 有 关 ， 大 小 和 方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 向量 . (2) 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 运算，运动的叠加也用到向量的合成. (3)动量mν是 数乘向量 .
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和
是多少？
解 物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝20＋0－19.6＝0.4(J).
明目标、知重点
预习导学 挑战自我，点点落实 (3) 求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所
受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系. 解 物体所受合外力的大小为
3.向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系？ 答 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量
的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成，向量
有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速度、
位移等 “ 矢量 ” ；向量在解决涉及上述物理量的合成与
分解时，实质就是向量的线性运算.
明目标、知重点
[预习导引] 1.力与向量
(4)功即是力F与所产生位移s的 数量积 .
明目标、知重点
要点一 向量的线性运算在物理中的应用
例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的
人教A版必修4-2.5.2-向量在物理中的应用举例-课件(25张)
人教A版 必修4
2.5 平面向量应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例
知识梳理
1. 两个向量的数积： a b | a || b | cos .
2. 平面两向量夹角公式:
cos<a,b a b ab
3. 求模：a a a
4.共线向量定理：
向量（ a a 0)与b共线，当且仅当有
唯一一个实数，使b a.
A v2
t d 0.5 60 3.1min
v 96
答：行驶航程最短时,所用时间是3.1min
思考1：如图，一条河的两岸平行，一
艘船从A处出发到河对岸，已知船在静
水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度 |v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去， 那么船的实际速度v的大小是多少？
v v1 v2
v1
v2
2
104km/ h
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60° 方向行驶，那么船的实际速度v的大 小是多少？
v1 10km/ h
v1
v
v2 2km/ h
60° v2
v v1 v2
v1
v2
2
84km/ h
思考3：船应沿什么方向行驶，才能
使航程最短？
B
v1 10k m/ h
v2 2k m/ h
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一 般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题；
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型；
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一 般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学
2.5 平面向量应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例
知识梳理
1. 两个向量的数积： a b | a || b | cos .
2. 平面两向量夹角公式:
cos<a,b a b ab
3. 求模：a a a
4.共线向量定理：
向量（ a a 0)与b共线，当且仅当有
唯一一个实数，使b a.
A v2
t d 0.5 60 3.1min
v 96
答：行驶航程最短时,所用时间是3.1min
思考1：如图，一条河的两岸平行，一
艘船从A处出发到河对岸，已知船在静
水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度 |v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去， 那么船的实际速度v的大小是多少？
v v1 v2
v1
v2
2
104km/ h
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60° 方向行驶，那么船的实际速度v的大 小是多少？
v1 10km/ h
v1
v
v2 2km/ h
60° v2
v v1 v2
v1
v2
2
84km/ h
思考3：船应沿什么方向行驶，才能
使航程最短？
B
v1 10k m/ h
v2 2k m/ h
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一 般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题；
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一
般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学
问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型；
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一 般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学
推荐-高中数学人教A版必修4课件2.5.2向量在物理中的应用举例
.( ) (3)动量mv是数乘向量.( ) (4)功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
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H合作学习 EZUO XUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
思维辨析
探究一 用向量解决力学问题
因此风速为西北方向,大小为 8 2 km/h.
探究一
探究二
思维辨析
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Z 自主预 习I ZHU YU XI
H合作学习 EZUO XUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
未将物理问题转化为向量问题致误
【典例】 一条河宽为8 000 m,一船从A出发航行垂直到达河正
对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间
探究一
探究二
思维辨析
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反思感悟 运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线 性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进 行求解.
探究一
探究二
思维辨析
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2.5.2 向量在物理中的应用举例
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课标阐释
思维脉络
1.会用向量方法解决物理中的力学 向量在物理中的应用
问题.
力学问题
2.会用向量方法解决物理中的速度
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探究一
探究二
思维辨析
探究一 用向量解决力学问题
因此风速为西北方向,大小为 8 2 km/h.
探究一
探究二
思维辨析
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未将物理问题转化为向量问题致误
【典例】 一条河宽为8 000 m,一船从A出发航行垂直到达河正
对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间
探究一
探究二
思维辨析
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反思感悟 运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线 性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进 行求解.
探究一
探究二
思维辨析
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课标阐释
思维脉络
1.会用向量方法解决物理中的力学 向量在物理中的应用
问题.
力学问题
2.会用向量方法解决物理中的速度
人教A版高中数学必修四2.5.2 向量在物理中的应用举例课件
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J)．
探究（二）：向量在运动学中的应用
例2：一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘船从A处 出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流的速度 v2 =
2km/h。 问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？
际速度为向量 V合=V船+ V水
其方向为临界方向 P，Q船只要朝着这个方向行驶， 它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
提问:表示划船速度的向量怎样画?
从图上看，哪个速度（向量
的模）最小？
P
θ 瀑 布
l
Q
解：由题意知：V合=V船+ V水
其方向为临界方向 ，P设Q 和V合夹角V为水
θ，则最小划速为：v船 = v水 sinθ
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
500m
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。 所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸 的方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
sinθ = d=
60 3
Q
d2 l2
602 802 5
V合的方向
所以：最小的船速应为：
V船 θ
P
V水
v船 =5×sinθ=5× 53=3（m/s）
课堂小结
＝6×100×cos 60°＝300(J)．
探究（二）：向量在运动学中的应用
例2：一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘船从A处 出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流的速度 v2 =
2km/h。 问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？
际速度为向量 V合=V船+ V水
其方向为临界方向 P，Q船只要朝着这个方向行驶， 它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
提问:表示划船速度的向量怎样画?
从图上看，哪个速度（向量
的模）最小？
P
θ 瀑 布
l
Q
解：由题意知：V合=V船+ V水
其方向为临界方向 ，P设Q 和V合夹角V为水
θ，则最小划速为：v船 = v水 sinθ
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
500m
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。 所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸 的方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
sinθ = d=
60 3
Q
d2 l2
602 802 5
V合的方向
所以：最小的船速应为：
V船 θ
P
V水
v船 =5×sinθ=5× 53=3（m/s）
课堂小结
高中数学(人教A版必修4)课件2.5.2向量在物理中的应用举例
变式训练3
已知力F与水平方向的夹角为30° (斜向
上)，F的大小为50N，F拉着一重80N的木块在摩擦系数μ＝ 0.02的水平平面上运动了20m，求F和摩擦力f所做的功．
解
3 设木块的位移为s，则F· s＝|F||s|cos30° ＝50×20× 2
＝500 3(J) 1 F在竖直方向上分力大小为F· sin30° ＝2×50＝25 (N)． ∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1 (N)． ∴f· s＝|f||s|· cos180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 则F，f所做的功分别是500 3J，－22J.
典例剖析
类型一 例1
力的当它们的夹角为
90° 时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120° 时，合力 的大小为( A. 10 N C. 20 2 N ) B．10 2 N D．40 N
解析 对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹 角为90° 时，合力为20 N，由平行四边形法则知，F1，F2的大 小都是10 2 N；当它们的夹角为120° 时，它们的合力与F1， F2相等，其大小为10 2 N.
1.三角形或平行四边形 2.三角形或平行四边形
自我校对
名师讲解
向量在物理中的应用 1．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为 向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获 得的结果解释物理现象． 在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的 相关知识： (1)力、速度、加速度、位移都是向量．
易错探究
例4
三个力F1，F2，F3的大小相等，并且它们的合力
为0，求这三个力两两的夹角． 错解 由F1＋F2＋F3＝0，且|F1|＝|F2|＝|F3|，知这三个