1-2 线性规划-概念、理论与单纯形法思路
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线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
管理学线性规划的图解法与单纯形解法
n
z z0 (c j z j )x j j m1
最优性检验和解的判别
再令
j c j z j j m 1, , n
称为检验数。
n
z z0 j x j j m1
在线性规划模型中，可以用检验数 j替代目标函 数中的价值系数cj。
最优解的判别定理
定理1 最优解的判别定理
若 X (0) b1,b2,L ,bm ,0,L ,0T 为对应于基 B 的一个基可行解，
仍取值为 0。令
x(1) mk
x(1) j
0
( j m 1,L , n, 但j m k)
x(1) i
bi ai,mk
i 1, 2,L m
X (1)
x(1) 1
,
x2(1），L
，xl(1)
,L
,
x(1) m
,
0,L
,
0,
x(1) mk
,
0,
L
,0T
新解必须满足非负约束，从而必须
x(1) i
对于一切 j=m+1,…,n,有检验数 j≤0,则 X(0)为最优解。
定理2 有无穷多最优解的判别定理
若 X (0) b1,b2,L ,bm ,0,L ,0T 为对应于基 B 的一个基可行解，
对于一切 j=m+1,…,n,有检验数 j≤0, 且存在某个非基变量对 应的检验数 m+k=0, 则该线性规划问题有无穷多个最优解。
当检验某个基可行解不是最优、也非无界，那么就 应该从该顶点（基可行解）处出发，寻找一个新的 能使目标函数值改进的相邻顶点（基可行解）。 注：称两个基可行解为相邻的，是指它们之间变换 且仅变换一个基变量。
具体的方法是：在基变量中，选出一个，让它变为 非基变量；同时，从非基变量中，选出一个，让它 变为基变量，从而构造一个新基。
第4章 单纯形法
为0，求出了一组基本可行解。试想如果x1或者x2
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
18
§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
18
§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了
运筹学第一章
OR1
30
1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
OR1
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
5
例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
OR1
6
例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
30
1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
OR1
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
5
例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
OR1
6
例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
线性规划的基本概念与解法
线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。
它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。
这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。
例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。
通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解存在于约束条件所定义的空间中。
4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。
最优解可以是唯一的，也可以有多个。
二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。
通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。
该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。
3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。
该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。
三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。
3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。
4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。
线性规划与单纯形法
2
-2x1 + x2 ≥2
1
S.t. x1 -3 x2 ≥3
线性规划问题的三个要素
•
– 决策问题待定的量值称为决策变量。 – 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
– 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条 件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。
– 约束条件是决策方案可行的保障。 – LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。
• 目标函数
– 衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成 本最低。
• 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以Z为参数的一族平行线。
x2
9
x1 =8
6D
C(4,6)
2x2 =12
3
Z=30
Z=15
B Z=42
04Βιβλιοθήκη A812x1
3x1 +4 x2 =36
• 等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。
• 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解
几点说明
• 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定 义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这 个集合)。
• 线性规划 （LP： Linear Programming）
• 规划论中的静态规划 • 解决有限资源的最佳分配问题 • 求解方法：
– 图解法 – 单纯形解法
线性规划简介
• 1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇 柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通 运输方案方面首先研究和应用一线性规划方法。
• 可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量， m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
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§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
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第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
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xm 1
xn
例：求下列约束条件所对应的线性规划的所有基本解，基本可行解。
x1 2 x2 8 s.t. x2 2 x ,x 0 1 2
解：化为标准形式后
8 x1 2 x2 x3 x2 x4 2 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
Pn 的秩 = r(A) = m，说明这个向量组的极大 A的列向量组 P1 P2 线性无关组中包含的向量个数为m，也就是说在这个由n个向量构 成的向量组中，至少可以找出一个由m个向量构成的向量组是线性 无关的，并且任意一个由m+1个向量构成的向量组都是线性相关的。
基是什么？
线性规划问题
z CX AX b st X 0
8 1 2 1 0 A= =(P1 ,P2 ,P3 ,P4 ) 为2×4阶矩阵。 b= 2 0 1 0 1 且R(A)=2,所以该线性规划基的个数≤ C2 =6个 4
1 2 取B1 =(P1 ,P2 ) , 0 1
x1, x2为基变量，x3, x4非基变量……
N
显然基解是满足约束方程组AX=b的，如果它也满足非负 条件(3.3)，即基解中的所有分量大于等于零，则称其为 基可行解。
基可行解是可行的基解，是基解与可行解的交集。
解域
基可行解
基解
可行解域
School of Business ECUST
例：求下列约束条件所对应的线性规划的所有基本解，基本可行解。
x 1 x2 基变量用XB表示，非基变量用XN表示 XB X xm XN x 基变量和非基变量是对特定的基而言的， m 1 不同的基对应的基变量和非基变量是不同的。 x n
基本解和基变量、非基变量一样，都是对应于特定的基 而言的，一个基对应于一个基解。
基可行解
可行解的概念：
z CX AX b st X0 31 32 33
同时满足(3.2)约束方程组 和(3.3)非负条件的解
基解的概念：
对应于某个基，在约束方程组中令所有非基变量等于零， 求得的解。 令X 0 求解AX b
2 1 B3 =(P2 ,P3 ) 1 0 2 0 B4 =(P2 ,P4 ) 1 1 1 0 B5 =(P3 ,P4 ) 0 1
对应的基解
X3 =(0,2,4,0)T
不是可行解
对应的基解
X4 =(0,4,0,-2)T
对应的基解
a11 a12 a21 a22 系数矩阵 A a a m1 m 2
设m<n，即方程的个数小于未知变量的个数。 矩阵A的秩r(A) = m
School of Business ECUST
a11 a12 a1n 矩阵的秩 a a a 22 2n A 21 考虑mxn阶矩阵 a a a mn m1 m 2 mn 在A中任取k行k列，其交叉位置上的元素构成了A的一个k阶子 矩阵(方阵)，显然
x1 2 x2 8 s.t. x2 2 x ,x 0 1 2
解：化为标准形式后
8 x1 2 x2 x3 x2 x4 2 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
8 1 2 1 0 A= =(P1 ,P2 ,P3 ,P4 ) 为2×4阶矩阵。 b= 2 0 1 0 1 且R(A)=2,所以该线性规划基的个数≤ C2 =6个 4
BXB NXN b BXB b
BXB b B1BXB B1b XB B1b
B1b 这样我们就得到了约束方程组的一个解 X 0 这个解就是基本解，简称基解
基本解是约束方程组的一个比较特别的解，它是怎样得 到的呢？
对应于某个基，令所有的非基变量等于零，求解关于基 变量的约束方程组得到的。
最优解。
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例 设线性规划
max z 8x1 10x 2 2x1 x 2 11 s.t . x1 2x 2 10 x , x 0 1 2
(1)确定下列向量中，哪些是解，哪些是可行解？ T T X 1 0 , 0 , X 2 1,1 , X 3 1, 1 , X 4 3, 4 , X 5 4 , 3 (2)用图解法求出最优解。
x1 2x 2 8 若令非基变量 x 3 =x 4 0 ， 约束方程组为 x2 2
可得对应的基解
1 2 取B1 =(P1 ,P2 ) , 0 1
x1, x2为基变量，
X1 (4,2,0,0)T 是一个基可行解。
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a1 j a2 j Pj j 1 2 amj
n
A的行向量组的秩——行秩，A的列向量组的秩——列秩
向量组的秩：向量组的极大线性无关组中包含的向量个数
性质：矩阵A的秩 = 行秩 = 列秩 A的行向量组 l1 l2 lm 的秩 = r(A) = m，说明这m个行向量是线 性无关的，即其中任意一个向量不能由其余向量线性表出，保证 了各个约束方程的独立性。如果r(A) < m说明什么？
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基(本)解
考察约束方程组：
XB AX b B N X b BX B NX N b N
令所有的非基变量(n-m个)等于零，即令XN = 0
m个方程，m个未知数 r(B) = m 该方程组有惟一解
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线性规划问题解的概念2：基、基(本)解、基(本)可行解
基的概念
考虑线性规划问题
max z CX AX b s.t. X 0
a1n a2n 是一个mxn阶的矩阵 amn mn T
3.2 线性规划问题的解的基本概念
考虑一个标准的线性规划问题：
max z CX AX b s.t. X 0
(3.1) (3.2) (3.3)
其中Ｃ为n维行向量， C c1 ,c2 ,...,cn
Ｘ是n维列向量，
X x1 , x 2 ,..., xn
k
m n
这个k阶子矩阵构成的行列式，称为A的一个k阶子式。
矩阵A的秩定义为其非零子式的最高阶数，或者说A的所有 行列式不等于零的子矩阵(可逆矩阵)的最高阶数。
r A
m n 显然成立
例：
1 1 3 1 A 0 2 1 4 0 0 0 5
1-2 线性规划概念、理论与单纯形法思路
1
概要
1 问题描述 2 建模 2.1 建模三要素 2.2 一般形式 2.3 标准形式 3 模型求解 3.1图解法
3.1.1 方法步骤 3.1.2 解的几种情况
2
3.2 基本概念与理论 3.3 单纯形法 3.3.1 单纯形法的一般思路+例子 3.3.2 单纯形表结构+例子 3.3.3 单纯形法的计算步骤 3.3.4 单纯形法的矩阵描述
x1 2 x2 8 s.t. x2 2 x ,x 0 1 2
解：化为标准形式后
8 x1 2 x2 x3 x2 x4 2 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
8 1 2 1 0 A= =(P1 ,P2 ,P3 ,P4 ) 为2×4阶矩阵。 b= 2 0 1 0 1 且R(A)=2,所以该线性规划基的个数≤ C2 =6个 4
A中其余n-m个向量构成的向量组，称为非基，记为N。
A P1 P2
B
Pm Pm1
N
Pn B N
基变量、非基变量
基变量与非基变量
基变量—基中的m个列向量 P P 1 2
Pm 所对应的变量
Pn 所对应的变量
x1 x2
xm
非基变量—非基中n-m个列向量 Pm1
C
x2 2
A 8
O
4
x1
X1 (4, 2, 0, 0)T B, X 2 (8, 0, 0, 2)T A, X 3 (0, 2, 4, 0)T C X 4 =(0,4,0,-2)T D, X 5 (0, 0,8, 2)T O.
1 2 取B1 =(P1 ,P2 ) , 0 1
......
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基、非基
A P1 P2 Pm Pm 1 Pn
r(A)=m，不妨假设A的前m个列向量线性无关，那么
P1 P2 Pm 构成该问题的一个基，记为B；
X5 =(0,0,8,2)T
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若利用图解法画出线性规划的可行域，如图，
x2
x1 2 x2 8
D B
4
x1 2 x2 8 x2 2 x ,x 0 1 2
我们发现： 该线性规划问题的 四个基可行解恰好 对应其可行域的四 个顶点。
a11 a12 a21 a22 A a a m1 m2 P1 P2 a1n l1 a2n l2 amn lm Pn
Pn
li ai1 ai 2
ain i 1 2
m
l1 l2 A P P 1 2 l m